Электрические нелинейные цепи

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

Нелинейными называются цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент. Нелинейными называются элементы, параметры которых зависят от величины и (или) направления связанных с этими элементами переменных (напряжения, тока, магнитного потока, заряда, температуры, светового потока и др.).

Нелинейные элементы описываются нелинейными характеристиками, которые не имеют строгого аналитического выражения, определяются экспериментально и задаются таблично или графиками.

Нелинейные элементы можно разделить на двух- и многополюсные. Последние содержат три (различные полупроводниковые и электронные триоды) и более (магнитные усилители, многообмоточные трансформаторы, тетроды, пентоды и др.) полюсов, с помощью которых они подсоединяются к электрической цепи. Характерной особенностью многополюсных элементов является то, что в общем случае их свойства определяются семейством характеристик, представляющих зависимости выходных характеристик от входных переменных, и наоборот, входные характеристики строят для ряда фиксированных значений одного из выходных параметров, выходные - для ряда фиксированных значений одного из входных.

Нелинейные элементы в теории цепей приближенно характеризуются статическими (для постоянного тока) и дифференциальными (для переменного тока) параметрами.

В зависимости от вида характеристик различают нелинейные элементы с симметричными и несимметричными характеристиками. Симметричной называется характеристика, не зависящая от направления определяющих ее величин, т.е. имеющая симметрию относительно начала системы координат:

f(x) = -f(x)

Для несимметричной характеристики это условие не выполняется, т.е.

f(x) -f(x)

Наличие у нелинейного элемента симметричной характеристики позволяет в целом ряде случаев упростить анализ схемы, осуществляя его в пределах одного квадранта.

По типу характеристики можно также разделить все нелинейные элементы на элементы с однозначной и неоднозначной характеристиками (рис. 10.1). Однозначной называется характеристика y = f(x), у которой каждому значению х соответствует единственное значение y, и наоборот. В случае неоднозначной характеристики каким-то значениям х может соответствовать два или более значения y, или наоборот. У нелинейных резисторов неоднозначность характеристики обычно связана с наличием падающего участка, для которого du/di < 0, а у нелинейных индуктивных и емкостных элементов - с гистерезисом.

Все нелинейные элементы можно разделить на управляемые и неуправляемые. В отличие от неуправляемых управляемые нелинейные элементы (обычно трех- и многополюсники) содержат управляющие каналы, изменяя напряжение, ток, световой поток и др., в которых изменяют их основные характеристики (вольт-амперную, вебер-амперную или кулон-вольтную).

Для нелинейных и линейных цепей справедливы законы Кирхгофа. Особенность нелинейных цепей в уравнениях, составленных по законам Кирхгофа, отражается зависимостью коэффициентов уравнений от воздействий и реакций (напряжений и токов). Такие уравнения считаются нелинейными.

При анализе нелинейных цепей нельзя пользоваться принципом суперпозиции, так как параметры цепи при одном источнике отличаются от параметров при нескольких источниках. Нелинейные цепи анализируют путем решения в общем случае нелинейных дифференциальных уравнений. Ввиду сложности задачи разработаны и разрабатывают новые методы численного решения нелинейных уравнений на ЭВМ. На практике, как правило, пользуются различными приближенными методами или ограничиваются только качественными выводами. Известные приемы и способы имеют различные возможности и области применения. В общем случае при анализе нелинейной цепи описывающая ее система нелинейных уравнений может быть решена следующими методами:

· графическими;

· аналитическими;

· графо-аналитическими;

· итерационными.

Зависимость параметров нелинейных элементов от воздействий и реакций позволяет применять их в качестве элементов с управляемыми параметрами и создать параметрические цепи - цепи, параметры которых изменяются во времени. Коэффициенты уравнений параметрических цепей представляют собой функции времени.

Свойства нелинейных и параметрических цепей существенно отличаются от свойств линейных. Основное отличие заключается в возможности преобразования спектра воздействия. Если в спектре реакции линейной цепи не может быть компонентов с частотами, которых не было в воздействии, то реакции нелинейных и параметрических цепей могут содержать новые частотные компоненты. Это свойство нелинейных цепей используют для модуляции, детектирования сигналов и преобразования частоты, а также для генерирования колебаний и преобразования их формы.

2. Аппроксимация характеристик

Характеристики нелинейных элементов цепей определяют экспериментальным путем и представляют в виде таблиц или графиков. Нахождение аналитической функции по экспериментальным данным называется аппроксимацией. На практике пользуются сравнительно простыми аппроксимирующими функциями, удобными при аналитическом исследовании, хотя и неточно представляющими реальную характеристику. Основное требование к аппроксимирующей функции: она должна быть подобна реальной характеристике, а требования к точности аппроксимации зависят от назначения элемента.

Рассмотренные методы аппроксимации вольт-амперных характеристик также пригодны и при аппроксимации вольт-кулонных и ампер-веберных характеристик.

Аппроксимация степенным полиномом. Если характеристика нелинейного элемента имеет вид гладкой кривой i = f(и) (кривая и ее производные непрерывны), то такая кривая может быть представлена в виде бесконечного степенного ряда

i = f(и) = а₀+ а₁ и + а₂ и² + . . . + а_k и^k + ...

где а₀, а₁, а₂, … - постоянные коэффициенты.

Ограничивая этот ряд первыми п членами, получаем аппроксимацию функции f(и) в виде полинома n-й степени:

i = f(и) = а₀+ а₁ и + а₂ и² + . . . + а_n иⁿ

Коэффициенты а₀, а₁,…, а_n данного полинома часто определяются из условия совпадения аппроксимируемой и аппроксимирующей кривых в п+1-й точке на рабочем участке характеристики. Подставляя координаты выбранных точек (i_k, u_k) в полином, находим систему из п+1 уравнений, которая решается относительно неизвестных коэффициентов. Увеличение п способствует повышению точности аппроксимации, но растет и объем необходимых вычислений, который не слишком существен, если используется вычислительная машина. При качественном рассмотрении нелинейных цепей ограничиваются полиномами второй или третьей степени.

На рис. 10.2, a сплошной линией показана вольт-амперная характеристика диода, а штриховой - график аппроксимирующего полинома второй степени. Кривые совпадают в точках 0, A и В. На рис.10.2, б аналогично показаны вольт-амперная характеристика туннельного диода и ее аппроксимирующая функция - неполный полином третьей степени:

i = а₀+ а₁ (и - u₀) + а₃ (и - u₀)³

где u₀ - напряжение в точке симметрии А. Значения коэффициентов аппроксимирующих полиномов приведены на рис. 10.2, б.

Кусочно-линейная аппроксимация. В качестве аппроксимирующей функции используется уравнение прямой

i = i₀+ Sи,

где i₀, S - коэффициенты, определяющие положение прямой.

Аппроксимируемую характеристику разбивают на участки и для каждого проводят отрезок прямой. В аналитическое выражение наряду с уравнениями прямых входят также и граничные значения переменных, указывающие интервал действия конкретного уравнения. Повышение точности аппроксимации достигается увеличением числа участков, что, однако, усложняет аналитическое выражение.

На рис. 10.2, в показана аппроксимация отрезками двух прямых 0u₀ и u₀АВ вольт-амперной характеристики диода. Уравнение первого отрезка

i = 0, и < u₀,

уравнение второго

i = S(и - u₀), и > u₀.

Параметры S и u₀ для рассматриваемого примера указаны на рис. 10.2, в.

3. Анализ при воздействии постоянного тока