Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Учебное пособие

В.П. Литвиненко

Воронеж 2011

Литвиненко В.П. Линейные цепи при гармонических воздействиях: учеб. пособие / Воронеж: ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011. 114 с.

Учебное пособие содержит необходимый теоретический материал и описание методов расчета линейных электрических цепей при гармонических воздействиях, предназначенные для выполнения курсовых работ (проектов) с индивидуальными заданиями. Приведены подробные примеры расчетов, позволяющие студентам самостоятельно выполнять задания. Описаны методы и технические возможности проведения необходимых экспериментальных исследований.

Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 210300 «Радиотехника» специальности 210302 «Радиотехника», дисциплине «Основы теории цепей», направлению 200400 «Биомедицинская техника» специальности 200401 «Биотехнические и медицинские аппараты и системы», дисциплине "Общая электротехника" и направлению 230100 «Информационная и вычислительная техника» специальности 230104 «Системы автоматизированного проектирования», дисциплине «Электротехника и электроника». Предназначено студентам очной формы обучения.

Оглавление

Введение

1. Метод комплексных амплитуд

1.1 Гармонический сигнал

1.2 Комплексная амплитуда гармонического сигнала

1.3 Операции с комплексными числами

1.4 Законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд токов и напряжений

1.5 Комплексные сопротивления и проводимости элементов цепи

1.6 Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи

2. Расчет гармонических токов и напряжений в линейной цепи

2.1 Расчет токов и напряжений на основе закона Ома

2.2 Общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа

2.3 Метод контурных токов

2.4 Метод узловых напряжений (потенциалов)

2.5 Рекомендации по проведению расчетов гармонических токов и напряжений

2.6 Построение векторной диаграммы цепи

2.7 Расчет мощности, потребляемой цепью от источника гармонического сигнала

3. Расчет частотных характеристик четырехполюсников

3.1 Частотные характеристики четырехполюсников

3.2 Входное и выходное сопротивления четырехполюсника

3.3 Комплексный коэффициент передачи

3.4 Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики четырехполюсника

3.5 Характеристики избирательности

3.6 Расчет реакции цепи на сложное входное воздействие

4. Измерение характеристик сигналов и цепей

4.1 Измерение параметров гармонического сигнала с помощью электронного осциллографа

4.2 Измерение амплитудно-частотной характеристики

4.3 Измерение фазочастотной характеристики

4.4 Исследование воздействия импульсного сигнала на четырехполюсник

4.5 Исследование электронных устройств

5. Моделирование электрических цепей

6. Задание к курсовой работе

6.1 Общие сведения

6.2 Исследуемая цепь

6.3 Расчет токов и напряжений

6.4 Векторная диаграмма

6.5 Частотные характеристики

6.6 Экспериментальные исследования

6.7 Исследовательская часть курсовой работы

6.8 Этапы выполнения работы

6.9 Содержание и оформление отчета

Приложение 1. Измерительные приборы

Приложение 2. Варианты индивидуального задания

Заключение

Библиографический список

Введение

электрический цепь ток напряжение

Цель курсовой работы состоит в изучении стационарных гармонических процессов в линейных цепях и частотных характеристик четырехполюсников, в освоении методов расчета и проектирования электрических цепей и современных средств вычислительной и экспериментальной техники.

В курсовой работе необходимо рассчитать гармонические токи и напряжения в заданной линейной цепи, построить векторную диаграмму, определить частотные характеристики четырехполюсника. Предусматривается экспериментальная проверка результатов. Численные расчеты проводятся на ЭВМ с использованием современных вычислительных и моделирующих программных продуктов, а также языков программирования высокого уровня.

Отдельной частью курсовой работы (проекта) является исследовательское задание в области теории цепей, электроники или программирования, которое выбирается студентом самостоятельно в соответствии с индивидуальными интересами. В пособии приведены примеры подобных заданий, даны рекомендации по их выполнению.

Учебное пособие ориентировано на студентов, самостоятельно выполняющих курсовую работу в первом семестре изучаемой дисциплины, когда ими еще не прослушан полный курс лекций, и не проведены необходимые практические и лабораторные занятия.

1. Метод комплексных амплитуд

1.1 Гармонический сигнал

Гармонический сигнал записывают в виде

, (1.1)

где - амплитуда сигнала (индекс от слова «максимум»), - круговая частота, а - начальная фаза. Временная диаграмма гармонического сигнала показана на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Амплитуда гармонического сигнала - это его максимальное значение, она измеряется в единицах сигнала (вольтах для напряжения и амперах для тока).

Период сигнала (рис. 1.1) определяет циклическую частоту его повторения,

, (1.2)

измеряемую в герцах (Гц). Ее физический смысл - число периодов колебаний в секунду.

Аргумент косинуса в (1.1) вида

(1.3)

называют полной фазой колебания, она пропорциональна текущему времени и измеряется в радианах или градусах.

Круговая частота равна

(1.4)

и представляет собой число радиан, на которое изменяется полная фаза колебания в единицу времени (1 с).

При полная фаза равна , поэтому параметр называют начальной фазой гармонического сигнала. Она измеряется в радианах или градусах. Так как период функции равен или 360⁰, то начальная фаза оказывается многозначной величиной. Например, значения начальной фазы 30⁰ и (30⁰+360⁰)=390⁰, а также (30⁰-360⁰)=-330⁰ оказываются эквивалентными. Для устранения неоднозначности договариваются, что значения начальной фазы должны находиться, например, в интервале от 0 до , или от до (аналогичные границы могут быть заданы в градусах).

Начальная фаза связана со смещением гармонического сигнала во времени на величину относительно функции , как показано на рис. 1.1. Функция смещена влево относительно , а - вправо. Положительные значения отсчитываются в сторону увеличения , а отрицательные - наоборот.

Из (1.1) можно записать

, (1.5)

где смещение во времени равно

. (1.6)

Тогда для начальной фазы получим

. (1.7)

Как видно, начальная фаза определяется временным сдвигом гармонического сигнала относительно функции . При сигнал смещается вправо по оси времени, при этом его начальная фаза , а если , то временная диаграмма смещается влево по оси времени, а . Величина начальной фазы зависит от начала отсчета времени (положения точки ). При смещении начала отсчета времени изменяется и начальная фаза.

Применительно к двум гармоническим сигналам и с разными начальными фазами и вводится в рассмотрение сдвиг фаз между первым и вторым сигналами,

. (1.8)

На рис. 1.2 показаны два гармонических сигнала с начальными фазами и , причем и . В этом случае говорят, что первый сигнал опережает по фазе второй или второй сигнал отстает по фазе от первого.

Сдвиг фаз связан со смещением сигналов во времени

, (1.9)

положительные значения временного сдвига отсчитываются в направлении оси времени. Гармоническое колебание может быть задано в нетипичной форме, которую необходимо преобразовать к виду (1.1), иначе начальная фаза

Рис. 1.2 оказывается неопределенной

Примеры преобразования показаны в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Исходный сигнал	Преобразованный сигнал	Начальная фаза

1.2 Комплексная амплитуда гармонического сигнала

Для гармонического сигнала (тока или напряжения) комплексная амплитуда равна

, . (1.10)

Комплексная амплитуда является комплексным числом ( - мнимая единица) и определяется только амплитудой и начальной фазой сигнала и не зависит от его час-

7

тоты. Комплексная амплитуда обозначается тем же символом, что и амплитуда сигнала, но с точкой сверху.

Например, если мгновенное значение гармонического напряжения равно В, то его комплексная амплитуда равна В или В.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если запись сигнала отличается от формы (5.1) то необходимо провести соответствующие тригонометрические преобразования, представленные в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Если гармоническое напряжение имеет вид мВ, то после преобразования получим мВ, а комплексная амплитуда будет равна мВ.

1.3 Операции с комплексными числами

Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной. В алгебраической форме комплексное число (точка сверху используется для обозначения комплексной амплитуды сигнала, а если речь идет о комплексном сопротивлении или проводимости, то используется подчеркивание символа ) записывается в виде

, (1.12)

где - действительная, а - мнимая части комплексного числа, - мнимая единица.

В показательной форме комплексное число представляется выражением

, (1.13)

величину называют модулем, а - аргументом комплексного числа. От алгебраической формы можно перейти к показательной, модуль комплексного числа равен

, (1.14)

а аргумент

 (1.15)

Аргумент комплексного числа, как и начальная фаза гармонического сигнала, величина многозначная, к ней можно добавить (или вычесть) любое число раз. Для обеспечения однозначности аргумента комплексного числа его значения выбирают в диапазоне, например, от до или от 0 до .

Показательную форму комплексного числа можно заменить алгебраической с помощью соотношений

(1.16)

Они вытекают из известной в математике формулы Эйлера,

(1.17)

Например, если комплексное число в алгебраической форме равно , то в показательной форме его можно записать в виде

.

Если комплексное число равно , то в показательной форме получим

.

Для комплексного числа в показательной форме в виде его алгебраическая форма имеет вид

.

С комплексными числами проводятся все четыре арифметические действия.

При сложении и вычитании комплексных чисел и в алгебраической форме получим

. (1.18)

Если числа заданы в показательной форме, то перед сложением или вычитанием их необходимо преобразовать в алгебраическую форму.

Операции умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, когда и , при этом при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются

, (1.19)

а при делении делятся модули и вычитаются аргументы числителя и знаменателя

. (1.20)

Умножение можно провести и с алгебраической формой сомножителей по известным правилам с учетом того, что :

. (1.21)

При делении комплексных чисел в алгебраической форме используется операция устранения комплексности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Для заданного числа комплексно сопряженное число равно , то есть отличается от противоположным знаком при мнимой части. Произведение двух комплексно сопряженных чисел всегда равно квадрату их модуля,

. (1.22)

Тогда при делении в алгебраической форме получим

(1.23)

Рассмотрим пример и , тогда

,

Эти операции можно провести и в показательной форме

,

,

,

.

Как видно, полученные результаты совпадают.

Полезно запомнить следующие равенства (табл. 1.3.), вытекающие из формулы Эйлера,

(1.24)

Таблица 1.3

Вычисления с комплексными числами удобно проводить на персональной ЭВМ с помощью пакета программ MathCAD.

1.4 Законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд токов и напряжений

Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений.

Закон Ома: комплексная амплитуда напряжения на участке цепи прямо пропорционально комплексной амплитуде протекающего через него тока. Для двухполюсного участка цепи его можно записать в виде

или , (1.25)

где - полное комплексное сопротивление, а - полная комплексная проводимость участка цепи.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных амплитуд сходящихся в узле токов равна нулю,

. (1.26)

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжения на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных амплитуд ЭДС идеальных источников напряжения, включенных в этот контур,

. (1.27)

Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.

1.5 Комплексные сопротивления и проводимости элементов цепи

Значения комплексных сопротивлений и проводимостей элементов цепи R, L и C приведены в табл. 1.4 (запомните эти формулы).

Таблица 1.4

Элемент	R	L	C
Комплексное сопротивление
Комплексная проводимость

Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления всегда действительны (мнимая часть равна нулю), а индуктивности и емкости - мнимые (действительная часть равна нулю).

Для комплексного сопротивления из закона Ома получим

, (1.28)

где - сдвиг фаз между напряжением и током в элементе. Для сопротивления напряжение и ток совпадают по фазе, то есть и из (1.28) величина действительна.

В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 90⁰ (на радиан), следовательно , тогда и величина комплексного сопротивления индуктивности оказывается с нулевой действительной и положительной мнимой частями. В емкости , и ее комплексное сопротивление имеет нулевую действительную и отрицательную мнимую части.

1.6 Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи

Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по следующим правилам:

- комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений;

- комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей.

Например, сопротивление последовательной цепи, показанной на рис. 1.3а при кОм и пФ и частоте кГц равно

кОм,

Рис. 1.3 а проводимость параллельной цепи на рис 5.1б

Сим.

Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,

(1.29)

Для последовательной цепи на рис. 1.3а ее проводимость равна

Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю. Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,

.

Тогда для проводимости получим

Сопротивление параллельного соединения двух элементов с сопротивлениями и определяется выражением

.

Комплексное сопротивление цепи со смешанным соединением элементов определяется следующим образом:

- в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;

- фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;

- эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 1.4 при кОм, нФ, рад/с и определим ее комплексное сопротивление . В цепи выделяется простой параллельный фрагмент из элементов и определяется его сопротивление , равное

Рис. 1.4

.

Тогда параллельный фрагмент заменяется эквивалентным элементом с сопротивлением и схема цепи принимает вид, показанный на рис. 1.5.

Для полученной последовательной цепи ее сопротивление равно

.

Подставляя исходные данные, получим

Рис. 1.5

Ом.

2. Расчет гармонических токов и напряжений в линейной цепи

2.1 Расчет токов и напряжений на основе закона Ома

С помощью закона Ома можно определять токи и напряжения в сравнительно простых цепях с одним источником сигнала.

Расчет проводится следующим образом. Прежде всего определяется комплексное входное сопротивление (или проводимость) цепи относительно точек ее подключения к источнику. Затем при известной ЭДС источника напряжения по закону Ома находится общий ток цепи, а при заданном источнике тока - общее напряжение на ее зажимах.

Далее цепь представляется как последовательное или параллельное соединение двухполюсников и вычисляются либо напряжения на них, либо протекающие через них токи. Эти расчеты продолжаются до тех пор, пока не будут определены искомые токи или напряжения.

В качестве примера рассмотрим расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 2.1 при ЭДС источника

В,кОм и нФ.

Определим общее сопротивлениие цепи отноника:

Ом

и комплексную амплитуду ЭДС заданного источника напряжения

В,

тогда комплексная амплитуда общего тока цепи равна

мА.

По закону Ома комплексная амплитуда напряжения на сопротивлении запишется в виде

В.

Напряжения на параллельно соединенных элементах и одинаковы и их комплексные амплитуды равны

По найденным напряжениям найдем токи в элементах и :

Проведем расчет всех токов и напряжений в более сложной цепи, показанной на рис. 2.2, при заданных параметрах элементов схемы и источника, В, кОм, нФ и мГн.

Составим комплексную схему замещения указанной цепи. Для этого при заданной временной зависимости находим комплексную амплитуду В. Определяем комплексное сопротивление каждого из элементов:

Ом, Ом,

Ом, Ом, Ом.

Рис. 2.2

Комплексная схема замещения цепи будет иметь вид, показанный на рис. 2.3.

Рис. 2.3

Проведем упрощение конфигурации схемы цепи на рис. 2.3 до простейшей, как показано на рис. 2.4.



Рис. 2.4

Первоначальный вид схемы представлен на рис. 2.4а. Из схемы видно, что сопротивления и соединены параллельно. Тогда их можно заменить эквивалентным сопротивлением Ом, что приводит к схеме, показанной на рис. 2.4б. Из последней схемы видно, что сопротивления и соединены последовательно. Это соединение можно заменить сопротивлением Ом. Получим схему, представленную на рис. 2.4в. В этой схеме сопротивления и соединены параллельно, что позволяет перейти к схеме рис. 2.4г, где

Ом,

и наконец, упрощая схему рис. 2.4г, получим простейшую эквивалентную схему рис. 6.4д, где

Ом.

Дальнейший расчет цепи осуществим в обратном порядке. Из схемы рис. 2.4д определяем ток (начальные фазы вычисляются в радианах):

мА.

Затем переходим к схеме рис. 2.4г. Зная , находим напряжения и :

Следующий этап - расчет цепи рис. 2.4в. Так как известно, то определяем токи и :



Теперь рассчитываем схему рис. 2.4б. По известному току находим напряжения и :

И, наконец, из схемы рис. 6.4а находим токи и :

Схема полностью рассчитана, программа вычислений в пакете MathCAD2001 показана на рис. 2.5.

Как видно из схемы цепи на рис. 2.2, напряжение на элементах L и одинаковы, ток в сопротивлении совпадает по фазе с напряжением, а ток в индуктивности отстает от него по фазе на . Тогда ток в индуктивности должен отставать по фазе на от тока в сопротивлении , что соответствует результатам расчета (1,833-0,262=).



Рис. 2.5

Проверку правильности результатов расчета можно провести с использованием первого и второго законов Кирхгофа, результаты показаны на рис. 2.5.

2.2 Общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа

В схеме цепи вводятся обозначения и задаются положительные направления всех токов и напряжений всех ветвей (элементов) цепи. Определяется число узлов , число ветвей , не содержащих идеальные источники тока, и количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Для каждого элемента и ветви цепи по закону Ома записываются компонентные уравнения связи токов и напряжений, всего уравнений. Для узлов формируются уравнения первого закона Кирхгофа, а для независимых контуров - уравнения второго закона Кирхгофа, всего топологических уравнений. Решение системы уравнений электрического равновесия цепи позволяет определить комплексные амплитуды всех токов и напряжений.

Рассмотрим пример ранее рассмотренной цепи рис. 2.2, схема которой показана на рис. 2.6. В ней изменены обозначения напряжений на элементах и .

Рис. 2.6

В цепи узла и ветвей (идеальные источники тока отсутствуют). Для каждого элемента цепи по закону Ома запишем подсистему компонентных уравнений для комплексных амплитуд напряжений и токов:

,

,

, (2.1)

,

.

Для двух верхних узлов цепи запишем уравнения первого закона Кирхгофа

(2.2)

В цепи (рис. 2.6) имеется независимых контура, для которых можно записать уравнения второго закона Кирхгофа

(2.3)

Подставляя (2.1) в (2.3) совместно с (2.2) получим систему уравнений для токов ветвей

(2.4)

Решить систему уравнений можно методом подстановки. Из второго уравнения (2.4) , а с учетом этого из первого уравнения , тогда получим

 (2.5)

Из последнего уравнения (2.5) можно записать

, (2.6)

при этом из (2.5) получим систему двух уравнений вида

(2.7)

Из последнего уравнения (2.7) выразим ток :

, (2.8)

и, подставив его в первое уравнение, определим ток :

. (2.9)

Тогда из (2.8) получим

, (2.10)

а из (2.6) с учетом (2.9) соответственно

. (2.11)

Из уравнений первого закона Кирхгофа определим остальные токи,

, (2.12)

. (2.13)

Численные расчеты токов проведены с помощью пакета программ MathCAD2001, листинг программы и результаты показаны на рис. 2.7. Как видно, получены те же значения комплексных амплитуд токов в алгебраической форме, что и в предыдущем примере.

По найденным токам ветвей с помощью уравнений закона Ома (2.1) определяются напряжения на элементах цепи.

При выполнении курсовой работы расчеты токов и напряжений необходимо провести аналитически, получив соответствующие выражения (формулы), подобные (2.9) - (2.13). Это позволяет:

- контролировать правильность расчетов по размерности складываемых в формулах величин;

- изучать зависимость полученных результатов от частоты сигнала и параметров цепи;

- получать необходимые выражения для расчетов характеристик цепи.



Рис. 2.7

2.3 Метод контурных токов

Метод контурных токов базируется на уравнениях второго закона Кирхгофа для независимых контуров, где - общее число ветвей цепи. Для выбранных независимых контуров вводятся обозначения и задаются положительные направления комплексных амплитуд кольцевых контурных токов , - номер контура (используется двойная индексация, чтобы не путать контурные токи с токами ветвей).

Через контурные токи выражаются токи всех ветвей цепи и по закону Ома определяются напряжения ветвей, а затем записываются уравнения второго закона Кирхгофа для контуров, не содержащих идеальные источники тока. Для контуров с идеальными источниками тока записываются уравнения связи контурных токов и тока источника.

Система содержит уравнений для комплексных амплитуд контурных токов. По найденным контурным токам определяются искомые токи или напряжения ветвей.

Проведем расчет цепи, схема которой показана на рис. 2.2 при указанных для нее исходных данных. Схема цепи с обозначенными контурными токами приведена на рис. 2.8.

Рис. 2.8

В цепи узла и ветвей, тогда по методу контурных токов необходимо составить уравнения.

Выразим напряжения ветвей через контурные токи. Для тока можно записать и тогда по закону Ома получим . Ток определяется токами (он совпадает по направлению с током ) и (он протекает в противоположном направлении), в результате получим и по закону Ома . Аналогично можно записать , и .

По второму закону Кирхгофа необходимо записать три уравнения:

Подставляя выражения для напряжений ветвей, получим систему уравнений метода контурных токов в виде

Из последнего уравнения выразим ток :

,

и подставим его в два первых уравнения. В результате после группирования получим систему из двух уравнений вида

Из второго уравнения после преобразования получим

,

тогда из первого уравнения найдем ток :

.

Проведя алгебраические преобразования, получим выражение для контурного тока :

,

и далее для остальных контурных токов:

,

,

и далее определяем токи ветвей. Нетрудно убедиться, что результаты совпадают с ранее полученными выражениями.

2.4 Метод узловых напряжений (потенциалов)

Метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа. В цепи выделяются потенциальных узлов, последний -й узел объявляется базисным (ему присваивается нулевой потенциал, он отмечается символом «земля»), а для остальных задаются узловые напряжения (потенциалы) с положительным направлением в базисный узел.

Через узловые напряжения с помощью закона Ома и второго закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей цепи, которые подставляются в уравнений первого закона Кирхгофа, в результате получается система уравнений метода узловых напряжений.

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 2.2 при указанных для нее исходных данных. Схема цепи с обозначенными узловыми напряжениями и для потенциальных узлов, обозначенных цифрами 1 и 2 в кружках, приведена на рис. 2.9, нижний узел обозначен как базисный (с номером 0) и отмечен символом «земля».

Рис. 2.9

Выразим комплексные амплитуды токов ветвей через узловые напряжения. Для контура по второму закону Кирхгофа , тогда по закону Ома

.

Для тока получим

,

а для контура по второму закону Кирхгофа и закону Ома получим

.

Для ветвей и из закона Ома следует

и .

Уравнения первого закона Кирхгофа для цепи на рис. 2.9 имеют вид

Подставляя в них найденные токи ветвей, получим систему уравнений метода узловых напряжений

(2.14)

Из второго уравнения выразим :

,

и подставим результат в первое уравнение

,

из которого определим узловое напряжение в виде

.

Проведя алгебраические преобразования и перегруппировку слагаемых, окончательно получим

.

Если обратиться к проведенному ранее расчету цепи методом контурных токов, нетрудно убедиться, что . Тот же результат следует и из расчета общим методом на основе уравнений Кирхгофа (формулы (2.1) и (2.9)).

Подставляя в выражение для , получим

.

Численное решение системы уравнений по методу узловых напряжений можно провести в пакете программ MathCAD2001, как показано на рис. 2.10. Как видно, полученные узловые напряжения В и В совпадают с напряжениями на элементах и , полученными ранее общим методом расчета.

Рис. 2.10

2.5 Рекомендации по проведению расчетов гармонических токов и напряжений

Для расчета гармонических токов и напряжений в линейной электрической цепи могут использоваться различные методы, базирующиеся на представлении гармонических сигналов их комплексными амплитудами.

Для сравнительно простой цепи с одним источником сигнала целесообразно использовать метод, основанный на последовательном применении закона Ома.

Общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа требует составления и решения уравнений (- число ветвей). По методу контурных токов решается уравнений (- число узлов), а по методу узловых напряжений - уравнений. Тогда, если , то эффективнее использовать метод контурных токов, а в противном случае - метод узловых напряжений.

Расчет целесообразно проводить аналитически, получая конечные формулы для искомых величин. Это дает возможность получать общие выражения, на основе которых можно исследовать свойства цепи (например, зависимость токов и напряжений от частоты сигнала).

Полученные формулы дают возможность обнаруживать в них алгебраические ошибки. Например, если получено выражение для напряжения в виде

,

то в нем, очевидно, имеется ошибка, так как в знаменателе суммируются величины не одинаковой размерности (сопротивление и проводимость). Формула вида



также ошибочна, так как правая часть представляет собой ток, а не напряжение.

Для устранения подобных ошибок необходимо проверить корректность алгебраических преобразований.

2.6 Построение векторной диаграммы цепи

Векторной диаграммой электрической цепи называют совокупность векторов, соответствующих гармоническим токам и напряжениям цепи, длина каждого вектора равна амплитуде (или действующему значению) сигнала , а угол наклона вектора к горизонтальной оси - его начальной фазе (рис. 2.11).

Пусть в результате расчета цепи, схема которой показана на рис. 2.12 при , В, , рад/с, кОм и нФ, получены мгновенные значения токов и напряжений, приведенные в таблице (проведите соответствующие расчеты).

Векторная диаграмма цепи построена на рис. 2.13 по данным таблицы, длина вектора равна амплитуде сигнала, а угол отклонения от горизонтальной оси - начальной фазе (отсчет положительных значений угла против часовой стрелки).

Рис. 2.11 Рис. 2.12

Сигнал	Амплитуда	Начальная фаза
	В
	мА
	В
	В

Как видно, вектор тока совпадает по направлению с вектором напряжения на сопротивлении, их длины ( модули) не одинаковы, так как масштабы (например, В/см и мА/см) токов и напряжений различны (ток и напряжение не сравнимы между собой). Ток протекает через емкость и опережает по фазе напряжение емкости на 90⁰. Тогда напряжение на сопротивлении опережает по фазе напряжение на емкости на 90⁰.

Рис. 2.13

Сумма векторов напряжений на сопротивлении и емкости в цепи рис. 2.12 по второму закону Кирхгофа (в векторной форме) равна ЭДС источника, что и показано на векторной диаграмме рис. 2.13.

Векторная диаграмма цепи может быть построена по результатам расчета всех гармонических токов и напряжений. В этом случае она иллюстрирует амплитудные и фазовые соотношения между заранее рассчитанными токами и напряжениями.

Векторную диаграмму можно построить «качественно» (без знания точных параметров векторов, но с правильными соотношениями между ними) и не проводя численных расчетов.

Рассмотрим пример RC цепи, показанной на рис. 2.14, в которой заданы положительные направления и условные обозначения всех токов и напряжений. Прежде всего, необходимо проанализировать структуру цепи. В ней присутствует параллельный фрагмент (соединение элеэлементов C и R₂),

Рис. 2.14

который соединен последовательно с сопротивлением R₁ и источником напряжения . Тогда построение целесообразно начать с напряжения на параллельном фрагменте, при этом , этот вектор проведем произвольно по модулю и направлению, например, горизонтально, как показано на рис. 2.15.

Ток совпадает по фазе с напряжениями , а ток опережает их по фазе на 90⁰. Соответствующие векторы изображены на диаграмме рис. 2.15 с произвольной длиной и указанными угловыми соотношениями относительно вектора . Векторная сумма этих токов по первому закону Кирхгофа равна току , то есть этот вектор строится исходя из векторов и . Вектор напряжения на сопро-



Рис. 2.15 тивлении R₁ совпадает

по направлению с вектором тока и имеет произвольную длину, а вектор ЭДС по второму закону Кирхгофа равен сумме векторов и . На этом построение «качественной» векторной диаграммы цепи заканчивается.

Если цепь содержит последовательный фрагмент, входящий в смешанное соединение, то построение целесообразно начинать с вектора тока этого фрагмента.

Векторная диаграмма электрической цепи может использоваться для формирования аналитических выражений, связывающих амплитуды (действующие значения) и начальные фазы гармонических сигналов в цепи. Например, для диаграммы рис. 2.15 амплитуды (действующие значения) токов

, и по теореме Пифагора связаны выражением . Для других соотношений можно использовать теорему косинусов.

Для сложной цепи построение «качественной» векторной диаграммы требует вдумчивого подхода при выборе начального вектора и способов построения остальных векторов.

2.7 Расчет мощности, потребляемой цепью от источника гармонического сигнала

Если к линейному пассивному двухполюснику (обозначенному как ДП на рис. 2.16) приложено гармоническое напряжение и через него протекает гармонический ток , то потребляемая мощность равна

, (2.15) Рис. 2.16

где и - амплитуды напряжения и тока, а и - их действующие значения, а - сдвиг фаз между напряжением и током. Величину называют коэффициентом мощности.

Таким образом, для расчета потребляемой мощности в цепи с одним источником необходимо рассчитать амплитуды (действующие значения) напряжения и тока и сдвиг фаз между ними.

В качестве примера рассмотрим цепь с одним источником, показанную на рис. 2.1, в которой при заданной входной ЭДС с амплитудой 5В и начальной фазой был определен общий ток с амплитудой 3,162 мА и начальной фазой . Сдвиг фаз между ними , а потребляемая мощность равна

мВт.

В цепи с несколькими источниками сигнала для расчета потребляемой мощности можно воспользоваться методом наложения.

Можно использовать другой подход, основанный на том, что в электрической цепи мощность потребляется только сопротивлениями. Тогда необходимо определить токи (или напряжения) во всех сопротивлениях, найти потребляемые в них мощности по формулам:

, (2.16)

а затем сложить мощности во всех сопротивлениях.

Возвращаясь к схеме цепи на рис. 2.1, воспользуемся найденными амплитудами токов в двух сопротивлениях мА и мА. Мощности и , потребляемые в сопротивлениях и , соответственно равны

мВт,

мВт,

тогда потребляемая цепью мощность равна

мВт.

Как видно, получен тот же результат. Равенство полной мощности сумме мощностей, потребляемых всеми сопротивлениями цепи, называют условием баланса мощностей. Его можно использовать для проверки правильности расчетов токов и напряжений.

Для расчета мощности можно использовать и комплексные амплитуды напряжения и тока,

, (2.17)

где - комплексно сопряженная амплитуда тока, равная

. (2.18)

Например, в цепи на рис. 2.1 комплексная амплитуда ЭДС (напряжения) равна В, а общего тока соответственно мА., тогда и из (2.17) получим

Условие баланса мощности вида , можно использовать для дополнительной проверки правильности расчета токов и напряжений.

3. Расчет частотных характеристик четырехполюсников

3.1 Частотные характеристики четырехполюсников

Четырехполюсником называют цепь с четырьмя полюсами (выводами, контактами), разделенными на пару входных и пару выходных полюсов, как показано на рис. 3.1.

Свойства электрической цепи с реактивными элементами зависят от частоты сигнала. Частотными называют характеристики цепи, рассматри-

практике рассматриваются различные частотные характеристики. Чаще всего свойства четырехполюсника анализируются при гармонических воздействиях, которые описываются комплексными амплитудами. В линейном четырехполюснике при гармоническом воздействии все токи и напряжения являются также гармоническими с той же частотой.

3.2 Входное и выходное сопротивления четырехполюсника

В качестве частотных характеристик рассматриваются входное и выходное сопротивления как функция частоты сигнала. По определению при заданном сопротивлении нагрузки четырехполюсника , подключенном к его выходу, равны

.

Выходное сопротивление определяется при известном внутреннем сопротивлении источника входного сигнала,

.

Знание этих характеристик необходимо при анализе возможностей подключения к четырехполюснику реального источника сигнала и нагрузки.

В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 3.2, в состав которой входят источник входного сигнала (реальный источник гармонического напряжения с комплексной амплитудой и частотой ), RC - четырехполюсник и нагрузка .

Рис. 3.2

Схема цепи для определения входного сопротивления нагруженного четырехполюсника показана на рис. 3.3. Величина определяется выражением

Рис. 3.3

.

При активной нагрузке , умножая числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженный множитель, получим

,

модуль входного сопротивления равен

,

а активную и реактивную составляющие можно записать в виде

,

.

На рис. 3.4 приведены зависимости от частоты модуля и активной составляющей входного сопротивления четырехполюсника при кОм и нФ.

На рис. 3.5 показана зависимость от частоты реактивной составляющей входного сопротивления четырехполюсника.

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Как видно, входное сопротивление четырехполюсника существенно изменяется в выбранном диапазоне частот и имеет емкостный характер. Модуль и активная составляющая сопротивления уменьшаются с ростом частоты от значения при до на бесконечной частоте (на высоких частотах емкость шунтирует нагрузку).

Знание входного сопротивления четырехполюсника необходимо при анализе возможностей подключения к нему реального источника напряжения, схема входной цепи показана на рис. 3.6.

Если необходимо обеспечить максимум амплитуды входного напряжения , то по закону Ома получим

.

Представляя и , можно записать

.

Анализ полученного выражения известными методами может быть задачей исследовательской части курсовой работы (проекта).

Если решается задача

Рис. 3.6 обеспечения максимума мощности , потребляемой четырехполюсником от источника сигнала, то из общего выражения

,

где - комплексно сопряженная амплитуда входного тока, получим

,

где - комплексно-сопряженная ЭДС источника, а - оператор вычисления реальной части числа. С учетом того, что произведение комплексно-сопряженных чисел равно квадрату их модуля, можно записать

,

в результате получим

.

Из полученного выражения нетрудно получить условие максимума потребляемой четырехполюсником (рис. 3.6) мощности (условие согласования четырехполюсника с источником сигнала),

Полученные результаты можно использовать в исследовательской части курсовой работы.

Аналогичный анализ можно провести и для выходной цепи четырехполюсника, рассматривая условия максимизации выходного напряжения на нагрузке, или выделяемой в ней мощности.

3.3 Комплексный коэффициент передачи

Чаще всего в качестве частотных характеристик рассматривается его коэффициент передачи. Комплексный коэффициент передачи по напряжению определяется выражением

. (3.1)

Аналогично вводятся в рассмотрение комплексный коэффициент передачи тока

(3.2)

и коэффициент (не комплексный) передачи мощности

, (3.3)

где - мощность, потребляемая четырехполюсником, а - мощность, передаваемая в нагрузку.

Для расчета коэффициентов передачи необходимо при заданном источнике входного сигнала определить комплексные амплитуды входного и выходного напряжений или токов (а при необходимости и величины мощностей).

В качестве примера рассмотрим четырехполюсник, схема которого показана на рис. 3.7, и определим его комплексный коэффициент передачи напряжения вида (3.1).

Рис. 3.7

Расчет целесообразно провести, подключив на вход четырехполюсника идеальный источник напряжения с ЭДС , как показано на рис. 3.8, методом узловых напряжений. В цепи имеется два узла, следовательно необходимо определить единственное узловое напряжение .



Рис. 3.8

Выражая через токи ветвей, и используя первый закон Кирхгофа, получим уравнение метода узловых напряжений в виде

После алгебраических преобразований получим

. (3.4)

Тогда по Закону Ома можно определить выходное напряжение

.

Подставляя (3.4), с учетом получим

.

Тогда комплексный коэффициент передачи четырехполюсника по напряжению равен

. (3.5)

Как видно, - комплексная функция частоты сигнала, ее называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ). Графически она отображается линией в трехмерном пространстве, что неудобно практически.

На плоскости КЧХ изображается в виде годографа. Для его построения заданный интервал частот разбивается с равномерным шагом, для каждого значения частоты вычисляются и отображаются на комплексной плоскости по осям абсцисс и ординат соответственно действительная и мнимая составляющие комплексного коэффициента передачи.

Пример годографа КЧХ цепи на рис. 3.8 при кОм, мГн и нФ показан на рис. 3.9. Стрелка показывает направление увеличения частоты входного



величина действительна, а точка годографа расположена на оси абсцисс.

3.4 Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики четырехполюсника

Комплексный коэффициент передачи четырехполюсника можно представить в показательной форме

, (3.6)

где - его модуль, а - аргумент.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) представляет собой зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) - это зависимость от частоты аргумента комплексного коэффициента передачи.

Обычно выражение для представляет собой дробь с комплексными числителем и знаменателем, которую необходимо представить в виде

. (3.7)

Тогда модуль частного (дроби) равен частному модулей числителя и знаменателя:

, (3.8)

а ее аргумент - разности аргументов числителя и знаменателя:

. (3.9)

Аргумент комплексного числа определяется выражением

(3.10)

Определим АЧХ и ФЧХ цепи, показанной на рис. 3.7. Ее комплексный коэффициент передачи по напряжению определяется выражением (3.5). Тогда его модуль (АЧХ) и аргумент (ФЧХ) соответственно равны

, (3.11)

(3.12)

Где

. (3.13)

На рис. 3.10 показан график АЧХ четырехполюсника, показанного на рис. 3.7 при кОм, мГн и нФ. Как видно, он представляет собой полосовой фильтр. Максимум АЧХ имеет место на частоте из (3.13), в чем нетрудно убедиться, взяв производную и приравняв ее нулю. На рис. 3.11 приведен график ФЧХ четырехполюсника.

Рис. 3.10

Рис. 3.11

На частотах ФЧХ , то есть выходное напряжение опережает по фазе входное, а если , то наоборот. На частоте сдвиг фаз между этими напряжениями равен нулю (они синфазны).

3.5 Характеристики избирательности

Избирательность характеризует способность четырехполюсника со свойствами частотного фильтра хорошо передавать на выход сигналы одних частот и подавлять сигналы на других частотах.

Рис. 3.12

Для четырех основных типов фильтров: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовых (ПФ) и режекторных (РФ), типовые графики амплитудно-частотных характеристик показаны на рис. 3.12.

Фильтры нижних частот (ФНЧ) и полосовые фильтры (ПФ) характеризуют прежде всего полосой пропускания - диапазоном частот, внутри которого АЧХ уменьшается не более, чем в раз или на 3 дБ (децибела) относительно максимального значения. Это определение применительно к полосовому фильтру иллюстрирует график на рис. 3.13. Прежде всего определяется максимум АЧХ и величина АЧХ на границе полосы пропускания, равная . Затем по графику или из решения уравнения вида



Рис. 3.13

(3.14)

находятся частоты и , соответствующие границам полосы пропускания, которые называют частотами среза. Тогда полоса пропускания равна

. (3.15)

Для фильтров верхних частот (ФВЧ) и режекторных фильтров (РФ) полоса пропускания бесконечна, и для их описания используется полоса удержания - диапазон частот, внутри которого АЧХ уменьшается более, чем в раз или на 3 дБ (децибела) относительно максимального значения, что иллюстрирует график, показанный на рис. 3.14. Расчет проводится аналогично предыдущему и



Рис. 3.14

, (3.16)

а частоты среза определяются из уравнения (3.14).

Полоса пропускания (удержания) характеризует частотный диапазон, в котором фильтр выполняет заданные функции передачи (не прохождения) сигнала. Как видно из приведенных рисунков, характер передачи сигнала меняется достаточно плавно и представляют интерес характеристики избирательности, показывающие резкость перехода от пропускания до удержания сигнала при изменении частоты.

Наилучшей избирательностью обладает идеальный фильтр с прямоугольной АЧХ и прямолинейной ФЧХ, как показано на рис. 3.15 для ПФ.

Рис. 3.15

Такой идеальный фильтр физически нереализуем, но к его частотным характеристикам можно приблизиться за счет усложнения схемы реального фильтра.

Мерой близости АЧХ реального фильтра к показанной на рис. 3.15а является коэффициент прямоугольности . Для ФНЧ и ПФ он равен отношению полосы пропускания на уровне (-3 дБ) к аналогичной полосе пропускания на уровне (-20 дБ),

Рис. 3.16

. (3.17)

Расчет иллюстрирует рис. 3.16. Полоса вычисляется из уравнения

. (3.18)

Для ФВЧ и РФ коэффициент прямоугольности равен обратной величине

. (3.19)

Для реальных фильтров величина всегда меньше единицы. Чем ближе к 1, тем выше избирательность частотного фильтра.

Рассмотрим пример цепи на рис. 3.7. Выражение для АЧХ имеет вид (3.11). Максимум АЧХ имеет место на частоте (3.13) и равен

. (3.20)

Тогда согласно (3.14) уравнение для полосы пропускания имеет вид

, (3.21)

Возводя обе части (3.21) в квадрат и проведя алгебраические преобразования с учетом (3.13), получим уравнение

(3.22)

где константа равна

. (3.23)

Решение биквадратного уравнения (3.21) имеет вид

. (3.24)

Из (3.23) можно записать, что

, (3.25)

тогда и подкоренные выражения в (3.24) всегда положительны.

Если представить выражение для из (3.25) в виде

, (3.26)

Где

, (3.27)

то из (3.24) получим выражение для частот среза

, (3.28)

а величина из (3.27) безразмерна, положительна и определяется параметрами четырехполюсника. Полоса пропускания равна разности верхней и нижней частот среза

. (3.29)

Если возвести обе части выражения (3.29) в квадрат, то можно записать

=,

тогда получим

. (3.30)

На рис. 3.17 показаны зависимости от параметра нормированных к значений частот среза и полосы пропускания

, , .

Рис. 3.17

Как видно, при частоты и равны , полоса пропускания равна нулю. Согласно (3.27), малые значения обеспечиваются при и . С ростом полоса пропускания расширяется, практически стремясь к величине . При кОм, мГн и нФ получим , рад/с, рад/с, при этом полоса пропускания равна рад/с или кГц.

Вычислим коэффициент прямоугольности, для этого определим полосу пропускания на уровне 0,1 от максимума АЧХ из уравнения вида

. (3.31)

С учетом выражения для АЧХ (3.11) можно записать уравнение для граничных частот полосы пропускания

. (3.32)

Как и для (3.21), возводя обе части уравнения (3.31) в квадрат и проведя алгебраические преобразования с учетом (3.13), получим уравнение

(3.33)

где константа равна

. (3.34)

Как видно, величина отличается от полученной ранее константы множителем перед вторым слагаемым. Решение биквадратного уравнения (3.32) имеет вид

. (3.35)

Представим выражение для из (3.33) в виде

, (3.36)

Где

, (3.37)

тогда из (3.34) получим аналогичное (3.28) выражение для частот среза

. (3.38)

Полоса пропускания равна разности верхней и нижней частот среза

. (3.39)

Аналогично (3.30) нетрудно получить

. (3.40)

Сравнивая величины (3.27) и (3.37), получим

. (3.41)

В результате выражение для коэффициента прямоугольности согласно (3.17) принимает вид

. (3.42)

Коэффициент прямоугольности рассматриваемой цепи, схема которой приведена на рис. 3.8, не зависит от ее параметров и равен 0,1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3.6 Расчет реакции цепи на сложное входное воздействие

В качестве факультативного задания при выполнении курсовой работы можно провести расчет сигнала на выходе заданной цепи при воздействии на ее вход импульсной последовательности, примеры которой показаны на рис. 3.18.

Рис. 3.18

Известны [1,2] методы расчета реакции цепи на сложное входное воздействие (частотный, операторный, временной). В данном случае целесообразнее использовать временной метод (метод интеграла Дюамеля), в рамках которого выходное напряжение четырехполюсника равно

, (3.43)

где - входное напряжение, равное нулю при , - импульсная характеристики цепи.

Переходная характеристика безразмерна и численно равна реакции (выходному сигналу) четырехполюсника на входное воздействие в виде единичной функции (известной в математике функции Хевисайда) вида рис. 3.19а.

Импульсная характеристика имеет размерность и численно равна реакции цепи на входное воздействие в виде дельта-функции (функции Дирака) , показанной на рис. 3.19б.

Рис. 3.19

Расчет временных характеристик цепи и проводится с помощью операторного коэффициента передачи , который определяется через комплексный коэффициент передачи заменой .

Переходная характеристика является обратным преобразованием Лапласа от ,

, (3.44)

где - символ взаимно однозначного соответствия.

Импульсная характеристика является обратным преобразованием операторного коэффициента передачи

. (3.45)

Преобразование Лапласа проводится по таблицам [1].

В таблицах преобразования Лапласа изображение представляется в виде правильной дроби, числитель и знаменатель которой является произведением простейших сомножителей, в каждом из которых коэффициент при старшей степени равен единице.

Рассмотрим пример расчета временных характеристик цепи, показанной на рис. 3.20а, ее операторная эквивалентная операторная схема приведена на рис. 3.20б (аналогичный расчет можно провести в исследовательской части курсовой работы).

Рис. 3.20

Определим операторный коэффициент передачи методом узловых напряжений. В цепи на рис. 3.20б два узла и единственное узловое напряжение обозначено как , тогда для токов ветвей получим

,

,

.

Подставив их в уравнение первого закона Кирхгофа вида

, для узлового напряжения получим уравнение

,

из которого определим узловое напряжение

(3.46)

Выходное напряжение четырехполюсника на рис. 3.20б связано с узловым напряжением соотношением

,

тогда с учетом (3.46) получим

(3.47)

Из (3.47) определим операторный коэффициент передачи в виде (проведите преобразования самостоятельно)

, (3.48)

Где

(3.49)

Для простоты положим одинаковыми одноименные параметры цепи,

...