Динамика невязкой жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

1. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ДВИЖУЩЕЙСЯ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Динамика жидкости - раздел гидромеханики, который изучает законы движения жидкостей в зависимости от приложенных к ним сил.

При заданных внешних силах задача динамики жидкости сводится к определению напряжений и кинематических параметров движения в каждой точке жидкости в любой момент времени, а также к определению гидродинамических сил воздействия потока на тела.

При движении невязкой жидкости не возникают силы внутреннего трения, а значит, в потоке нет касательных напряжений.

Нормальные напряжения в движущейся невязкой жидкости обладают теми же свойствами, что и в покоящейся жидкости, т. е. в данной точке их значения не зависят от направления действия. Таким образом, напряженное состояние движущейся невязкой жидкости может быть охарактеризовано в каждой точке значением нормального напряжения. Поскольку это значение не зависит от направления действия, его, как и при равновесии жидкости, называют давлением.

Невязкая жидкость - это модель жидкости, т. е. идеализированная среда, не встречающаяся в природе и технике. Однако изучение законов динамики этой идеализированной среды имеет большое значение. При решении некоторых задач применение законов движения невязкой жидкости для расчета реальных явлений дает результаты, достаточно точно описывающие реальное явление (например, при обтекании тел вытянутой плавной формы - крыла, лопасти рабочего колеса турбины). Кроме того, уравнения динамики невязкой жидкости в некоторых случаях служат исходными для получения уравнений движения вязкой жидкости.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА)

движение жидкость эйлер бернулли

Рассмотрим движущуюся невязкую жидкость, у которой плотность . Выделим в ней элементарный параллелепипед с ребрами параллельными координатным осям (рис. 1). На массу жидкости в объеме параллелепипеда, равную , действуют массовые силы, пропорциональные массе, и поверхностные силы давления окружающей жидкости, распределенные по граням параллелепипеда, направленные по внутренним нормалям к граням и пропорциональные площадям соответствующих граней.

Рис. 1

Составим уравнения движения выделенной массы в проекциях на координатные оси.

Произведение массы жидкости в параллелепипеде на проекцию ускорения движения его центра масс (полюса) на направление ОХ равно

,

где - скорость центра масс в направлении X.

Проекция на направление ОХ массовых сил, действующих на выделенную массу жидкости, равна

,

где - проекция на ось ОХ плотности распределения массовой силы.

Чтобы записать проекцию сил давления на ось ОХ, вспомним, что в сплошной жидкой среде давление есть непрерывная функция координат точек жидкости и времени .

Обозначим давление в произвольной точке с координатами на левой вертикальной грани. В силу сплошности жидкости и непрерывности функции давления на правой грани в точке с координатами давление равно точностью до бесконечно малых второго порядка.

Разность давлений будет одинаковой для любой пары выбранных на гранях точек с одинаковыми координатами и , при этом проекция на ось ОХ результирующей силы давления равна .

Записав уравнение движения в направлении ОХ, получим

или после деления на массу



Аналогично можно получить уравнения движения в проекциях на направления осей OY и OZ:

Таким образом, система дифференциальных уравнений движения невязкой жидкости имеет вид

(1)

Эти дифференциальные уравнения были впервые получены действительным членом Петербургской Академии наук Л. Эйлером в 1755 г.

Учитывая, что для неустановившегося движения компоненты (проекции) скорости и являются функциями времени, можно записать ускорения выделенной массы в развернутом виде:

уравнения Эйлера (1) можно переписать в виде

(2)

Для случая покоящейся жидкости уравнения (1) совпадут с дифференциальными уравнениями равновесия жидкости (2.4).

Уравнение движения невязкой жидкости вдоль линии тока имеет вид

, (3)

где - проекция плотности распределения массовых сил на направление касательной к линии тока; - ускорение частицы.

Уравнение (3) после преобразований имеет вид

. (4)

В задачах динамики жидкости массовые силы обычно считаются заданными (известными). Неизвестными являются функции давления , проекции скорости и плотность - всего пять неизвестных функций.

Для определения неизвестных переменных используется система уравнений Эйлера. Поскольку число неизвестных превышает число уравнений, к системе Эйлера добавляют уравнение неразрывности и уравнение состояния среды.

Для несжимаемой жидкости уравнение состояния const и уравнение неразрывности

3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ФОРМЕ ГРОМЕКИ

Профессором Казанского университета И.С.Громекой в 1881 г. уравнения Эйлера были преобразованы и записаны в иной форме.

Рассмотрим уравнения (4 2). В первом из них вместо и подставим их выражения из (3 9):

и .

.

Аналогично преобразовав два других уравнения системы (2), получим уравнения в форме, данной Громекой:

(5)

4. УРАВНЕНИЯ ГРОМЕКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ МАССОВЫХ СИЛ, ИМЕЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛ

Если действующие на жидкость массовые силы обладают потенциалом, то проекции плотности распределения массовых сил представляются частными производными от потенциальной функции :

(5a)

Подставив значения в систему (5), получим уравнения движения несжимаемой жидкости под действием сил, имеющих потенциал:

 (6)

5. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ДЕЙСТВИИ МАССОВЫХ СИЛ, ИМЕЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛ

При установившемся движении частные производные составляющих скорости по времени равны нулю:

Тогда для рассматриваемого установившегося движения невязкой жидкости уравнения (4 б) принимают вид

(7)

Выбрав на любой линии тока элементарное перемещение , получим для его проекций на координатные оси .

Умножив каждое из уравнений (6) последовательно на проекции элементарного перемещения вдоль линии тока и просуммировав уравнения, получим

.

Правую часть полученного выражения можно переписать в виде определителя. Тогда

. (8)

Если определитель обращается в нуль, то

. (9)

Уравнение (9) называется уравнением Бернулли по имени действительного члена Петербургской Академии наук Даниила Бернулли. Впервые термин «гидродинамика» появился в книге Д. Бернулли опубликованной в 1738 г.

Выясним, в каких случаях установившегося движения невязкой несжимаемой жидкости справедливо уравнение Бернулли или, иначе говоря, в каких случаях определитель в правой части уравнения (8) обращается в нуль.

Известно, что определитель равен нулю, если две строки (или два столбца) равны или пропорциональны друг другу или если одна из его строк или один из столбцов равны нулю.

Рассмотрим эти случаи последовательно.

1. Пропорциональны члены первой и третьей строк, т.е. уравнение Бернулли справедливо при выполнении условия

.

Это условие выполняется на линиях тока (3.7). Таким образом, уравнение Бернулли справедливо вдоль линий тока. Для различных линий тока значение постоянной уравнения (9) в общем случае будет различным.

2. Пропорциональны члены первой и второй строк, т. е. уравнение Бернулли справедливо при выполнении условия

.

Это условие выполняется на вихревых линиях (3.12). Поэтому уравнение Бернулли справедливо вдоль вихревых линий. На каждой вихревой линии константа уравнения (9) сохраняет свое значение и может изменяться при переходе с одной линии на другую.

3. Пропорциональны члены второй и третьей строк:

. (10)

Тогда

.

Подставив полученные выражения в уравнение вихревой линии

получим уравнение линий тока

Таким образом, в рассматриваемом случае векторы скорости и угловой скорости параллельны (их направления совпадают). Такое движение называется винтовым. Частицы при винтовом движении перемещаются по линиям тока (так как движение установившееся, то линии тока и траектории частиц совпадают), а линии тока в то же время являются вихревыми линиями, т. е. частицы еще и вращаются вокруг линии тока.

Из условий (10) видно, что равенство определителя нулю в этом случае не зависит от координат. Соответственно постоянство удельной энергии при винтовом движении обеспечивается во всем пространстве, занятом находящейся в винтовом движении жидкостью.

Уравнение Бернулли (9)

при винтовом движении применимо к любой точке жидкости.

Условие равенства нулю членов второй строки определителя



означает, что движение безвихревое (потенциальное).

Уравнение Бернулли (9) действительно для всех точек области потенциального движения.

5. Условие равенства нулю членов третьей строки определителя

соответствует равновесию жидкости.

6. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ

Чтобы применить уравнение Бернулли (9) для практических расчетов, необходимо определить вид потенциальной функции в зависимости от действующих на жидкость массовых сил.

1. На жидкость действует только одна массовая сила тяжести. В этом случае проекции на оси координат плотности распределения массовых сил (ось OZ направлена вертикально вверх).

Из (5а) имеем для данного случая

. (11)

Подставив полученное значение в (9), получим уравнение Бернулли для установившегося движения несжимаемой невязкой жидкости при действии одной массовой силы - силы тяжести:

 (12)

. (13)

Для частицы в двух ее положениях 1 и 2 уравнение Бернулли (12) и (13) можно записать в виде

(14)

. (15)

Рис.2

2. На жидкость действуют массовые силы: сила тяжести, центробежная сила инерции переносного движения и кориолисова сила инерции (случай относительного движения). Такое движение будет наблюдаться, например, в криволинейном канале, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью (рис. 2).

Выберем систему координат: направим ось OZ вдоль оси вращения, а оси ОХ и OY пусть вращаются вместе с каналом.

Рассмотрим движение жидкости вдоль линии тока (или, что тоже, элементарную струйку жидкости). Пусть - местная скорость жидкости относительно выбранной вращающейся системы координат.

Отнесенная к единице массы сила тяжести имеет проекции

.

Отнесенная к единице массы центробежная сила инерции представляет собой (- расстояние рассматриваемой точки от оси вращения).

Ее проекции

.

Учитывая, что массовые силы имеют потенциал, запишем

(16)

и получим

.

После интегрирования найдем

.

Так как

,

. (17)

Вектор кориолисовой силы нормален к вектору относительной скорости движения жидкости, поэтому в выражении отсутствуют проекции плотности распределения кориолисовой силы.

Уравнение Бернулли для рассмотренного движения имеет вид

(18)

(19)

Для двух сечений элементарной струйки имеем

(20)

(21)

Величина представляет собой переносную скорость.

7. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим уравнение Бернулли для установившегося движения невязкой несжимаемой жидкости при действии сил тяжести и сил давления (13)

.

Здесь представляет собой высоту расположения сечения элементарной струйки над некоторой горизонтальной плоскостью, называемой плоскостью сравнения. Этой высоте легко придать энергетический смысл. Действительно, если принять плоскость сравнения за плоскость нулевой потенциальной энергии, то можно утверждать, что, подняв массу жидкости на высоту , ей сообщили потенциальную энергию . Отсюда следует, что выражает потенциальную энергию, отнесенную к единице веса. называют удельной потенциальной энергией положения.

Величине может быть также придан энергетический смысл. Рассмотрим элементарную струйку с площадью живого сечения , давлением и скоростью . Сила давления равна . При перемещении частиц, расположенных в данном сечении, за время на расстояние сила давления произведет работу на этом пути, равную . Отнеся эту работу к весу объема вытесненной жидкости , т. е. разделив на , получим, что работа силы давления, отнесенная к единице веса жидкости, равна .

Частица с массой и весом при движении со скоростью имеет кинетическую энергию . Если эту кинетическую энергию разделить на вес частицы, то получим удельную (отнесенную к единице веса) кинетическую энергию .

Следовательно, каждый член уравнения Бернулли представляет собой удельную потенциальную или кинетическую энергию.

Сумма всех членов уравнения Бернулли представляет собой полную (потенциальную плюс кинетическую) удельную энергию жидкости в сечении потока.

Выше удельная энергия относилась к единице веса жидкости. Энергию можно также отнести к единице массы или к единице объема.

Суммарная потенциальная и кинетическая энергия, отнесенная к единице массы, имеет вид

.

Суммарная энергия, отнесенная к единице объема, записывается как

.

Далее, говоря об удельной энергии, будем иметь в виду энергию, отнесенную к единице веса.

Удельная энергия определяется относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения.

Трактовка уравнения Бернулли для установившегося движения невязкой несжимаемой жидкости с энергетических позиций такова: при потенциальном и винтовом движении суммарная удельная энергия распределена по потоку равномерно, т. е. одинакова для любой пары точек области, занятой движущейся жидкостью.

При вихревом движении (кроме винтового) удельная энергия различна для различных точек потока и сохраняет постоянное значение только на каждой отдельной линии тока или на вихревой линии.

Для удельной (отнесенной к единице веса) энергии в гидравлике применяется термин напор:

. (22)

При этом называется пьезометрическим или гидростатическим, напором; - скоростным напором; - гидродинамическим напором.

Поскольку члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность, их можно интерпретировать как высоты: - геометрическая высота, или высота положения; - высота, соответствующая давлению,- скоростная высота.

Откладывая от плоскости сравнения вертикальные отрезки , , найдем геометрическое место концов сумм этих отрезков, которое расположится на горизонтальной плоскости, поднятой над плоскостью сравнения на высоту . Эта плоскость называется напорной, на рис. 3 ее след представлен верхней горизонтальной линией, которая называется напорной линией, или линией удельной энергии. Соединив концы отрезков , получим пьезометрическую линию.

Рис. 3

Разница между высотой, соответствующей давлению, и высотой, соответствующей избыточному давлению составляет . Тогда местоположение и напорной, и пьезометрической линии для двух указанных случаев ( или ) будет отличаться на .

Обычно под пьезометрической линией понимается линия, соединяющая концы отрезков, представляющих суммы .

Пьезометрическим уклоном называется отнесенное к единице длины изменение пьезометрического напора или изменение отметок пьезометрической линии, в общем случае

. (23)

При потенциальном и винтовом движении для данного потока напорная плоскость одна, а при вихревом движении каждая линия тока и вихревая линия имеют свои индивидуальные напорные плоскости (их следы на чертеже - напорные линии).

Отметки пьезометрической линии могут уменьшаться по длине или увеличиваться .

Пьезометрический уклон считается положительным, если по течению струйки пьезометрическая линия понижается.

Размещено на Allbest.ru

...