Элементы кинематики и динамики

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРС ЛЕКЦИЙ

по дисциплине «Физика»

для студентов II курса факультета заочного обучения направлению подготовки 032102 «Адаптивная физическая культура»

ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ В КУРС ФИЗИКИ. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

ВВЕДЕНИЕ

Одним из центральных в физике является учение о строении материи и охватывает два известных физике вида материи: вещество и поле.

Все материальные объекты (тела) не остаются неизменными. Всякое изменение, происходящее в окружающем нас мире, представляет собой движение материи. Движение есть способ существования материи. Материя существует в пространстве и во времени.

Пространство определяет взаимное расположение одновременно существующих объектов друг относительно друга и их относительную величину (расстояние и ориентацию).

Время определяет последовательность явлений природы и их относительную продолжительность.

Пространство и время не существуют сами по себе, в отрыве от материи, и материя не существует вне пространства и времени.

Общей мерой различных форм движения материи является энергия.

Качественно различные физические формы движения материи способны превращаться друг в друга, но сама материя неуничтожима и несотворима.

Для построения системы единиц физических величин достаточно выбрать несколько независимых друг от друга единиц, их называют основными.

Единицы физических величин, которые определяются по уравнениям с помощью основных единиц, называют производными.

Совокупность основных и производных единиц называют системой единиц.

ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

Учение о механическом движении и причинах, вызывающих или изменяющих это движение, называют механикой.

Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей в пространстве.

Механика состоит из трех разделов:

Кинематика изучает движение тел без учета причин, его вызывающих.

Динамика исследует законы и причины, вызывающие движение тел.

В статике исследуются условия равновесия системы тел.

В ньютоновской классической механике изучают механическое движение макроскопических тел, происходящее со скоростью, много меньше скорости света в вакууме (с= 3 * 108 м/с).

В релятивистской механике (теории относительности) изучают механическое движение макроскопических тел (частиц), происходящее со скоростью, сравнимой со скоростью света в вакууме.

В квантовой механике изучают механическое движение микроскопических тел, т.е. отдельных атомов и элементарных частиц.

Система отсчета

Для описания механического движения необходимо указать тело (или систему неподвижных друг относительно друга тел), относительно которого рассматривается движение. Это тело называют телом отсчета.

С телом отсчета связывается система координат. Простейшей системой координат является прямоугольная декартова система х, у, z.

Движение происходит не только в пространстве, но и во времени; следовательно, для определения моментов времени, которым соответствуют различные положения движущегося тела, необходимо иметь часы, отсчитывающие промежутки времени от произвольно выбираемого начального момента.

Совокупность тела отсчета и связанной с ним системы координат и синхронизованных между собой часов образуют систему отсчета (рис. 1).

Рисунок 1 Система отсчета

В классической механике пространству и времени приписывают абсолютный характер, линейные масштабы и промежутки времени остаются неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, т. е. не зависят от выбора системы отсчета.

В релятивистской механике линейные масштабы и промежутки времени зависят от выбора системы отсчета и в разных системах отсчета будут разными.

Материальная точка. Абсолютно твердое тело

Материальной точкой называют тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь и считая при этом, что вся его масса сосредоточена в этой точке.

Абсолютно твердое тело -- это система материальных точек, расстояние между которыми не изменяется в процессе движения.

Любое движение твердого тела можно представить как результат сложения поступательного и вращательного движений.

Движение тела называют поступательным, если любая прямая, соединяющая две любые его точки, остается все время параллельной самой себе.

При вращательном движении твердого тела все его точки описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой -- оси вращения.

Траектория. Уравнение движения точки

При движении материальной точки М конец радиуса-вектора описывает в пространстве некоторую линию, называемую траекторией. При движении точки ее радиус-вектор в общем случае изменяется как по модулю, так и по направлению.

Радиус-вектор зависит от времени:

Векторному уравнению эквивалентна система скалярных уравнений:

x=x(t),

y=y(t),

z=z(t)

Эти уравнения называют уравнениями движения материальной точки.

Исключая время из уравнений движения, получим уравнение траектории движения материальной точки.

По форме траектории механические движения классифицируются на прямолинейные и криволинейные.

Траектория данного механического движения в различных системах отсчета может иметь разную форму.

Скорость. Ускорение

Перемещение точки от А до В за промежуток времени t изображается вектором r. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой за время t, называется длиной пути s и является скалярной функцией времени (рис. 2а).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2. а Перемещение и длина пути; б. Скорость

На участке траектории АВ вектор средней скорости равен <V>=r/t и направлен вдоль хорды АВ в ту же сторону, что и вектор перемещения r. Выражение для скорости v в точке А (мгновенной скорости) имеет вид (рис. 2б)

Так как модуль вектора равен длине ds малого участка траектории (пути ds), то

модуль скорости равен первой производной пути по времени.

Скорость движения может изменяться как по модулю, так и по направлению. Быстрота изменения скорости характеризуется вектором ускорения а. Изменение скорости на участке АВ траектории за время t равно v=v1 - v, где v - скорость в точке А, v1 - скорость в точке В. Отношение изменения скорости v к промежутку времени t, в течение которого произошло это изменение - выражает среднее ускорение.

Вектор среднего ускорения совпадает по направлению с вектором изменения скорости.

Выражение для ускорения в точке А (мгновенного ускорения) можно получить как предел вектора <а> при t0:

Полное ускорение а имеет две взаимно перпендикулярные составляющие: а - тангенциальное, а_n - нормальное или центростремительное.

Тангенциальное ускорение направленное по касательной, определяет быстроту изменения модуля скорости.

Модуль тангенциального ускорения равен производной модуля скорости по времени:



Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и совпадает с нормалью к траектории к центру ее кривизны. Расчеты показывают, что модуль нормального ускорения

где R -- радиус кривизны траектории.

Угловая скорость. Угловое ускорение

При вращательном движении твердого тела его точки, находящиеся на разных расстояниях r от оси вращения, за равные промежутки времени проходят разные пути; следовательно, они имеют разные скорости и ускорения. Пусть радиус окружности, описываемой некоторой точкой, равен r, а ее линейное перемещение -- ds. Тогда угловое перемещение d (угол поворота радиуса-вектора):

Кинематическими характеристиками вращательного движения так же являются угловая скорость и угловое ускорение е.

Если за промежуток времени t тело поворачивается на угол , то быстрота его вращения характеризуется угловой скоростью

Угловая скорость равна первой производной от угла поворота радиуса-вектора по времени.

Направление вектора вдоль оси вращения, можно определить, пользуясь правилом правого винта: если направление вращения винта совпадает с вращением тела, то конец винта укажет направление вектора .

Если =const, то вращательное движение называют равномерным.

Время одного полного поворота тела вокруг оси вращения называют периодом обращения Т, а величину , обратную периоду - частотой:

Связь между линейными и угловыми характеристиками движущейся точки

За один период угол поворота радиуса-вектора точки равен 2 рад, поэтому 2 =Т, или

Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением.

Угловое ускорение равно первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота радиуса-вектора по времени.

Единица углового ускорения --радиан на секунду в квадрате (рад/с²).

Формулы поступательного и вращательного движения

Равномерное движение

1. Поступательное:

2. Вращательное:

Равнопеременное движение

1. Поступательное:

2. Вращательное:

ЛЕКЦИЯ №2 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Динамика - раздел механики, который рассматривает законы движения тел и те причины, которые его вызывают или изменяют.

В основе так называемой классической или ньютоновской механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 году.

Законы Ньютона возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их подтверждается согласием с опытом тех следствий, которые из них вытекают.

Первый закон Ньютона (закон инерции)

Существуют такие системы отсчета где, всякое тело сохраняет состояние относительного покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние воздействия не изменят этого состояния.

При отсутствии внешних воздействий тело, находившееся в движении, продолжает равномерно двигаться по прямой без изменения скорости.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инерцией.

Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называют инерциальными.

Например:

o Гелиоцентрическая система отсчета, в которой за начало координат принимают Солнце, а оси проводят в направлении звезд, которые считаются неподвижными.

o Система, которая движется относительно выбранной инерциальной системы равномерно и прямолинейно-поступательно.

Если система отсчета движется по отношению к инерциальной системе с ускорением, то она относится к неинерциальным системам отсчета.

В неинерциальных системах отсчёта первый закон Ньютона не выполняется.

Масса тела. Центр масс

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называют инертностью.

Физическая величина, являющаяся мерой инертности тела при поступательном движении, называется массой.

В классической механике масса тела считается постоянной и равной массе покоя:

т = т₀

Масса тела равна сумме масс всех частиц (или материальных точек), из которых оно состоит.

Сила

Векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел, называется силой.

Это воздействие проявляется в изменении скорости движущегося тела или изменении формы и размеров тела.

Сила, как и любая векторная величина, считается заданной, если известны её числовое значение, направление и точка приложения.

Центром масс системы материальных точек называют точку, координаты которой определяются следующими соотношениями:



где n -- число материальных точек; m_i -- масса i-й материальной точки системы; х_i,y_i,z_i -- координаты i-й материальной точки.

Второй закон Ньютона

Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом) в инерциальной системе отсчета, пропорционально действующей на точку силе, обратно пропорционально массе материальной точки и по направлению совпадает с силой:

Если на материальную точку (тело) одновременно действует несколько сил, то каждая из этих сил действует независимо от других сил и сообщает точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона.

Ускорение центра масс системы определяется результирующей силой:

где т -- суммарная масса всех точек системы.

Импульсом тела называют векторную величину, равную произведению массы тела на скорость его движения.



Запишем первый закон Ньютона используя импульс

Единица силы в СИ -- ньютон (Н).

1 Н -- сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы.

Так как и . Представив ускорение как первую производную от скорости по времени имеем:

С учетом , окончательно второй закон Ньютона запишем в виде:

Третий закон Ньютона

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти тела

сила F₁ -- это сила, с которой второе тело действует на первое, и приложена она к первому телу, F₂ -- сила, с которой первое тело действует на второе, и приложена она ко второму телу, поэтому эти силы не уравновешивают друг друга.

Закон сохранения импульса

Силы взаимодействия между частицами (частями) некоторой рассматриваемой системы тел называют внутренними.

Силы, действующие на тела данной системы со стороны тел, не включенных в эту систему, называют внешними.

Если система состоит из n материальных точек, то

где -- импульс всей системы.

Перепишем это равенство в виде

В замкнутой системе внешние силы отсутствуют, т.е.

следовательно, или

Это равенство выражает закон сохранения импульса: вектор полного импульса замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

В неинерциальных системах отсчета закон сохранения импульса не выполняется, так как силы инерции являются внешними некомпенсированными силами по отношению к неинерциальной системе. Однако второй закон Ньютона остается справедливым в данной системе, если в сумму внешних сил включить и силы инерции:



где F -- сумма внешних сил, F_ин -- сила инерции.

Силы в механике

Силы тяготения (гравитационные силы) -- это силы притяжения, которые подчиняются закону всемирного тяготения.

Сила тяжести -- сила, с которой тело притягивается Землей.

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают в данном месте земного шара с одинаковым ускорением g=9,8 м/с², называемым ускорением свободного падения.

Тогда на основании второго закона Ньютона можно утверждать, что это ускорение вызывается силой тяжести:

Вес -- сила, с которой тело, притягиваясь к Земле, действует на опору или натягивает нить подвеса.

Сила тяжести равна весу только в том случае, когда ускорение тела вместе с опорой (подвесом) относительно Земли равно нулю, т. е. когда тело относительно Земли неподвижно или движется с постоянной скоростью. В противном случае

где а -- ускорение тела с опорой относительно Земли.

При свободном падении тела вес этого тела равен нулю, т.е. оно находится в состоянии невесомости.

Силы упругости возникают в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией.

Упругая (квазиупругая) сила пропорциональна смещению частицы из положения равновесия и направлена к положению равновесия:

где r -- радиус-вектор, характеризующий смещение частицы из положения равновесия, k -- коэффициент упругости.

Сила трения скольжения возникает при скольжении данного тела по
поверхности другого:

где k -- коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей; N -- сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.

Сила трения направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению данного тела относительно другого.

Лекция 3 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Момент силы. Момент инерции

Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси 00'. Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы (рис. 3).

Рисунок 3 Твердое тело, вращающееся под действием силы F

Произведение силы на плечо определяет модуль момента силы относительно точки О: M=Fp=Fr sin (rF).

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

M=[rF].

Направление М можно найти с помощью правила правого винта

Мерой инертности при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси:

Моментом инерции тела относительно оси вращения называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Если тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами dm, то момент инерции равен:

где r -- расстояние от оси вращения до элемента массой dm.

Если тело однородно и его плотность =m/V, то момент инерции тела

Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и величины md²:

J=J₀+md²

где m -- масса тела, d-- расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Основной закон динамики

Рассмотрим материальную точку А массой т, движущуюся по окружности радиусом r.

Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Эта сила вызывает тангенциальное ускорение F=a_ф m.

Если . Умножим обе части на r.

Тогда М=еJ или е=M/J - основное уравнение динамики вращательного движение м.т..

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

Для твердого тела:

 или

е=M/J

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

где Jщ -- момент импульса (или момент количества движения), МДф -- импульс момента сил (или импульс вращающего момента).

Эти величины векторные и совпадают по направлению с векторами щ и М.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Разобьем тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной cкоростью V_i=щr_i, тогда кинетическая энергия точки

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела относительно данной неподвижной оси вращения:

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

Работа внешних сил при вращении твердого тела

При вращении твердого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

Учитывая, что Jе=M, щdt=dц, имеем dA=Mdц. Окончательно работа выражется через уравнение:

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси.

Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов импульсов отдельных его частиц:

Момент импульса -- это вектор, совпадающий по направлению с вектором угловой скорости. Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т. е. М=0, то dL=0 и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени:

движение механика тело траектория

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы остается неизменной

Закон сохранения момента импульса связан с однородностью и изотропностью пространства.

Под однородностью пространства понимают равноправность всех точек пространства.

Под изотропностью пространства понимают равноправность всех направлений в пространстве.

Размещено на Allbest.ru

...