Примеры канонических преобразований. Примеры канонических преобразований для доказательства теорем в теоретической механике

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Брестский государственный университет имени А. С. Пушкина»

Реферат на тему:

Примеры канонических преобразований. Примеры канонических преобразований для доказательства теорем в теоретической механике

Саливончи Леонид Леонидович , выпускник 2016 года

Секержицкий Владимир Станиславович,

заведующий кафедрой теоретической физики

и астрономии, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Брест 2013



Введение

Пусть движение материальной системы с n степенями свободы описывается каноническими уравнениями

где H = H(q1,q2,...,qn,p1,p1,...,pn,t) -- функция Гамильтона. При анализе и интегрировании дифференциальных уравнений (1.1), как и всяких других, очень важен удачный выбор переменных. Например, ес- ли для задания движения материальной точки в центральном поле сил в плоскости Oxy выбраны полярные координаты r,?, то угол ? будет цик- лической координатой и порядок системы дифференциальных уравнений движения может быть понижен на две единицы. А если рассматривать движение в декартовых координатах x,y, то циклической координаты не будет. Уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. Выбор обобщенных координат q1,q2,...,qn в этих уравнениях весьма произ- волен. Но нет общего метода упрощения уравнений Лагранжа за счет того или иного выбора обобщенных координат. При переходе от уравнений Лагранжа к каноническим уравнениям Га-мильтона дополнительно к координатам q1,q2,...,qn вводятся обобщенные импульсы p1,p2,...,pn и тем самым количество переменных удваивается. Величины q1,q2,...,qn,p1,p2,...,pn -- координаты в 2n - мерном фазовом пространстве. При этом ни одна из совокупностей q1,q2,...,qn и p1,p2,...,pn не является более существенной, чем другая. В гамильтоновой динамике они равноправны. Для иллюстрации только что сказанного рассмотрим систему с одной степенью свободы (n = 1), описываемую уравнениями



Сделаем в этих уравнениях замену переменных q = ?P ,p = Q. Легко проверить, что в новых переменных Q,P движение описывается канониче-скими уравнениями вида

Уравнения (1.3) по форме не отличаются от уравнений (1.2). Но в этих уравнениях Q -- координата (в (1.2) это был импульс), P -- импульс (а была координата, взятая с обратным знаком). Как видим при замене переменных первоначальный физический смысл названий "координата" и "импульс" потерялся. По отмеченной причине и по ряду других причин переменные q1,q2,...,qn и p1,p2,...,pn часто называют канонически сопряженными или просто со-пряженными переменными. Упомянутое удвоение числа независимых переменных расширяет мно-жество возможных преобразований, что является одним из преимуществ гамильтоновой механики перед лагранжевой. Равноправность переменных q1,q2,...,qn и p1,p2,...,pn дает большую свободу для выбора "координат"и "импульсов".



Канонические преобразования

Канонические преобразования переменных - это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом:

Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований. Заметим, что если частная производная будет браться по "малым" , то будем получать малое , если же по "большим" , то и получать будем соответственно .

Функция Гамильтона-Якоби

При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса:

Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби:

Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: .

Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби , находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией sкоординат, времени, и s+1 постоянных (s - число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид:

Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь sконстант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.

Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом уравнения Г.-Я. и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции.

Константы  будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые координаты



тоже будут константы, поскольку

Выражая из уравнения координаты  в виде функций от , мы и получим закон движения:

Решение задачи на нахождение зависимости существенно упрощается в случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом  и не связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических переменных.

Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему:

1. составить функцию Гамильтона;

2. записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются;

3. Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла ;

4. Составить систему s уравнений, и получить закон движения ;

5. По необходимости найти закон изменения импульсов: . Для чего продифференцировать полный интеграл по координатам , а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4.

(4). Как известно, замена функции Лагранжа  на 

,

 где  - произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа. Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его производящую функцию.

Решение:

Перепишем штрихованную функцию Лагранжа, представив полную производную функции  через частные:

Функции Гамильтона, соответствующие штрихованной и не штрихованной функциям Лагранжа, определяются следующим образом:

Распишем , используя представление штрихованной функции Лагранжа :

Подставляя формулы и в выражение для штрихованной функции Гамильтона , получим:

Взаимно сократив второе слагаемое с последним, учитывая зависимость , получим:

Или

Но согласно каноническим преобразованием с производящей функцией Ф:

Следовательно, 

Полученное соотношение определяет условие на временную часть производящей функции канонического преобразования, соответствующего преобразованию функции Лагранжа .

Поскольку вид обобщенных импульсов и координат при преобразовании функции Лагранжа не изменился, координатно-импульсная часть производящей функции должна соответствовать тождественному каноническому преобразованию. Как было показано в задаче №9.32 [3] (д/з пред.занятия), производящая функция определяющая тождественное каноническое преобразование с неизменным гамильтонианом, имеет вид:

Учитывая условие на временную часть производящей функции, окончательно получим:

Полученная производящая функция определяет тождественное каноническое преобразование с заменой функции Гамильтона соответствующей замене функции Лагранжа .



Пример

Задача. Система, состоящая из двух шариков массами , соединенных невесомой пружиной, расположенной вертикально, начинает двигаться в поле сил тяжести. Длина пружины - . Произвести каноническое преобразование и записать новую функцию Гамильтона, соответствующие производящей функции

.

Решение:

Составим функцию Гамильтона системы:

Здесь потенциальная энергия состоит из энергии гармонических колебаний и потенциальной энергии шариков в поле сил земного тяготения. По определению потенциального поля:

Мы имеем дело с одномерным движением, поэтому градиент в формуле заменяется производной по х. В то же время сила, является суммарной силой тяжести. Принимая во внимание принцип суперпозиции гравитационного поля, проинтегрируем последнее уравнение:

Значение смещения пружины  от положения равновесия будет определяться следующим образом:

Подставив выражения и в формулу , получим вид функции Гамильтона, выраженной через импульсы и координаты явно:

Переход к новым каноническим переменным производится в случае, когда возможно упростить вид функции Гамильтона, а соответственно и исходящих из нее уравнений движения.

В данной ситуации удобно выбрать новые координаты так, чтобы одна описывала движение центра масс системы, а вторая колебания пружины в собственной системе отсчета. Убедимся, что заданная в условии производящая функция отвечает именно такому преобразованию.

Новая координата  совпадает со значением смещения пружины от положения равновесия.

Новая координата  совпадает со значением положения центра масс системы.

Сложив оба уравнения, получим:

Соответственно

,

где

,

- приведенная масса.

Запишем функцию Гамильтона в новых переменных:

,

где

,

- суммарная масса системы.

Действительно, функция Гамильтона в новых переменных распалась на две части, что соответствует двум парам канонических уравнений. Одна часть описывает колебания шариков в собственной системе отсчета, другая - движение системы как целого в поле сил тяжести.

Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. и закон свободного движения материальной точки.

Решение:

1. Составим функцию Гамильтона свободной частицы:

переменная интеграл уравнение функция гамильтон

2. Запишем уравнение Г.-Я.:

3. Произведем разделение переменных и проинтегрируем по времени.

Используем начальное условие:

Тогда подставляя вид функции S в уравнение Г.-Я. , последнее примет вид:

Откуда

Следовательно, полный интеграл уравнения Г.-Я.:

4. Закон движения определяется из канонического преобразования:

Откуда сам закон движения:

5. Импульс свободно движущейся материальной точки определяется следующим образом:

Действительно, частица в отсутствии внешнего поля движется с постоянным импульсом.



Литература

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.: «Наука», 1969 г., - 272 с.

2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с.

3. И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.

4. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.

5. И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1986 г., - 448 с.

6. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с.

Размещено на Allbest.ru

...