Размещено на http://www.allbest.ru

28

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНО-ТОПОЛОГИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1. Общие и методические замечания

При изложении методов расчета электрических цепей удобно пользоваться некоторыми топологическими понятиями, относящимися к теории графов. При этом сравнительно просто можно определить число независимых уравнений, составленных для схемы по законам Кирхгофа, по методам узловых потенциалов и контурных токов. Упрощается выбор независимых контуров.

Систему уравнений, записанных одним из этих методов можно представить в матричной форме. Очень важен тот факт, что это наиболее удобная форма записи информации при решении системы уравнений с помощью ЭВМ.

электрический цепь матрица ток потенциал

2. Понятие о графе схемы

Рассмотрим некоторые топологические понятия на примере схемы рис. 3.1. На рис. 3.2 приведен ориентированный граф схемы. Ориентированным графом мы будем называть скелетную схему, содержащую все узлы, называемые вершинами, обозначенные на схеме и на графе цифрами над кружочками, и все ветви схемы, или ребра графа, стрелки на которых указывают положительные направления токов в ветвях, а цифры номера ветвей. Сплошными линиями на графе выделены ребра, составляющие дерево графа. Деревом графа мы будем называть часть графа, содержащую все узлы (вершины) графа, и те ребра, которые не образуют замкнутый путь. На схеме рис. 3.2 это ребра с номерами 3, 4 и 5. Следовательно, деревьев может быть несколько, скажем дерево, образованное ребрами 1, 3 и 2 на рис. 3.2 и т. д.

Пунктиром на. графе рис. 3.2 указаны ребра связи (соответственно 1 и 2 ребра). Ребра (ветви) связи дополняют дерево до полного графа.

Замкнутые пути, образованные ребрами дерева графа и ребрами связи, образуют замкнутые контуры. Независимым контуром называется контур, содержащий хотя бы одно новое ребро связи.

По количеству ветвей связи определяют число независимых контуров и соответственно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. На рис. 3.2 контуры обозначены стрелками с римскими цифрами I и II. Количество уравнений по первому закону Кирхгофа определяется по числу вершин (узлов) графа минус единица.

3. Матрицы и операции с ними

Матрица есть прямоугольная таблица чисел

или

где i = 1, 2 ... n - строки, j = 1, 2 ... m- столбцы матрицы.

Каждое число a _ij - элемент матрицы. Произведение nm определяет размер или порядок матрицы. При n = m - матрица квадратная; при n m - матрица прямоугольная.

Если у квадратной матрицы все элементы а _ij = 0 при i j , то матрица называется диагональной, т. е.

или

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной 1 = diag (1, 1, ... 1).

Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной, а из одного столбца - столбцовой, например

- строчная матрица; - столбовая матрица

Транспонированная матрица получается путём перестановки строк со столбцами. Пусть дана матрица А = а _ij, тогда транспонированная матрица.

Например, и

Сложение матриц возможно только для матриц одинакового размера. Пусть даны матрицы

А = а _ij и B = b _ij, тогда

где

Аналогично производится вычитание матриц.

Отметим два свойства сложения:

свойство коммутативности А + В = В + А;

свойство ассоциативности А + (В + С) = (А + В) + С.

Умножение матрицы на число производится так. Дана матрица А = а _ij и k - число (скалярное). Тогда kA = [ka _ij], т. е. на число k умножается каждый элемент матрицы, причем

kA = Ak.

Умножение матриц производят только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Пусть даны матрица А = а _ij размером nm и матрица B = b _ij размером mq. Тогда умножением слева матрицы A на матрицу В получают матрицу

, где

Следовательно, чтобы получить элементы с _ij матрицы С, надо элементы i - й строки матрицы A умножить на элементы k - го столбца матрицы В и сложить.

Например,

где

Отметим, что в общем случае АВ ВА, т. е. произведение матриц не коммутативно. Кроме того, важны еще два свойства матриц.

1. А(ВС) = (АВ)С - свойство ассоциативности,

2. (А + В)С = АС + АВ - свойство дистрибутивности.

Обращение матрицы. Пусть дана квадратная матрица А, тогда обратная ей матрица обозначается А^-1;

При этом АА^-1 = А^-1А = 1

Если А = а _ij, то

где = det A - определитель матрицы A; _ij - алгебраическое дополнение элемента q _i.

Например, пусть

Определитель A = det A = (a₁₁а₂₂ - а₁₂а₂₁), алгебраические дополнения:

₁₁ = а₂₂; ₁₂ = - а₂₁; ₂₁ = - а₁₂; ₂₂ = а₁₁;

Тогда обратная матрица

Умножение на обратную матрицу заменяет операцию деления, которая в обычном представления в матричной алгебре отсутствует.

Рассмотрим несколько случаев в записи матриц. Для схемы рис. 3.1 запишем систему уравнений по законам Кирхгофа

(3.1)

Система линейных алгебраических уравнений может быть записана более компактно в матричной форме.

(3.2)

или (3.3)

где-матрица-столбец токов; - матрица-столбец активных параметров;

[а] - квадратная матрица коэффициентов.

Матричное уравнение (3.3) может быть решено матричными методами относительно неизвестных токов с помощью обратной матрицы. Действительно, если уравнение (3.3) умножить слева на обратную матрицу [а]^-1, то получим

(3.4)

Так как [а]^-1[а] = 1, то уравнение (3.4) примет вид

(3.5)

Решение системы уравнений (3.2) может быть осуществлено с помощью численных методов на ЭВМ. В этом случае матричное уравнение (3.3) удобнее записывать в другой форме через более простые матрицы. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

4. Матричная форма записи законов Ома и Кирхгофа

Сначала введем понятие обобщенной ветви (рис. 3.3).Для нее можно записать по первому закону Кирхгофа

(3.6)

И по обобщенному закону Ома

(3.7)

Напряжение на .резисторе ветви R ^в по закону Ома

(3.8)

Или для тока через проводимость ветви

(3.9)

Закон Ома в матричной форме

(3.10)

или

(3.11)

где U и I - столбцовые матрицы, число строк которых совпадает с числом ветвей схемы, а

и причем k равно числу ветвей схемы.

Например, для схемы рис. 3.1

а

Обобщенный закон Ома в матричной форме, исходя из (3.7), получим в виде

где U ^в и I ^в - столбцовые матрицы, число строк которых совпадает с числом ветвей схемы.

Для схемы рис. 3.1

Вводится понятие узловой матрицы [А].

Узловая матрица - это прямоугольная матрица, строки которой соответствуют узлам, а столбцы - ветвям направленного графа схемы.

Число строк матрицы равно числу независимых узлов. Элементы матрицы а _ij, где (i - номер строки, j - номер столбца, принимают значения 1, - 1 или 0.

Элементы а _ij = 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена от него.

Элементы а _ij = - 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена k этому узлу. Элементы а _ij = 0, если ветвь j не соединена с узлом i.

Например, в схеме рис. 3.1 и 3.2

(3.13)

С помощью матрицы [А] запишем первый закон Кирхгофа с учетом (3.6)

(3.14)

или

(3.15)

где [J] - столбцовая матрица источников тока, число строк которой совпадает с числом ветвей схемы.

Для схемы рис. 3.1 [J] = [0 0 0 - J J] ^T , т. е. ток источника тока J замыкается по четвертой и пятой ветвям.

Матрица контуров [В] - прямоугольная матрица, строки которой соответствуют контурам, а столбцы - ветвям направленного графа схемы. Число строк равно числу независимых контуров. Элементы матрицы в _ij, где i - номер строки, j - номер столбца, принимают значения 1, -1 или 0. Элементы в _ij = 1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви совпадает с направлением обхода контура. Элементы в _ij = - 1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви противоположно направлению обхода контура. Элементы в _ij = 0, если ветвь j не содержится в контуре i.

Например, в схеме рис. 3.1 и 3.2

(3.16)

С помощью матрицы В запишем второй закон Кирхгофа с учетом (3.12)

(3.17)

или

(3.18)

5. Матричная форма записи метода контурных токов

Уравнения метода контурных токов выводятся из уравнений, составленных, по второму закону Кирхгофа. Подставим в матричное уравнение (3.18) уравнение (3.14), соответствующее первому закону Кирхгофа, переписав его предварительно таким образом

(3.19)

(3.20)

или

(3.21)

Можно показать, что с помощью транспонированной контурной матрицы [В]^Т токи ветвей схемы [/^в] могут быть выражены через матрицу контурных токов [/^к]

(3.22)

где [/^к]-столбцовая матрица контурных токов. Тогда выражение (3.21) примет вид

(3.23)

или в более компактной форме

(3.24)

где

- матрица контурных сопротивлений; - матрица контурных ЭДС.

Матрицы уравнения (3.23) более просты для составления, поэтому уравнением (3.23) пользуются при решении на ЭВМ.

После решения уравнения (3.23) относительно контурных токов схемы решают последовательно уравнение (3.22) относительно токов ветвей и (3.19) относительно токов в резисторах.

Пример 3.1. В схеме рис. 3.1 определить токи в резисторах методом контурных токов, если

E₁ = 48 В; R₁ = 4 Ом;

E₂ = 10 В; R₂ = R₅ = 6 Ом;

E₃ = 40 В; R₃ = 1 Ом;

J = 2 А; R₄ =2 Ом.

Решение

1. Запишем матрицы для решения уравнения (3.23), исходя из графа схемы (рис. 3.2). Римскими цифрами I и II обозначены контуры. Указаны направления обхода контуров.

Контурная матрица

Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Транспонированная контурная матрица

Столбцовые матрицы:

контурных токов

ЭДС ветвей

токов источников токов

2. Перемножаем матрицы [В] и [R^в]

3. Получаем матрицу контурных сопротивлений

где

R _ik - собственные и взаимные сопротивления контуров.

4. Запишем матрицу контурных ЭДС, воспользовавшись ранее найденным произведением матриц [В] на [R^B]

5. Далее рассмотрим матричное решение уравнения (3.24) с помощью обратной матрицы [R^K]^-1.

Для этого умножим слева на матрицу [R^K]^-1 все слагаемые уравнения (3.24)

Обратная матрица

где - определитель матрицы [R^K]; _mn - алгебраические дополнения;

Отсюда

6. Определим контурные токи Следовательно

I₁^K = 1 А; I₂^K = 3 А.

7. Определим токи в ветвях схемы. Решаем уравнение (3.22)

8. Определим токи в резисторах (3.19)

т. е. I₁ = 1 A, I₂ = 3 A, I₃ = 2 A, I₄ = 3 A, I₅ = - 5 A,

6. Матричная форма записи метода узловых потенциалов

Уравнение для узловых потенциалов выводят из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для исследуемой схемы.

Подставив в матричное уравнение (3.15) матрицу I из (3.11). получим

(3.25)

Уравнение (3.12) с учётом (3.10) может быть записано в такой форме

(3.26)

Можно показать, что с помощью транспонированной узловой матрицы А^Т, матрица напряжений ветвей схемы U^B может быть выражена через матрицу потенциалов узлов в таком виде

(3.27)

где - столбовая матрица потенциалов узлов схемы.

Уравнение (3.26). переписанное относительно матрицы U и с учётом (3.27). запишем так

(3.28)

Теперь уравнение (3.25) с учётом (3.28) примет вид

(3.29)

Произведение матриц АG^ВА^Т даёт матрицу узловых проводимостей G^У, а правая часть уравнения (3.29) представляет собой матрицу узловых токов J^У. Теперь уравнение (3.29) примет вид

(3.30)

При составлении матрицы G^У следует учесть, что g_ii > 0, g_ik < 0 (см. уравнение 1.17).

Уравнения (3.28) и (3.29) являются узловыми уравнениями в матричной форме.

Матрицы уравнения (3.29) наиболее простые для составления, поэтому для ввода матриц в ЭВМ пользуются именно этим уравнением.

После решения уравнения (3.29) на ЭВМ относительно потенциалов , решается уравнение (3.27) относительно U^B, далее (3.28) относительно U и (3.11) относительно I.

Перечисленные матрицы выводятся в качестве выходных данных.

Пример 3.2. Для схемы рис. 3.1 составить необходимые матрицы для определения токов в резисторах методом узловых потенциалов с целью вывода их в ЭВМ. Параметры элементов схемы те же, что и в примере 3.1.

Для решения матричного уравнения (3.29) запишем следующие матрицы:

Узловую

транспонированную узловую

матрицу проводимостей ветвей

матрицу ЭДС ветвей

матрицу токов источников тока

матрицу потенциалов узлов 1, 2, 3 на графе рис. 3.2, приняв за базисный узел 4,

положив ₄ = 0 .

Задачи для самостоятельного решения (к главе 3)

Для схемы рис. 3.1 записать:

а) матрицу проводимостей ветвей [G^B];

б) матрицу узловых проводимостей [G^У];

в) определить потенциалы узлов, приняв ₄ = 0.

Ответы: а)

б)

в) ₁ = 44 В, ₂ = 38 В, ₃ = 8 В.

Размещено на Allbest.ru

...