Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Вихревое движение жидкости

1. Циркуляция и вихревое движение несжимаемой жидкости

Особенностью движения жидкости на криволинейных участках является возможность образования циркуляционного течения. Пусть поле скоростей жидкости искривлено (рис. 1).

Рис. 1. Образование циркуляции в поле скоростей жидкости

Поместим в жидкость замкнутую трубку в виде петли постоянного сечения. При мгновенном замораживании жидкости, находящейся вне трубки, в ней сохранится импульс. Жидкость будет двигаться и приобретет циркуляцию равную произведению средней касательной компоненты скорости на длину контура обхода. Если в жидкости провести отрезок кривой АВ (рис. 2), то криволинейный интеграл в векторном поле скоростей равен

(1)

и определяет циркуляцию скорости на участке АВ.

Рис.2. Определение циркуляции скорости на участке АВ незамкнутого контура

Для замкнутого контура запишем

циркуляция несжимаемый жидкость цилиндр

(2)

Рассмотрим вращение твердого тела (рис.3)

Рис.3. Вращение твердого тела

Если угловая скорость вращения относительно оси Z, то скорость точки тела М равна а ее проекции на оси X и Y будут

(3)

Определив значения и получим величину завихренности

(4)

т.е. -компонента вектора завихренности связана с -компонентой вектора угловой скорости вращения жидкой частицы соотношением Аналогично можно получить компоненты

(5)

Вихрь вектора скорости жидкой частицы определяется через вектор угловой скорости

(6)

Вихревое движение может быть и ламинарным и турбулентным.

2. Потенциальное движение несжимаемой жидкости

Если то течение становится потенциальным (безвихревым). При этом будет выполняться условие

(7)

что возможно при существовании функции удовлетворяющей условиям:

(8)

Такое течение называется потенциальным. В этом случае циркуляция скорости на участке АВ определяется разностью потенциалов скоростей в точках А и В:

(9)

3. Вихревые линии и вихревые трубки

Вихри скоростей образуют вихревое поле, в котором находятся вихревые линии и вихревые трубки. Из определения вихревой линии и вихревой трубки следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая вихря скорости равна нулю.

Вводя понятие потока вектора вихря скорости, равного

(10)

где - площадь поверхности; - нормаль к поверхности, найдем, что поток вектора вихря скорости через вихревую поверхность будет равен нулю:

(11)

Поток вектора вихря скорости сквозь произвольное поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки (рис. 5.4):

(12)

Рис.4. Вихревая трубка

Это утверждение составляет вторую теорему Гельмгольца.

Поток вихря характеризует интенсивность вихревой трубки

 (13)

При постоянной величине вихря получим

(14)

откуда следует:

1) сечение вихревой трубки нигде не может стать равным нулю, т.к. бесконечно большая скорость вращения частиц физически невозможна;

2) вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости: они либо замыкаются на себя, образуя вихревые кольца, либо «опираются» на стенку или на свободную поверхность.

Другой важной теоремой о вихрях является теорема Стокса: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру один раз опоясывающему вихревую трубку, т.е.

(15)

где - длина контура.

4. Безвихревое движение жидкости Интегралы Коши-Лагранжа и Бернулли для потенциального движения

Если во всей области движения жидкости

или (16)

где величины ротора скорости определяется с применением оператора набла () в виде

= (17)

где - орты (единичные векторы) осей декартовой системы координат в направлениях X, Y, Z соответственно, то существует потенциал скорости и скорость имеет компоненты, определяемые по формуле

(18)

или

Уравнение Эйлера в форме Громеки - Ламба имеет вид

(19)

или в векторной форме

(20)

Условие потенциальности позволяет записать

(21)

Следовательно, выражение в скобках зависит только от времени, поэтому интеграл уравнения будет

(22)

где - определяется из краевых условий. Этот интеграл уравнения Эйлера называется интегралом Коши - Лагранжа для потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости.

Когда массовые силы сводятся силами тяжести, потенциал которых , то интеграл Коши - Лагранжа принимает вид

(23)

В этом уравнении имеются два неизвестных и , поэтому следует использовать уравнение неразрывности

(24)

или

(25)

Решение последнего уравнения Лапласа позволяет найти потенциал скорости , что с учетом равенства

(26)

определяет давление . Произвольная функция будет найдена по величине в некоторой точке.

Для стационарного движения и с учетом выражения потенциала массовой силы тяжести получим

Это интеграл Бернулли для потенциальной струйки идеальной несжимаемой жидкости.

Наиболее употребительна его форма вида

(27)

где - геометрическая высота (удельная потенциальная энергия) положения сечения струйки; - пьезометрический напор в сечении (удельная потенциальная энергия давления); - скоростной напор (удельная кинетическая энергия).

5. Кинематика вихревых колец

Для модели циркуляционного течения (рис.5) по любой из концентрических окружностей с центром в начале координат циркуляция скорости равна

(28)

где радиус соответствующей окружности.

Рис. 5. Кинематика плоского вихря

Отсюда скорость, индуцируемая прямолинейным вихрем в плоскости, расположенной по нормали к его оси, будет

(29)

Для вихревого кольца радиусом R (рис.6) индуцированная скорость в идеальной жидкости по закону Био - Савара направлена по оси аппликат и имеет вид

(30)

а компоненты и равны нулю.

Рис.6. Кинематика вихревого кольца

В вязкой среде происходит диссипация энергии и величина завихренности во времени равна

 (31)

где коэффициент кинематической вязкости.

Вектор угловой скорости вращения частицы имеет вид

, (32)

а его проекции на оси координат равны

(33)

6. Подъемная сила, действующая на обтекаемое тело

На рыбообразном профиле (рис.7) в начале движения на верхней и нижней образующих скорости жидкости различны. Это приводит к образованию поверхности разрыва в области задней кромки профиля и к формированию кормового вихря.

Рис.7. Образование подъемной силы рыбообразного профиля

Такой вихрь после отрыва от кромки обладает интенсивностью циркуляции . По теореме Томпсона на профиле возникает вихрь с циркуляцией противоположной по знаку циркуляции кормового вихря .

Циркуляция скорости по теореме Н.Е.Жуковского вызывает подъемную силу на единицу длины профиля

(34)

где - плотность и скорость набегающего потока.

Направление главного вектора сил давления определяется поворотом вектора скорости потока на 90° против направления циркуляции .

В пограничном слое на профиле суммарная интенсивность завихренности достигает больших значений.

В безвихревом плоскопараллельном потоке идеальной несжимаемой жидкости единственной силой, действующей на профиль, является подъемная сила. Отсутствие силы лобового сопротивления носит название парадокса Даламбера. Для практических расчетов используются коэффициенты подъемной силы где ширина (хорда) профиля, и сопротивления . Для случая плоской пластины . При малых углах атаки коэффициент подъемной силы пластины прямо пропорционален этому углу (рис.8).

Рис.8. Зависимость коэффициента подъемной силы профиля от угла атаки

Пример. Найти подъемную силу, действующую на бесконечно тонкую пластину длиной 0,5 м, при обтекании ее со скоростью 30 м/с плоскопараллельным потоком газа плотностью 1,2 кг/м3, направленным под углом атаки 16° (рис.9).

Рис.9. Система дискретных вихрей на плоской пластине

Решение. Для решения задачи используется метод дискретных вихрей. Схема расположения двух вихрей с циркуляциями и показана на рис.5.9. Значения циркуляции находятся из условия, что проекции скоростей на нормаль к поверхности пластины равны нулю. Тогда условие непротекания удовлетворяется в двух точках (А и В), а соответствующие уравнения имеют вид:

(35)

Преобразование этих уравнений с введением величины дает возможность решить систему

(36)

Отсюда следует ; , поэтому подъемная сила примет значение

467 Н/м. (37)

7. Поперечное обтекание круглого цилиндра

При поперечном обтекании цилиндра рассматривается суперпозиция комплексных потенциалов плоскопараллельного потока и диполя в координатах :

(38)

В этом случае для безразмерного давления запишем

(39)

При значениях угла 0 и 180° безразмерное давление равно , а при 90 и 270 . В случае течения вязкой жидкости распределение давления отличается от теоретического и приближается к нему при уменьшении коэффициента ее кинематической вязкости.

Радиальная составляющая скорости на поверхности цилиндра при 0, а окружная составляющая определяется как

Проекции радиальной и окружной составляющих скорости определяется по формулам

 (40)

(41)

Размещено на Allbest.ur