Размещено на http://www.allbest.ru/

Электронный учебник по физике

Элементы квантовой физики



1. Основные положения квантовой механики

1.1 Противоречия классической физики: особенности строения атома, линейчатые спектры атомов, дифракция электронов, дифракция нейтронов

Корпускулярно-волновой дуализм свойств, обнаруженный у электромагнитного излучения, вскоре был обнаружен и у микрочастиц (молекул, атомов, ядер атомов, электронов, протонов, нейтронов и др.). В начале ХХ века в ряде экспериментов с микрочастицами, были обнаружены явления, которые не могли быть объяснены классической механикой, созданной для макротел. атом электрон дифракция нейтрон

Первая серия таких явлений связана с экспериментами по рассеиванию альфа-частиц при прохождении их через вещество. Альфа-частицы являются ядрами атомов гелия и имеют положительный электрический заряд, так как состоят из двух протонов и двух нейтронов. Английский ученый Резерфорд, пропуская альфа-частицы с большой кинетической энергией через тонкие металлические пластинки, установил, что большая часть частиц отклоняются от первоначального направления на небольшие углы. Наряду с рассеиванием на малые углы, было обнаружено отклонение отдельных частиц и на большие углы, доходящие до 180⁰. Такое рассеивание было обнаружено и при прохождении альфа-частиц через газы.

При анализе этих экспериментов было установлено, что отклонения происходят вследствие кулоновского отталкивания от положительного заряда, сосредоточенного в очень малом объеме внутри атома. До этого уже было известно (по экспериментам с ионизацией газов), что в составе атомов вещества также имеются элементарные частицы - электроны (с малой массой и отрицательным зарядом). Для объяснения результатов рассеивания Резерфорд в 1911г. предложил планетарную модель атома. Согласно этой модели атом построен по типу Солнечной системы - в центре атома в очень малой области (10^-14 м) находится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома, а вокруг ядра под действием сил Кулоновского притяжения двигаются по замкнутым орбитам электроны (примерный радиус орбит -10^-10м). При этом суммарный заряд электронов равен по величине заряду ядра, поэтому в целом атом нейтрален. При прохождении альфа-частиц через такой атом, только малая часть частиц будет сталкиваться с ядром и рассеиваться назад, основная их часть будет проходить на больших расстояниях от ядра и, вследствие малости Кулоновских сил, будут отклоняться на небольшие углы.

Таким образом, планетарная модель атома полностью объяснила эксперименты по рассеиванию. Однако, согласно классической электродинамике электрон, двигающийся по орбите вокруг ядра должен испускать электромагнитные волны непрерывного спектра частот. При этом он теряет свою энергию и через малый интервал времени (10^-8 с) должен упасть на ядро, то есть такой атом нестабилен и имеет очень малое время жизни. Но, как известно, атомы отличаются большим временем жизни. Кроме того, из экспериментов по изучению частотного состава излучения (спектров) отдельных атомов в газах, известно, что атомы в невозбужденном (нормальном) состоянии не испускают электромагнитные волны, они излучают их только после передачи им энергии (при возбуждении), при зтом спектр частот имеет дискретный характер.

Например, у атома водорода было обнаружено несколько серий частот излучения, наиболее известные описываются соотношениями:

(1.1)

серия Лаймана для ультрафиолетового излучения,



(1.2)

серия Бальмераа для видимого излучения

(1.3)

серия Пашена для инфракрасного излучения, здесь R-постоянная Ридберга, n - номер частоты (номер линии спектра излучения) в серии. Эксперименты по изучению спектра поглощения электромагнитного излучения для атома водорода показали, что спектр поглощения тоже имеет дискретный характер, описываемый соотношениями (1.1_1.3). Подобная дискретность спектров была обнаружена у всех атомов. Таким образом, планетарная модель атома требовала серьезных доработок.

Для объяснения спектров излучения и поглощения атома водорода в 1913г. датский ученый Бор добавил к этой модели три ограничения (постулата), которые не соответствовали законам классической механики.

1. Атом может находиться в различных состояниях, в этих состояниях электрон двигается по определенным стационарным орбитам без излучения и без потери энергии. Эти орбиты называют Боровскими орбитами.

2. При движении по Боровским орбитам электрон имеет строго определенный (дискретный) момент импульса L (L равен произведению массы электрона, его скорости и радиуса орбиты). Его значение задается формулой квантования Бора

,

где момент импульса связывается с постоянной Планка h и квантовым числом n.

Квантовое число n является номером состояния атома и номером Боровской орбиты электрона. В этих состояниях радиусы орбит электрона и его скорости различны, атом также имеет различные энергии. Обычно атом находится в основном или невозбужденном состоянии n=1 с наименьшим значением энергии, состояния с n = 2, 3, 4 имеют большие энергии и называются возбужденными.

3. При передаче атому энергии он переходит в какое-либо возбужденное состояние с n = 2, 3, 4… (если передача энергии производится с помощью электромагнитного излучения, то происходит поглощение атомом порции излучения), в возбужденном состоянии атом находится недолго (10^-8с), он испускает порцию (квант) электромагнитного излучения и переходит в какое-либо состояние с меньшим квантовым числом. При всех переходах, в соответствии с законом сохранения, энергия кванта точно равна разности энергий атома

= E_n-E_m.

При использовании этих постулатов, расчет полной энергии атома Е, которая складывается из кинетической энергии вращения электрона и потенциальной энергии электростатического взаимодействия электрона с ядром приводит к соотношению

E_n = _hR/n²

Отсюда, используя формулу немецкого ученого Планка для кванта электромагнитного излучения = h и закон сохранения энергии в виде

= E_n_E_m ,



можно получить

= (E_n_E_m)/h = R(1/n²-1/n²)

что полностью соответствует результатам экспериментов (1.1_1.3). Таким образом, данная модель позволила рассчитывать и объяснять спектры атома водорода, за что в 1922 г. Бор был удостоен Нобелевской премии по физике. Изложенная выше теория была обобщена (Теория Бора-Зоммерфельда, 1915г.) и для описания "водородоподобных" атомов, содержащих один электрон, движущийся в поле ядра с положительным зарядом (таких как однократно ионизированный гелий, двукратно ионизированный литий, трехкратно ионизированный бериллий и т.д.), но для более сложных атомов она оказалась непригодной.

Вторая серия необычных явлений связана с прохождением элементарных частиц через неоднородные среды, при котором наблюдаются явления дифракции и интерференции. Например, при рассеянии электронов от поверхности монокристалла никеля получается отчетливая дифракционная картина (опыт Дэвиссона и Джермера). Дифракция пучка электронов при прохождении через тонкие слои металлов и кристаллов была обнаружена Томсоном. Позднее было обнаружено, что аналогичное явление дифракции наблюдается также для протонов, нейтронов и даже для молекул водорода при их попадании на кристалл.

Обнаружена была и интерференция элементарных частиц. Например, если направить пучок электронов на две щели, то на экране из фотоимульсии после проявления можно наблюдать интерференционную картину в виде параллельных полос, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Интересно, что при малых интенсивностях электронных пучков, наблюдается постепенное формирование интерференционной картины что доказывает корпускулярность электронов. Аналогичные результаты были получены и при интерференции других частиц.

Таким образом, элементарные частицы в одних условиях проявляют свойства волн (явления дифракции, интерференции), в других же - свойства отдельных частиц_корпускул (движение электронов в электронно-лучевой трубке, взаимодействие электрона и фотона при фотоэффекте и эффекте Комптона), что не может быть объяснено в рамках классической механики.

1.2 Гипотеза Луи-де-Бройля о корпускулярно-волновом дуализме свойств микрочастиц

Как известно, эксперименты с электромагнитными волнами показали, что в некоторых явлениях они проявляют свойства частиц (фотоэффект, эффект Комптона, тепловое излучение и др). Эти явления удалось описать, если предположить согласно теории Планка, что электромагнитное излучение является потоком частиц_фотонов или квантов со следующими значениями энергии и импульса

(1.4)

где - частота, - длина волны.

По аналогии, Луи де Бройль в 1923 году выдвинул гипотезу, что для объяснения волновых свойств микрочастиц им необходимо сопоставить особые волны, которые были названы волнами де Бройля. То есть, если микрочастице приписать некоторый волновой процесс с длиной волны

(1.5)

(где р, m, х - импульс, масса и скорость частицы), то по формулам дифракции и интерференции для электромагнитных волн можно рассчитать эти явления и для пучков микрочастиц. Например, по известной формуле оптики для дифракционной решетки dSin(_k) = k можно рассчитать положения максимумов и при дифракции микрочастиц. Эта гипотеза нашла полное подтверждение в вышеупомянутых экспериментах.

Эксперименты также показали, что распространение волн де Бройля не связано с распространением электромагнитных волн, а также каких-либо других волн, известных в классической физике. Наблюдаемое постепенное формирование интерференционной картины показывает, что волны де Бройля связаны со статистической природой движения микрочастиц и имеют вероятностное истолкование.

1.3 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Своеобразие движения микрочастиц, как оказалось, заключается также и в том, что ее траекторию нельзя характеризовать точными значениями координат и скорости (т.е. нельзя определить одновременно положение микрочастицы в пространстве и ее скорость с произвольной точностью). Немецкий ученый Гейзенберг в 1927г. установил, что неопределенности или погрешности измерения координаты Дх, Дy, Дz и импульса Др_х, Др_y, Др_z удовлетворяют соотношениям:

Дх Др_х ? h, Дy Др_y ? h, Дz Др_z ? h. (1.6)

Подобное соотношение имеется и для неопределенности измерения времени состояния микросистемы Дt и ее энергии ДЕ

Дt ДЕ?h , (1.7)

все эти формулы называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга.

Наличие этих соотношений объяснятся тем, что при измерении одного параметра микрочастицы, второй соответствующий параметр искажается измерительным прибором и чем точнее измеряется один, тем больше искажается второй. Это происходит и для макрообъектов, но вследствие их больших масс воздействие приборов оказывается несущественным. Например, при определении координат макрообъекта путем локации используют поток фотонов, которые испускаются локатором, они со скоростью света долетают до объекта, отражаются от него и возвращаются назад. Зная время движения фотона и его скорость можно легко определить расстояние до объекта, причем вследствие массивности макрообъекта, его скорость изменится незначительно. Если же использовать принцип локации для определения координаты микрочастицы, то при отражении от нее фотона он передаст ей импульс, сравнимый с импульсом частицы, что приведет к значительному изменению ее скорости. Подобные изменения соответствующих параметров происходят также при измерении скорости, энергии, времени.

Соотношения неопределенностей позволяют определить границы применимости понятий и законов классической механики к объектам, т.е. возможности одновременного использования понятий координаты и скорости при описании движения. Учитывая, что р_х = mv_x, можно получить Дх Дv_х ? h/m, откуда следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенность ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Для пояснения рассмотрим два примера.

1. Рассмотрим пылинку массой m=10^-12 кг и линейными размерами 10^-6м и определим для нее неопределенность скорости (неопределенность определения ее координаты примерно равна сотой доли ее размера т.е. Дх = 10^-8м). Согласно соотношениям неопределенностей



Дv_х = h/mДx = 6,62?10^-34/(10^-12•10^-8) = 6,62•10^-14м/с

В результате получается неопределенность измерения скорости, намного меньшая скорости, с которой пылинка может двигаться. Поэтому, в данном случае, скорость и импульс можно определить практически точно и поэтому для пылинки можно использовать понятие траектории и законы классической механики.

2. Рассмотрим электрон, движущийся в атоме водорода. Неопределенность его координаты порядка размера самого атома, т.е. Дx = 10^-10м. Определим

Дv_х: Дv_х = h/mДx = 6,62•10^-34/(9, 1•10^-31•10^-10) = 7,3•10⁶м/с.

Если рассчитать скорость электрона в атоме согласно классической механики, учитывая, что роль центростремительной силы играет сила Кулона, то скорость получается порядка 2•10⁶м/с и в данном случае неопределенность измерения скорости оказывается больше самой скорости. Поэтому нельзя говорить о движении электрона в атоме по определенной траектории.

1.4 Постулаты квантовой механики. Вероятностный характер движения частиц. Волновая функция, её статистический смысл. Задание состояния микрочастицы

Объяснить одновременное наличие корпускулярных и волновых свойств у микрочастиц удалось на основе идей Бора и Луи-де-Бройля в рамках новой теории, называемой волновой или квантовой механикой, созданной Гейзенбергом, Шредингером, Борном и многими другими учеными начала ХХ века. Квантовая механика базируется, как и любая другая физическая теория, на ряде постулатов. Основные постулаты можно представить упрощенно в следующем виде.

1.Движение микрочастиц в пространстве имеет вероятностный (стохастический) характер. Это относится не только к совокупности (ансамблю) частиц, но и к каждой отдельной частице. Согласно этому постулату, микрочастица, находясь в силовых полях или в вакууме (при отсутствии полей), испытывает такое воздействие, что нельзя в любой момент времени определить точно параметры ее движения. Например, нельзя одновременно характеризовать ее траекторию точными значениями координат и скорости или точными значениями энергии и времени какого-либо процесса у частицы.

2.Стохастический характер движения микрочастиц требует применения понятий математики теории вероятности для описания и расчета определенных значений параметров частиц в эксперименте. С точки зрения математики, отсюда следует, что движение таких частиц должно описываться с помощью некоторой «особой» волновой функции, которая должна характеризовать вероятностные особенности микрочастиц. Интерпретацию волновой функции дал в 1926г. немецкий физик Макс Борн следующим образом - волновая функция ш (х, у, z) характеризует вероятность нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства. Согласно Борну, физический смысл имеет не сама функция, а квадрат модуля волновой функции ш², который равен вероятности dP того, что частица будет обнаружена в пределах рассматриваемого малого объема dV. Формула связи этих понятий имеет вид

dP = ш² dV = ш²dxdydz . (1.8)

Для совокупности частиц под вероятностью понимают отношение числа частиц в малом объеме к общему числу частиц, а для одной частицы - отношение времени пребывания частицы в малом объеме к общему времени рассмотрения движения частицы.

3.Волновая функция является основной характеристикой состояния микрообъекта, с помощью волновой функции можно рассчитать вероятность пребывания частицы в различных точках пространства в различные моменты времени, а также средние значения различных ее параметров. Соответственно вероятностному смыслу волновой функции и используя формулы теории вероятности, средние значения параметров находятся путем усреднения соответствующих операторов с помощью волновой функции. Например среднее значение для модуля радиуса-вектора частицы <r> можно найти по формуле

. (1.9)

Так как в физических экспериментах определяются именно средние значения параметров частицы, то можно говорить, что состояние частицы полностью задается ее волновой функцией.

4.Вид волновой функции зависит от типа частицы и от внешних силовых полей, действующих на частицу. Вид функции находится с помощью специального дифференциального уравнения, называемого уравнением Шредингера.

5.Если в эксперименте наблюдается суперпозиция (объединение) микрочастиц, описываемых разными волновыми функциями, то объединенный ансамбль этих частиц будет описываться суммой их волновых функций. Например, если при интерференции микрочастиц на двух щелях, их можно по отдельности описать двумя функциями ш₁ и ш₂, тогда совокупность этих частиц в районе экрана должна описываться функцией ш = ш₁+ш₂. Так как вероятность распределения частиц на экране dP определяется квадратом модуля волновой функции, то получаем dP ш² = ш₁² + 2ш₁ш₂ + ш₂². Отсюда следует, что распределение зависит не только от простого сложения вероятностей двух независимых ансамблей ш₁² + ш₂², но и от результата их специфичного квантового «взаимодействия» 2ш₁ш₂, вследствие чего и наблюдается интерференция частиц.

Имеется еще ряд постулатов, но они имеют более частный характер, о некоторых из них будет сказано далее.

1.5 Уравнение Шредингера. Физические ограничения на вид волновой функции. Стационарное уравнение Шредингера, стационарные состояния

Для расчета волновой функции необходимо иметь уравнение, которое позволяло бы для любого момента времени определить эту функцию с учетом действующих на частицу внешних силовых полей. Чтобы искомое уравнение учитывало волновые свойства микрочастиц, необходимо чтобы оно по форме было волновым уравнением, подобно тем, которые описывают звуковые или электромагнитные волны. Известно, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение - это дифференциальное уравнение в частных производных, где независимыми переменными являются координаты и время. Учитывая такие аналогии, австрийский физик Эрвин Шредингер получил в 1926 г. основное уравнение квантовой механики для ш (х, у, z, t)

, (1.10)

где m - масса частицы, i - мнимая единица, U - потенциальная энергия частицы, Д_оператор Лапласа, который представляет собой сумму вторых частных производных по координатам, т.е.



(1.11)

Из уравнения Шредингера следует, что конкретный вид волновой функции зависит от потенциальной энергии U, т.е. определяется характером сил, действующих на частицу. Уравнение Шредингера оказалось комплексным (включающим в себя мнимую единицу), поэтому и волновая функция также комплексная, при этом реальный физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции), который всегда действителен.

Уравнение Шредингера, будучи дифференциальным уравнением, может иметь множество решений. Из этих решений смысл имеют только те, в которых волновая функция будет однозначной, непрерывной и конечной, что соответствует физической реальности. Эти требования должны относиться и к частным производным от функции по времени и координатам, так как они тоже входят в уравнения Шредингера. Кроме этих требований на волновую функцию накладывается условие нормировки

, (1.12)

которое следует из того факта, что частица реально существует и обязательно находится где-либо в окружающем пространстве. Поэтому суммарная вероятность нахождения частицы во всем бесконечном пространстве равна единице, т.е. это достоверное событие. Смысл и назначение уравнения Шредингера заключается в том, что если известна волновая функция некоторой частицы в начальный момент времени и известно силовое поле, в котором она движется, то, решив это уравнение, можно найти волновую функцию и узнать характеристики состояния частицы в последующие моменты времени.

Если силовое поле, в котором движется частица, постоянно во времени, то U не зависит от времени и волновую функцию можно представить в виде

где Е - полная энергия частицы. Если мы подставим такую функцию в уравнение Шредингера, проведем дифференцирование и сокращение, то получим уравнение

(1.13)

Это - уравнение Шредингера для, так называемых, стационарных состояний, находясь в которых частица имеет определенные, не меняющиеся со временем характеристики.

1.6 Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Квантование энергии частицы. Объяснение туннельного эффекта. Гармонический осциллятор

Для выяснения особенностей решения уравнения Шредингера, рассмотрим поведение микрочастицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной «яме». Такой вид потенциала взаимодействия в природе не наблюдается, но он наиболее простой и может демонстрировать основные особенности решения (наиболее близок он к потенциалу, используемому при рассмотрении поведения электрона в металле). Такая потенциальная «яма» описывается следующими соотношениями для потенциальной энергии:

U = в областях 1, 3 для x < 0 и x > a; U = 0 в области 2 для 0> x >a.

Запишем стационарное уравнение Шредингера для областей 1, 3 , где U=

, (1.14)

его единственно возможное решение =0. Это означает, что вероятность нахождения частицы в этих областях равна нулю и частица туда проникнуть не может.

Для области 2 стационарное уравнение Шредингера имеет вид

, (1.15)

из теории дифференциальных уравнений следует, что его решение имеет вид

. (1.16)

Вследствие требования непрерывности функции , она должна быть равна нулю в точках x=0 и x=a, что следует из решения для областей 1, 3. Отсюда получается, что должны выполняться соотношения Asin(0)+Bcos(0)=0, Asin(ka)+Bcos(ka)=0 и, согласно математике, это будет при B=0 и ka=n, где n-целое число. Необходимое также условие нормировки (1.12) в данной задаче имеет вид

, (1.17)



взяв этот интеграл, получаем и в результате имеем конечное выражение для возможных решений уравнения Шредингера в поставленной задаче

. (1.18)

Данное решение показывает, что поведение микрочастицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной «яме» может быть различным в зависимости от значения числа n, его называют квантовым числом и рассматривают как номер возможного состояния микрочастицы.

Рассмотрим графики функции ²), которая согласно (1.8) определяет вероятность нахождения частицы в разных точках «ямы» для различных состояний.

Что во втором и в третьем состояниях микрочастица не может находиться в некоторых точках «ямы» A,B,C, однако она может находиться между этими точками. Кроме этого, видно, что минимальное значение полной энергии Е₁, которая в области 2 является кинетической энергией, не равна нулю, это означает что частица находится в непрерывном движении. Такое поведение микрочастицы существенно отличается от поведения макрочастиц и приводит к тому, что в квантовой механике не может быть использовано классическое понятие траектории.

Используя найденные соотношения ka = n и (1.16), получим выражение для полной энергии частицы

(1.19)

которое показывает, что энергия частицы в разных состояниях различна и строго определена (имеет дискретный спектр). Других значений энергии частица иметь не может, возможные дискретные значения называют квантовыми уровнями энергии. Подобное квантование у микрочастиц может происходить и с другими параметрами: импульсом, моментом импульса.

Если рассмотреть таким же образом более реальную ситуацию, когда частица находится в одномерной потенциальной «яме» конечной глубины (U = Uo в областях 1,3 для x < 0 и x > a; U = 0 в области 2 для 0 > x > a), то, в отличие от случая бесконечно глубокой ямы, функция ² не будет равна нулю в областях 1, 3 даже при малых энергиях частицы.

Это означает, что частица может выйти за пределы потенциальной «ямы» даже в случае, когда ее энергия меньше Uo , чего в классической механике происходить не может. Подобное явление наблюдается и при рассмотрении поведения микрочастицы вблизи одномерного потенциального «барьера» (U = 0 в областях 1,3 для x < 0 и x > a; U = Uo в области 2 для 0 > x > a). Если решить уравнение Шредингера в этом случае, то можно обнаружить, что частица с энергией меньшей Uo может проходить сквозь этот «барьер».

Такие явления прохождения сквозь потенциальные барьеры частиц с малой энергией являются чисто квантовыми и называются «туннельными эффектами». Экспериментально эти явления наблюдаются с микрочастицами в различных ситуациях: автоэлектронная эмиссия - выход электронов за пределы металлов при малых температурах, автоионизация - выход электронов из атомов и молекул под действием слабого электрического поля, когда энергии поля бывает недостаточно для вырывания электрона с точки зрения классической механики. В физике элементарных частиц подобное явление наблюдается в радиоактивном излучении при выходе альфа частиц из ядер атомов.

Очень важным для атомной физики является рассмотрение поведения микрочастицы в силовом поле, когда потенциальная энергия зависит от координаты x в соответствии с законом , этот случай соответствует в классической механике гармоническим колебаниям тела массой m с циклической частотой _o (гармонический осциллятор). Примерно такие колебания в мире микрочастиц происходят при движении атомов в молекуле, а также при колебаниях молекул около узлов кристаллической решетке в твердых телах.

В классической механике гармонический осциллятор может иметь любую произвольную полную энергию Е, а его максимальное смещение от положения равновесия (амплитуда колебаний) x_o ограничено и связано с энергией соотношением . В квантовой механике для анализа характеристик особенностей движения гармонического осциллятора необходимо решить уравнение Шредингера с данной потенциальной энергией

. (1.20)

Решение такого дифференциального уравнения в аналитическом виде достаточно сложно, но качественные особенности аналогичны предыдущим случаям.

Возможные значения для полной энергии при решении определяются формулой

. (1.21)

Из этой формулы видно, что полная энергия гармонического осциллятора тоже квантована, а ее минимальная величина при n = 0 отлична от нуля, также как и в предыдущих случаях. Наличие энергии нулевых колебаний - это чисто квантовый эффект, он говорит о том, даже в области нулевой потенциальной энергии у частицы имеется ненулевая кинетическая энергия и ненулевой импульс. Это означает, что микрочастица постоянно двигается и не может находиться в абсолютном покое.

Подтверждение наличия нулевых колебаний было получено в экспериментах по рассеиванию света в кристаллах. Согласно классической теории, при абсолютном нуле температуры по Кельвину колебаний атомов около узлов кристаллической решетки и соответственно рассеивания света, вызываемого этими колебаниями, не должно быть. Эксперименты показывают, что интенсивность рассеянного света при уменьшении температуры уменьшается, но даже при температурах очень близких к абсолютному нулю интенсивность рассеянного света не нулевая, что доказывает наличие нулевых колебаний.

Все выше приведенные варианты решений уравнения Шредингера и наличие в экспериментах эффектов, объясняемых рассмотренными примерами, указывают на необходимость использования квантово-механического описания поведения микрочастиц.



2. Физика атома

2.1 Электрон в атоме водорода. Энергетические уровни. Квантовые числа и их физический смысл

Квантово-механическая теория атома, построенная на уравнении Шредингера, гораздо совершеннее полу_классичекой теории атома Бора, построенной на ряде постулатов. Она сохраняет некоторые аспекты старой теории - например, электроны могут находиться в атоме только в состояниях с определенной дискретной энергией; при переходе электрона из одного состояния в другое испускается (или поглощается) фотон. Но квантовая механика не просто дополняет теорию Бора, она рисует совершенно иную картину строения атома. Согласно квантовой механике, не существует определенных круговых орбит у электронов, как в теории Бора. В силу волновой природы электрон «размазан» в пространстве, т.е. может с определенной вероятностью находится в любой точке пространства.

При рассмотрении атома водорода, движение его единственного электрона можно рассматривать как движение в электрическом поле ядра. По аналогии с задачей о движении частицы в потенциальной яме простой формы, здесь необходимо найти решения стационарного уравнения Шредингера в трехмерном пространстве с конкретным видом потенциальной энергии, описывающем его электростатическое взаимодействие с ядром

. (2.1)

При решении уравнения Шредингера в данном случае используют специальные функции математической физики - сферические функции и сферическую систему координат, центр которой совпадает с центром ядра атома. Если записать уравнение Шредингера в сферических координатах (r, , ), то его можно строго аналитически решить, это решение представляют в виде произведения трех функций

(2.2)

Важной особенностью решения является его зависимость от трех чисел n, l, m, называемых квантовыми числами. В квантовой механике каждому решению соответствует определенное состояние атома со своим распределением электрона вокруг ядра, которое задается соответствующей волновой функцией, зависящей от трех квантовых чисел: n, l, m_.

Квантовое число n называется главным квантовым числом, от него зависит значение полной энергии атома водорода, при этом атом может иметь не любые значения энергии Е, а лишь некоторые Е_n. Квантовое число n может принимать следующий ряд значений n = 1, 2, 3, … . Значения энергии Е_n, которые может иметь атом, называют разрешенными значениями энергии атома, а их совокупность Е₁, Е₂, … Е представляет собой энергетический спектр атома. Разрешенные значения энергии обычно изображаются в виде горизонтальных линий, называемых энергетическими уровнями. Для атома водорода квантовая механика предсказывает точно такие же энергетические уровни, что и теория Бора, т.е.

. (2.3)

Состояние атома с наименьшей энергией называется основным (n = 1), все остальные состояния - возбужденными.

Орбитальное квантовое число l связано с моментом импульса орбитального движения электрона вокруг ядра. Так как электрон имеет электрический заряд, то его движение вокруг ядра приводит к появлению магнитного момента, аналогичного магнитному моменту кругового витка с током. Орбитальное квантовое число l может принимать целочисленные значения от 0 до n -1, оно квантует величину момента импульса L и магнитного момента согласно соотношениям

, (2.4)

где _Б - постоянная, служащая единицей измерения магнитных моментов атомов и называемая магнетоном Бора. Сравнивая формулу квантования момента импульса с формулой квантования в теории Бора, можно заметить, что они не совпадают. Более того, при l=0, в квантовой механике возможны состояния атома с нулевым моментом импульса электрона. Опыт подтверждает существование квантовых состояний атома с нулевыми орбитальными моментами, хотя при классическом описании движения электрона в атоме по определенной орбите атом должен всегда обладать ненулевым моментом импульса.

Магнитное квантовое число m характеризует ориентацию момента импульса L и магнитного момента во внешнем силовом поле (например, магнитном или электрическом) и может принимать целочисленные значения от - l до + l . Согласно классической теории магнитный момент всегда стремится повернуться вдоль направления магнитного поля. В квантовой механике движение электрона таково, что магнитный момент может быть направлен в нескольких, строго определенных направлениях в зависимости от состояния атома, то есть он квантуется не только по величине, но и по направлению. Такое пространственное квантование приводит к тому, что проекции момента импульса и магнитного момента электрона на выделенное в пространстве направление могут иметь только строго определенные значения. Ориентацию магнитного момента и момента импульса задают как и в классической физике, указывая его компоненту вдоль оси z, совпадающей с направлением магнитного поля. В квантовой механике возможные проекции L_z и _z определяются магнитным квантовым числом m с помощью соотношений

(2.5)

Так как формула квантования проекции механического момента соответствует вполне определенным направлениям ориентации в пространстве векторов L и , то эту формулу называют обычно формулой пространственного квантования. С точки зрения классического представления об электронной орбите, эта формула определяет возможные дискретные расположения электронных орбит в пространстве по отношению к направлению внешнего поля. По отношению к другим координатам x и y положение векторов момента импульса L и магнитного момента меняется так, как если бы они вращались вокруг оси z. Такое вращение называется прецессией.

2.2 Опыт Штерна и Герлаха

Пространственное квантование было продемонстрировано экспериментами с атомными пучками, выполненным О.Штерном и В.Герлахом в 1922 г. Для атома водорода пространственное квантование орбитального магнитного момента описывается формулой (2.14). Для более сложных многоэлектронных атомов эта формула несколько видоизменяется, однако и для таких атомов остается в силе основной вывод квантовой теории: проекция магнитного момента атома на направление внешнего магнитного поля может иметь только дискретные квантовые значения.

В опыте Штерна и Герлаха пространственное квантование для атомных систем демонстрируется следующим образом. Путем испарения в вакуумной печи серебра или другого металла получают газ, состоящий из возбужденных атомов. С помощью тонких щелей формируется узкий атомный пучок который пропускается через неоднородное магнитное поле с большим градиентом магнитной индукции B/z. Для создания такого магнитного поля используется магнит с ножевидным полюсным наконечником, вблизи которого на достаточно малом расстоянии пропускается атомный пучок. На атомы, пролетающие в зазоре магнита, вдоль направления магнитного поля действует сила F_z = _zB/z, обусловленная градиентом индукции неоднородного магнитного поля и зависящая от величины проекции магнитного момента атома на направление поля. Эта сила отклоняет движущийся атом в направлении оси z, причем за время пролета магнита движущийся атом отклоняется тем больше, чем больше величина проекции _z .

С позиций классической физики, магнитные моменты атомов вследствие их хаотичного теплового движения, при влете в магнитное поле могут иметь любое направление в пространстве. Это должно приводить к возможности различных отклонений атомов. В результате, атомы серебра, быстро пролетевшие через магнитное поле, должны были образовывать непрерывную зеркальную полосу в местах оседания на стеклянной пластинке. Если же, как предсказывает квантовая теория, имеет место пространственное квантование, и проекция магнитного момента атома принимает только определенные дискретные значения, то под действием силы F_z атомный пучок должен расщепиться на дискретное число пучков, которые, оседая на стеклянной пластинке, дают серию узких дискретных зеркальных полос, куда попадают атомы. Именно этот результат наблюдался в эксперименте. Таким образом, опыт Штерна и Герлаха подтвердил правильность выводов квантовой теории о наличии пространственного квантования магнитных моментов и моментов импульса атомов.



2.3 Пространственное распределение электрона в атоме водорода

Графически вероятность нахождения электрона можно изобразить в виде облака, где более темные области соответствуют большей вероятности нахождения. «Размеры» и «форму» электронного облака в заданном состоянии атома можно вычислить. Для основного состояния атома водорода решение уравнения Шредингера дает

, (2.6)

где ц(r) - волновая функция, зависящая только от расстояния r до центра атома, r₁ - постоянная, совпадающая с радиусом первой Боровской орбиты. Электронное облако только приблизительно характеризует размеры атома и движение электрона, так как согласно (2.15) вероятность обнаружения электрона не равна нулю для любой точки пространства.

Если в этих состояниях определить наиболее вероятные расстояния электрона от ядра, то они будут равны радиусам соответствующих Боровских орбит. Таким образом, хотя квантовая механика не использует представление о движении электрона по определенным траекториям, тем не менее, радиусам Боровских орбит и в этой теории можно придать определенный физический смысл.

2.4 Спин электрона

Из квантовой теории следует, что вследствие симметрии электронного облака механический и магнитный моменты атома, находящегося в основном, невозбужденном состоянии, равны нулю. Следовательно, если в опыте Штерна - Герлаха обеспечить условия, при которых в атомном пучке будут двигаться невозбужденные атомы, то такой атомный пучок не должен расщепляться магнитным полем. Однако эксперимент не подтвердил такой вывод квантовой теории. Пучок невозбужденных атомов серебра расщепился на два пучка, которые создали две узкие зеркальные полоски, сдвинутые симметрично вверх и вниз.

Для объяснения этого и ряда подобных явлений в 1925 г. С.Гаудсмит и Дж.Уленбек выдвинули смелую теорию о том, что сам электрон является носителем собственных механического и магнитного моментов, не связанных с движением электрона в пространстве. Эта гипотеза получила название гипотезы о спине электрона. Такое название связано с английским словом spin, которое переводится как кружение, верчение. Согласно выдвинутой теории, электрон обладает собственным моментом импульса L_s, который получил название спина, и собственным магнитным моментом . Спин электрона L_s не квантуется по величине, но квантуется его проекция на направление магнитного поля L_sz согласно формуле

, (2.7)

спиновое квантовое число s может принимать только два значения s = +1/2 и s = -1/2, то есть у самого электрона во внешнем поле возможны два направления спина.

Первоначально предполагалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси. Однако такая модель вращающегося заряженного шарика оказалась несостоятельной, так как расчет показал, что ни при каких допустимых скоростях вращения нельзя индуцировать магнитный момент, равный по величине собственному магнитному моменту электрона. Спин электрона не имеет классического аналога. Он характеризует внутреннее свойство квантовой частицы, связанное с наличием у нее некоторой дополнительной степени свободы движения. Количественная характеристика этой степени свободы - спин является для электрона такой же величиной как, например, его масса и заряд.

Наличие спина электрона и возможность его пространственного квантования во внешнем поле позволило объяснить эффекты, которые наблюдались при изучении тонкой структуры оптических спектров ряда атомов. Например, тщательное исследование спектральных линий водорода в магнитном поле показало, что каждая линия состоит из двух близких линий. Это явление получило название тонкой структуры, оно объясняется возможностью двойной ориентации спина.

В 1928 г. П. Дирак обобщил квантовую теорию на случай релятивистского движения частиц. Это уравнение значительно сложнее уравнения Шредингера по своей структуре, но из уравнения Дирака спиновое квантовое число получается так же естественно, как и три квантовых числа при решении уравнения Шредингера. Можно упрощенно сказать, что собственные механический и магнитный моменты у электрона появляются как следствие учета релятивистских эффектов в квантовой теории. Отметим также, что не только электрон, но и многие другие элементарные частицы, в том числе и не заряженные, обладают спином.

Таким образом, каждое квантовое состояние электрона в атоме определяется набором четырех квантовых чисел n, l, m, s. При этом возможны только определенные комбинации этих квантовых чисел:

n = 1, 2, 3, … ; l = 0, … n -1; m = - l, - l +1, … l -1, l ; s = 1/2. (2.8)

2.5 Многоэлектронный атом. Правила распределения электронов по орбиталям. Принцип Паули

В многоэлектронных атомах вокруг положительно заряженного ядра двигается несколько электронов, их число равно порядковому номеру атома в таблице Менделеева. У многоэлектронных атомов система энергетических уровней усложняется. Это связано с тем, что каждый электрон в данном случае не только притягивается ядром, но и отталкивается другими электронами.

Для многоэлектронного атома стационарное уравнение Шредингера должно содержать потенциальную энергию взаимодействия ядра со всеми электронами и энергии взаимодействия электронов между собой. Точное аналитическое решение такого уравнения невозможно, на практике пользуются различными приближенными решениями. Например, если считать что взаимодействие электpонов между собой довольно слабое, то в пеpвом пpиближении можно pассматpивать многоэлектронный атом как составленный из нескольких атомов водоpода, вложенных дpуг в дpуга, а взаимодействие электpонов учитывать как добавочное. Такая модель удобна, так как для атома водорода известно точное решение и его pезультаты могут быть использованы.

Решение уравнения Шредингера в таком приближении показывает, что волновые функции для многоэлектронного атома можно выразить через волновые функции атома водорода, при этом энергии возможных состояний электронов зависят уже от двух квантовых чисел n и l. Вследствие этого, структура возможных состояний (электронных оболочек) оказалась для всех атомов идентичной и сходна со структурой атома водорода. Выяснилось, что все состояния водорода присутствуют и в многоэлектронном атоме независимо от того, заняты они электронами или нет. Образно можно сказать, что возможные состояния (орбитали) атома, не перестают существовать даже тогда, когда они не заполнены.

Основное отличие от водорода обнаружилось в заполнении возможных состояний электронами атома. Как оказалось, распределение электронов по состояниям для любого невозбужденного атома происходит на основании следующих законов: пpинципа минимума энеpгии и пpинципа запpета Паули. Первый принцип является общим свойством материи, согласно ему любая система стремится к устойчивому состоянию с наименьшей энергией, поэтому в невозбужденном атоме электроны стремятся занять состояние с минимальной энергией. Но, как оказалось, в многоэлектронном атоме все электроны не могут находиться в одном и том же состоянии. Внимательный анализ спектров испускания в различных диапазонах частот, а также работы выхода электронов из атомов в фотоэффекте привел ученых к выводу, что никакие два электрона в одном и том же атоме не могут находиться в одинаковом квантовом состоянии. Иными словами, каждый электрон в атоме имеет свой собственный “адрес”, записанный набором из четырех квантовых чисел. Этот закон швейцарский физик В. Паули обосновал теоретически и сформулировал в виде принципа запрета: никакие два электрона в одном атоме не могут характеризоваться одинаковым набором всех четырех квантовых чисел чисел n, l, m, s.

Из принципа Паули вытекает следствие, весьма важное для правил заполнения электронных оболочек: в квантовом состоянии, описываемом набором квантовых чисел n, l, m, может находиться максимум два электрона: один со спиновым квантовым числом +1/2 и один со спиновым квантовым числом -1/2. В химии такое состояние называют орбиталью и схематически обозначают квадратиком, а находящиеся на орбитали электроны - стрелками

Таким образом, электроны в невозбужденном многоэлектронном атоме, последовательно занимают состояния, начиная с имеющего минимальную энергию (согласно принципу минимума энергии системы), при этом, согласно принципу запрета Паули, в одном и том же квантовом состоянии могут находиться не более двух электронов.

2.6 Особенности структуры электронных уровней в сложных атомах

Связь распределения электронов по орбиталям с периодической таблицей Менделеева

Условно все возможные квантовые состояния распределяют (группируют) по слоям (оболочкам), подслоям (подоболочкам) и орбиталям. Как оказалось, свойства атомов определяются распределением электронов по этим состояниям.

Квантовым слоем (квантовой оболочкой) называют совокупность состояний, которым соответствует одно и тем же значение квантового числа n, но разные значения l, m, s. Наибольшее число электронов N, которые могут находиться в оболочке, согласно (2.8), равно удвоенному квадрату номера слоя: N=2n². Так как энергия состояний в многоэлектронном атоме зависит от двух квантовых чисел n и l, то электроны в квантовом слое могут занимать l энергетических уровней. Квантовые слои обозначаются цифрами, соответствующими номерам слоев, кроме того они имеют названия: слой n = 1 называют К слоем (или К оболочкой), слой n = 2 называют L слоем (или L оболочкой), слой n = 3 - М слоем, n = 4 - N, n = 5 - О слоем, n = 6 - Р и так далее.

Каждый квантовый слой с номером n условно состоит из n квантовых подслоев (подоболочек), соответствующих состояниям с одними и теми же n, l, но разными m, s. В подслое может находиться до 2(2 l+1) электронов, подслои обозначаются буквами: l = 0 - s, l = 1 - p, l = 2 - d, l = 3 - f, l = 4 - g и т.д. Энергия электронов одного подслоя примерно одинакова.

В свою очередь, каждый подслой состоит из 2l+1орбиталей, соответствующих состояниям с одними и теми же n, l, m, но разными s_. На каждой орбитали может находиться не более двух электронов с разными спиновыми числами s = 1/2.

Отсюда следует, что в s-подслое может содержаться максимум 2 электрона, в р-подслое - 6, в d - 10, в f - 14, в g - 18 электронов. Соответственно в слое K может содержаться максимум 2 электрона, в слое L - 8, в слое M -18, в слое N - 32 и т.д.

Структуры и максимально возможные заполнения слоев изображают в виде формул: K-слой 1s² , L_слой 2s²2p⁶ , M-слой 3s² 3p⁶ 3d¹⁰, N-слой 4s² 4p⁶4d¹⁰4f¹⁴. Используя введенные понятия, можно условно формулой и графически изобразить распределение электронов, например атома кислорода О₈, следующим образом: символьно- 1s² 2s² 2p⁴ .

При заселении орбиталей электроны в первую очередь располагаются поодиночке на каждой орбитали, а затем начинается их заполнение вторыми электронами. Эта особенность называется правилом Гунда, она связана с тем, что энергия подслоя при таком заполнении несколько меньше.

Электроны внешнего слоя, как наиболее удаленные от ядра и наименее прочно связанные с ядром, могут отрываться от атома и присоединяться к другим атомам, входя в состав их внешнего слоя. Атомы, лишившиеся одного или нескольких электронов, становятся положительно заряженными, так как заряд ядра атома будет превышать заряд оставшихся электронов. В то же время, атомы, присоединившие электроны, становятся отрицательно заряженными. Образующиеся таким путем заряженные частицы называются ионами. Многие ионы, в свою очередь, могут терять или присоединять электроны, превращаясь при этом в электро_нейтральные атомы, такой процесс называется рекомбинацией. Ионы с разными по знаку зарядами притягиваются друг к другу электростатическим взаимодействием, они сближаются и образуют молекулу, такую связь в химии называют ионной связью. Характерный пример такой связи наблюдается при образовании молекул NaF, NaCl. Другой распространенный вид связи атомов в молекуле возникает за счет перераспределения положения электронов около одинаковых атомов при их сближении. Например, при сближении атомов водорода электроны будут находиться, в основном, между ядрами, при этом ядра, притягиваясь к этому электронному облаку, будут дальше сближаться и образовывать устойчивую молекулу Н₂. Такая связь называется ковалентной связью. Имеются и другие виды химических связей, но все они объяснятся электростатическим взаимодействием ядер и электронного облака, деформированного при сближении атомов. Таким образом, химические реакции, в которых могут участвовать атомы, и другие химические свойства определяются внешними электронами, ответственными за образование связей с другими атомами. Эти электроны называются валентными электронами, а внешние электронные подслои, в которых они находятся, называют валентными.

Рассмотрим, как в многоэлектронных атомах идет заполнение слоев с учетом того, что энергия возможных состояний зависит от двух квантовых чисел n,l и к каким последствиям это пpиводит.

Пеpвый сложный атом - атом гелия Не₂ - содеpжит два электpона (орбиталь 1s). Гелием заканчивается стpоение К - оболочки. Поэтому, следующий по числу электpонов, атом лития Li₃ содеpжит тpетий электpон на L - оболочке (орбиталь 2s). С лития начинается заполнение L-оболочки. За литием следует беpиллий Be₄, его четвеpтый электpон тоже попадает в L-оболочку. В Боре В₅ начинается заполнение подоболочки 2р (орбиталь 2р) и она заполняется до атома неона Ne₁₀. На этом заполнение L-оболочки заканчивается.

Далее начинается заполнение М-оболочки с натpия Na₁₁, который как и литий, попадает в гpуппу щелочных металлов - у него один валентный электpон. М - слой состоит из трех подслоев 3s, 3p, 3d и может содеpжать в себе максимум 18 электpонов, то есть вроде бы заполнение М - слоя должно закончится на атоме никеля Ni₂₈, на самом деле после полного заполнения подоболочки 3р в атоме Ar₁₈ начинается заполнение в атоме К₁₉ подслоя 4s в слое N. То есть здесь вроде бы последовательное заполнение орбиталей наpушается. Но дело в том, что у калия уже достаточно много электpонов, взаимодействие электpонов между собой становится существенным и оно так меняет энергии состояний, что последнему электpону калия энеpгетически выгоднее (с точки зpения пpинципа минимума энеpгии) находиться в N- слое, нежели в М - слое, хотя последний еще и не заполнен полностью. Точно так же пpоисходит и с кальцием Са₂₀, следующим за калием: его последнему электpону выгоднее пpебывать в N - слое, нежели в М - слое. Но начиная со скандия Sс₂₁, следующего за кальцием, каpтина меняется: последующим электpонам энеpгетически выгоднее находиться в М - слое. Начиная со скандия, идет заполнение М - слоя.

...