При рассмотрении проблемы надёжности системы теплоснабжения, энергоблоки и их основные вспомогательные механизмы рассматривают как восстанавливаемые объекты. Восстановление работоспособности после отказов может занимать определённое время, которое для однотипных объектов и при характерных отказах примерно одинаково и статистически устойчиво. Поток отказов при установившейся эксплуатации также имеет постоянные параметры.

Таким образом, можно утверждать, что объект при функционировании по назначению проходит ряд состояний (или событий): отказ, восстановление, нахождение в резерве, плановое техническое обслуживание и т.п. с известными параметрами этих состояний. Это позволяет использовать для описания процесса отказов и восстановлений понятия и закономерности теории случайных процессов.

Напомним, что случайным процессом называют такую функцию неслучайного аргумента, которая при любом фиксированном значении непрерывного аргумента является случайной величиной. В качестве аргумента в случайных процессах, применяемых в теории надёжности, используют время. При допущении об экспоненциальном характере потоков событий для анализа надёжности систем используют марковские случайные процессы. энергетика марковский уравнение энергоблок

Процесс считается марковским в том случае, когда состояние объекта в будущем не зависит от его прошлого, т.е. от того, каким образом он подошёл к настоящему состоянию. В этом случае вероятность события в момент времени t_n зависит от состояния в момент t_n-1 , но не зависит от того, каким путём объект пришёл к состоянию n-1.

Использование аппарата марковских процессов позволяет получить определённые оценки показателей надёжности проектируемых систем.

1. Уравнения Колмогорова

Для энергетических объектов практический интерес представляют главным образом такие марковские процессы, в которых пространство состояний изменяется по известному закону. При дискретном количестве состояний и непрерывном времени расчёт производится на основе переходных вероятностей.

Рассмотрим объект, который может находиться в одном из нескольких состояний i = 1,2,…,n, число которых n конечно. Состояния несовместны между собой и образуют полную группу событий. Это означает, что в любой момент времени сумма вероятностей всех состояний объекта равна единице:

.

Определение вероятностей p_i(t) - нахождения объекта в определённом состоянии является одной из важнейших задач теории надёжности.

Переход объекта из i-го состояния в j-е состояние характеризуется вероятностью перехода p_ij . При этом принимается за аксиому известное в теории вероятностей положение о том, что вероятность события в фиксированный момент времени всегда равна нулю. В данном случае это означает, что вероятность смены состояний в зафиксированный момент времени (скачкообразно) равна нулю. Или иначе принимают, что переход из состояния в состояние всегда занимает конечный интервал времени и вероятность этого перехода определяется выражением

, (1)

где - интенсивность перехода.

Величина интенсивности перехода может быть определена путём обработки большого количества наблюдений за состоянием объекта

,

где - количество переходов из i-го состояния в j-е состояние;

K - общее количество переходов объекта. Чем больше K, тем точнее эта зависимость.

Вероятность того, что за время не произойдёт смены состояний, определяется выражением

, (2)

где k_i - количество возможных переходов из i -го состояния ко всем остальным.

Рассмотрим два состояния объекта, показанных на рис.1.

Стрелками на рис.1 показаны направления возможных переходов объекта. Так, из состояния i объект может перейти с интенсивностью в состояние j, а в обратном направлении с интенсивностью . Для каждого i-го узла графа должно соблюдаться условие

q_i(t) + p_i(t) = 1. (3)

Если интенсивность перехода _ij не зависит от интервала t и от того, где на оси времени t расположен этот элементарный участок, то такой случайный процесс называется однородным марковским процессом. В случае если интенсивность представляет собой функцию времени _ij = j(t), то процесс будет неоднородным.

Для определения вероятности каждого из возможных состояний объекта в текущий момент времени t рассмотрим в качестве примера граф состояний, показанный на рис.2.

Найдём вероятность p₁(t) того, что в момент времени t +t объект находится в работоспособном состоянии 1. Как показано на рис.2, в этом состоянии объект будет находиться через время t в следующих трёх случаях:

если в момент t он находится в работоспособном состоянии 1, и за период времени t не перешёл в состояние 2 - скрытого отказа;

если в момент t он находился в состоянии 3 - восстановления после отказа, и за период времени t перешёл в состояние 1;

если в момент t он находился в состоянии 4 - готовности к действию, и за промежуток t перешёл в состояние 1.

Каждый переход характеризуется соответствующими интенсивностями, показанными на рис.2.

Вероятность нахождения в состоянии 1 по а) найдём в виде произведения вероятности р₁(t) на вероятность (1- ₁₂·t) того, что объект не перешёл за время t в состояние 2. Аналогично для переходов b) имеем вероятность р₃(t)· ₃₁·t и для c) соответственно р₄(t) ₄₁·t. Как уже отмечалось, произведение _ij·t имеет смысл вероятности перехода.

С использованием правила сложения вероятностей, получим

p₁(t + t) = p₁(t)(1 - ₁₂·t) + p₃(t)· ₃₁·t + p₄(t) ·₄₁·t.

Выделив искомую вероятность p₁(t) в левую часть уравнения и разделив всё уравнение на t, получим

.

В пределе

. (4)

Полученное дифференциальное уравнение и аналогичные ему для других состояний объекта по имени автора называются уравнениями Колмогорова.

Общее число уравнений равно числу состояний на графе.

Таким образом, для всех четырёх состояний объекта можно получить систему дифференциальных уравнений следующего вида:

. (8.5)

При составлении дифференциальных уравнений для каждого из состояний пользуются следующим правилом. Производная вероятности нахождения объекта в каждом из состояний равна алгебраической сумме произведений вероятностей состояний на интенсивность переходов, при этом произведения берутся со знаком минус, если стрелка выходит из узла, для которого составляется уравнение, и со знаком плюс, если входит.

2. Анализ вероятностей состояния энергоблока

С использованием этой системы уравнений определим вероятности текущих состояний энергоблока мощностью 200 МВт, надёжность которого характеризуется следующими показателями:

среднее время безотказной работы 2 000 ч;

среднее время восстановления после отказа t_восст = 200 ч;

среднее время обнаружения (индикации) отказа t_инд = 20 ч.

среднее время приготовления к действию энергоблока t_приг из состояния готовности 20 ч.

Примем, что функции надёжности, а также восстановления работоспособного состояния соответствуют экспоненциальному закону. Для определённости допустим, что время индикации отказа и время приготовления к действию энергоблока также распределены экспоненциально. Тогда согласно приведённым выше параметрам надёжности получим:

₁₂= 1/Т_ср = 1/2 000 = 0,0005; ₂₃= 1/t_инд = 1/20 = 0,05; ₃₁= 1/t_восст = 1/200 = 0,005; ₃₄= ₃₁= 1/200 = 0,005; ₄₁= 1/t_приг = 1/20 = 0,05;

Допустим, что в начальный момент времени вероятности состояний энергоблока равны: р₁ = 0,95; р₂ = 0,05; р₃ = 0,041; р₄ = 0,004;

Решение системы (5) выполним в среде Mathcad 7 при помощи процедуры rkfixed(p,a,b,n,D), содержащей четыре параметра. Параметр р[1:N] представляет собой вектор начальных условий, т.е. вероятностей исходных состояний объекта. Размерность этого вектора равна числу уравнений в системе, следовательно, в данном случае N = 4. Величины a,b определяют границы начала и конца интервала интегрирования системы уравнений. Обычно принимают a = 0. Величину b выбирают, исходя из задач исследования. Число n разбиений интервала [a,b] при интегрировании назначают с учётом предполагаемого характера изменения искомых функций. При увеличении числа разбиений повышается точность интегрирования, но при этом растёт время решения. Примем в данной задаче b = 1000, n = 500.

Для использования стандартной процедуры rkfixed(p,a,b,n,D) необходимо сформировать матрицу D, содержащую правые части системы уравнений (5)

Результаты интегрирования показаны на рис.3.

Как следует из рис.3, с увеличением наработки энергоблока вероятности состояний претерпевают значительное изменение: - растёт вероятность безотказной работы р₁; - уменьшается вероятность нахождения в состоянии отказа р₃. Примерно через 250 часов работы происходит стабилизация показателей надёжности. Стационарность процессов отказов и восстановлений с увеличением времени является общим свойством восстанавливаемых систем, о чём упоминалось в лекции №3. Свойство стационарности часто позволяет в практических расчётах систем, состоящих из многих элементов, применять установившиеся (иногда применяют термин - финальные) параметры надёжности при любых начальных значениях вероятностей состояний и при любых интенсивностях переходов.

При изменении величин интенсивностей переходов меняются как текущие, так и стационарные значения вероятностей состояний. Так, на рис.4 показано решение системы (5) для того же энергоблока при увеличении времени индикации отказа до 50 ч.

Рис.3. Изменение вероятностей состояний энергоблока с увеличением наработки: р₁ - вероятность безотказной работы; р₂ - вероятность нахождения в состоянии скрытого отказа; р₃ - вероятность нахождения в состоянии восстановления после отказа; р₄ - вероятность нахождения в готовности

Как показано на рис.4 при увеличении времени индикации снижается вероятность безотказной работы р₁ за счёт увеличения времени нахождения в состоянии скрытого отказа, о чём свидетельствует рост вероятности р₂ .

Предыдущие решения задачи оценки надёжности энергоблока получены для однородного марковского процесса, соответствующего этапу стабильной эксплуатации на графике зависимости (t). В случае усиления деградационных процессов старения (коррозия, износ, усталость металла и т.п.) функция интенсивности отказов будет возрастать. Предположим, что вследствие указанных процессов получен линейный закон увеличения интенсивности отказов (t) = ₀+ к ·t, где к - коэффициент, определяемый по результатам наблюдения за эксплуатацией энергоблоков; - интенсивность отказов на этапе стабильной эксплуатации. Допустим, что к = 2 ·10^-7 и, кроме того, примем, что время восстановления работоспособности энергоблока после отказа увеличилось до 2 000 часов. Остальные показатели надёжности остались без изменений. Решение системы (5) при новых значениях интенсивностей переходов показаны на рис.5.

Рис.4. Вероятности состояний энергоблока при увеличении времени индикации отказа: р₁ - вероятность безотказной работы; р₂ - вероятность нахождения в состоянии скрытого отказа; р₃ - вероятность нахождения в состоянии восстановления после отказа; р₄ - вероятность нахождения в готовности

Рис.5. Вероятности состояний энергоблока при возрастающей интенсивности отказов и увеличенном времени восстановления после отказа: р₁ - вероятность безотказной работы; р₂ - вероятность нахождения в состоянии скрытого отказа; р₃ - вероятность нахождения в состоянии восстановления после отказа; р₄ - вероятность нахождения в готовности

Как показано на рис.5. деградационные процессы старения объекта и возрастание времени восстановления вызвали резкое снижение вероятности безотказной работы р₁ и увеличение вероятности отказа р₃. Вероятности остальных состояний не изменились по сравнению с предыдущим случаем.

Выполненные расчёты подтвердили наблюдаемые на практике явления снижения безотказности энергоблоков с увеличением наработки в тех случаях, когда наработка объекта приближается к назначенному ресурсу основных элементов (см. лекции №№ 9,11). Практика подтверждает, что при этом постоянно растут время восстановления работоспособности после отказа и время, затраченное на плановые регламентные работы.

Для графа, показанного на рис.1, можно получить аналитическое решение для двух состояний, которые можно рассматривать как работоспособное состояние (1) и состояние полного отказа (2). Переход их состояния 1 в состояние 2 осуществляется по принципу марковского однородного процесса с интенсивностью , а восстановление после отказа в работоспособное состояние с интенсивностью . Дифференциальные уравнения состояний 1 и 2 имеют вид

(6)

Из первого уравнения системы (6) находим

.

После подстановки во второе уравнение получаем дифференциальное уравнение второго порядка

(7)

При экспоненциальных законах отказов и восстановлений решение уравнения получается наиболее простым. Напишем характеристическое уравнение для (7)

k² + ( l + m )·k = 0, откуда k₁ = 0; k₂ = - (l + m ).

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

. (8)

Произвольные постоянные С₁ и С₂ находят по начальным условиям при t=0. Если принять, что в начальный момент функционирования объект исправен и вероятность его нахождения в состоянии 1 равна единице, то, соответственно, получим р₁=1,0; р₂ = 0. Подставляя начальные условия в уравнения (8) находим

С₁ +С₂ =1; .

Отсюда

После подстановки в общее решение окончательно получим

(9)

Результат решения в графическом виде, полученный по уравнениям (9), показан на рис.8.6.

Рис.6. Изменение вероятностей состояния объекта во времени

Как следует из рис.6. для простейшего случая двух состояний системы также наблюдается асимптотическое приближение вероятностей р₁ и р₂ к стационарным значениям. Эти стационарные значения выражаются в конечном виде через интенсивности отказов и восстановлений, показанные на рис.6.

Полученные закономерности изменения вероятностей состояния восстанавливаемых систем можно использовать для анализа надёжности объектов с резервированием.

Размещено на Allbest.ru