Истечение жидкости при переменном напоре

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

На тему: "Истечение жидкости при переменном напоре"

План

1. Общая характеристика явления

2. Истечение при переменном напоре и постоянном притоке

3. Истечение из призматического резервуара через незатопленное и затопленное отверстия при отсутствии притока

4. Истечение при изменении уровней в обоих резервуарах

1. Общая характеристика явления

Изменение напора при истечении может быть вызвано:

1) изменением положения уровня в резервуаре (сосуде, водохранилище и т. п.), из которого вытекает жидкость (в питателе);

2) изменением положения уровня в резервуаре, в который втекает жидкость (в приемнике);

3) одновременным изменением положений уровней в обоих резервуарах (в питателе и приемнике);

4) другими причинами, например изменением давления над свободными поверхностями жидкости.

При изменении напора во времени изменяются параметры потока (расход, скорости, давление). Поэтому истечение жидкости из резервуара при переменном напоре представляет один из случаев неустановившегося движения.

Для определения параметров неустановившегося движения уравнение Бернулли, полученное для установившегося движения, в общем случае не пригодно. Однако при истечении из резервуара большой площади (питателя) через отверстие, насадок или трубу площадью в другой резервуар (приемник) также большой площади или в газовую среду уровни в резервуарах изменяются медленно; ускорения струи малы, скорость изменяется заметно, только если процесс продолжителен. Имеет место квазиустановившееся движение

При расчете параметров квазиустановившихся потоков принято время процессов разбивать на бесконечно большое число бесконечно малых интервалов пределах каждого интервала считать движение установившимся и пользоваться уравнением Бернулли.

Основная задача при рассмотрении истечения с переменным напором - определение времени, за которое напер изменится от начального значения до некоторого назначенного значения .

Истечение при переменном напоре может происходить через незатопленные или затопленные отверстия, насадки различных форм, трубы. В процессе истечения убыль жидкости в резервуаре-питателе может частично восполняться притоком от внешнего источника, а может и не восполняться. Площади поперечных сечений резервуаров могут быть постоянными или переменными по высоте, так как имеются многообразные схемы истечения.

2. Истечение при переменном напоре и постоянном притоке

Рассмотрим истечение из резервуара через отверстие в атмосферу. Площадь резервуара не постоянна по высоте, площадь отверстия , начальный напор над центром отверстия . В резервуар от внешнего источника поступает жидкость, расход притока =const. Пренебрегая , получим, что при неизменности напора, т. е. при установившемся движении, для вытекания расхода через отверстие площадью потребуется напор , определяемый из формулы

,

откуда

Если напор над центром отверстия равен , то движение будет установившимся, напор не будет изменяться и из отверстия будет вытекать точно такой же расход, что и поступает в резервуар, т. е. .

Если напор над центром отверстия в начальный момент времени не равен , то возможны два случая:

1) при через отверстие будет вытекать расход . Объем жидкости в резервуаре будет увеличиваться, напор повышаться, а расход постепенно увеличиваться. Когда напор станет равным , расход достигнет значения , т. е. отток станет равным притоку, движение станет установившимся;

2) при через отверстие будет вытекать расход . В связи с этим уровень жидкости в резервуаре будет постепенно понижаться, напор и расход будут уменьшаться до тех пор, пока напор не станет равным и соответственно вытекающий расход не сравняется с расходом притока . После этого будет происходить истечение при постоянном напоре и расходе .

Определим время изменения напора в резервуаре от до . Используя изложенное выше допущение о возможности применения формулы при постоянном напоре (т. е. при установившемся движении), рассмотрим истечение за бесконечно малый интервал времени при некотором промежуточном значении напора (рис. 11.1).

Рис. 11.1

За время через отверстие вытечет объем жидкости

а втечет в резервуар объем жидкости, равный .

Изменение объема жидкости в резервуаре за время составит

Заключенное в скобки выражение может быть положительным или отрицательным в зависимости от соотношения и . В результате изменения объема за время уровень жидкости в резервуаре изменится (поднимется или опустится) на бесконечно малую величину . При этом изменение объема жидкости равно , где - площадь поперечного сечения резервуара на уровне .

Очевидно, что

.

Подставив по (11.1), получим

Отсюда

.

Введем новую переменную

тогда

Но

поэтому

Подставив

в (11.2), получим

.

Отсюда находим выражение для времени , за которое напор над центром отверстия изменится от до :

В (11.3) под знаком интеграла кроме переменной имеются еще переменные и . В общем случае может зависеть от , а коэффициент расхода также может изменяться с изменением напора, так как при этом изменяются числа Рейнольдса, Вебера, Фруда, которые могут влиять на . Рассмотрим только те случаи, когда допустимо принимать изменение коэффициента расхода в процессе истечения настолько незначительным, что можно принять постоянным.

Далее могут представиться два случая.

1. Площадь поперечного сечения резервуара с глубиной не изменяется (= const), тогда в (11.3) можно вынести за знак интеграла:

истечение жидкость напор резервуар

или

.

2. Площадь поперечного сечения резервуара изменяется в зависимости от глубины и тем самым от напора .

Здесь также возможны два случая:

а) зависимость площади от можно выразить аналитически: . Примером является горизонтальный цилиндрический резервуар диаметром , длиной (рис. 11.2).

При истечении жидкости из такого резервуара при отсутствии притока (=0; =0)

. (11.5)

Выразив площадь через проинтегрируем (11.5), заменив через . Получим

Рис. 11.2

Время, за которое из резервуара выльется вся жидкость (время полного опорожнения резервуара), равно

. (11.6)

Зависимость площади от не выражается аналитически. Примерами таких резервуаров служат водохранилища и пруды. Если зависимость не выражается аналитически, то взять интеграл (11.5) невозможно.

Рассмотрим приближенное решение задачи об опорожнении водохранилища (рис. 11.3) через донный водовыпуск площадью выходного сечения при условии, что задан приток , коэффициент расхода водовыпуска и кривая .

Объем жидкости, которая должна вытечь из водохранилища, разобьем горизонтальными плоскостями на слоев равной высоты (значения принимаются исходя из необходимой точности расчета). Объем -го слоя

. (11.7)

Величины находятся по кривой .

Рис. 11.3

По формуле (11.7) время уменьшения напора от до получается суммированием промежутков времени, необходимого для вытекания каждого из слоев, на которые разделен по высоте объем той части водохранилища, которая заключена между отметками и .

Тот же расчет можно выполнить несколько иначе. После определения объема каждого слоя следует вычислить средний напор для каждого слоя

затем найти средний расход при вытекании из водохранилища данного слоя

и вычислить необходимое для этого время

Затем следует просуммировать полученные интервалы времени .

3. Истечение из призматического резервуара через незатопленное и затопленное отверстия при отсутствии притока

При истечении жидкости в атмосферу без притока в резервуар (рис. 11.4, а) уровень в резервуаре понижается, напор над центром выходного отверстия со временем непрерывно уменьшается, а следовательно, скорость струи и расход уменьшаются.

При истечении через затопленное отверстие жидкости из резервуара А с постоянным уровнем в резервуар Б (рис. 11.4, б) из-за подъема уровня во втором резервуаре напор уменьшается.

Оба случая можно рассматривать как частный случай истечения (11.4), но в условиях, когда нет притока (=0, =0). Тогда изменение напора от до произойдет за время

(11.8)

Приняв =0, получим время полного опорожнения резервуара для случая рис. 11.4, а. Время выравнивания уровней в резервуарах для случая рис. 11.4, б составит

где - площадь поперечного сечения резервуара Б.

Выражения для времени опорожнения можно представить в следующем виде:

В первом случае (рис.11.4, a) - объем жидкости, вытекающей из резервуара за время ; - расход жидкости, соответствующий напору .

Рис. 11.4

Учитывая, что объем вытекает из резервуара при постоянном напоре за время

получаем , т. е. время опорожнения призматического резервуара при переменном напоре и отсутствии притока вдвое больше, чем время, за которое этот же объем жидкости вытечет при постоянном напоре, равном начальному напору.

При использовании формул, в которые входят напоры и , следует помнить, что при истечении под уровень (затопленное выходное отверстие) действующим напором является разность уровней в резервуарах (в соответствующие моменты времени и ), а при истечении в атмосферу (незатопленное отверстие) напор определяется над центром выходного отверстия.

Значение коэффициента расхода принимается в соответствии с изложенными выше рекомендациями. При =0 (рис.11.4,б, 11.5,а,б) происходит истечение через отверстие, при жидкость вытекает через насадок, а при большей относительной длине через трубу или систему труб. В последнем случае вычисляется как коэффициент расхода системы, т. е. с учетом всех коэффициентов сопротивлений. Сохраним здесь за коэффициентом расхода обозначение , но при этом следует помнить, что в зависимости от конструкции выпускного устройств (отверстие, насадок или система труб) численные значения различны.

Рис11.5

Применительно к случаям истечения жидкости через вертикальные или наклонные насадки и короткие трубы конечный напор в момент полного опорожнения резервуара (но не отводящей трубы, в которой еще имеется жидкость) будет равен, естественно, не нулю, a (рис. 11.5, б, 11.6). Для таких схем истечения время вытекания всей жидкости из резервуара

Рис.11.6

Рис.11.7

4. Истечение при изменении уровней в обоих резервуарах

Рассмотрим два резервуара А и Б (рис. 11.7), заполненных жидкостью и соединенных системой труб, через которые жидкость перетекает из одного резервуара в другой. Площадь выходного сечения трубы , площади поперечных сечений резервуаров неизменны по высоте и равны и . Начальный перепад напоров в резервуарах равен . Уровень жидкости в резервуаре А понижается, а в резервуаре Б повышается. Это приводит к уменьшению действующего напора (здесь - разность уровней жидкости в резервуарах). Процесс истечения закончится, когда уровни в резервуарах сравняются и напор станет равным нулю.

Определим время изменения напора от до некоторого значения . В некоторый промежуточный момент времени напор . За время под действием напора из резервуара А в резервуар Б через выходное отверстие соединительной трубы площадью перетечет объем жидкости

(11.12)

где - коэффициент расхода, в данном случае системы труб.

Уровень в резервуаре понизится на , а в резервуаре Б повысится на , что приведет к изменению действующего напора на величину

(11.13)

Объем, перетекший за время из резервуара А в резервуар В,

(11.14)

Подставив из (11.12) в (11.14), получим

откуда

(11.15)

Для интегрирования нужно выразить и через .

Для резервуаров, в которых площади поперечных сечений не зависят от , выразим только через .

Из (11.14)

Подставив это выражение в (11.13), получим

.

Тогда

. (11.16)

Подставив из (11.16) в (11.15), получим

или

(11.17)

Найдем время выравнивания уровней в резервуарах, т. е. время, за которое напор изменится от до =0:

Если площадь поперечного сечения одного из резервуаров (например, ) значительно больше, чем площадь поперечного сечения второго резервуара , то, преобразуя (11.7), получим с учетом

Здесь - площадь поперечного сечения меньшего резервуара.

Если

то

(11.18)

Размещено на Allbest.ru