Оценки качества переходных процессов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оценки качества переходных процессов

1. Интегральные оценки качества переходных процессов

Интегральные оценки имеют целью дать общую оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины в совокупности без определения того или другого в отдельности.

Простейшей интегральной оценкой может служить величина

,(1)

где - отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения, которое оно будет иметь после завершения переходного процесса.

В устойчивой системе при и этот интеграл имеет конечную величину. Геометрически это будет площадь под кривой переходного процесса, построенного для отклонения (рисунок).

Площадь будет тем меньше, чем быстрее затухает переходной процесс и чем меньше величина отклонения. Поэтому параметры САР рекомендуется выбирать таким образом, чтобы добиваться минимума этой интегральной оценки.

Неудобством интегральной оценки вида (1) является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется знак отклонения. Если же имеет место колебательный процесс, то при вычислении интеграла (1), площади будут складываться алгебраически и минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям с малым затуханием или вообще без затухания. Так как форма переходного процесса при расчете САР может быть неизвестна, то применять интегральную оценку вида (1) оказывается практически недесообразным. Поэтому предлагалась другая интегральная оценка:

,(2)

равная сумме абсолютных величин всех площадей под кривой переходного процесса. Однако, вычисление её по коэффициентам уравнения затруднительно. В свете указанных недостатков оценок (1) и (2) предпочтительней применение квадратичной интегральной оценки:

,(3)

которая не зависит от знаков отклонений, а значит и от формы переходного процесса (монотонной или колебательной).

Величина будет тем меньше, чем меньше сумма заштрихованных на рисунке площадей (взятых для квадратов ординат). Для вычисления интеграла (3) нет необходимости нахождений . вычисляется по коэффициентам дифференциального уравнения САР. Формула по которой может быть вычислена квадратичная интегральная оценка (приводиться без доказательства) имеет вид:

,(4)

где - определитель n-го порядка (равный главному определителю Гурвица, но записанный в несколько иной форме):

.(5)

Через (К=0,1,2,…..,m) обозначим определители, получающиеся путем замены в определителе (5) (m+1-k.)- столбца столбцом вида , где Т-знак транспонирования.

Коэффициенты вычисляются по формулам:

.(6)

В определители (5) заменяются нулями все буквы с индексами меньше нуля и больше n, а формуле (6) с индексами меньше нуля и больше m.

Недостатком интегральных оценок является то, что здесь ничем не ограничивается форма кривой переходного процесса. Оказывается, например, что три совершенно различных по форме процесса (рис.) имеют одно и то же значение квадратичной интегральной оценки (3).

Поэтому может оказаться, что выбранные по минимуму этой оценки параметры системы соответствуют слишком сильно колебательному процессу.

Для систем, в которых нежелательны большие колебания регулируемой величины, применяется другой вид интегральной оценки:

,(7)

где Т - некоторая постоянная времени.

Здесь ограничение накладывается не только на величину отклонения , но так же и на скорость отклонения . Поэтому выбор параметров САР по улучшенной квадратичной интегральной оценки приводит к менее колебательным процессам по сравнению с использованием обычной квадратичной интегральной оценки (3).

Достоинство интегральных оценок состоит в том, что они дают единый числовой критерий качества. Недостатком является то, что одному и тому же значению интегральной оценки могут отвечать различные формы переходного процесса, что создает недостаточную определенность решения задачи.

В принципе необходимое приближение формы переходного процесса к некоторой желаемой можно осуществить использованием более сложных выражений, чем (7), в которые кроме первой производной от отклонения будет входить вторая, третья и так далее производные. Однако вычисления таких оценок сопряжены со значительными трудностями.

2. Использование ЛЧХ для анализа качества переходных процессов

Удобство - простота построения асимптотических ЛАЧХ. Для средних частот реальные ЛАЧХ точно совпадают с асимптотическими.

При использовании ЛАЧХ для оценки качества рассматриваются следующие соотношения:

Используются следующие косвенные показатели качества переходных процессов:

1) запас устойчивости по фазе - г;

2) запас устойчивости по амплитуде - ;

3) частота среза - .

1) Запас устойчивости по фазе г определяют расстоянием между ФЧХ и осью абцисс при

2) - определяется расстоянием ЛАЧХ от оси абцисс при .

Считается нормальным, если:

3. Оценка точности регулирования в установившихся режимах

- возмущающее воздействие

Рассмотрим режим, когда: ;

у(8)

е(9)

После окончания переходного процесса при р=0 имеем

е,

- составляющая ошибки, определяемая задающим воздействием ;

- составляющая ошибки, определяемая возмущающим воздействием .

1) Рассмотрим . Здесь может быть два варианта:

а) статическая разомкнутая система

, при р=0

Общий коэффициент передачи системы, т.е. W(0)=K. Тогда .

Эта составляющая может быть уменьшена за счет увеличения общего коэффициента передачи разомкнутой системы. Но при этом уменьшается запас устойчивости или вообще может нарушиться устойчивость системы.

б) При астатическом регулировании . , поэтому =0.

2) Рассмотрим: теперь .

а) В статической системе .

б) В астатической системе . Однако это еще не означает, что так как возможен случай, когда Поэтому для каждого возмущения необходимо определить наличие или отсутствие установившейся ошибки:

Здесь - астатическое (интегрирующее звено).

передаточная функция объекта; .

,

так как

Таким образом, первое возмущение, дает статическую ошибку, а второе не дает. Для устранения статической ошибки от возмущения необходимо включать интегрирующий элемент до места приложения данного возмущения.

Движение с постоянной скоростью.

Управляющее воздействие изменяется по закону, где U=const, и при постоянных значениях возмущающих воздействий и так далее.

(10)

Первое слагаемое (скоростная ошибка) имеет смысл только при астатизме первого порядка

Тогда выражение (10) приводится к виду

.

скоростная ошибка равна отношению скорости задания к добротности системы по скорости. Так как система может двигаться с различными скоростями, то качество её удобно характеризовать не самой скоростной ошибкой, которая является переменной величиной , а значением добротности по скорости:

.

В статических системах скоростная ошибка стремиться к ; при астатизме выше первого порядка эта ошибка стремиться к нулю. Поэтому режим движения с постоянной скоростью используется для оценки точности сколько систем с астатизмом первого порядка главным образом следящих систем, для которых такой режим является характерным.

4. Оценка точности системы при произвольном изменении задающего воздействия (метод коэффициентов ошибок)

Рассматриваемый метод может применяться как для задающего так и для возмущающего воздействий.

Рассмотрим случай, когда имеется только задающее воздействие.

При изменения воздействия x(t) на входе системы (рис.) выходную величину y(t) можно записать

Установившаяся ошибка регулирования системы

Если дифференцируема во всем интервале , что ошибка системы может быть представлена в виде ряда

.(11)

называются коэффициентами ошибок.

Формула (11) получается следующим образом.

(12)

разложим в ряд Тейлора в окрестности точки Р=0, что соответствует большим значениям во времени , т.е. установившемуся значению ошибки при заданном управляющем воздействии. В соответствии с (12) можно записать: интегральный числовой качество

(13)

Коэффициенты ошибок определяют по формулам разложения функции (р)- в ряд Тейлора:

(14)

Так как передаточная функция по ошибке представляет собой дробно -рациональную функцию, то коэффициенты ошибок можно более просто получить делением числителя на знаменатель и сравнением получающегося ряда с выражением (13). Коэффициент - принято называть коэффициентом статической или позиционной ошибки; коэффициент - коэффициентом скоростной ошибки; - коэффициентом ошибки от ускорения. Метод коэффициентов ошибок применяется при сравнительно медленно меняющихся воздействий.

Пример. Для системы (рис.) определить значение установившейся ошибки системы. Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии

где К=10; ; . Входной сигнал меняется по закону . Найдем передаточную функцию замкнутой системы относительно ошибки:

, так как система астатическая; определяют по выражению (14) или делением числителя на знаменатель:

.

Коэффициент вычислять не имеет смысла, так функция имеет только две производные.

Определим их:

Тогда

или .

Размещено на Allbest.ru