Теоретические основы кинематики газа и жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Основные определения

Кинематика жидкой среды занимается вопросами движения жидкости и газа независимо от причин его возникновения.

Используя представления механики материальной точки можно ввести понятие скорости в заданной точке пространства , которая будет именоваться местной или локальной скоростью.

Изменение скорости по величине и направлению от точки к точке пространства требует ее определения в векторной форме. Вектор локальной скорости и три ее проекции на оси координат оказываются функциями четырех аргументов т. е.

(1)

Общий случай, когда скорость зависит от координат и времени называется неустановившимся (нестационарным).

Если скорость жидкости не зависти от времени, то движение называется установившимся (стационарным).

Рис. 1. Определение пульсационного движения

В некоторых случаях движение может считаться квазиустановившимся, если зависимость от времени не является существенной. Зависимостью от времени можно пренебречь без понижения точности решения, например, если скорость колеблется в небольших пределах и с достаточной частотой относительно некоторого постоянного значения (рис. 1).

За некоторое время осреднения средняя скорость , относительно которой происходят пульсации, равна:

(2)

Модуль действительной мгновенной скорости будет равен:

(3)

где пульсационная скорость знакопеременна и подчиняется условию:

(4)

Определение может быть распространено на пространственное распределение скоростей, тогда средняя скорость равна:

, (5)

где - площадь потока жидкости.

При движении жидкости помимо нормальных возникают касательные напряжения, что меняет распределение в пространстве и нормальных напряжений.

В гидродинамике вводится понятие гидродинамического давления с тем же свойством быть постоянным по всем направлениям в данной точке и в гидростатике:

(6)

2. Методы Лагранжа и Эйлера

Описание законов движения может быть выполнено по методу Ж.Л. Лагранжа и Л. Эйлера.

Метод Лагранжа предполагает наблюдение за отдельными материальными объектами - частицами жидкости при их перемещении в пространстве. Итог наблюдений за конкретной частицей начальными координатами (рис. 2) при перемещении за время является след , называемый траекторией.

Система функций геометрического характера:

(7)

описывающих траекторию частиц, позволяет найти кинематические характеристики путем дифференцирования:

(8)

а также вторые производные - ускорения:

 (9)

Рис. 2. Характер движения жидкости

Метод Эйлера задает поле скоростей в рассматриваемой области движения жидкости. Полное описание задано, если скорости и давления определены в виде:

(10)

Линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости направлен по касательной к ней, называется линией тока. Это основное понятие метода Эйлера. В случае неустановившегося движения в следующий момент движения через ту же точку будет проходить другая линия тока (рис. 3 а).

Так как вектор с компонентами с элементами с проекциями на оси координат, то из условия параллельности векторов следует пропорциональность их проекций:

(11)

Рис. 3. Линия тока и линии завихренности

В случае установившегося движения линия тока сохраняет свое положение в пространстве и совпадает с траекторией.

Каждая частица вращается с угловой скоростью . Линия, во всех точках которой направление векторов совпадает с касательной к ней, является вихревой линией.

Из того, что вектор с компонентами совпадает по направлению с элементом длины вихревой линии , имеющим компоненты , то уравнение вихревой линии имеет вид (рис. 3. б)

(12)

Линии тока могут совпадать с линиями завихренности. Такое движение называется винтовым и определяется:

(13)

Совокупность линий тока, проходящих через точки бесконечно малого замкнутого контура , образует элементарную трубку тока (рис. 4 а).

Рис. 4. Трубка тока и вихревая трубка

Аналогичное образование в поле угловых скоростей называется вихревой трубкой.

Пучок линий тока, проходящих через все точки площадки , ограниченной контуром называется элементарной струйкой.

Объем жидкости, проходящей через поперечное сечение 1 с площадью за время должен равняться объему жидкости, прошедшему через любое сечение 2 с площадью за то же время в случае несжимаемой среды.

3. Элементы потока жидкости и газа

Область жидкости, находящаяся в движении и имеющей конечные размеры, называется потоком. Поток является непрерывной совокупностью элементарных струек.

Поперечные сечения элементарных струек образуют живые сечения потока (рис. 5).

пульсационный жидкость лагранж поток

Рис. 5. Живые сечения потока

Живое сечение - это поверхность, в каждой точке которого вектор местной скорости направлен по нормали к ней. Площадь такой поверхности - площадь живого сечения потока. Живое сечение не обязательно должно быть плоским.

Боковая поверхность струйчатого потока образует смоченную поверхность, если она соприкасается со стенками русла. Часть потока, соприкасающаяся с воздухом, образует свободную поверхность. Часть контура, живого сечения, соприкасающаяся с твердой поверхностью называется смоченным периметром . Смоченная поверхность в установившемся движении равна , где - длина потока.

Потоки, верхняя часть которых является свободной, а остальная - смоченной, называются безнапорными. Поток полностью окруженный твердыми стенками, называется напорным. Потоки, со всех сторон соприкасающиеся с жидкой средой, называются струями. Сила трения жидкости о смоченную поверхность зависит от ее площади . Для оценки влияния смоченной поверхности на силу трения вводится гидравлический радиус в виде:

. (14)

Эта величина характеризует удельную, приходящуюся на единицу длины смоченного периметра площадь живого сечения. Напорные потоки кругового сечения имеют наибольший гидравлический радиус и минимальную силу сопротивления.

Если каждая частица потока движется равномерно и прямолинейно, а траектории всех его частиц параллельны, то движение будет равномерным.

При неравномерном движении может соблюдаться условие установившегося движения, но при этом происходит пространственное изменение скоростей.

Потоки при установившемся движении, определяемые компонентами скорости, могут быть пространственными (трехмерными):

(15)

плоскими (двухмерными):

или линейными (одномерными):

.

4. Особенности движения жидкой частицы

Теорема Коши-Гельмгольца гласит, что скорость в каждой точке элементарного объема жидкости складывается из скоростей поступательного движения вместе с полюсом, вращательного движения вокруг полюса и деформационного движения (рис. 6):

. (16)

Рис. 6. Движение жидкого объема

Первые два члена и характерны и для движения твердой частицы, поэтому их можно трактовать как скорость квазитвердого движения.

Если положение точки А относительно полюса определяется вектором , то векторы и имеют компоненты соответственно:

(17)

Разложение в ряд Тейлора непрерывной функции координат в точке полюса с точностью первого порядка малости дает:

(18)

Аналогичные соотношения можно получить и для двух других компонентов скорости и .

Введем двучлен вида , прибавляя и вычитая который из последнего равенства, запишем:

(19)

Величина характеризует поступательное движение полюса.

Величины:

(20)

являются компонентами угловой скорости вращения частицы вокруг полюса.

Кроме квазитвердого движения частицы происходит деформационное движение ее частей, о чем говорят члены:

. (21)

Для пояснения их физического смысла рассмотрим движение отрезка в жидкости вдоль оси (рис. 7).

Рис. 7. Деформация жидкой линии

В момент скорость начала отрезка .Скорость его конца при разложении по формуле Тейлора будет За время отрезок продвигается влево, но его концы пройдут расстояния:

и (22)

то есть отрезок растянется или сожмется:

(23)

т. е. есть линейная деформация отрезка за время или скорость линейной деформации, а является скоростью относительной линейной деформации.

При движении отрезка вдоль оси его концы имеют скорости и и за время пройдут пути и В результате за время отрезок повернется на угол:

 (24)

Если одновременно движутся два отрезка и , состоящие в начальный момент времени между собой прямой угол. За время повернется на угол , а отрезок на угол .

Деформация прямого угла равна:

(25)

скорость деформации прямого угла равна:

(26)

5. Ускорение жидкой частицы

Проекции ускорения жидкой частицы на оси будут иметь вид , и . Для проекции производной скорости на ось , которая являются функцией четырех аргументов и , запишем:

(27)

Величины производных от координат по времени могут быть переписаны как:

(28)

поэтому:

(29)

аналогичные соотношения можно получить и для функций и . Слагаемые ; являются локальными ускорениями в данной точке жидкости.

Компоненты характеризуют изменение компонент скорости при прохождении частицы через данную точку и называются конвективными ускорениями.

Уравнениям для проекции ускорения на ось с использованием двучлена:

(30)

можно придать вид:

(31)

конвективные составляющие уравнения содержат члены типа , ответственные за вращение (завихрение) жидкости.

В ряде случаев используется понятие завихренности жидкости с компонентами , , .

Вихревое и безвихревое движение.

При отсутствии вращения поэтому:

 (32)

Эти условия обеспечивает существование функции с дифференциалом:

(33)

Определение полного дифференциала показывает, что из существования для безвихревого движения потенциала , который называется потенциалом скорости, можно определить компоненты вектора скорости:

(34)

Размещено на Allbest.ru