Складний рух матеріальної точки

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

ЗАДАЧА К.4

На рисунках К.4.0 - К.4.9 схематично показано механізми, у яких деяка частина тіл (деталі або їх частини) може бути представлена в якості матеріальних точок, що здійснюють складний рух.

Умова задачі. Прямокутна пластина (рис. К.4.0 - К.4.4) або кругла пластина радіуса R = 60 см (рис. К.4.5 - К.4.9) обертається навколо нерухомої осі за законом, який задано в таблиці 10. Умови задач К.4.0 - К.4.9, у таблиці 11. Умови задач К.4.0.А - К.4.9.А або в таблиці 12. Умови задач К.4.0.Б - К.4.9.Б залежно від рівня складності задачі. У задачі першого рівня складності (таблиця 10. Умови задач К.4.0 - К.4.9) задана кутова швидкість обертання пластини . У задачах другого та третього рівнів складності (таблиця 11. Умови задач К.4.0.А - К.4.9.А, таблиця 12. Умови задач К.4.0.Б - К.4.9.Б) задано закон обертання пластини . Додатний напрямок відліку кута повороту (відповідно кутової швидкості ) показано на рисунках дуговою стрілкою. Якщо задана кутова швидкість <0, то дугову стрілку на рисунку необхідно показати в напрямку, протилежному до напрямку .

На рис. К.4.0, К.4.1, К.4.2, К.4.5, К.4.6 вісь обертання перпендикулярна до площини пластини та проходить через точку О (пластина обертається у своїй площині); на рис. К.4.3, К.4.4, К.4.7, К.4.8, К.4.9 вісь обертання ОО1 лежить у площині пластини (пластина обертається в просторі).

По пластині вздовж прямої ВD (рис. К.4.0 - К.4.4) або по колу радіуса R (рис. К.4.5 - К.4.9) рухається точка М; закон її відносного руху, тобто залежність (S виражено в сантиметрах, t - у секундах), задано в таблиці 10. Умови задач К.4.0 - К.4.9, у таблиці 11. Умови задач К.4.0.А - К.4.9.А або в таблиці 12. Умови задач К.4.0.Б - К.4.9.Б (залежно від рівня складності) окремо для рис. К.4.0 - К.4.4 і для рис. К.4.5 - К.4.9. Там же задані розміри b i l. На рисунках точка М показана в положенні, при якому (при точка М знаходиться з протилежного боку від точки А).

Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки М у момент часу с.

Методичні вказівки

Задача К.4. - на складний рух матеріальної точки. Для розв'язання задачі необхідно скористатись теоремою про складання швидкостей і теоремою про додавання прискорень.

Перед початком розрахунків необхідно за даними задачі визначити, де знаходиться точка М на площині в момент часу с і показати матеріальну точку М у цьому положенні (а не в довільному положенні, яке показане на рисунках до задачі).

При розв'язанні задачі з рис. К.4.5 - К.4.9 числове значення R не підставляється до того часу, поки не будуть визначені положення матеріальної точки М у момент часу с і кут між радіусами СМ і СА у цей момент часу.

При розв'язанні задачі К.4 з використанням даних таблиці 10. Умови задач К.4.0 - К.4.9 студент отримує оцінку ”задовільно”. При розв'язанні задачі К.4 з використанням даних таблиці 11. Умови задач К.4.0.А - К.4.9.А студент отримує оцінку ”добре”. При розв'язанні задачі К.4 з використанням даних таблиці 12. Умови задач К.4.0.Б - К.4.9.Б студент отримує оцінку ”відмінно”.

Приклад 1 розв'язання задачі К.4. Перший рівень складності

Прямокутна пластина обертається навколо нерухомої осі за законом (рис. 27.15). Вісь обертання перпендикулярна до площини пластини та проходить через точку О (пластина обертається у своїй площині). По пластині вздовж прямої ВD рухається точка М; задано закон її відносного руху, тобто залежність (S виражено в сантиметрах, t - у секундах).



Рисунки до задач К.4.7 - К.4.9

Дано: с-1 ;см;

см; с.

Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки М

Розв'язання. Розглянемо рух точки М як складний, вважаючи її рух по прямій ВD відносним, а обертання пластини - переносним рухом (див. рис. 27.15). Тоді абсолютна швидкість та абсолютне прискорення визначаться так:

,

де - швидкість і прискорення відносного руху; - швидкість і прискорення переносного руху; - поворотне або коріолісове прискорення.

У загальному випадку:

.

Визначимо всі характеристики відносного та переносного рухів.

Відносний рух. Цей рух проходить за законом:

, см.

Установимо положення точки М на траєкторії відносного руху при с:

см.

Додатково визначимо:

;

.

Тепер знайдемо числові значення кінематичних характеристик відносного руху:

;

;

.

При с:

см/с;

см/с2;

.

(оскільки траєкторія відносного руху - пряма ВD, то радіус кривизни ). Знаки показують, що вектори і мають напрямки в бік додатного відліку S .

2. Переносний рух. Це обертання з кутовою швидкістю с-1 .

Кутове прискорення цього обертання:

.

Визначимо відстань точки від осі обертання:

см.

Тоді в момент часу с:

см/с;

;

см/с2.

Зображаємо вектори і на рис. 27.15: вектор у бік дугової стрілки , вектор - від точки до точки О (до осі обертання).

3. Визначення прискорення Коріоліса.

Прискорення Коріоліса визначається так:

.

Модуль прискорення Коріоліса:

Оскільки кут між векторами і дорівнює (вектор розташований на осі обертання), то в момент часу с:

см/с2.

Напрямок прискорення визначається в даному випадку так: потрібно повернути вектор у бік , тобто проти ходу годинникової стрілки, на . Одержаний напрямок і буде напрямком прискорення Коріоліса .

4. Визначення абсолютної швидкості . Оскільки

,

то на векторах і побудуємо паралелограм швидкостей. Діагональ побудованого паралелограма і буде вектором абсолютної швидкості .

Модуль абсолютної швидкості:

У даному випадку

.

З трикутника :

Тоді, при с:

см/с.

5. Визначення абсолютного прискорення . За теоремою про складання прискорень, оскільки

і ,

Одержимо

.

Для визначення абсолютного прискорення проведемо осі координат та обчислимо проекції вектора на ці осі:

см/с2;

см/с2.

Тоді для моменту часу с:

см/с2.

Відповідь: см/с ; см/с2.

Приклад 1 розв'язання задачі К.4. Другий та третій рівні складності

Прямокутна пластина обертається навколо нерухомої осі за законом (рис. 27.16). Вісь обертання перпендикулярна до площини пластини та проходить через точку О (пластина обертається у своїй площині). По пластині вздовж прямої ВD рухається точка М; задано закон її відносного руху, тобто залежність (S виражено в сантиметрах, t - у секундах).

Дано:рад; см;

см; с.

Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки М.

Розв'язання. Розглянемо рух точки М як складний, вважаючи її рух по прямій ВD відносним, а обертання пластини - переносним рухом (див. рис. 27.16). Тоді абсолютна швидкість та абсолютне прискорення визначаться так:

,

де - швидкість і прискорення відносного руху; - швидкість і прискорення переносного руху; - поворотне або коріолісове прискорення.

У загальному випадку:

.

Визначимо всі характеристики відносного та переносного рухів.

1. Відносний рух. Цей рух проходить за законом см.

Установимо положення точки М на траєкторії відносного руху при с:

см.

Додатково визначимо:

;

.

Тепер знайдемо числові значення кінематичних характеристик відносного руху:

;

;

.

При с:

см/с;

см/с2;

(оскільки траєкторія відносного руху - пряма ВD, то радіус кривизни ). Знаки показують, що вектори і мають напрямки в бік додатного відліку S .

2. Переносний рух. Це обертання за законом рад. Визначимо кутову швидкість та кутове прискорення цього обертання:

;

с.

При с:

с.

Знаки показують, що при с напрямки і співпадають з напрямком додатного відліку кута .

Визначимо відстань точки від осі обертання:



см.

Тоді в момент часу с:

см/с;

см/с;

см/с.

Зображаємо вектори і на рис. 27.16 перпендикулярно до відстані у бік дугових стрілок і відповідно. Вектор направлений від точки до осі обертання .

3. Визначення прискорення Коріоліса. Прискорення Коріоліса визначається так:

.

Модуль прискорення Коріоліса:

Оскільки кут між векторами і дорівнює 90, то в момент часу с:

см/с2.

Напрямок прискорення визначається в даному випадку так: потрібно повернути вектор у бік , тобто проти ходу годинникової стрілки, на . Одержаний напрямок і буде напрямком прискорення Коріоліса .

4. Визначення абсолютної швидкості . Оскільки

,

то на векторах і побудуємо паралелограм швидкостей. Діагональ побудованого паралелограма і буде вектором абсолютної швидкості .

Модуль абсолютної швидкості:

У даному випадку:

.

З трикутника :

.

Тоді при с:

см/с.

5. Визначення абсолютного прискорення . За теоремою про складання прискорень одержимо, оскільки

.

Для визначення абсолютного прискорення проведемо осі координат та обчислимо проекції вектора на ці осі:

см/с2;

см/с2.

Тоді для моменту часу с:

см/с.

Відповідь: см/с; см/с.

Приклад 2 розв'язання задачі К.4. Перший рівень складності

Кругла пластина радіуса R обертається навколо нерухомої осі за законом (рис. 27.17). Вісь обертання ОО1 лежить у площині пластини (пластина обертається в просторі).

На пластині по колу радіуса R рухається точка М; задано закон її відносного руху, тобто залежність (S виражено в сантиметрах, t - у секундах).

Дано: с-1; ; см; см; с.

Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки М.

Розв'язання. Розглянемо рух точки М як складний, вважаючи її рух по дузі АD відносним рухом, а обертання пластини - переносним рухом (див. рис. 27.17). Тоді абсолютна швидкість та абсолютне прискорення визначаться так:

,

де - швидкість і прискорення відносного руху; - швидкість і прискорення переносного руху; - поворотне або коріолісове прискорення.

У загальному випадку:

.

Визначимо всі характеристики відносного та переносного рухів.

Відносний рух. Цей рух проходить за законом:

, см.

Установимо положення точки М на дузі АD у момент часу с:

см.

Центральний кут цієї дуги:

.

Зображаємо на рис. 27.17 точку в положенні М1, що визначається даним кутом.

Тепер знаходимо числові значення кінематичних характеристик відносного руху:

;

;

При с:

см/с;

см/с2;

см/с2.

Знаки показують, що вектори і мають напрямки в бік додатного відліку дуги . Вектор має напрямок до центра кривизни С дуги АD.

2. Переносний рух. Це обертання з кутовою швидкістю с-1 . рух швидкість прискорення

Визначимо кутове прискорення переносного обертання:

.

Визначимо відстань від точки М1 до осі обертання:

см.

Тоді в момент часу с:

см/с;

;

см/с2.

Зображаємо вектори і на рис. 27.17: вектор у бік дугової стрілки , вектор - від точки до осі обертання.

3. Визначення прискорення Коріоліса.

Прискорення Коріоліса визначається так:

.

Модуль прискорення Коріоліса:

Оскільки кут між векторами і дорівнює (вектор розташований на осі обертання), то в момент часу с:

см/с2.

Напрямок прискорення знайдемо, спроектувавши вектор на площину, перпендикулярну до осі обертання (проекція має напрямок, протилежний до прискорення ), і повертаючи потім цю проекцію на 900 у бік дугової стрілки , тобто за ходом годинникової стрілки.

4. Визначення абсолютної швидкості.

Оскільки

і

,

То

і при с:

см/с.

5. Визначення абсолютного прискорення .

За теоремою про складання прискорень, оскільки , одержимо:

.

Для визначення абсолютного прискорення у момент часу с проведемо осі та обчислимо проекції вектора на ці осі:

см/с2;

см/с2;

см/с2.

При с:

см/с2.

Відповідь: см/с ; см/с2.

Приклад 2 розв'язання задачі К.4. Другий та третій рівні складності

Кругла пластина радіуса R обертається навколо нерухомої осі за законом (рис. 27.18). Вісь обертання ОО1 лежить у площині пластини (пластина обертається в просторі).

На пластині по колу радіуса R рухається точка М; задано закон її відносного руху, тобто залежність (S виражено в сантиметрах, t - у секундах).

Дано: рад; ; см; см; с.

Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки М.

Розв'язання. Розглянемо рух точки М як складний, вважаючи її рух по дузі АD відносним рухом, а обертання пластини - переносним рухом (див. рис. 27.18).

Тоді абсолютна швидкість та абсолютне прискорення визначаться так:

,

де - швидкість і прискорення відносного руху; - швидкість і прискорення переносного руху; - поворотне або коріолісове прискорення.

У загальному випадку:

.

Визначимо всі характеристики відносного та переносного рухів.

Відносний рух. Цей рух проходить за законом:

, см.

Установимо положення точки М на дузі АD у момент часу с:

см.

Центральний кут цієї дуги:

.

Зображаємо на рис. 27.18 точку в положенні М1, що визначається даним кутом.

Тепер знаходимо числові значення кінематичних характеристик відносного руху:

;

;

При с:

см/с;

см/с2;

см/с2.

Знаки показують, що вектори і мають напрямки в бік додатного відліку дуги . Вектор має напрямок до центра кривизни С дуги АD.

Переносний рух. Це обертання за законом рад.

Визначимо кутову швидкість та кутове прискорення переносного обертання:

;

.

При с:

с-1;

с-2.

Знаки показують, що при с напрямок дугової стрілки співпадає з напрямком , а напрямок дугової стрілки до нього протилежний.

Визначимо відстань від точки М1 до осі обертання:

см.

Тоді в момент часу с:

см/с;

см/с2;

см/с2.

Зображаємо вектори , і на рис. 27.18: вектор у бік дугової стрілки , вектор у бік дугової стрілки , вектор - від точки до осі обертання.

3. Визначення прискорення Коріоліса.

Прискорення Коріоліса визначається так:

.

Модуль прискорення Коріоліса

Оскільки кут між векторами і дорівнює (вектор розташований на осі обертання), то в момент часу с:

см/с2.

Напрямок прискорення знайдемо, спроектувавши вектор на площину, перпендикулярну до осі обертання (проекція має напрямок, протилежний до прискорення ), і повертаючи потім цю проекцію на 900 у бік дугової стрілки , тобто за ходом годинникової стрілки.

4. Визначення абсолютної швидкості.

Оскільки

і

,

То

і при с:

см/с.

5. Визначення абсолютного прискорення .

За теоремою про складання прискорень:

.

Для визначення абсолютного прискорення в момент часу с проведемо осі та обчислимо проекції вектора на ці осі:

см/с2;

см/с2;

см/с2.

При с:

см/с2.

Відповідь: см/с ; см/с2.

Размещено на Allbest.ru

...