Пружні хвилі та їх характеристики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Пружні хвилі та їх характеристики

пружний хвиля доплер дисперсія

Уявіть собі осцилююче матеріальне тіло, яке занурене у пружне середовище (тверде, рідке або газоподібне). Таке тіло під час коливань буде впливати на прилягаючі до нього частинки середовища (які взаємодіють поміж собою), тим самим викликаючи коливальний рух цих частинок. При цьому коливання чим дальших «захоплених» частинок будуть дещо відставати по фазі від, тих, що почали коливатися раніше. На це є дуже важлива причина: передача коливань від точки до точки завжди здійснюється із кінцевою швидкістю, яка характерна для даного середовища. Причому швидкість руху кожної осцилюючої точки безперервно змінюється за величиною і залежить від амплітуди, частоти і фази коливань. Отже, осцилятор у пружному середовищі є джерелом коливань, які розповсюджуються від нього у всіх напрямках. Процес розповсюдження механічних коливаньупружному середовищі називається пружною або механічною хвилею. Частинки середовища, в якому розповсюджуєтьсяхвиля, не переносяться у просторі разом з хвилею, вони лише здійснюють обмежені за амплітудою коливання коло своїх положень рівноваги.

Перед тим як почати розгляд хвильових процесів, ми повинні змоделювати процес:

· Під час вивчення закономірностей розповсюдження механічних коливань в газах, рідинах та твердих тілах не ми враховуватимемо молекулярної будови цих тіл і розглядатиме їх як суцільне середовище, неперервно розподілене у просторі.

· Під частинкою середовища, що здійснює вимушені коливання, розумітиме малий елемент його об'єму, розміри якого набагато разів більше міжмолекулярних відстаней, так, що в ньому міститься дуже велика кількість молекул.

· Вважатимемо, що хвилі розповсюджуються із такими малими зміщеннями осциляторів (як у випадку малих коливань), аби виникаючі деформації середовища можна було б в першому наближенні вважати пружними, тобто такими, які підкоряються закону Гука, і, відповідно принципу суперпозиції. У відповідності до закону Гука, пружні деформації прямо пропорційні зовнішнім діям, що їх викликали, т.т. залежать від них лінійно.

Газу, на відміну від решти середовищ, притаманна об'ємна пружність, тобто здатність створювати опір змнін його об'єму. Ця властивість газу обумовлена рухом його молекул і виявляється у зміні тиску газу р при зміні його об'єму. За законом Гука для об'ємної деформації, зміна тиску газу dpпри малій зміні його об'єму dVпрямо пропорційна відносній об'ємній деформації:

dp=-K,

де К - модуль об'ємної пружності газу. Теорія пружності твердих тіл пригадайте за матеріалами лекції 9. Пружність рідин обумовлена силами міжмолекулярної взаємодії. Однак, внаслідок того, що середній час T₀оседлого існування, молекул рідини дуже мала, рідини, подібно газам, мають тільки об'ємну пружність. Вони виявляють пружність форми по відношенню до змінних деформацій надвисокої частоти, період яких менше або порядку T₀. Сказане вище, стосується того, що коливання тиску та густини у газоподібному або рідкому середовищі під час розповсюдження в ній хвилі, відбуваються по гармонічному закону з частотою, яка дорівнює частоті хвилі.

· Вважатимемо хвилі гармонічними, а більш складні хвилі представлятимемосукупністю, цих простіших.

· Вважатимемо, що швидкість розповсюдження хвиль не залежить від частоти коливань (це припущення справедливе лише для непоглинаючих ідеально прозорих, пружних середовищ).

Розглянемо таке середовище, в якому при зміщення будь-якої частинки від положення рівноваги виникають пружні сили, пропорційні величині зміщення, і спрямовані проти зміщення частинки. Такі сили повертають частинку до положення рівноваги. Моделями такого середовища (у двох вимірах) можуть бути сукупності осциляторів на пружинках, зображені на рис. 29.1. Як видно з рисунків, коливання частинок середовища може співпадати з напрямом розповсюдження хвилі, як на рис. 29.1а, де хвиля розповсюджується уздовж горизонтальної осі Ох, і уздовж тої ж осі відбуваються коливання осциляторів. Тому в середовищі виникають області згущення (підвищеної густини) та розрідження (меншої густини), тобто як густина так і тис в такому випадку є функціями як часу так і координат:, абота. Можна такожвважати, що в пружному середовищу на рис. 10а виникають деформації розтягу-стискання. Отже, хвилі, в яких коливання відбуваються вздовж лінії розповсюдження мають назву поздовжніх хвиль.

На рис. напрям коливань осциляторів (вертикальна вісь Оy) і. напрям розповсюдження хвилі (горизонтальна вісь Ох) є взаємно нормальними (взаємно перпендикулярними). У пружному середовищі на рис. 29.16 під час розповсюдження хвилі відбуваються деформації зсуву. Отже, хвилі, в яких коливання відбуваються в напрямку, перпендикулярному розповсюдженню, називатимемо поперечними хвилями.

У поперечних хвилях частинки середовища можуть одночасно гармонічно коливатися з частотою хвилі вздовж двох взаємно перпендикулярних напрямках, кожен з яких є перпендикулярним напрямку розповсюдження хвилі. В залежності від характеру поляризації результуючих коливань розрізняють типи поляризації, про які йшлося під час 28 лекції.

Як у випадку поздовжньої пружної хвилі, так і у випадку поперечної пружної хвилі, кожен осцилятор коливається навколо власного положення рівноваги і переносу маси (або частинок, як вже зазначалось вище) хвилею невідбувається. Проте, перенос енергії та імпульсу у хвилі, навпаки, має місце завжди. Однак, деякий перенос речовини може відбуватися при розповсюдженні в середовищі сильних збурень (наприклад, ударних хвиль, які виникають від час вибуху), коли коливання частинок середовища стають нелінійними.

У газах та рідинах поперечні пружні хвилі неможливі, оскільки відсутній опір атомів відносно деформації зсуву. Іншими словами, модуль зсуву для газів та рідин дорівнює нулю. Тому в цих середовищах можливі лише поздовжні пружні хвилі, тобто хвилі стискання-розрідження. як на рис.

У твердих тілах, де можливі як деформації розтягнення-стискання, так і деформації зсуву, можна спостерігати як поздовжні, так і поперечні пружні хвилі.

В рідинах спостерігаються так звані поверхневі хвилі, які розповсюджуються вздовж вільної поверхні рідини (або поверхні розділу двох рідин, що не змішуються), як збурення цієї поверхні внаслідок зовнішнього впливу. В утворенні та розповсюдженні ЦИХ хвиль важливу роль відіграють сили поверхневого натягу та тяжіння. В поверхневих хвилях частинки рідини одночасно беруть участь як в поперечних так і в поздовжніх коливаннях і описують при цьому еліптичні або більш складні траєкторії.

Розповсюдження у пружному середовищі механічних збурень, які викликані джерелом хвиль, пов'язане із переносом хвилями енергії, отримало назву біжучих хвиль.

Введемо ще декілька понять, за допомогою яких описується хвильовий процес. Розповсюдження від джерела коливань хвильового процесу супроводжується поступовим охопленням коливаннями нових частин простору. Геометричне місце точок, до яких доходять коливання на момент часу tмає назву фронту хвилі (або хвильового фронту): представляє собою поверхню, яка відділяє частину простору, яка вже приймає участь у хвильовому процесі, від області, де коливання ще не виникли. Геометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі називається хвильовою поверхнею. Хвильові поверхні завжди лишаються рухомими, а хвильовий фронт є частковим випадком хвильової поверхні [10, с 390]. Хвильові поверхні можуть мати будь-яку форму. У простіших випадках (ізотропного, однорідного середовища) вони можуть мати форму площини або сфери. Відповідно й хвиля має назву або плоскої або сферичної.

На рис. ви бачите криву яка демонструє залежність зміщеннявід положення рівноваги точок з різними X в деякий момент часу. Зауважимо, що це зображення графіку залежності функціїдля певного фіксованого моменту часу t. Але насправді з часом графік переміщається вздовж осі X.



2.Рівняння хвилі

Рівнянням хвилі є вираз, який описує зміщення осцилятора як функцію її координат X, у, Zта часу t:

,

ця функція повинна бути періодичною як відносно часу tтак і відносно координат X, у, Z. Для знаходження вигляду функціїрозглянемо простий випадок: плоска хвиля, яка розповсюджується вздовж осі X (рис. 29.3). Гармонічні коливання точок в площині X = 0 задовольняють рівнянню:

Для визначення виду коливань точок в площині, яка знаходиться на відстані X від збуджуючого осцилятора (джерела хвилі), необхідно врахувати, що хвилі із швидкістю ? на подолання цієї відстані у нашому пружному середовищі потрібен певний час T:



нагадаємо, що швидкість хвилі ? це щось інше, ніж швидкість коливань кожного осцилятора. Відповідно й коливання точок в площині на відстані X будуть відставати за часом на T від коливань в площині X = 0:

Отже, рівняння плоскої хвилі (повздовжньої, поперечної), яка розповсюджується у напрямку осі X має вигляд (29.56). Нагадаємо, що А - амплітудахвилі. Початкова фаза хвилі визначається вибором початку відліку як часу tтак і положення X.

Під знаком косинуса у (29.56) - фаза хвилі - функція X і t:

Зафіксуємо значення фази jі покладемо її рівною деякої константі, початкову фазу вважатимемо рівною нулю j₀= 0:

Права частина рівняння мусить бути константою, тоді як ліва явно залежить від часу. Для компенсації цієї явної залежності координата повинна залежати від часу, причому не просто залежати, а лінійно залежати, аби ліва частина (29.7) також була б константою, як і права. Виконавши певні перетворення з рівнянням (29.7), отримаємо вираз



.

Обравши в правій частині константу, що дорівнює нулю, отримаємо з такого простого міркування, що, звідки:(29.8)

Отже, вираз (29.8) дає швидкість, з якою переміщується дане значення фази. Відповідно швидкість розповсюдження хвилі ? є швидкістю переміщення фази, тому її називатимемофазовою швидкістю. Якщо, хвиля розповсюджується в бік зростання X. Хвиля, якарозповсюджується у протилежному напрямку буде описуватися рівнянням:

Вираз (29.56) описує хвилю, яка відстає від (29.3) по фазі на величину , де через kпозначене так зване хвильове число:

Рівняння плоскої хвилі, яка розповсюджується вздовж осі X прийме наступний вигляд:

Хвильове число kє модулем так званого хвильового вектора, який визначає напрямок розповсюдження хвилі, де - вектор нормалі до хвильової поверхні.

При виведенні рівняння плоскої хвилі (29.11) ми вважали, що амплітуда коливань не залежить від X. Для хвиль таке спостережуться у випадку, коли енергія хвилі не поглинаєтьсясередовищем. Розповсюдження хвилі у середовищі, яке поглинає енергію хвилі, супроводжується поступовим зменшенням інтенсивності хвилі при віддаленні від джерела коливань - відбувається згасання хвилі. Дослідним шляхом було підтверджено, що в однорідному середовищі затухання відбувається за експоненційним законом:

Відповідно й рівняння плоскої згасаючої хвиліматиме такий вид:

Однак є випадки, коли хвиля не згасає і не поглинається середовищем, зберігає свої розміри і форму. Такі хвилі отримали назву солітонів.

Будь-яке реальне джерело хвиль має певні розміри. Якщо ми обмежимося розглядом хвилі на відстанях, які є набагато більшими за розміри джерела хвилі, то таке джерело можна вважати точковим. А хвильова поверхня, яка розповсюджується від точкового джерела у ізотропному однорідному середовищі буде мати сферичну симетрію. Детальніше про отримання рівняння сферичної хвилі читайте у [5, с. 279]. Ми лише наведемо вираз для рівняння сферичної хвилі:

де r - радіус хвильової поверхні. Зверніть увагу, якщо r>0, амплітуда у (29.14) прямуватиме до нескінченності оо. Цей цікавий, але фізично абсурдний результат можна пояснити непридатністю рівняння (29.14) для опису сферичної хвилі при малих r.

Рівняння будь-якої хвилі є рішенням диференційного рівняння, яке має назву хвильового рівняння [5, с. 281]:

Ви самі можете переконатись, уважно придивившись, що. рівняння плоскої хвилі (29.11), яка розповсюджується у напрямі X, є частковим рішенням рівняння (29.16).

3. Хвилі у різних середовищах

При розповсюдження хвилі у пружному середовищі (наприклад, у твердому тілі) зміщення сусідніх точок в один і той же момент часу будуть дещо різними. Відповідно до цього й тверде осцилююче тіло безперервно змінює свою форму - воно деформується. У випадку повздовжніх хвиль матиме місце деформація розтягу-стиску. При проходженні поперечних хвиль в середовищі розповсюджується періодично осцилююча за величиною деформація зсуву. Якщо, наприклад, здійснити деформацію (стиснути, розтягнути або зсунути один відносно одного) певні елементи пружного тіла, то деформація буде розповсюджуватися у тілі із певною швидкістю. Приклади розповсюдження деформації по твердому стрижню, після того як по його торцю вдарили молотком (повздовжні хвилі), або після зсуву одного з його кінців (поперечні хвилі), описані у [7, с. 301].

Вивчення швидкості розповсюдження повздовжніх та поперечних хвиль у різних пружних середовищах дає можливість зробити висновки про природу речовини, через яку розповсюджуються хвилі. Цей принцип покладено в основу сейсмічних методів геологічної розвідки. По швидкості розповсюдження повздовжніх та поперечних хвиль деформації по земній корі від місця землетрусу можна встановити положення епіцентру. А завдяки тому, що повздовжні хвилі «бігають» у земній корі швидше за поперечні приблизно в 1,4 рази, сейсмічні прилади двічі фіксують поштовх.

Пружні властивості і густина твердих тіл і рідин залежать від їх хімічного складу і мало змінюються при різних тисках і температурах. Відповідно в першому наближенні можнавважати, що швидкість пружних хвиль в кожному з цих середовищ постійна. Інша картина спостерігається в газах: швидкість розповсюдження пружних хвиль в газах залежить від їх частоти. Це явище отримало назву дисперсії хвиль.

Детально про отримання виразу для швидкості розповсюдження повздовжньої та поперечної хвилі у твердому пружному середовищі ви можете дізнатися самостійно з [5, с. 283].

Фазова швидкість повздовжніх хвильу пружному твердому середовищі (звернемо увагу, при умові малих деформацій) залежить від модуля Юнга Е речовини та її густини р:

?_{повздовжних}=

Наприклад, швидкість розповсюдження повздовжніх хвиль у металах складає приблизно 45'00-5000 м/с, а у воді лише - 1500 м/с. Непружні поверхневі хвилі на воді розповсюджуються із швидкістю приблизно в 0,1 м/с.

Швидкість розповсюдження поперечних хвильу пружному твердому середовищі залежить від модулю зсуву Gречовини, та також від її густини р:



?_{поперечних}

Модуль зсуву G <Езавжди менший від модуля Юнга, ось чому швидкість поздовжніх хвиль завжди вища від швидкості поперечних. Для ізотропних твердих тіл вважається, щоG?, отже швидкість поперечних пружних хвиль в таких тілах складає лише трохи менше ніж дві третини) від швидкості поздовжніх хвиль.

В рідинах та газахG=0, отже швидкість поперечних хвиль дорівнює нулю. Тобто такі хвилі в рідинах та газах не можуть існувати. Щодо швидкості поздовжніх хвиль розширення та згущення (звукових) у газах, то її можна визначити за формулою Лапласа:

?_{поперечних}=

дег= коефіцієнт Пуассона для газу (і-кількість ступенів свободи, для повітряприі=2коефіцієнт Пуасона дорівнює 1,4, Т-абсолютна температура, µ - молярнамаса газу, R= 8,314*10³Дж/К - універсальна газова стала. Швидкість розповсюдження звукових хвиль у повітрі складає 330-360 м/с. Дослідами встановлено, що швидкість звуку, тобто чутних звукових хвиль, в газах практично не залежить від частоти і визначається формулою (29.20).

4. Енергія пружної хвилі. Вектор умова

Якщо ми подумки виділимо у середовищі елементарний об'єм ?V, достатньо малий, аби вважати швидкість руху і деформацію у всіх точках об'єму однаковими (а проте достатньо великий порівняно з атомними масштабами, аби можна було б нехтувати дискретністю речовини), то такий елементарний об'єм масою m=р?V, який рухається із швидкістюмає кінетичну енергію:

Об'єм ?V має також потенціальну енергіювнаслідок пружної деформації:

де - відносна деформація (наприклад, подовження). Замінимо в (29.23) модуль Юнга через величини формули (29.17), вираз для потенціальної енергії об'єму:

Повна енергія об'єму ?V середовища по якому розповсюджується плоска хвиля із швидкістю ? дорівнюватиме:



Розділивши (29.25) на ?V отримаємо густину енергії:

Середнє значення густини енергії за часом дорівнюватиме [5, с. 285-286]:

де

Кількість енергії, яку переносить хвиля через деяку поверхню в одиницю часу має назву потоку енергії через цю поверхню:

Нагадаємо, що потік енергії вимірюється у ваттах. Але потік енергії в різних точках середовища може мати різні значення (наприклад, для випадку анізотропного неоднорідного середовища). Для характеристики течії енергії в різних точках простору введемо векторну енергетичну величину - густину потоку енергії: вона чисельно дорівнює потоку енергії через одиничну площадку в даній точці простору, яка є перпендикулярною до напрямку, в якому переноситься енергія. Напрямок вектора густини енергії співпадає із напрямком переносу енергії:



Нехай густина енергії Wу всіх точках досліджуваного простору є однаковою. Тоді зміну повної енергії хвилі ?Wза час ?tїї розповсюдження через площадку ?S_± із швидкістю ? можна знайти як:

Підставивши (29.30) у (29.29) отримаємо:

Вважатимемо, що модуль вектора дорівнює фазовій швидкості хвилі, а напрямок співпадає із напрямком розповсюдження хвилі (відповідно, й переносу енергії), отже:

Вираз (29.32) для вектора густини енергії вперше ввів російський фізики Н.А. Умов, тому він отримав назву вектора Умова.

Відповідно інтенсивністю хвилі (або густиною потоку енергії, або потоком потужності) в даній точці називатимемо середнє за часом значення густини енергії (середнє значення вектора Умова (29.32)), яку переносить хвиля і вона є енергетичною характеристикою хвилі:

Також читайте [8, с. 211-214].

Звуковими або акустичними хвилями є пружні хвилі малої інтенсивності, тобто слабкі механічні збурення, які розповсюджуються у пружному середовищі.

Якщо пружні хвилі, що розповсюджуються у повітрі, мають частоту в межах від 16 до 20000 Гц, то, сягнувши вуха людини, є чутними, тобто вони викликають відчуття звуку. У відповідності з цим пружні хвилі у будь-якому середовищі, частоти яких лежать у зазначеному вище проміжку, мають назву звукових хвиль або просто звуку. Пружні хвилі з частотами меншими ніж 16 Гц називатимемо інфразвуком; хвилі, частоти ти яких перевищують 2 0000 Гц називатимемо ультразвуком. Інфра- та ультразвуки вухо людини сприймати не може.

Звуки, які сприймає людина, поділяють за висотою, тембром та гучністю. Кожній з цих суб'єктивних оцінок відповідає певна фізична характеристика звукової хвилі.

Під інтенсивністю звука І надалі будемо розуміти середнє за часом значення густини потоку енергії, яку несе звукова хвиля [5, с. 293].

Рівень гучності визначається як логарифм відношення інтенсивності даного звука І до інтенсивності І₀, яку прийнято за початкову (доречи, її приймають рівною 10^-12 Вт/м², що відповідає при частоті в 1000 Гц нульовому рівню гучності):

Одиницею вимірювання гучності є бел (Б), але користуються завжди одиницею, яка в 10 разів менша - децибелом (дБ), отже:

Згасання в 20 дБ буде значити, що інтенсивність хвилі зменшилася в 100 разів.

Будь-який реальний звук - це не просте гармонічне коливання, а накладання гармонічних коливань з певним набором частот. Набір частот коливань. які присутні в даному звуку мають назву акустичного спектру. Якщо в звуку присутні коливання всіх частот в деякому інтервалі частот, то спектр має назву суцільного (безперервного). Такий спектр мають шуми. Але якщо звук складається з коливань дискретних частот (тобто частот із строго певним значенням), то спектр називатимемо лінійчатим. Коливання з лінійчатим спектром викликають відчуття звуку з більш менш певною висотою. Такий звук має назву тонального. Відповідно гармонічне коливання певної частоти сприймається нами як певний музикальний тон. Висота тонального звуку визначається основною (найменшою) частотою. Малі частоти коливань викликають відчуття так званого низького тону (бас, баритон). Більші частоти викликають відчуття звуку високого тону (сопрано, дискант).

Відносна інтенсивність обертонів (тобто коливань з певними частотами) визначає тембр звуку. Різний спектральний склад звуків, які викликають коливання різних музикальних пристроїв, дозволяють нам на слух відрізнити, наприклад флейту від скрипки або рояля.

Енергія, яку несуть із собою звукові хвилі дуже мала. Наприклад, якщо покласти, що стакан із водою повністю поглинає всю падаючу на нього енергію звукової хвилі з рівнем гучності в 70 дБ (в цьому випадку кількість поглиненої в секунду енергії буде

складати приблизно 2*10^-7 Вт), то для нагрівання цієї води від кімнатної температури до кипіння знадобиться понад десяти тисяч років.

Ультразвукові хвилі найшли застосування для локації у воді (виявлення предметів та визначення відстані до них). Вперше ідею ультразвукової локації запропонував французький фізик П. Ланжевен і вона була використання для виявлення підводних човнів під час ВВВ. Ехолотом визначають час розповсюдження ультразвукової хвилі від джерела до дна водойму та знов до джерела, і в такий спосіб визнають глибини та описують рельєф морського дна. Саме ультразвукові хвилі дозволяють так добре орієнтуватися у ночі летучим мишам. Ультразвуки з частотами 10⁹ - 10¹⁴ Гц отримують електромеханічними джерелами, які поділяють на два типи: електрострикцій ні та магнітострикційні. Отже, саме за допомогою вже знайомих вам кристалів кварцу, турмаліну, сегентової солі (які під дією електричного поля змінюють свої розміри - явище електрострикції) можна отримати коливання таких високих частот. Ультразвукові промені використовуються також в дефектоскопії для виявлення внутрішніх дефектів у виробах з металу. Детальніше читайте в [б, с. 208].

Коливання з частотами меншими за 16 Гц (інфразвуки) також знайшли практичного застосування. Одним з прикладів є виявлений В.В. Шулейкіним так званий «голос моря» [6, с. 207; 7, с. 336]. Шторм на морі створює довгі звукові хвилі із низькою частотою (8-13 Гц). Швидкість вітру та рух шторму порядку 20-30 м/с, швидкість звуку як в повітрі так і в воді значно більша. Тому інфразвуковий дуже низький «голос моря» випереджає шторм та «повідомляє» про його наближення. Деякі морські тварини можуть сприймати звукові хвилі низьких частот, завдяки чому і відходять від берегів на глибину.

У людини доволі складний апарат для сприйняття звуків. Звукові коливання збираються вушною раковиною і через слухових канал діють на барабанну перетинку. Коливання останньої через систему маленьких кісточок передаються іншій пружній мембрані, так званому овальному вуху, яке закриває невеличку порожнину равлика, заповненого рідиною (лімфою). Всередині равлика є велика кількість спеціальних волокон, які мають різну довжину та натяг, а й відповідно різні власні частоти коливань. Під дією складного звуку кожне з цих волокон резонує на ту складову тону, частота якої співпадає з власного частотою волокна, і дратує відповідну кінцівку слухової нирки. Наявність у людини двох вух дозволяє визначати напрям звуку, який надходить - це так званий бінауральний ефект [7, с. 331].

Про принцип створення та роботи камертона ви можете прочитати на сторінках 220-221 [8]. Камертон дозволяє збуджувати чисто гармонічні повітряні хвилі, які наші вуха сприймають як чисті музикальні тони.

5. Принцип суперпозиції. Стоячі хвилі

В реальних середовищах одночасно розповсюджуються велика кількість хвиль. В лінійному середовищі швидкість хвилі не залежить від інтенсивності (29.33), тому в такому середовищі хвилі розповсюджуються незалежно одна від одної. Коливання частинок середовища в такому випадку є геометричною сумою коливань, які б здійснювали частинки при розповсюдженні кожної з хвиль окремо, як стверджує принцип суперпозиції(накладання) хвиль. Отже, хвилі просто накладаються не збуджуючи одна одну.

З огляду на принцип суперпозиції, будь-яку несинусоїдальну хвилю в лінійному середовищі можна замінити еквівалентною їй системою синусоїдальних хвиль, тобто представити у вигляді групи хвиль, або хвильового пакету. Сукупність значень частот цих синусоїдальних хвиль отримала назву спектру частот або просто спектру несинусоїдальної хвилі. В залежності від характеру коливань, які збуджуються хвилею, спектр частот несинусоїдальної хвилі може бути як дискретним та і неперервним.

Найпростішою групою хвиль є квазісинусоїдальна плоска хвиля, яка утворюється в результаті накладання двох плоских хвиль з однаковими амплітудами (А₁ = А₂ = А)і близькими по значенню частотами і хвильовими числами , що розповсюджується вздовж осі ОХ:

За швидкість розповсюдження несинусоїдальної хвилі приймають швидкість U переміщення точки, в якій амплітуда А має будь-яке фіксоване значення (наприклад, А = 0 або А = 2А₀). Відповідно, деяка точка рухатиметься за законом:

звідки випливає:

Величина Uотримала назву групової швидкостіі формально дорівнює швидкості перенесення енергії квазісинусоїдальною хвилею. Групова швидкість використовується для опису переносу енергії (передачі сигналу) за допомогою несинусоїдальних хвиль, що мають інший спектр частот, при умові, що спектр не дуже широкий, а дисперсія хвиль в середовищі для цих частот є малою.

Зв'язок між груповою Uта фазовою швидкостями встановлюється наступним чином. Оскількито дел-довжина хвилі, отже:

або

Хвиля, яка потрапляє на границю поділу двох середовищ, частково проходить криз неї, а частково відбивається від поверхні поділу (вільної поверхні). При цьому в залежності від густини речовин середовищ ці процеси можуть відбуватися по-різному. Існують два граничних випадки:

· Друге середовище є менш густим, або навіть, зовсім відсутнє, тобто пружне тіло має вільну границю.

· Друге середовище більш густе, що можна розглядати як нерухомо закріплений кінець пружного тіла.

Розгляд більш детальний питання, щодо відбиття хвилі від незакріпленого та закріпленого кінців, пропонується зробити самостійно за допомогою [7, с. 314-317].

Розглянемо випадок накладання двох плоских хвиль з однаковою амплітудою, спрямованих назустріч одна одній:

Додавши ці два рівняння та виконавши перетворення за формулою для суми косинусів отримаємо:

Спростимо рівняння (29.39), обравши початок відліку X так аби різниця ₀₂ - ₀₂ та аби сума₀₂+₀₂ - стали рівними нулю. Окрім того, замість хвильового числа kзапишемойого значення. Остаточно для рівняння (29.39):



Рівняння (29.40) описує так звані стоячі хвилі, спостерігати які можна при відбитті хвиль від перешкод: хвиля, яка падає на перешкоду, та біжуча їй на зустріч відбита від перешкоди хвиля, накладаючись одна на одну утворюють стоячу хвилю.

З (29.40) можна зробити висновок, що в кожній точці стоячої хвилі відбуваються коливання з частотою, що й у хвиль, які біжать назустріч, причому амплітуда стоячої хвилі A_{st.w .}залежить від X:

На рис. 29.4 показана залежність амплітуди стоячої хвилі від координатиA_st.w.(X). Вточках, координати яких задовольняють умові:

амплітуда коливань сягатиме максимального значення. Ці точки отримали назву пучностей стоячої хвилі. Відповідно координати пучностей визначаються:

В точках, координати яких задовольняють умові:



амплітуда коливань обертається в нуль. Відповідно ці. точки отримали назву вузлів стоячої хвилі. Отже, у вузлах хвилі точки середовища коливань не здійснюють. Координати вузлів можна визначити за умовою:

Зверніть увагу: вузли і пучності стоячої хвилі чергуються через кожну чверть довжини хвилі. Спостерігати стоячі хвилі ви зможете під час лабораторного практикуму з коливань на прикладі коливань струни. Відмінність між біжучими та стоячими хвилями полягає перш за все в тому, що стоячі хвилі не переносять енергію.

6. Інтерференція хвиль. Ефект Доплера в акустиці

Дві хвилі є когерентними, якщо різниця їхніх фаз не залежить від часу. Когерентним хвилям відповідають когерентні коливання (лекція 28). Джерела когерентних хвиль називаються когерентними джерелами. Хвилі, частоти яких однакові когерентні завжди. Хвилі, частоти яких відмінні, когерентні лише на протязі часу когерентності збуджуваних коливань:

, або,

де ?t - проміжок часу, за який різниця фаз незначно змінюється, тобто на протязі цього часу коливання можна наближено вважати когерентними, - час когерентності. Явище накладання хвиль, при якому відбувається стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору і послаблення в інших в залежності від співвідношення між фазами цих хвиль, отримало назву інтерференції хвиль. Отже, інтерферувати можуть лише когерентні хвилі, якщо їм відповідають коливання, що здійснюються вздовж одного й того самого або близьких напрямків. Але, більш детально ми це явище розглянемо під час вивчення оптичних явищ. Доречи, стоячі хвилі є частковим випадком інтерференції хвиль.

Ефектом Доплера називається зміна частоти хвиль, які реєструє приймач, що відбувається внаслідок руху джерела цих хвиль і приймача. Наприклад, при наближенні до нерухомого спостерігача поїзда, що швидко рухається, тон звукового сигналу поїзда буде казатися вище, ніж тон сигналу, що подається тим самим поїздом, коли він стоїть на станції. Та буде казатися нижчим, якщо поїзд віддаляється від зустрічаючого. Якісна природа ефекту Доплера зрозуміла з рис. 29.5. На лівому рисункові точкове джерело (біла точка) рухається зі швидкістю, яка менша від швидкості хвилі у середовищу (?_d<?); на центральному рисункові швидкості джерела та хвилі однакові; на правому зображений випадок, коли швидкість джерела перевищує швидкість розповсюдження хвиль у середовищі(?_d>S. Як ви самі бачите з рис. 29.5, частота сигналу вища у напрямі руху джерела і нижча у протилежному напрямі.

Розрізняють поздовжній та поперечний ефекти Доплера (залежно від напряму руху джерела відносно нерухомого приймача). На рис. 29.5 зображено поздовжній ефект Доплера, коли приймач розташований на горизонтальній осі. У випадку поперечного ефекту приймач хвиль треба розташувати на вертикальній осі рисунку. В акустиці поперечний ефект Доплера відсутній. Розглянемо окремі випадки поздовжнього ефекту.

1. Нехай у газоподібному (або рідкому) середовищі приймач П звукових хвиль є нерухомим відносно цього середовища. Нехай джерелоDвіддаляється від приймача із швидкістюуздовж прямої, що їх з'єднує (рис. 29.6).В такому випадку джерело буде зміщуватися в середовищі за час, що дорівнює періоду його коливань Т₀, на відстань(V₀ - частота коливань джерела). Тому при русі джерела довжина хвилі в середовищі л буде відмінною від значення довжинил₀, якщо б джерело було нерухомим:

, або, або,

або

де - фазова швидкість хвилів середовищі. Частота хвилі V, яку буде реєструвати приймач:

Підставимо (29.48) в рівняння (29.49), отримаємо остаточно для частоти V:



Якщо вектор швидкості джерела / спрямований під до вільним кутом до радіус-вектора, який з'єднує нерухомий приймач із рухомим джерелом (рис. 29.7), то:

Нехай джерело нерухоме, а приймач наближається до нього із швидкістюуздовж прямої, що їх з'єднує. В такому випадку довжина хвилі всередовищі визначатиметься виразом

Однак, швидкість розповсюдження хвилі відносно приймача дорівнює. Відповідно й частота хвилі V, яку буде реєструвати приймач:

або

Якщо ж швидкістьспрямована під довільним кутом б₂ до радіус-вектора, який з'єднує рухомий приймач із нерухомим джерелом (рис. 29.8), то:

З. В загальному випадку, коли і приймач і джерело звукових хвиль рухаються відносно середовища з довільними швидкостями (рис. 29.9), частота хвилі V, яку буде реєструвати приймач:

Размещено на Allbest.ru

...