Второй закон Ньютона для механической системы
Механическая система - совокупность тел, взаимодействующих между собой и рассматриваемых как единое целое. Внешние силы – силы, действующие на тела системы со стороны тел, не принадлежащих ей. Закон сохранения импульса. Момент силы относительно оси.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.09.2017 |
| Размер файла | 86,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Второй закон Ньютона для механической системы
Совокупность тел, взаимодействующих между собой и рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы, действующие в механической системе, подразделяются на две группы:
1. Внутренние силы, т.е. силы взаимодействия между телами, входящими в систему. Согласно третьему закону Ньютона, эти силы попарно равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому их векторная сумма равна нулю.
2. Внешние силы - это силы, действующие на тела системы со стороны тел, не принадлежащих ей.
Если на механическую систему внешние силы не действуют или их векторная сумма равна нулю, то такую систему называют замкнутой (или изолированной).
Рассмотрим механическую систему, состоящую только из двух тел. Обозначим импульсы этих тел через и . Каждое тело данной системы движется под действием внутренних и внешних сил. Поэтому на основании второго закона Ньютона для каждого тела запишем:
где и - внутренние силы, действующие на первое тело со стороны второго и на второе со стороны первого соответственно, и - равнодействующие внешних сил, приложенных к первому и второму телу. Складывая эти уравнения, получаем:
Согласно третьему закону Ньютона, Поэтому первая скобка равна нулю:
- векторная сумма внешних сил, действующих на систему,
и
так как сумма производных равна производной от суммы. Величину , равную векторной сумме импульсов тел, входящих в механическую систему, называют импульсом системы, т.е.
В случае механической системы, состоящей из двух тел,
С учётом этого находим:
(1)
Получили второй закон Ньютона для механической системы: векторная сумма внешних сил, действующих на механическую систему, равна производной импульса системы по времени.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
В случае замкнутой механической системы Тогда из формулы (1) следует, что и, следовательно,
(2)
так как производная от постоянной величины равна нулю. Соотношение (2) называют законом сохранения импульса: импульс замкнутой механической системы постоянен при любых взаимодействиях тел, происходящих в ней.
Можно назвать много явлений, в основе которых лежит закон сохранения импульса - отдача орудий и огнестрельного оружия при выстреле, действие реактивных двигателей и т.д.
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
При изучении динамики поступательного движения твёрдого тела использовались такие понятия, как масса, сила и импульс тела. Однако для вращательного движения этих понятий недостаточно. Действительно, знание только одной силы не даёт сведений о том, будет ли вращаться тело. Так, если направление силы проходит через ось вращения, то тело не вращается. Или при вращении симметричного тела относительно оси симметрии импульс тела равен нулю. Это обусловлено тем, что импульсы одинаковых диаметрально расположенных частей тела равны по модулю, но противоположны по направлению. Из приведённых примеров следует, что для описания вращательного движения необходимы новые понятия. Ими являются моменты силы, импульса и инерции.
В данной лекции будет рассмотрено лишь движение точечных тел относительно оси, перпендикулярной к плоскости орбиты, а также вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Наиболее общие случаи вращения рассматриваются в теоретической механике.
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ
Для характеристики вращательной способности силы вводится физическая величина называемая моментом силы. Моментом силы относительно оси или вращающим моментом называют векторное произведение радиус-вектора , проведённого из центра окружности к точке приложения, и силы т.е.
(1)
Вектор перпендикулярен к плоскости, проведённой через векторы и Его направление находится по правилу правого винта: при повороте винта в направлении силы его поступательное движение даёт направление (рис. 1). Модуль Mz момента силы равен
M = RFsina, (2)
где a-- угол между векторами и т.е. площади заштрихованного параллелограмма.
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА
Из опытов следует, что вращающиеся тела обладают способностью противодействовать изменению угловой скорости, которой они обладают, т.е. противодействуют приобретению углового ускорения. Например, автомобильное колесо раскрутить труднее, чем велосипедное. Это свойство тел было названо инертностью тела при вращательном движении. Для характеристики инертности тела при вращательном движении вводят физическую величину называемую моментом инерции. Момент инерции Iz материальной точки, вращающейся по окружности радиусом R, называется произведение массы т тела на квадрат радиуса окружности, т.е.
Iz = mR2. (3)
Для нахождения момента инерции твёрдого тела необходимо мысленно разбить его на элементарные части массой ?mi, которые можно принять за материальные точки. Очевидно, что момент тела равен сумме моментов инерции её частей. При вращении все точки тела движутся по окружностям различного радиуса Ri, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Поэтому момент инерции отдельных частей тела равен
, а момент инерции Iz тела равен:
(4)
Анализируя (3), приходим к выводу, что инертность тела при вращательном движении зависит не только от его массы, но и её распределения относительно оси вращения.
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
По аналогии с моментом силы относительно точки, вводится понятие момента импульса. Моментом импульса точечного тела относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора , проведённого из этой точки до точечного тела, на импульс этого тела:
(5)
Вектор как и момент силы, перпендикулярен к плоскости, проведённой через векторы и . Его направление находится по правилу правого винта: при повороте винта в направлении импульса его поступательное движение даёт направление (рис. 2). Модуль L момента импульса равен механический тело сила импульс
L = rpsina, (6)
где a-- угол между векторами и .
Особо отметим случай движения точечного тела по окружности. Согласно (6), модуль момента импульса относительно центра окружности равен
L = Rp = mR, (7)
где R радиус окружности, m и масса и скорость данного тела. В этом случае sin a = 1, поскольку радиус окружности перпендикулярен к вектору скорости, направленному по касательной к окружности, и r = R. Движение точечного тела по окружности эквивалентно его вращению вокруг оси, перпендикулярной к плоскости окружности и проходящей через её центр. Пусть это будет ось z. Тогда момент импульса относительно оси вращения, учитывая (5), равен:
(8)
где радиус-вектор, проведённый из точки пересечения оси с плоскостью окружности, по которой движется точечное тело. Направление также находится по правилу правого винта.
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТВЁРДОГО ТЕЛА
Пусть твёрдое тело вращается вокруг закреплённой оси z с угловой скоростью . Для нахождения момента импульса тела рассматриваем его как механическую систему материальных точек. Мысленно разобьём тело на элементарные части массой Dmi, которые можно принять за материальные точки. Очевидно, что момент импульса тела относительно оси равен векторной сумме отдельных элементарных частей тела относительно той же оси. При вращении тела все его точки движутся по окружностям различного радиуса Ri, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения. Поэтому моменты импульсов всех элементарных частей тела, согласно правилу правого винта, направлены в одну сторону вдоль оси вращения. Тогда векторное сложение заменяется скалярным, т.е.
(9)
Используя формулу (7), имеем:
где модуль линейной скорости i-ой части.
Но i = wRi.
Поэтому
,
и с учётом выражения (9)
Поскольку все точки тела обладают одинаковой угловой скоростью ?, то её выносим за знак суммы:
Так как
момент инерции тела, то Lz = Izw. Запишем это выражение в векторном виде:
(10)
Итак, момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на его угловую скорость. Направление , как и направление , находят по правилу правого винта.
АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ВРАЩАТЕЛЬНЫМ И ПОСТУПАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ
Рассмотрев поступательное и вращательное движения можно установить аналогию между ними. В кинематике поступательного движения используются путь s, скорость и ускорение а. Их роль во вращательном движении играют угол поворота , угловая скорость и угловое ускорение е. В динамике поступательного движения применяются понятия силы , массы т и импульса Во вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы - момент инерции Iz и роль импульса - момент импульса Зная формулы поступательного движения легко записать формулы вращательного движения. Например, скорость и ускорение тела при поступательном движении вычисляются по формулам
и
Тогда угловая скорость и угловое ускорение при вращательном движении находится по формулам
и
При поступательном движении импульс тела равен Поэтому при вращательном движении момент импульса равен Эту аналогию можно продолжать и дальше.
ОСНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
Пусть тело с моментом инерции Iz вращается относительно оси z под действием равнодействующего момента сил. Запишем второй закон Ньютона, являющимся основным законом динамики поступательного движения:
и
Здесь и т - ускорение и масса тела, - импульс тела и - равнодействующая сил, приложенных к телу. Тогда, пользуясь аналогией между поступательным и вращательным движениями, получаем две записи основного закона динамики вращательного движения:
(11) (12)
Их формулировка: угловое ускорение, приобретаемое телом, пропорционально моменту внешних сил, приложенных к нему, относительно оси вращения, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно той же оси.
Момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения равен производной по времени от момента импульса тела относительно той же оси. Соотношение (12) является более общей записью основного закона динамики вращательного движения тела, так как оно оказывается справедливым и для тел, у которых момент инерции тела не является постоянной величиной.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Пусть равнодействующий момент внешних сил, действующих на тело (систему материальных точек), равен нулю, т.е. Тогда из формулы (12) следует и, следовательно,
(13)
поскольку производная от постоянной величины равна нулю.
Таким образом, закон сохранения момента импульса заключается в следующем: момент импульса замкнутой механической системы относительно оси или точки постоянен во времени. Это означает, что моменты импульсов отдельных тел системы могут изменяться, однако их векторная сумма остаётся неизменной.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие механической системы; сохраняющиеся величины. Закон сохранения импульса. Взаимосвязь энергии и работы; влияние консервативной и результирующей силы на кинетическую энергию частицы. Момент импульса материальной точки; закон сохранения энергии.
курсовая работа [111,6 K], добавлен 06.12.2014Измерение полного импульса замкнутой системы. Строение и свойства лазерного наноманипулятора. Направление момента силы относительно оси. Закон изменения и сохранения момента импульса. Уравнение движения центра масс. Системы отсчета, связанные с Землей.
презентация [264,6 K], добавлен 29.09.2013Опрделения системы отсчета, материальной точки. Изменение центростремительного ускорения тела. Первый закон Ньютона. Количественная характеристика инертности. Закон сохранения импульса. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона.
тест [61,1 K], добавлен 22.07.2007Движение несвободной частицы. Силы реакции и динамика частиц. Движение центра масс, закон сохранения импульса системы. Закон сохранения кинетического момента системы. Закон сохранения и превращения механической энергии системы частиц. Теорема Кёнига.
доклад [32,7 K], добавлен 30.04.2009Движение центра масс механической системы. Количество движения точки и импульс силы. Теорема об изменении количества движения механической системы. Движение точки под действием центральной силы. Закон сохранения кинетического момента механической системы.
презентация [533,7 K], добавлен 09.11.2013Законы сохранения импульса и момента импульса. Геометрическая сумма внутренних сил механической системы. Законы Ньютона. Момент импульса материальной точки. Изотропность пространства. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси.
презентация [337,7 K], добавлен 28.07.2015Измерение силы тока, проходящего через резистор. Закон сохранения импульса. Трение в природе и технике. Закон сохранения механической энергии. Модели строения газов, жидкостей и твердых тел. Связь температуры со скоростью хаотического движения частиц.
шпаргалка [126,6 K], добавлен 06.06.2010Момент силы относительно центра как вектор, приложенный к центру О, направленный перпендикулярно плоскости, образованной векторами по правилу правого винта. Порядок вычисления момента силы относительно оси. Свойства момента пары сил, их сложение.
презентация [74,0 K], добавлен 08.04.2015Первый, второй и третий законы Ньютона. Инерциальные системы, масса и импульс тела. Принцип суперпозиции, импульс произвольной системы тел. Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы тел. Закон сохранения импульса.
лекция [3,6 M], добавлен 13.02.2016Механическое движение. Относительность движения. Взаимодействие тел. Сила. Второй закон Ньютона. Импульс тела. Закон сохранения импульса в природе и технике. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела. Невесомость.
шпаргалка [479,0 K], добавлен 12.06.2006Примеры взаимодействия тел с помощью опытов. Первый закон Ньютона, инерциальные системы отсчета. Понятие силы и физического поля. Масса материальной точки, импульс и центр масс системы. Второй и третий законы Ньютона, их применение. Движение центра масс.
реферат [171,4 K], добавлен 10.12.2010Внешние и внутренние силы механической системы. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек: теорема об изменении количества движения системы; теорема о движении центра масс. Момент инерции, его зависимость от положения оси вращения.
презентация [1,7 M], добавлен 26.09.2013Определение работы равнодействующей силы. Исследование свойств кинетической энергии. Доказательство теоремы о кинетической энергии. Импульс тела. Изучение понятия силового физического поля. Консервативные силы. Закон сохранения механической энергии.
презентация [1,6 M], добавлен 23.10.2013Виды и категории сил в природе. Виды фундаментальных взаимодействий. Уравнения Ньютона для неинерциальной системы отсчета. Определение силы электростатического взаимодействия двух точечных зарядов. Деформация растяжения и сжатия стержня, закон Гука.
презентация [19,6 M], добавлен 13.02.2016Плоская система сходящихся сил. Момент пары сил относительно точки и оси. Запись уравнения движения в форме уравнения равновесия (метод кинетостатики). Принцип Даламбера. Проекция силы на координатную ось. Расчетная формула при растяжении и сжатии.
контрольная работа [40,6 K], добавлен 09.10.2010Три основных закона динамики Исаака Ньютона. Масса и импульс тела. Инерциальные системы, принцип суперпозиции. Импульс произвольной системы тел. Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы тел. Закон сохранения импульса.
лекция [524,3 K], добавлен 26.10.2016Линия действия силы. Основные аксиомы статики. Принцип освобождаемости от связей. Геометрический способ сложения сил. Разложить силу на составляющие. Теорема о проекции вектора суммы. Равновесие системы сходящихся сил. Момент силы относительно точки.
презентация [262,9 K], добавлен 09.11.2013Ускорение как непосредственный результат действия силы на тело. Теорема о кинетической энергии. Законы сохранения импульса и механической энергии. Особенности замкнутой и консервативной механических систем. Потенциальная энергия взаимодействующих тел.
реферат [132,0 K], добавлен 22.04.2013Опорные реакции балки. Уравнение равновесия в виде моментов всех сил относительно точек. Как находится проекция силы на ось. Равновесие системы сходящихся сил. Как находится момент силы относительно точки. Направление реакции в подвижном шарнире.
контрольная работа [658,8 K], добавлен 15.04.2015Механическое движение. Ускорение при движении по окружности. Основы динамики. Силы упругости. Закон Гука, трение. Гравитационное взаимодействие. Условие равновесия тел. Закон сохранения импульса, энергии в механике. Архимедова сила для жидкостей и газов.
реферат [160,9 K], добавлен 15.02.2016
