Виды колебаний

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Колебаниями называются процессы, характеризуемые определённой повторяемостью со временем. Можно без преувеличения сказать, что мы живём в мире колебаний и волн. Действительно, живой организм существует благодаря периодическому биению сердца, наши лёгкие колеблются при дыхании. Человек слышит и разговаривает вследствие колебаний его барабанных перепонок и голосовых связок. Световые волны (колебания электрических и магнитных полей) позволяют нам видеть. Другими важными примерами являются переменный ток, электромагнитные колебания в колебательном контуре, радиоволны и т.д. Как видно из приведённых примеров, природа колебаний различна. Однако они сводятся к двум типам механическим и электромагнитным колебаниям. Оказалось, что, несмотря на различие физической природы колебаний, они описываются одинаковыми математическими уравнениями.

Любая система, способная колебаться или в которой могут происходить колебания, называется колебательной. Колебания, происходящие в колебательной системе, выведенной из состояния равновесия и представленной самой себе, называют свободными колебаниями. Свободные колебания являются затухающими, так как энергия, сообщённая колебательной системе, постоянно убывает. Рассмотрим сначала колебания, полностью пренебрегая причинами, приводящими к убыванию энергии.

Гармоническими называют колебания, при которых какая-либо физическая величина, описывающая процесс, изменяется со временем по закону косинуса или синуса:

(t) = Acos(₀t + ) (1)

Выясним физический смысл постоянных A, w и a, входящих в это уравнение.

Константа A называется амплитудой колебания.

Амплитуда это наибольшее значение, которое может принимать колеблющаяся величина. Согласно определению, она всегда положительна.

Выражение wt + a, стоящее под знаком косинуса, называют фазой колебания. Она позволяет рассчитать значение колеблющейся величины s в любой момент времени. Постоянная величина a представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и поэтому называется начальной фазой колебания. Значение начальной фазы зависит от выбора начала отсчёта времени. Величина w получила название циклической частоты, физический смысл которой связан с понятиями периода и частоты колебаний.

Периодом незатухающих колебаний называется наименьший промежуток времени, по истечении которого процессы повторяются, или коротко время одного полного колебания. Число колебаний, совершаемых в единицу времени, называют частотой колебаний. Частота n связана с периодом T колебаний соотношением

(2)

Частота колебаний измеряется в герцах (Гц). Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением:

(3)

Из этого соотношения следует физический смысл циклической частоты. Она показывает, сколько колебаний совершается за 2p секунд.

Пружинный маятник представляет собой тело массой, подвешенное на пружине. Массой пружины и силами трения пренебрегаем.

Рассмотрим превращения энергии, происходящие при колебании такого маятника. Уравнение колебаний пружинного маятника имеет вид:

x(t) = Xmcos(w_t + a) (4)

где Xm и w0 амплитуда колебания и циклическая частота колебания (см. (1)). Это выражение получается из (1) заменой x на x------и A на Xm, учитывая, что

Здесь k коэффициент жёсткости пружины, т -- масса тела. Полная механическая энергия W пружинного маятника представляет собой сумму кинетической энергии Wk тела и потенциальной энергии Wp деформированной пружины, т.е.

W = Wk + Wp (5)

Потенциальная энергия деформированной пружины находится по формуле

W_p = kx2 /2

где x величина удлинения пружины, равная отклонению тела от положения равновесия. С учётом (4) получаем:

(6)

так как Кинетическая энергия тела равна Wk = (1/2)m2. Согласно определению скорость тела при движении вдоль координатной оси x равна

Тогда скорость тела, совершающего гармонические колебания по закону (4), находим по формуле:

Поэтому:

(7)

Подставляя (6) и (7) в (5), находим

(8)

поскольку sin2(w0t + a) + cos2(w0t + a) = 1. Таким образом, как следует из (8), полная механическая энергия при свободных гармонических колебаниях не зависит от времени, т.е. остается величиной постоянной. Из соотношений же (6) и (7) вытекает, что потенциальная и кинетическая энергии изменяются со временем пропорционально cos2(w0t + a) и sin2(w0t + a) соответственно. Поэтому, когда одна из них увеличивается, другая уменьшается. Следовательно, в процессе механических колебаний происходит периодический переход потенциальной энергии в кинетическую энергию и обратно. Важно отметить, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний (см. (8)).

Колебательным контуром называют электрическую цепь, состоящую из индуктивности и ёмкости. Электрическим сопротивлением контура пренебрегаем.

Рассмотрим теперь электромагнитные колебания в колебательном контуре. Уравнение колебаний заряда q на конденсаторе записывается в виде:

q = qmcos(w0t + a) (9)

где qm амплитуда колебания заряда, ?0 циклическая частота колебаний (см. (1)).

Циклическая частота находится по формуле

где L индуктивность катушки, С -- ёмкость конденсатора.

Энергия W колебательного контура складывается из энергии WE электрического поля конденсатора и энергии WB магнитного поля индуктивности, т.е.

W = WE + WB (10)

Но

WE = q2/(2C)

где q величина заряда на конденсаторе, C ёмкость конденсатора. Учитывая (9), получаем, что:

(11)

Энергия магнитного поля находится по формуле

WB = Li2/2

Здесь i сила тока, проходящего через проводник. Сила тока i в контуре находится дифференцированием соотношения (9) по времени:

Тогда

Поскольку

то

(12)

Подставляя (11) и (12) в (10), находим

 (13)

Из соотношений же (11) и (12) следует, что энергии электрического и магнитного полей изменяются со временем пропорционально cos2(?0t + ?) и sin2(?0t + ?) соответственно. Поэтому, когда одна из них увеличивается, другая уменьшается. Следовательно, в процессе колебаний происходит периодический переход энергии электрического поля в энергию магнитного и обратно, т.е. происходят электромагнитные колебания. Важно отметить, что энергия колебаний также пропорциональна квадрату амплитуды.

Затухающие колебания. До сих пор были рассмотрены идеализированные незатухающие колебания, которые возникали в колебательной системе, когда не происходит потери энергии. Однако такие потери всегда есть вследствие наличия сил трения и нагревания проводников в колебательном контуре. Рассмотрим теперь реальные колебательные системы, в которых наблюдается убывание энергии, сообщённой ей. Уравнение колебаний в этом случае записывается в виде:

F = Fmcos Щt,

где Fm и Щ -- амплитуда и циклическая частота колебания. Пусть циклическая частота вынуждающей силы меньше собственной частоты пружинного маятника, равной