Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция 1. Элементы газовой динамики

1.1 Адиабатное течение невязкого идеального газа

Адиабатным называют течение, происходящее без теплообмена с внешней средой. Газ рассматривается как «идеальный», если он подчиняется уравнению состояния Клапейрона - Менделеева

При одномерном течении все параметры газа зависят только от одной геометрической координаты:

Во многих случаях влиянием силы тяжести пренебрегают.

Вводя в рассмотрение энтальпию

где удельная теплоемкость при постоянном давлении уравнение адиабатного течения невязкого газа представляем в виде

const.

Поскольку , где внутренняя энергия, уравнение принимает вид

const.

Вводя скорость звука , получаем

const.

При адиабатном течении невязкого газа (= const) энтропия

const.

сохраняет постоянное значение, из-за чего течение называется изоэнтропным. Характерные параметры такого течения: параметры торможения т.е. значения параметров , а в точке или сечении потока, где газ полностью обратимо заторможен;

критическая скорость , т.е. значение скорости , равное местной скорости звука;

максимальная скорость , т.е. значение скорости газа при его истечении в пустоту.

Правая часть может быть выражена через эти параметры:

Критическая скорость

Употребительны безразмерные скорости



Использование уравнений процесса =const и состояния позволяет получить формулы для отношений давлений, плотностей, температур:

При изоэнтропном течении параметры торможения во всех точках имеют одно и то же значение, поэтому для двух сечений одномерного потока справедливы соотношения:

Полагая или получаем критическое отношение соответствующих параметров:

1.2 Газодинамические функции

Если газовый поток с местными параметрами изоэнтропно затормозить, то полученные параметры будут иметь смысл местных параметров торможения, а приведенные формулы будут выражать местные связи между безразмерными величинами.

Помимо функций

представленных на рис.12.1, употребительны также другие газодинамические функции. Например, использовав функцию приведенного расхода газа,

можно рассчитать массовый расход газа через сечение

где сомножитель имеет следующие значения:

	1,40	1,35	1,33	1,30	1,25
	0,685	0,676	0,673	0,667	0,658

Использовав функцию



для массового расхода газа можно получить следующее выражение:

Графики функций для приведены на рис.

Рис. Графики газодинамических функций

Функции и связаны соотношением

При использовании уравнения импульса газа вводится понятие полного импульса, которое может быть выражено в следующих видах:



где газодинамические функции, определяемые формулами

Графическое представление газодинамических функций и дано на рис.12.2. Более точные, чем по этим графикам, значения функций можно получить с помощью таблиц, приводимых в руководствах по газовой динамике.

Рис. Графики газодинамических функций

1.3 Изменение параметров одномерного адиабатного потока газа вдоль трубы переменного сечения

Поскольку в нормальных сечениях одномерного потока параметры газа постоянны, его приближенно можно рассматривать как конечную трубку тока. Для такого потока из уравнения сплошности =const и уравнения энергии можно получить соотношения:



Из этих уравнений вытекают следующие закономерности изменения параметров газа вдоль трубы:

дозвуковой поток газа () в расширяющейся трубе () тормозится (), a в сужающейся () ускоряется ();

сверхзвуковой поток газа () ускоряется в расширяющейся трубе и замедляется в сужающейся;

изменения плотности и давления обратны изменению скорости: плотность и давление дозвукового потока в расширяющейся трубе возрастают, а в сужающейся убывают. Для сверхзвукового потока наблюдается обратная закономерность.

Рис. Схема сопла Лаваля

Для непрерывного ускорения газового потока от дозвуковых скоростей до сверхзвуковых необходимо иметь трубу конфигурации, показанной на рис.12.3 (сопло Лаваля), причем минимальное сечение должно быть рассчитано так, чтобы в нем (при ) М = 1. Это сечение называется критическим.

1.4 Прямой скачок уплотнения

Явление разрывного (скачкообразного) изменения параметров газового потока при переходе через некоторую поверхность называется ударной волной. Если поверхность разрыва представляет собой неподвижную плоскость, нормальную к скорости равномерного потока газа, то такое явление называется прямым скачком уплотнения. Скачки уплотнения могут возникать только в сверхзвуковом потоке газа, они сопровождаются уменьшением скорости и возрастанием давления, плотности и температуры. Критическая скорость и температура торможения при переходе через скачок не изменяются.

Основная система уравнений, описывающих прямой скачок уплотнения, состоит:

из уравнения неразрывности

уравнения импульса (количества движения)

уравнения энергии (уравнения Бернулли)

где индексами 1 и 2 отмечены значения параметров потока соответственно перед скачком и после него.

Исключая из этой системы давления и плотности и вводя в рассмотрение критическую скорость , получаем формулу Прандтля или , из которой следует, что скорость перед скачком должна быть сверхзвуковой, а за скачком - дозвуковой.

Рис. Сравнение идеальной и ударной адиабат

Исключая скорости и из основной системы уравнений, получаем уравнение ударной адиабаты (адиабаты Гюгонио)

график которой и сопоставление с идеальной адиабатой Пуассона приведены на рис.12.4.

Использовав эти графики, можно показать, что переход через прямой скачок уплотнения является неизоэнтропным процессом и сопровождается возрастанием энтропии; образование скачка разрежения невозможно; уплотнение в прямом скачке не может превосходить

Изменение параметров газового потока при переходе через прямой скачок определяются формулами:



где ; ; .

Потеря механической энергии в скачке оценивается отношением полных давлений (давлений торможения) за скачком и перед ним:

.

1.5 Истечение газа через сопло

При истечении невязкого газа через прошлифованное сужающееся сопло с равномерным распределением скоростей на срезе скорость истечения определяется по формуле Сен-Венана - Ванцеля

где давление во внешней среде.

Массовый расход

а его максимальное значение

Расход достигается при где давление на срезе сопла, соответствующее критической скорости . Значение называется критическим отношением давлений. Формулы дают реальные расходы при и соответственно.

Для получения практически равномерного распределения скоростей в выходном сечении сопла его профиль должен быть очерчен по кривой Витошинского, определяемой уравнением

гдерадиусы соответственно промежуточного, входного и выходного поперечных сечений сопла; координата, отсчитываемая вдоль оси сопла ( при ).

Значения и выбираются из конструктивных условий, параметр принимают обычно равным . Профиль Витошинского пригоден для соединения труб различных диаметров при дозвуковых скоростях вплоть до . Сопла, присоединяемые к резервуарам, могут очерчиваться по дугам окружностей, лемнискатам или параболам.

При истечении реального (вязкого) газа через сужающееся сопло имеют место потери энергии вследствие внутреннего трения. Для оценки пропускной способности сопла вводится коэффициент расхода , определяемый как отношение истинного расхода газа к теоретическому (изоэнтропному).

Расчетная формула для расхода принимает вид

Согласно опытам, проведенным в МЭИ, для сопла лемнискатного профиля коэффициенты расхода составляют 0,95…0,98, возрастая с увеличением числа Рейнольдса, которое в опытах изменялось в пределах . С увеличением отношения давлений коэффициент расхода несколько уменьшается. Для конических сопл при различных углах конусности значения могут уменьшаться вплоть до 0,65.

Таблица Второе критическое отношение давлений и коэффициенты расхода для сопл различных форм

Вследствие влияния сил вязкости и образования пограничного слоя на поверхности сопла структура течения не вполне соответствует теоретической. Это проявляется и в том, что значение относительного давления , при котором достигается максимальный расход, оказывается меньше теоретического . Значение возрастает с увеличением числа Re* и убывает с увеличением длины сопла при соблюдении условия . В табл.12.1 приведены значения для различных сопл и соответствующие коэффициенты расхода.

Для получения сверхзвуковых скоростей истечения необходимо применение сопла Лаваля (рис.12.3). Элементарный расчет такого сопла, основанный на одномерной теории, состоит в определении площадей минимального (критического) сечения S* и выходного сечения (рис.12.3). Заданными считаются массовый расход параметры торможения и скорость на выходе . Полагая площадь S* определяем по формуле:

Выходное сечение рассчитывают исходя из уравнения неразрывности

где

Форма расширяющейся части сопла в первом приближении может быть принята конической.

Такое сопло может обеспечить лишь приближенное к заданному среднее значение скорости на выходе, но создает неравномерное распределение местных скоростей.

Большей равномерности скоростей на выходе можно достигнуть, если задать закон изменения скорости вдоль оси сопла и определить промежуточные сечения по формуле

Для получения равномерного распределения скоростей профиль расширяющейся части сопла должен быть рассчитан методами теории двумерных течений. Кроме того, должно учитываться влияние вязкости; с этой целью разработаны приближенные методы.

1.6 Адиабатное течение идеального газа с трением в трубе постоянного сечения

Расчетная система уравнений одномерного потока вязкого газа без энергообмена с внешней средой включает в себя:

уравнение неразрывности

уравнение состояния

уравнение энергии (Бернулли)

где работа сил вязкости (потери), отнесенные к единице массы в движущемся газе.

Поскольку данное течение энергетически изолировано, температура и энтальпия торможения, а также критическая скорость постоянны (const, const, const). С учетом этого из предыдущей системы можно получить

Поскольку всегда , дозвуковой поток (М<1) под влиянием трения ускоряется (>0), а сверхзвуковой (М>1) тормозится (<0). Непрерывный переход через скорость звука под влиянием только трения невозможен. газ сечение уплотнение изотермический

Соотношение между параметрами газового потока в двух сечениях трубы выражаются формулами:

Работа сил трения на участке трубы длиной может быть приближенно выражена гидравлической зависимостью Вейсбаха - Дарси

где гидравлический коэффициент трения, зависящий от числа Рейнольдса, как и для несжимаемой жидкости; средняя скорость; диаметр трубы. Здесь для коэффициента трения употреблено обозначение , для отличия его от безразмерной скорости .

Используя эту зависимость, уравнение можно привести к виду

Полагая =const (что допустимо ввиду малого изменения числа Re по длине трубы), в результате интегрирования можно получить

где расстояние между начальным сечением и расчетным сечением трубы 2. Обозначая

и определяя приведенную длину трубы как

уравнение представляем в форме

Так как при функция достигает минимума , то при заданном и достигается некоторая критическая максимальная приведенная длина трубы

Зависимость показана на рис.12.5. При заданных и длине трубы критическая скорость может быть достигнута в конце трубы.

Рис. Зависимость приведенной критической длины трубы от начальной скорости

Скорость дозвукового потока на входе в трубу заданной приведенной длины не может превышать значения, определяемого уравнением

Если < 1и заданное значение приведенной длины трубы , то на выходе . Если же то . При реализация заданного значения в начале трубы невозможна.

Если поток на входе в трубу сверхзвуковой (>1) и приведенная длина , то т.е. на выходе из трубы поток сохранится сверхзвуковым (однако ). При >1 и . Когда при >1 задано некотором сечении трубы возникает скачок уплотнения, за которым устанавливается дозвуковой ускоренный поток.

Положение скачка, предполагая его прямым, определяем следующим образом. Скорости перед скачком и за ним связаны формулой Прандтля

В то же время связана с координатой скачка уравнением

С учетом того, что , можно написать

где приведенная длина трубы, откуда

Решая совместно два последних уравнения, находим и .

Для обеспечения заданного значения на входе в трубу заданной приведенной длины требуется вполне определенный перепад давлений между входным и выходным сечениями.

Если полное давление во входном сечении, а давление в среде, в которую газ вытекает из трубы, то значение , называемое располагаемым отношением давлений, будет определяться массовый расход и другие параметры газа в данной трубе. Если на выходе из трубы устанавливается критическая скорость (=1), то соответствующее отношение давлений называется критическим:



При заданном располагаемом отношении давлений расчет истечений через трубу заданных размеров производят по следующей схеме. Выражая расход во входном сечении через полное давление в выходном сечении через статическое давление, получаем

Ввиду адиабатности течения и, следовательно,

Если , то или

Скорости и связаны уравнением

Отсюда находятся скорости и как функции заданных величин и . Приведенные уравнения справедливы при . Минимальное значение , при котором , определяют по уравнению

При значениях на выходе из трубы

и

1.7 Изотермическое течение в трубе

Исходными данными для расчета служат уравнения:

Бернулли

постоянства массового расхода

=const;

состояния

const.

Подставляя два последних соотношения в уравнение Бернулли, получаем

Интегрирование этого уравнения дает

где индексом 1 отмечены параметры в начальном сечении.

Если в сечении давление равно , то массовый расход

где безразмерная длина трубы.

Введя число уравнение можно привести к виду

Если в трубу поступает дозвуковой поток (), то вниз по течению число М возрастает и в конце трубы может достигнуть единицы. Соответствующая длина трубы называется критической и определяется из уравнения

1.8 Распространение малых возмущений

Обтекание тел при малых возмущениях

Если плоский равномерный поток газа подвергается малым возмущениям , то при направлении оси вдоль вектора можно записать

где проекции скорости возмущенного движения.

Если пренебречь квадратами и произведениями этих величин, то в линейном приближении

где коэффициент давления.

Составляющая скорости возмущения определяется через потенциал малого возмущения

причем

Потенциал скорости при малых возмущениях удовлетворяет уравнению

Рис. Распространение малых возмущений в дозвуковом (а), звуковом (б) и сверхзвуковом (в) потоках газа

Если в равномерном потоке газа точка А (рис.12.6) является источником малых возмущений (малых изменений плотности и давления), то эти возмущения в виде слабой волны распространяются в потоке. В зависимости от скорости потока фронты волн возмущения могут занимать одно из положений, показанных на рис.12.6. В дозвуковом течении (рис.12.6, а) фронты волн возмущения представляют собой окружности радиусом , смещаемые вниз по течению на расстояние , где время с момента возникновения возмущения.

При сверхзвуковой скорости потока газа волны возмущений также имеют вид окружностей, но в силу условия и область их распространения ограничивается прямыми AM и AN для осесиммет-ричного потока - поверхностью конуса, называемыми линиями возмущения или линиями Маха. Эти прямые образуют с вектором скорости угол Маха, определяемый формулой

Течение при дозвуковых скоростях. При замена переменных приводит уравнение для потенциала скорости к уравнению Лапласа т.е. к уравнению, которому удовлетворяет потенциал скорости несжимаемой жидкости. Поэтому при обтекании дозвуковым потоком газа тонкого профиля с малым углом атаки задача приводится к задаче обтекания профиля несжимаемой жидкостью. Формулы пересчета согласно теории Прандтля - Глауэрта имеют вид:

для коэффициента давления

для коэффициента подъемной силы

где индексом «н» отмечены параметры потока несжимаемой жидкости.

Течение при сверхзвуковых скоростях. Линеаризованное уравнение потенциала скорости заменой переменных

приводится к уравнению гиперболического типа

имеющему общее решение в переменных

где произвольные функции.

Два семейства прямых, описываемых уравнениями

const

Сверхзвуковое обтекание малого угла, образованного плоскими стенками. При таком течении из вершины угла выходит характеристика первого семейства, которая делит область течения на две части: невозмущенную и возмущенную. При обтекании выпуклого угла поток ускоряется, а при обтекании вогнутого - замедляется.



Рис. Схемы обтекания сверхзвуковым потоком малого угла:

а - ускорение потока; б - торможение потока

Рис. Расчетная схема обтекания тонкого профиля линеаризованным сверхзвуковым потоком газа

Обтекание тонкого профиля с заостренными кромками. Задача может быть приближенно решена на основе линеаризованной теории. При этом плавный контур профиля заменяют ломаным (рис.12.8) и последовательно решают задачу об изменении параметров потока при переходе через каждую линию возмущения, выходящую из точек излома. В результате получают следующие формулы для коэффициента давления:

для верхней поверхности, заданной уравнением

для нижней поверхности, заданной уравнением

где угол атаки (рис.12.8).

Коэффициент подъемной силы

Коэффициент волнового сопротивления

где причем максимальная толщина профиля, его хорда.

Момент сил давления относительно передней кромки

где коэффициент момента,

здесь коэффициент момента при нулевом угле атаки,

площадь, равная .

1.9 Косые скачки уплотнения

При торможении сверхзвукового потока могут возникать поверхности разрыва, которые наклонены к вектору скорости под углом, отличным от прямого. Такие разрывы называются косыми скачками уплотнения (рис.12.8). Расчетная система уравнений косого скачка включает в себя уравнения:

неразрывности

количества движения (импульса) в проекции на нормаль к фронту скачка

количества движения в проекции на направление, параллельное фронту скачка,

или

энергии

Рис. Расчетная схема косого скачка уплотнения

Из этой системы выводятся соотношения между параметрами потока за скачком и перед ним:

для отношения давлений

отношения плотностей

;

отношения температур

отношения давлений торможения

разности значений энтропии

Последняя формула показывает, что переход через косой скачок не является изоэнтропийным и сопровождается потерями механической энергии.

Связь между углом наклона фронта скачка и углом поворота потока в скачке определяется формулой

из которой следует, что кривая имеет максимум, т.е. существует угол наклона скачка , соответствующий максимально возможному отклонению потока в скачке . Значения определяются из уравнения

Кроме того, каждому значению отвечают два значения . Скорость потока за скачком связана со скоростью перед скачком соотношением

откуда следует, что для каждого значения существует некоторое значение , при котором . При поток за скачком остается сверхзвуковым (слабые скачки), при он будет дозвуковым (сильные скачки). Для определения служит уравнение



Рис. Расчетная диаграмма косых скачков уплотнения

Размещено на Allbest.ru

...