Потенциальное движение идеальной несжимаемой жидкости
Плоское стационарное движение жидкости. Применение теории функций комплексной переменной для решения задач гидродинамики. Плоскопараллельный поток м проекции скоростей. Линии тока и эквипотенциали вихря. Линии тока при обтекании круглого цилиндра.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.09.2017 |
| Размер файла | 178,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
12
Размещено на http://www.allbest.ru/
Потенциальное движение идеальной несжимаемой жидкости
1. Плоское стационарное движение жидкости
При плоском стационарном движении жидкости все ее частицы перемещаются параллельно некоторой плоскости (рис. 1)
Рис. 1. Плоское движение жидкости
Если определяющая плоскость совпадает с координатной , то потенциал скорости будет равен , а уравнения
(1)
будут линиями эквипотенциалей.
Компоненты скорости в проекциях на оси и определяются в виде
(2)
Уравнение неразрывности в случае плоского движения жидкости имеет вид
(3)
Если ввести функцию , связанную с проекциями скоростей равенствами
(4)
то она удовлетворяет уравнениям неразрывности, т.к.
(5)
движение идеальный несжимаемый жидкость
Эта функция называется функцией тока, а выражение является уравнением линий тока.
Поскольку уравнение безвихревое, то
(6)
поэтому
(7)
Подстановка равенств в уравнение неразрывности дает
(8)
Сравнение равенств (2) и (4) дает
(9)
Функции, удовлетворяющие условиям (9), называются гармоническими.
2. Применение теории функций комплексной переменной для решения задач гидродинамики
В теории комплексной переменной связь между функциями и называется условиями Коши-Римана.
При этом комплексная величина является комплексной переменной , равной (рис. 2).
Рис. 2. Определение комплексной переменной и
Таким образом, существует функция комплексной переменной , вещественная и мнимая части которой будут и , т.е.
. (10)
Функция называется комплексным потенциалом или характеристической функцией течения.
Производная не зависит от направления дифференцирования (условие аналитичности) и полностью определяется положением точки в плоскости , заданной координатой , т.е.
(11)
(12)
. (13)
С учетом условий и получим
(14)
Величина и направление скорости в комплексной плоскости (рис.2) определится формулой
(15)
Производная от комплексного потенциала по координате равна скорости по абсолютной величине, а по направлению совпадает с зеркальным отображением вектора скорости относительно вещественной оси.
Величина называется сопряженной скоростью.
Плоскость является плоскостью годографа скорости.
Значение контурного интеграла равно
(16)
, (17)
. (18)
Здесь - циркуляция скорости по замкнутому контуру; - объемный расход через замкнутый контур.
Для действительной части получим
, (19)
а для мнимой
. (20)
Можно поставить две задачи:
1) по заданному комплексному потенциалу найти , и поле скоростей;
2) зная контур обтекаемого тела и значение скорости на бесконечности, найти комплексный потенциал.
В качестве примеров рассмотрим простейшие потенциальные потоки.
3. Плоскопараллельный поток
Пусть комплексный потенциал имеет вид
. (21)
Если вещественно (рис.3), то
. (22)
Рис.3. Поток при действительном
Из находим , и эквипотенциали имеют вид
, (23)
а линии тока
. (24)
Проекции скоростей равны
(25)
. (26)
При минимальных числах ( - вещественно)
. (27)
Эквипотенциальные линии и линии тока
и . (28)
Проекции скоростей будут
и . (29)
Если - комплексное число, равное ( и - вещественные положительные числа), то
(30)
Потенциал скорости и функция тока имеют вид
и , (31)
а проекции скоростей равны
и . (32)
Уравнениями линий тока и эквипотенциалей будут
или ; (33)
или . (34)
4. Источник и сток
Вторым примером комплексного потенциала является функция
. (35)
При вещественном
(36)
Потенциал скорости и функция тока
и . (37)
Линии тока и эквипотенциали источника и стока (рис. 4) определяются уравнениями
и .
Рис. 4. Линии тока и эквипотенциали источника и стока
В цилиндрической системе координат
(38)
(39)
Если , то возникает источник, а при - сток. Начало координат является точкой, в которой скорость равна бесконечности.
Объемный расход источника (стока)
(40)
определяет мощность (обильность) источника (стока).
Комплексный потенциал в этом случае равен
. (41)
5. Вихрь
Если мнимое, то и
, (42)
поэтому
, (43)
где - вещественное число.
Тогда и , а уравнения линий тока и эквипотенциалей
и (рис. 5). (44)
Составляющие скорости
и (45)
Циркуляция вдоль замкнутой линии
или , (46)
. (47)
Комплексный потенциал потока с циркуляцией равен
. (48)
Рис. 5. Линии тока и эквипотенциали вихря
Величина скорости
. (49)
Движение соответствует циркуляционному потоку вокруг вихревой нити.
6. Диполь
Комплексный потенциал
(50)
после подстановки даст
, (51)
и . (52)
Линии тока и эквипотенциали
; . (53)
Это семейства окружностей с центрами, расположенными на оси и .
Рис. 6. Диполь
7. Обтекание круглого цилиндра
Комплексный потенциал, включающий сумму потенциалов плоскопараллельного оси Х потока и диполя, можно записать
(54)
Отделив мнимую и вещественную части запишем из
(55)
Выражения для потенциала скорости и функции тока с учетом
(56)
(57)
Следовательно, уравнение линии тока будет или
(58)
Нулевая линия тока задается двумя уравнениями
(59)
Второе уравнение представляет собой окружность радиуса
(60)
с центром в начале координат. Первое соответствует оси абсцисс (рис. 7).
Рис. 7. Линии тока при обтекании круглого цилиндра
Рис. 8. Цилиндрические координаты (полярные в сечении)
Заменив нулевую линию тока твердой стенкой без изменения характера движения потока получим обтекание круглого цилиндра.
В цилиндрических координатах запишем равенства (рис. 8) и
, (61)
поэтому
(62)
Проекции скорости будут
(63)
(64)
На поверхности цилиндра
а (65)
Точки, в которых скорость равна нулю при обтекании цилиндра, соответствуют и Максимальные значения скоростей соответствуют и
Из уравнения Бернулли для нулевой линии тока получим
(67)
(68)
где p - давление в любой точке на поверхности цилиндра.
Вводя коэффициент давления
, (69)
и подставляя
Получим
(70)
Поэтому
(71)
Рис. 9. Распределение коэффициента давления
Обтекание реальной жидкостью круглого цилиндра ведет к несимметричному распределению давления. Вид кривой распределения давления зависит от числа Рейнольдса Re.
Проекции сил давления, действующего на элементарную площадку (единичной длины) будут равны:
(72)
Поскольку
(73)
(74)
(75)
Учитывая
и (76)
получим
Аналогично доказывается, что и
Отсутствие силы сопротивления для тел, независимо от их формы, обтекаемых потоком идеальной жидкости, в гидродинамике называется парадоксом Даламбера.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Реологические свойства жидкостей в микро- и макрообъемах. Законы гидродинамики. Стационарное движение жидкости между двумя бесконечными неподвижными пластинами и движение жидкости между двумя бесконечными пластинами, двигающимися относительно друг друга.
контрольная работа [131,6 K], добавлен 31.03.2008Теория движения жидкости. Закон сохранения вещества и постоянства. Уравнение Бернулли для потока идеальной и реальной жидкости. Применение уравнения Д. Бернулли для решения практических задач гидравлики. Измерение скорости потока и расхода жидкости.
контрольная работа [169,0 K], добавлен 01.06.2015Поле вектора скорости: определение. Теорема о неразрывности струн. Уравнение Бернулли. Стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости. Полная энергия рассматриваемого объема жидкости. Истечение жидкости из отверстия.
реферат [1,8 M], добавлен 18.06.2007Элементарная струйка и поток жидкости. Уравнение неразрывности движения жидкости. Примеры применения уравнения Бернулли, двигатель Флетнера (турбопарус). Критическое число Рейнольдса и формула Дарси-Вейсбаха. Зависимость потерь по длине от расхода.
презентация [392,0 K], добавлен 29.01.2014Реальное течение капельных жидкостей и газов на удалении от омываемых твердых поверхностей. Уравнение движения идеальной жидкости. Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости. Истечение жидкости через отверстия. Геометрические характеристики карбюратора.
презентация [224,8 K], добавлен 14.10.2013Уравнение неразрывности потока жидкости. Дифференциальные уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости. Силы, возникающие при движении реальной жидкости. Уравнение Навье - Стокса. Использование уравнения Бернулли для идеальных и реальных жидкостей.
презентация [220,4 K], добавлен 28.09.2013Уравнения линии с распределенными параметрами. Эффект непрерывного изменения тока и электрического напряжения вдоль линии. Продольное активное сопротивление единицы длины линии. Применение законов Кирхгофа. Линии синусоидального тока без потерь.
реферат [801,3 K], добавлен 21.12.2013Определение водородной связи. Поверхностное натяжение. Использование модели капли жидкости для описания ядра в ядерной физике. Процессы, происходящие в туче. Вода - квантовый объект. Датчик внутриглазного давления. Динамика идеальной несжимаемой жидкости.
презентация [299,5 K], добавлен 29.09.2013Силы и коэффициент внутреннего трения жидкости, использование формулы Ньютона. Описание динамики с помощью формулы Пуазейля. Уравнение Эйлера - одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Течение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса.
курсовая работа [531,8 K], добавлен 24.12.2013Движение частиц жидкости в виде суммы неких упорядоченными форм. Тип движения жидкости в цилиндрических ячейках, выполняющий функции организатора. Нарушение симметрии направлений в результате случайной флуктуации и устойчивость цилиндрических ячеек.
реферат [1,1 M], добавлен 26.09.2009Выведение уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости - уравнения Стокса. Рассмотрение основных режимов движения жидкости в горизонтальных трубах постоянного поперечного сечения - ламинарного и турбулентного. Определение понятия профиля скорости.
презентация [1,4 M], добавлен 14.10.2013Расчет характеристик установившегося прямолинейно-параллельного фильтрационного потока несжимаемой жидкости. Определение средневзвешенного пластового давления жидкости. Построение депрессионной кривой давления. Определение коэффициента продуктивности.
контрольная работа [548,3 K], добавлен 26.05.2015Произвольное плоское движение твердого тела. Три независимые координаты. Скорости точек тела при плоском движении. Угловая скорость вращения фигуры. Мгновенный центр скоростей и центроиды. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорения.
презентация [2,5 M], добавлен 24.10.2013Первая теорема Гельмгольца. Уравнение баланса внутренней энергии и мощность ее диссипации. Обобщенное уравнение Гельмгольца для дисперсии завихренности в вязкой несжимаемой среде. Квазитвердое движение внутри вихря Ренкина и вызванное поле вне вихря.
лекция [334,3 K], добавлен 26.02.2011Использование теоремы об изменении кинетической энергии. Исследование качения цилиндра с проскальзыванием и без него, со сдвинутым центром тяжести. Составление уравнения движения. Вычисление начальных давлений на стену и пол при падении стержня.
лекция [579,2 K], добавлен 30.07.2013Расчет падения напряжения на резисторе. Сущность метода пропорциональных величин. Определение коэффициента подобия. Расчет площади поперечного сечения проводов линии электропередачи. Вычисление тока потребителя. Векторная диаграмма тока и напряжения.
контрольная работа [1,8 M], добавлен 30.09.2013Броуновское движение как беспорядочное движение микроскопических видимых, взвешенных в жидкости или газе частиц твердого вещества. Формула Эйнштейна, ее справедливость. Причина броуновского движения, его особенности, хаотичность и интенсивность.
презентация [932,4 K], добавлен 14.01.2015Построение гидродинамической сетки обтекания кругового цилиндра. Эпюры скоростей и давлений для одного сечения потока. Диаграмма распределения давления вдоль продольной оси канала. Расчет диаграммы скоростей и давлений по контуру кругового цилиндра.
курсовая работа [252,4 K], добавлен 27.03.2015Определение поля скоростей и вихревого поля. Нахождение критических точек, расчет обтекаемого контура и линий тока. Определение распределения давления на обтекаемый контур, направления и величины главного вектора сил давления. Построение эпюр напряжений.
курсовая работа [230,9 K], добавлен 04.05.2011Идеальная жидкость как жидкость без внутреннего трения. Безнапорное движение - движение жидкости в канале. Решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса. Преобразование Лапласа для временных и преобразование Фурье для пространственных переменных.
курсовая работа [220,9 K], добавлен 09.11.2011
