Аналитическое численное решение плоской контактной задачи с учетом ползучести материала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналитическое численное решение плоской контактной задачи с учетом ползучести материала

А.М. Филипов

ВолгГАСУ, Волгоград

Аннотация: в статье рассмотрено решение с практически значимой точностью интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода для плоской контактной задачи, учитывающей старение и ползучесть материала. Полученное решение ориентировано на использование доступных программных вычислительных средств.

Ключевые слова: решение плоской контактной задачи, численное решение, учет ползучести материала.

контактный старение ползучесть интегральный

Не редко в инженерной и научной практике возникает необходимость в выполнении анализа контактного взаимодействия двух тел [1,2] с учетом учет старения и ползучести материала.

Данная задача может быть решена аналитически [3,4], однако при этом возникает необходимость в решении интегральных или интегрально-дифференциальных уравнений. Одно из таких решений описано в работах [5,6].

Стоит так же отметить, что аналитическое решение обладает избыточной точностью получаемого результата. Так, например, при анализе контактного взаимодействия стального каната 15К7 (штампа) с бетонным каналообразователем (основанием), основываясь на технических требованиях по точности их изготовления и характеристиках материалов, нет смысла в получении результата, многократно превышающего возможные геометрические отклонения.

Общий вид уравнений описывающих состояния тела на основании [6,7] имеют вид:

, (1)

где ф_i^*(y) - момент изготовления элемента, характеризуемого вертикальной координатой y, ф₀ - момент приложения штампа, t - время приложения нагрузки, x - горизонтальная координата рассматриваемого пространства, К₁ и К₂ - ядра ползучести, е_ij, у_ij - компоненты тензоров деформаций и напряжений, e_ij и s_ij - девиаторные компоненты тензоров деформаций и напряжений, E и G - упругомгновенные модули деформации при сжатии и чистом сдвиге, ж - функция неоднородного старения.

С учетом независимости от времени к-нта Пуассона и деформации ползучести и упруго-мгновенной деформации материала итоговое уравнение, полученное из уравнений (1), имеет вид:

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

Функция g(x) - функция учета формы штампа.

Уравнение (2) совместно с (3)-(5) является уравнением Вольтера 2-го рода. Его можно решить описанным в [8] способом, а можно воспользоваться доступным математическим программным комплексом (далее ПК), получив решение с некоторой несоизмеримо малой погрешностью. Этот способ решения основан на замене подынтегральной функции k(s). Рассмотрим его более подробно.

Функции (4) и (5) после подстановки имеют вид

, (6)

Согласно [9] данный интеграл не имеет первообразной. Однако, уравнение (6) можно записать в виде:

, (7)

При выполнении операций с плавающей точкой на ПК точность вычислений определяется [10], соответственно, при выполнении операций сложения и вычитания над числами, значения которых различаются на порядок используемой точности представления числа, наименьшее из чисел будет проигнорировано [11]. В таком случае при достижении определенного значения переменной u, с учетом 15 знаков в дробной части для двойной точности вычислений, выражение (7) будет эквивалентно:

, (8)

а при дальнейшем увеличении:

, (9)

Соответственно выражение (6) можно представить как

, (10)

где i₁, i₂ и i-₃ - границы интервалов для подынтегральных функций, далее которых абсолютная разность в значениях функций не превышает требуемую величину.

И, соответственно, интервалы (с округлением в большую сторону) i₁=10.00, i₂=21.00 и i-₃=10⁵. Интервал i₃ - «условная бесконечность». Поведение функции k(s) при этом будет иметь вид (см. рис.1). Как видно из предоставленного графика, при ожидаемых значениях u в интервале 0,00…0,05, т.е. при анализе материалов, обладающих заметной прочностью, условную бесконечность можно принять в интервале 5 000…10 000 без заметной потери точности.

Рис. 1. - График зависимости функции k(s) на интервале 0,0…0,05 от значения условной бесконечности.

Литература

Бескопыльный  А.Н., Веремеенко А.А. Задача о статическом внедрении конического индентора в область с радиальными начальными напряжениями // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 (часть 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1368

Чмшкян А.В. Взаимодействие конического штампа с неоднородным основанием // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 (часть 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1391

Fischer-Cripps, A.C., 2007. Introduction to Contact Mechanics. Springer-Verlag US, pp: 248.

Wriggers, P. and T.A. Laursen, 2008. Computational Contact Mechanics. Springer, pp: 248.

Александров В. М., Чебаков М. И. Введение в механику контактных взаимодействий. Ростов-на-Дону: ООО "ЦВВР", 2007. 116 с.

Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: Изд-во АН Армянской ССР Институт механики, 1990. 318 с.

Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. M.: Наука, 1991. 326 с.

Александров В. М., Чебаков М. И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004. 302 с.

Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов и произведений. 7 изд. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 1232 с.

IEEE -754-2008 Standard for Floating-Point Arithmetic. pp.1-70, 2008.

Бартеньев О. В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. В 3-х ч. Часть 1. М.: Диалог-МИФИ, 2013. 316 с.

References

Beskopyl'nyy A.N., Veremeenko A.A. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1368

Chmshkyan A.V. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1391

Fischer-Cripps, A.C., 2007. Introduction to Contact Mechanics. Springer-Verlag US, pp: 248.

Wriggers, P. and T.A. Laursen, 2008. Computational Contact Mechanics. Springer, pp: 248.

Aleksandrov V. M., Chebakov M. I. Vvedenie v mekhaniku kontaktnykh vzaimodeystviy [Introduction to contact mechanics]. Rostov-na-Donu: OOO "TsVVR", 2007. 116 p.

Arutyunyan N.Kh., Manzhirov A.V. Kontaktnye zadachi teorii polzuchesti [Contact problems of the theory of creep]. Erevan: Izd-vo AN Armyanskoy SSR Institut mekhaniki, 1990. 318 p.

Arutyunyan N.Kh., Manzhirov A.V., Naumov V.E. Kontaktnye zadachi mekhaniki rastushchikh tel [Contact problems of the mechanics of growing bodies]. M.: Nauka, 1991. 326 p.

Aleksandrov V. M., Chebakov M. I. Analiticheskie metody v kontaktnykh zadachakh teorii uprugosti [The analytical methods in contact problems of the theory of elasticity]. M.: Fizmatlit, 2004. 302 p.

Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, ryadov i proizvedeniy 7 izd [Tables of integrals, Series and Products. Seventh Edition]. . SPb.: BKhV-Peterburg, 2011. 1232 p.

IEEE - 754-2008 Standard for Floating-Point Arithmetic. pp.1-70, 2008

Barten'ev O. V. Fortran dlya professionalov. Matematicheskaya biblioteka IMSL. V 3-kh ch. Chast' 1 [Fortran for professionals. Mathematical Library IMSL. In 3's parts. Part 1]. M.: Dialog-MIFI, 2013. 316 p.

Размещено на Allbest.ru