Дифференциальные уравнения Эйлера, описывающие движения невязкой жидкости
Определение величины действительной мгновенной скорости в случае пульсационного изменения скоростей в каждой точке потока. Краевые условия, которые описывают набор постоянных и функций, которые входят в дифференциальные уравнения движения жидкости.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.09.2017 |
| Размер файла | 43,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Напряженное состояние жидкости, находящейся в покое, устанавливается уравнениями Эйлера. В процессе движения силы, действующие на жидкость, определяются не только напряжениями, но и скоростями.
Использование уравнений статики для описания движения - принцип кинетостатики или принцип Д'Аламбера - состоит во введении сил инерции:
. (1)
Относя силы инерции к массе частицы жидкости, можно записать:
. (2)
Проекции удельной силы инерции выражаются через компоненты скорости:
; ; . (3)
В соответствии с принципом Д'Аламбера уравнения движения принимают вид:
(4)
Это уравнения идеальной (невязкой), несжимаемой жидкости, поскольку в них учитываются процессы внутреннего трения и связанные с ними касательные напряжения.
Эквивалентные формы уравнений невязкой несжимаемой жидкости.
В зависимости от представления компонент ускорений можно записать следующие эквивалентные формы уравнений невязкой несжимаемой жидкости:
а) в декартовой системе координат :
(5)
б) в форме Громеки-Ламба при выполнении условий несжимаемости и существования потенциала массовых сил:
;
(6)
Уравнение непрерывности
Замыкание системы уравнений движения невязкой жидкости производится с помощью уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения массы.
Рис. 1. Движение жидкости сквозь элементарный объем
Определим изменение расхода несжимаемой жидкости ()при ее движении через элементарный объем с ребрами длиной и (рис. 1). Масса жидкости в выделенном объеме сохраняется, поэтому .
Если жидкость протекает через грани параллельные плоскости , то она входит в левую грань со скоростью и выходит через противоположную грань со скоростью:
(7)
Из условия баланса масс жидкости, входящей в элементарный объем и выходящей из него за время , следует уравнение изменения потока массы:
(8)
Для других пар граней запишем:
и (9)
Суммарное изменение массы равно:
(10)
Поскольку в замкнутом объеме , то, после сокращения на получим:
(11)
Это дифференциальная форма уравнения неразрывности.
Если движение жидкости потенциально, то проекции скорости на оси координат могут быть определены в виде:
, , . (12)
С учетом выражений для производных от компонент скорости по соответствующим координатам:
;
;
;
получим уравнение Лапласа для безвихревого движения жидкости:
(13)
где - оператор Лапласа.
Уравнение движения вязкой жидкости Навье-Стокса
Касательные напряжения вызываются трением. При отнесении сил трения к массе несжимаемой жидкости () можно записать:
(14)
где кинематическая вязкость.
Уравнение Рейнольдса.
В случае пульсационного изменения скоростей в каждой точке потока действительная мгновенная скорость в соответствии равна с проекциями на оси координат , , . Из уравнений Навье-Стокса в результате замены действительных составляющих вектора скорости на компоненты осредненных и пульсационных скоростей выводятся уравнения Рейнольдса:
(15)
Уравнение неразрывности для компонент осредненных скоростей имеет вид:
(16)
Однако, система из трех уравнений Рейнольдса и уравнения неразрывности не являются замкнутыми. Недостающие уравнения полуэмпирическим путем определяют турбулентные напряжения , , , , , , , .
Граничные и начальные условия. Набор постоянных и функций, входящих в дифференциальные уравнения движения жидкости определяется дополнительными условиями, которые часто называются краевыми.
Краевые условия включают граничные и начальные условия.
Граничные условия формируются на границе области потока жидкости:
1) если граница является свободной поверхностью, то давление на ней постоянно
2) если поток ограничен твердой стенкой, то образуется условие непротекания и нормальная к стенке компонента скорости
3) вязкая жидкость «прилипает» к твердой стенке и
4) в живом сечении, ограничивающем поток, задается распределение скоростей.
Начальные условия требуют знания о параметрах потока в момент времени (обычно ). Например, при движении из состояния покоя а давление распределяется по гидростатическому закону:
(17)
Плавно изменяющееся движение.
Если радиусы кривизны потока велики, то поток называется плавно изменяющимся. Если оси X и Y лежат в плоскости живого сечения, то компонентами скорости и можно пренебречь и уравнения Навье-Стокса будут:
дифференциальный уравнение пульсационный поток
т.е. условие плавно изменяющегося движения означает, что распределение давления подчиняется закону гидростатики.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Уравнение неразрывности потока жидкости. Дифференциальные уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости. Силы, возникающие при движении реальной жидкости. Уравнение Навье - Стокса. Использование уравнения Бернулли для идеальных и реальных жидкостей.
презентация [220,4 K], добавлен 28.09.2013Выведение уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости - уравнения Стокса. Рассмотрение основных режимов движения жидкости в горизонтальных трубах постоянного поперечного сечения - ламинарного и турбулентного. Определение понятия профиля скорости.
презентация [1,4 M], добавлен 14.10.2013Теория движения жидкости. Закон сохранения вещества и постоянства. Уравнение Бернулли для потока идеальной и реальной жидкости. Применение уравнения Д. Бернулли для решения практических задач гидравлики. Измерение скорости потока и расхода жидкости.
контрольная работа [169,0 K], добавлен 01.06.2015Дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации газа. Основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона. Исследование прямолинейно-параллельного установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте.
курсовая работа [550,5 K], добавлен 29.10.2014Количество движения системы. Главный момент количеств движения (кинетический момент). Кинетическая энергия системы. Теорема об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии. Дифференциальные уравнения движения системы.
реферат [130,1 K], добавлен 06.01.2012Закон движения груза для сил тяжести и сопротивления. Определение скорости и ускорения, траектории точки по заданным уравнениям ее движения. Координатные проекции моментов сил и дифференциальные уравнения движения и реакции механизма шарового шарнира.
контрольная работа [257,2 K], добавлен 23.11.2009Анализ и особенности распределения поверхностных сил по поверхности жидкости. Общая характеристика уравнения Бернулли, его графическое изображение для потока реальной жидкости. Относительные уравнение гидростатики как частный случай уравнения Бернулли.
реферат [310,4 K], добавлен 18.05.2010Выражение для кинетического момента и энергии. Динамические уравнения Эйлера, характер и анализ стационарного движения точки. Особенности и направление движения динамически симметричного тела в случае Эйлера. Регулярная прецессия, первые интегралы.
презентация [496,6 K], добавлен 02.10.2013Описание и аналитические исследования гидродинамических процессов. Дифференциальные уравнения движения Эйлера. Уравнение Бернулли и гидродинамическое подобие потоков. Инженерно-технологический расчет и принцип действия паростуйного эжектора типа ЭП-3-600.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 28.04.2015Построение графика скорости центра масс фотона. Методы получения волнового уравнения Луи Де Бройля: выведение процесса описания движения центра масс фотона за рамки аксиомы. Основные математические модели, которые описывают главные характеристики фотона.
контрольная работа [628,3 K], добавлен 13.10.2010Изучение конструктивных особенностей резервуара для хранения нефтепродуктов. Построение переходной характеристики объекта при условии мгновенного изменения величины входного потока. Определение уровня жидкости в резервуаре нефтеперекачивающей станции.
реферат [645,4 K], добавлен 20.04.2015Изучение движения тела под действием постоянной силы. Уравнение гармонического осциллятора. Описание колебания математического маятника. Движение планет вокруг Солнца. Решение дифференциального уравнения. Применение закона Кеплера, второго закона Ньютона.
реферат [134,8 K], добавлен 24.08.2015Вычисление скорости молекул. Различия в скоростях молекул газа и жидкости. Экспериментальное определение скоростей молекул. Практические доказательства состоятельности молекулярно-кинетической теории строения вещества. Модуль скорости вращения.
презентация [336,7 K], добавлен 18.05.2011Изучение механики материальной точки, твердого тела и сплошных сред. Характеристика плотности, давления, вязкости и скорости движения элементов жидкости. Закон Архимеда. Определение скорости истечения жидкости из отверстия. Деформация твердого тела.
реферат [644,2 K], добавлен 21.03.2014Определение увеличение объема жидкости после ее нагрева при атмосферном давлении. Расчет величины и направления силы гидростатического давления воды на 1 метр ширины вальцового затвора. Определение скорости движения потока, давления при входе в насос.
контрольная работа [474,0 K], добавлен 17.03.2016Равновесие жесткой рамы. Составление уравнений равновесия для плоской системы сил. Нахождение уравнения траектории точки, скорости и ускорения, касательного и нормального ускорения и радиуса кривизны траектории. Дифференциальные уравнение движения груза.
контрольная работа [62,3 K], добавлен 24.06.2015Элементарная струйка и поток жидкости. Уравнение неразрывности движения жидкости. Примеры применения уравнения Бернулли, двигатель Флетнера (турбопарус). Критическое число Рейнольдса и формула Дарси-Вейсбаха. Зависимость потерь по длине от расхода.
презентация [392,0 K], добавлен 29.01.2014Знакомство с уравнениями прямолинейного движения материальной точки. Характеристика преимуществ безразмерных переменных. Рассмотрение основных способов построения общего решения неоднородного уравнения. Определение понятия дифференциального уравнения.
презентация [305,1 K], добавлен 28.09.2013Создание модели движения жидкости по сложному трубопроводу с параллельным соединением труб и элементов. Уравнения механики жидкости и газа для подсчета потерь на трение. Определение числа Рейнольдса. Система уравнений Бернулли в дифференциальной форме.
контрольная работа [383,5 K], добавлен 28.10.2014Постоянство потока массы, вязкость жидкости и закон трения. Изменение давления жидкости в зависимости от скорости. Сопротивление, испытываемое телом при движении в жидкой среде. Падение давления в вязкой жидкости. Эффект Магнуса: вращение тела.
реферат [37,9 K], добавлен 03.05.2011
