Теоретична механіка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Криворізький технічний університет

Кафедра теоретичної та прикладної механіки

Контрольна робота

з теоретичної механіки

студента групи ЗТМ-04

Іванова Івана Івановича

Шифр 47



Контрольні завдання до розділу “Динаміка”. Зміст завдань. Вибір варіантів. Порядок виконання робіт. Задачі до контрольних завдань

Для забезпечення глибоких і міцних знань з теоретичної механіки студентам та іншим особам, які вивчають цю дисципліну, необхідно виконати контрольну роботу.

В умовах кожної задачі дається 10 рисунків і таблиця або декілька таблиць. Таблиці містять додаткові вихідні дані і умови до основного тексту задачі. Нумерація рисунків подвійна. Номером рисунка є цифра, що стоїть після другої точки, наприклад, Д.1.1 - це рисунок 1 до задачі Д.1. Номера умов від 0 до 9 проставлено в першій колонці таблиць.

При самостійному виконанні контрольної роботи студент у всіх задачах вибирає номер рисунка по передостанній цифрі шифру в заліковій книжці, а номер умови в таблицях - по останній цифрі. Наприклад, якщо шифр залікової книжки закінчується числом 12, то беруться: рисунок 1 і умова № 2 з таблиць.

Контрольна робота виконується в окремому зошиті. Сторінки зошита нумеруються. На обкладинці зошита необхідно вказати: назву університету і кафедри, назву дисципліни, групу, прізвище, шифр студента. Наприклад:

Розв'язок кожної задачі необхідно починати на розвороті зошита (на парній сторінці, починаючи з другої, інакше роботу важко перевіряти). Зверху вказується номер задачі, коротко записується, що дано в умові задачі та що необхідно визначити. Текст задачі можна не переписувати. Далі виконується рисунок. Рисунок виконується з урахуванням умов заданого варіанта. На рисунку число сил, точки їх прикладання, кути, число тіл та їх розташування повинні відповідати умові задачі. В результаті в багатьох задачах рисунок буде простішим, ніж загальний. Рисунок повинен бути акуратним. Його розміри повинні дозволяти виразно показати всі сили або вектори швидкостей, прискорень і т. ін. Потрібно показати всі ці вектори на рисунку; при необхідності зобразити координатні вісі.

При розв'язанні необхідно вказувати одиниці виміру одержаних величин.

Розв'язання задач потрібно супроводжувати короткими поясненнями: які формули чи теореми застосовуються, звідки одержуються ті чи інші результати тощо. Необхідно детально викладати весь хід розрахунків.

На кожній сторінці необхідно залишати поля для зауважень викладача (рецензента). Роботи, які виконані без додержання вище вказаних умов, не перевіряються і повертаються студенту для переоформлення.

При читанні текстів задач необхідно врахувати наступне. Більшість рисунків дано без додержання масштабу. На рисунках Д.1-Д.12 всі лінії, які паралельні рядкам, вважаються горизонтальними; лінії, перпендикулярні рядкам, вважаються вертикальними; це в тексті спеціально не застерігається.

Також без застережень вважається, що всі нитки, мотузки, троси є невагомими і такими, що не розтягуються. Нитки, які перекинуті через блок, по блоку не ковзають. Котки і колеса (циліндри) котяться по площині без ковзання. Всі в'язі, якщо не зроблені спеціальні застереження, вважаються ідеальними.

Коли тіла на рисунку пронумеровані, то задані в тексті задачі і в таблицях величини з індексами P₁, l₁, r₁ тощо, відносяться до першого тіла: вага першого тіла, довжина першого стержня, радіус першого блоку; аналогічно запис v_B , a_B означає відповідно швидкість і прискорення точки В, і - кутова швидкість і кутове прискорення першого тіла.

Необхідно також мати на увазі те, що деякі задані в умові величини при рішенні Вашої задачі не знадобляться - вони необхідні для розв'язання інших варіантів задачі.

Тому звертайте увагу лише на ті дані, які необхідні саме для Вашого варіанта - номера Вашого рисунка і умов Вашої задачі.

При виконанні завдань всі перетворення і числові розрахунки повинні бути послідовно виконані з необхідними поясненнями.

В кінці розв'язку задачі необхідно дати відповідь.

Задача Д.1

В задачі Д.1 розглядаються частини механізмів або машин, в яких тягар, одержавши в деякій точці (наприклад, в точці А) початкову швидкість , рухається по викривленій траєкторії АВС під дією деяких зовнішніх сил. Прикладом такого пристрою можна вважати шнек або гвинтовий конвеєр.

Для аналізу роботи подібного механізму часто необхідно дослідити рух тягаря на окремих ділянках траєкторії.

Умова задачі. Тягар D маси m, одержавши в точці А початкову швидкість , рухається по вигнутій трубі АВС, яка розташована у вертикальній площині. Частини труби або обидві похилі, або одна горизонтальна, а інша нахилена під кутом до горизонталі.

На ділянці АВ на тягар діють: сила ваги , направлена вертикально вниз; постійна сила , напрям якої показаний на рисунках Д.1.0 - Д.1.9; сила опору середовища , направлена проти руху тягаря.

У варіантах задачі третього рівня складності на ділянці АВ додатково діє сила тертя , де коефіцієнт тертя ковзання на ділянці АВ.

В точці В тягар, не змінюючи величини своєї швидкості, переходить на ділянку ВС. На цій ділянці на тягар діють: сила ваги ; змінна сила , проекція якої на вісь х задана в таблиці 1. Умови задач Д.1.0 - Д.1.9, в таблиці 2. Умови задач Д.1.0.А - Д.1.9.А і в таблиці 3. Умови задач Д.1.0.Б - Д.1.9.Б.

В задачах другого та третього рівнів складності на тягар додатково діють: сила тертя , де коефіцієнт тертя ковзання на ділянці ВС, та сила опору , направлена протилежно до руху тягаря.

Вважаючи тягар матеріальною точкою, знайти закон його руху на ділянці ВС, тобто , де .

В умовах задачі Д.1 позначено: ₁ - довжина ділянки АВ, - час руху тягаря по ділянці АВ.

Методичні вказівки. Задача Д.1 - на інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки (розв'язання основної задачі динаміки точки).

Задачу розв'язують в два етапи. Спочатку необхідно розглянути рух матеріальної точки на ділянці АВ, приклавши всі діючі сили, скласти диференціальне рівняння руху точки, розділити в ньому змінні, проінтегрувати одержане рівняння і знайти швидкість в точці В з урахуванням початкових умов:

; .

Таблиця 1. Умови задач Д.1.0 - Д.1.9 (оцінка три бали)

Номер умови	m, кг	v0, м/с	Q, Н	R1, Н	, м	t1, с	Fx, Н
0	2,4	12	6	0,8v2	1,5	-	6t
1	2	20	6	0,4v	-	2,5	2sin(4t)
2	6	14	22	0,6v2	5	-	3cos(2t)
3	4,5	18	9	0,5v	-	3	3sin(2t)
4	8	10	16	0,5v2	4	-	6sin(2t)
5	1,6	18	4	0,4v	-	2	4cos(4t)
6	4	12	12	0,8v2	2,5	-	8cos(4t)
7	1,8	24	5	0,3v	-	2	9t2
8	4,8	10	12	0,2v2	4	-	6sin(4t)
9	3	22	9	0,5v	-	3	2cos(2t)

Tаблиця 2. Умови задач Д.1.0.А - Д.1.9.А (оцінка чотири бали)

Номер умови	f2	m, кг	v0, м/с	Q, Н	R1, Н	, м	t1, с	Fx, Н
0	0,1	2,4	12	6	0,8v2	1,5	-	6t
1	0,2	2	20	6	0,4v	-	2,5	2sin(4t)
2	0,15	6	14	22	0,6v2	5	-	3cos(2t)
3	0,1	4,5	18	9	0,5v	-	3	3sin(2t)
4	0,16	8	10	16	0,5v2	4	-	6sin(2t)
5	0,2	1,6	18	4	0,4v	-	2	4cos(4t)
6	0,12	4	12	12	0,8v2	2,5	-	8cos(4t)
7	0,1	1,8	24	5	0,3v	-	2	9t2
8	0,14	4,8	10	12	0,2v2	4	-	6sin(4t)
9	0,2	3	22	9	0,5v	-	3	2cos(2t)

Tаблиця 3. Умови задач Д.1.0.Б - Д.1.9.Б (оцінка п'ять балів)

Номер умови	m, кг	v0, м/с	Q, Н	f1	f2	, м	t1, с	R1, Н	R2, Н	Fx, Н
0	2,4	12	6	0,15	0,1	1,5	-	0,8v2	0,9v	6x
1	2	20	6	0,12	0,2	-	2,5	0,4v	0,6v	2+4x
2	6	14	22	0,2	0,15	5	-	0,6v2	0,3v	6x4
3	4,5	18	9	0,22	0,1	-	3	0,5v	0,9v	1+9x
4	8	10	16	0,1	0,16	4	-	0,5v2	0,4v	24x
5	1,6	18	4	0,14	0,2	-	2	0,4v	0,8v	8x5
6	4	12	12	0,2	0,12	2,5	-	0,8v2	0,4v	8x+3
7	1,8	24	5	0,21	0,1	-	2	0,3v	0,9v	9x4
8	4,8	10	12	0,1	0,14	4	-	0,2v2	0,6v	9,6x
9	3	22	9	0,15	0,2	-	3	0,5v	0,3v	6+6x

Рисунки до задач Д.1.0-Д.1.9



Швидкість є початковою швидкістю для руху тягаря на ділянці ВС. Далі необхідно розглянути рух матеріальної точки на цій ділянці: прикласти всі діючі сили, скласти диференціальне рівняння руху точки і двічі проінтегрувати його з урахуванням початкових умов:

; .

При інтегруванні диференціальних рівнянь руху у випадках залежності сили опору від можна скористатись перетворенням:

.

За правильне розв'язання задачі Д.1 з використанням даних таблиці 1. Умови задач Д.1.0-Д.1.9 виставляється оцінка три бали; за правильне розв'язання задачі з використанням даних таблиці 2. Умови задач Д.1.0.А Д.1.9.А виставляється оцінка чотири бали; за правильне розв'язання задачі з використанням даних таблиці 3. Умови задач Д.1.0.Б - Д.1.9.Б виставляється оцінка п'ять балів.

Приклад розв'язання задачі Д.1. Перший рівень складності.

Тягар D маси кг, одержавши в точці А початкову швидкість м/c, рухається по вигнутій трубі АВС, розташованій у вертикальній площині. Частини труби нахилені до горизонту під кутами (частина АВ) і (частина ВС) (рис. 1). На ділянці АВ на тягар діють: сила ваги , задана постійна сила , величина якої Н, і сила опору середовища Н, напрямлена протилежно до руху тягаря. Довжина ділянки АВ ₁ = 5 м.

В точці В тягар, не змінюючи величини своєї швидкості, переходить на ділянку ВС. На цій ділянці на тягар діють: сила ваги і змінна сила , проекція якої H.

Рис. 1

Тягар вважати матеріальною точкою. Тертям ковзання на ділянках труби знехтувати.

Дано: кг; м/c; H; Н; H; ₁= 5 м.

Визначити: закон руху тягаря на ділянці ВС, тобто , де x = ВD.

Розв'язання. 1. Розглянемо рух тягаря на ділянці АВ, вважаючи тягар матеріальною точкою. Покажемо на рис. 1 тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили: , , , . Проводимо вісь Ау за напрямом руху тягаря і складаємо диференціальне рівняння:

; (1)

; (2)

, (3)

де Hc²/м².

Поділимо обидві частини рівняння (3) на масу m:



. (4)

Позначимо:

;

Тоді рівняння (4) приймає вигляд:

(5)

Розділимо змінні в рівнянні (5) і проінтегруємо:

;

оскільки ,то

(6)

Визначимо сталу інтегрування , враховуючи початкові умови: при м/c;

Тоді

.



Одержимо

;

;

; . (7)

В момент, коли тягар попадає в точку В, ;

9,7 м/c.

Примітка 1. Якщо < 0, то з рівняння (5) знайдемо

;

Враховуючи початкові умови ,

одержимо

.



Тоді

Примітка 2. Якщо сила опору середовища виражена формулою і заданий час руху t₁ по ділянці АВ, то диференціальне рівняння руху має вигляд

.

Далі потрібно спроектувати сили на вісь Аy, розділити змінні, проінтегрувати і знайти значення швидкості .

Наприклад, з даними задачі одержимо

;

;

Позначимо:

; .

Тоді



Розділимо змінні й проінтегруємо:

;

При ; ; , тоді і

;

;

При ; , тобто

.

2. Тепер розглянемо рух тягаря на ділянці ВС. Знайдена швидкість буде для руху по цій ділянці початковою швидкістю ().

Покажемо тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили: і (рис. 1). Проведемо вісь Вx за напрямом руху тягаря і складемо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь:

; (8)



;

(9)

Поділимо обидві частини рівняння (9) на масу :

(10)

Розділимо змінні в рівнянні (10) і проінтегруємо:

;

(11)

Врахуємо, що

,

тоді

(12)

Розділимо змінні й знову проінтегруємо:



; (13)

(14)

Для визначення сталих інтегрування С₂ і С₃ використаємо початкові умови: ; ; . Тоді, підставляючи початкові умови в рівняння (11) і (14), одержимо

; ; (15)

; ;

(16)

Рівняння руху тягаря на ділянці ВС приймає вигляд

;

Остаточно

, м.

Відповідь: , м.

Приклад розв'язання задачі Д.1. Другий рівень складності.

Тягар D маси кг, одержавши в точці А початкову швидкість м/c, рухається по вигнутій трубі АВС, розташованій у вертикальній площині. Частини труби нахилені до горизонту під кутами 30⁰ (частина АВ) і 45⁰ (частина ВС) (рис. 2).

На ділянці АВ на тягар діють: сила ваги стала сила , величина якої Н, і сила опору середовища Н. Довжина ділянки АВ м. Тертям на ділянці АВ знехтувати.

Рис. 2

В точці В тягар, не змінюючи величини своєї швидкості, переходить на ділянку ВС. На цій ділянці на тягар діють: сила ваги сила тертя (коефіцієнт тертя ковзання ) і змінна сила , проекція якої Н.

Тягар вважати матеріальною точкою.

Дано: кг; м/c; H; м;; Н; H.

Визначити: закон руху тягаря на ділянці ВС, тобто , де х =ВD.

Розв'язання. 1. Розглянемо рух тягаря на ділянці АВ. Покажемо на рис. 2 тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючи сили: , і . Проводимо вісь Аy за напрямом руху тягаря і складаємо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь у вигляді:

. (1)



Далі розв'язання задачі таке, як показано в прикладі розв'язання задачі першого рівня складності.

Одержимо м/c.

2. Тепер розглянемо рух тягаря на ділянці ВС. Знайдена швидкість буде для руху по цій ділянці початковою швидкістю (). Покажемо тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили: , і (рис. 2).

Проведемо вісь Вx за напрямом руху тягаря і складемо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь:

; (8)

.

Сила тертя

.

Тоді

(9)

Поділимо обидві частини рівняння (9) на масу :

(10)



Розділимо змінні в рівнянні (10) і проінтегруємо:

;

(11)

Врахуємо, що

,

тоді

(12)

Розділимо змінні й знову проінтегруємо:

; (13)

. (14)

Для визначення сталих інтегрування С₂ і С₃ використаємо початкові умови: ; ; . Тоді, підставляючи початкові умови в рівняння (11) і (14), одержимо

; (15)



(16)

Рівняння руху тягаря на ділянці ВС приймає вигляд

;

Остаточно одержимо

, м.

Відповідь: , м.

Приклад розв'язання задачі Д.1. Третій рівень складності.

Тягар D маси кг, одержавши в точці А початкову швидкість м/c, рухається по вигнутій трубі АВС, розташованій у вертикальній площині. Частини труби нахилені до горизонту під кутами 30⁰ (частина АВ) і 45⁰ (частина ВС) (рис. 3).

На ділянці АВ на тягар діють: сила ваги стала сила , величина якої H, сила опору середовища Н і сила тертя ковзання . Довжина ділянки АВ м.

Рис. 3



В точці В тягар, не змінюючи величини своєї швидкості, переходить на ділянку ВС. На цій ділянці на тягар діють: сила ваги сила тертя , змінна сила , проекція якої Н, та сила опору середовища Н.

Тягар вважати матеріальною точкою.

Дано: кг; м/c; H;; H; Н; м; ; Н.

Визначити: закон руху тягаря на ділянці ВС, тобто , де х =ВD.

Розв'язання. 1. Розглянемо рух тягаря на ділянці АВ. Покажемо на рис. 3 тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючи сили: ,, і . Проводимо вісь Аy за напрямом руху тягаря і складаємо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь у вигляді

; (1)

. (2)

Сила тертя ковзання

.

Тоді

; (3)

. (4)



Поділимо обидві частини рівняння (4) на :

(5)

Позначимо:

Тоді рівняння (5) приймає вигляд

(6)

Розділимо змінні в рівнянні (6) і проінтегруємо:

;

оскільки >0, то

(7)

Визначимо сталу інтегрування С₁, враховуючи початкові умови: ; м/c; .

Тоді



Одержимо

;

. (8)

При :

= 9,2 м/c.

Примітки. Див. примітки до прикладу розв'язання задачі першого рівня складності.

2. Тепер розглянемо рух тягаря на ділянці ВС. Знайдена швидкість буде для руху по цій ділянці початковою швидкістю (). Покажемо тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили: ,,і (рис. 3).

Проведемо вісь Вx за напрямом руху тягаря і складемо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь у вигляді



; (9)

. (10)

Сила тертя ковзання

.

Сила опору середовища

.

Рівняння (10) приймає вигляд

;

. (11)

Поділимо ліву і праву частини рівняння (11) на масу :

(12)

Позначимо:

; .

Тоді рівняння (12) приймає вигляд



. (13)

Загальне розв'язання такого неоднорідного диференціального рівняння

, (14)

де х₁ - розв'язання однорідного рівняння

;

х₂ - частинне розв'язання рівняння (13).

Знайдемо спочатку розв'язання х₂. Зважаючи на вигляд правої частини рівняння (13), будемо шукати розв'язання х₂ у вигляді

(15)

Для визначення сталої В знайдемо: ; .

Підставимо значення , і в рівняння (13) замість , і відповідно:

0+2n 0 k² B = b₁;

. (16)

Для визначення вигляду розв'язання х₁ складемо характеристичне рівняння:



. (17)

Розв'яжемо це квадратне рівняння: його дискримінант

;

корені квадратного рівняння

.

Тоді

. (18)

Загальне розв'язання

. (19)

Для визначення сталих інтегрування С₁ і С₂ визначимо ще

(20)

При ; тоді



; (21)

;

. (22)

Визначимо

; с^-1;

c^-1;

м/с²;

м; с^-1.

Запишемо систему рівнянь (21) і (22) у вигляді

Розв'яжемо систему рівнянь:



м;

м.

Остаточно одержимо рівняння руху тягаря на ділянці ВС у вигляді

або

, м.

Відповідь: , м.

динаміка тертя ковзання сила

Размещено на Allbest.ru

...