Установившееся движение жидкости в открытых руслах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Установившееся движение жидкости в открытых руслах

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ПЛАВНО ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

В предыдущих главах рассматривалось в основном напорное движение жидкости, при котором форма и размеры живого сечения потока полностью определялись формой и размерами сечения самого русла. Наличие местных сопротивлений в напорных потоках приводит к локальным изменениям живого сечения.

При движении жидкости в открытом русле (в том числе в частично заполненном закрытом русле) любое местное изменение условий движения (расширение, преграда, перелом уклона дна русла и т. п.) неизбежно приведет к деформации живого сечения потока на некоторой (иногда довольно значительной) его длине. При этом все точки свободной поверхности будут по-прежнему находиться под влиянием внешнего давления газовой среды, так что деформация живого сечения потока будет обязательно связана с изменением координат его свободной поверхности.

В настоящей главе рассматривается установившееся плавно изменяющееся движение жидкости в открытых руслах, при котором изменение основных параметров потока по его длине происходит достаточно плавно. В связи с этим при выводе уравнений движения можно пренебречь составляющими местных скоростей в плоскости живого сечения потока и принять распределение давлений в этой плоскости соответствующим гидростатическому закону. Предположим также, что работа сил сопротивления при неравномерном и равномерном движениях практически одинакова

В дальнейшем изложении будем иметь в виду, что встречающиеся в инженерной практике открытые русла можно разделить на две категории: призматические и непризматические.

К призматическим руслам относятся русла, в которых основные геометрические параметры потока остаются постоянными по всей его длине.

Площадь живого сечения потока призматического русла зависит от глубины наполнения русла:

В общем случае непризматического русла площадь живого сечения потока является функцией двух переменных:

где - глубина наполнения русла; - характерный поперечный размер для данной формы русла (например, для прямоугольного русла - его ширина).

Рассмотрим общий случай установившегося плавно изменяющегося движения жидкости в открытом непризматическом русле (рис.1).

Введем следующие обозначения:

- продольный уклон дна русла;

- внешнее давление, обычно равное ;

- расход потока;

- площадь живого сечения потока;

- наибольшая глубина потока в данном живом сечении, различная для разных сечений;

- коэффициент кинетической энергии (Кориолиса);

- средняя скорость в данном живом сечении;

- гидравлический уклон, обычно принимаемый для открытых русл равным продольному уклону свободной поверхности потока;

- расстояние по вертикали от дна до плоскости сравнения в данном живом сечении.

Рис.1

Принято называть русло с положительным (прямым) уклоном дна такое русло, у которого абсолютные отметки дна уменьшаются по направлению движения жидкости (т. е. вдоль оси ).

Выделим в потоке два сечения 1-1 и 2-2 на бесконечно малом расстоянии друг от друга (рис. 2).

Составим для выделенных сечений уравнение Бернулли относительно плоскости 0-0, проведенной через нижнюю точку живого сечения 2-2:

Раскрывая как , пренебрегаем в силу малости и, заменяя в силу ранее сказанного через , получаем после сокращений

или

.

Заменив среднюю скорость ее выражением через расход и площадь живого сечения , запишем

;

Запишем производную , как

.

Тогда получим

или

Обращаясь к рис. 2, видим, что частная производная равна ширине живого сечения по верху, которую в дальнейшем будем обозначать через , т. е. .

Окончательно получаем

Рис. 2

Уравнение является общим дифференциальным уравнением установившегося плавно изменяющегося движения жидкости в открытом русле.

В частном случае призматического русла уравнение (15.7) несколько упрощается, так как в силу ранее сказанного производная равна в этом случае нулю:

После преобразований вычитаемого в знаменателе правой части уравнений (15.7) или (15.8) получим

где - средняя глубина живого сечения.

Таким образом, рассматриваемая дробь представляет собой удвоенное отношение удельной кинетической энергии к удельной потенциальной энергии при средней глубине потока в данном живом сечении. Учитывая это, в дальнейшем будем называть безразмерный комплекс параметром кинетичности потока, обозначая его символом :

Для прямоугольного русла и при =1 параметр кинетичности представляет собой число Фруда

где за характерный линейный размер живого сечения принята глубина .

жидкость призматический открытый русло

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПРИЗМАТИЧЕСКОМ ОТКРЫТОМ РУСЛЕ

Уравнение (15.8) отражает характер изменения глубин потока по его длине в открытом призматическом русле. Предполагается, что само изменение глубин происходит достаточно плавно. Однако при знаменатель стремится к нулю и производная . При этом имеют место особые случаи неплавно изменяющегося движения жидкости, которые не описываются уравнением.

Уравнение может иметь три случая:

- движение с нарастанием глубин по длине потока, или, как принято говорить, с образованием кривой подпора;

- движение с уменьшением глубин по длине потока, или с образованием кривой спада;

- движение с постоянной глубиной по длине потока.

Очевидно, что в первых двух случаях имеет место неравномерное плавно изменяющееся движение жидкости, тогда как третий случай соответствует равномерному движению жидкости.

Уравнение равномерного движения жидкости в открытом русле получается как частный случай уравнения, а именно:

или

Заметим, что уравнение также вытекает непосредственно из уравнения Шези (7.21), так как при равномерном движении жидкости в открытом русле очевидно, что .

В дальнейшем глубину потока, соответствующую равномерному движению, будем называть нормальной глубиной и обозначать ее символом . Тогда уравнение перепишем в виде

где - соответствуют нормальной глубине .

Пользуясь понятием расходной характеристики , вместо уравнения имеем

где

.

Удельная энергия потока И УДЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СЕЧЕНИЯ

Остановимся на анализе движения открытого потока с энергетической точки зрения.

Механическая энергия массы жидкости, протекающей в единицу времени через выбранное живое сечение потока, отнесенная к единице веса и определяемая относительно произвольной горизонтальной плоскости, называется удельной энергией потока и обозначается .

При анализе изменения вдоль потока последняя должна вычисляться для всех живых сечений относительно единой горизонтальной плоскости.

Вниз по течению удельная энергия потока для установившегося движения должна всегда уменьшаться (), так как само движение и происходит за счет расходования этой энергии.

Проведем теперь плоскость сравнения 0-0 не произвольно, а через низшую точку данного сечения (0'-0' на рис. 2). Удельную энергию в данном живом сечении, определенную относительно горизонтальной плоскости, проходящей через низшую точку этого сечения, будем называть удельной энергией сечения и обозначать символом . Таким образом, имеем

Понятие об удельной энергии сечения удобно при анализе установившегося движения жидкости в открытом русле. Заметим также, что величина вычисляется в каждом живом сечении потока относительно своей горизонтальной плоскости сравнения.

Следует, что

.

Тогда, принимая во внимание, что

, получаем

или при

Из уравнения видно, что при равномерном движении , так как , а при неравномерном движении или в зависимости от величины отношения .

Смысл последнего положения заключается в том, что при равномерном движении работа силы тяжести полностью расходуется на преодоление сил сопротивления и изменения удельной энергии сечения не наблюдается. Если же , то средняя скорость потока будет меньше, чем при равномерном движении, гидравлические сопротивления уменьшатся и часть работы силы тяжести даст постепенное накопление удельной энергии сечения вниз по течению. При картина будет обратная, т. е. на преодоление сопротивлений будет затрачиваться больше энергии, чем может дать работа силы тяжести, и дополнительно требующаяся энергия будет заимствоваться из удельной энергии нижележащих сечений, т. е. .

В заключение отметим, что при или из равенства следует только отрицательное значение производной .

СПОКОЙНЫЕ И БУРНЫЕ ПОТОКИ. КРИТИЧЕСКАЯ ГЛУБИНА

Рассмотрим зависимость удельной энергии сечения от глубины наполнения при заданной форме поперечного сечения русла и при =const. В соответствии с ранее изложенным удельную энергию сечения можно рассматривать состоящей из двух частей:

и

Нетрудно заметить, что тенденция их изменения с изменением диаметрально противоположна, а именно:

при ; ;

при ; .

Рис.3

Следовательно, функция на графике удельной энергии сечения (рис. 3) должна иметь вид кривой с двумя ветвями, уходящими в бесконечность при и при . При этом отобразится прямой - биссектрисой координатного угла, а - некоторой кривой второго порядка.

Линия, характеризующая изменение удельной энергии сечения в зависимости от , асимптотически приближается к биссектрисе координатного угла и к оси абсцисс и имеет экстремальную точку при некотором значении глубины наполнения. Глубина потока, при которой удельная энергия сечения для заданного расхода в данном русле достигает минимального значения, называется критической глубиной и обозначается . Экстремальная точка на графике, соответствующая , делит кривую удельной энергии на две части: верхнюю, где , и нижнюю, где . Соответственно принято различать три состояния потока:

1) спокойное состояние, при котором , а удельная энергия сечения увеличивается с увеличением ;

2) бурное состояние, когда , а удельная энергия сечения с увеличением уменьшается;

3) критическое состояние при и .

Выявление состояния потока, таким образом, производится путем сопоставления фактического значения с .

Знание критической глубины необходимо не только для определения состояния потока, но и для выполнения ряда гидравлических расчетов, и для анализа в безразмерных координатах результатов исследований.

Для вывода уравнения критического состояния используем то, что при , т.е. .

Рис. 4

Имеем

так как ранее было показано, что ; тогда для призматического русла .

Отсюда

Или

Уравнение (15.17) называется уравнением критического состояния. Для русла произвольной формы в общем виде оно решается подбором или графо-аналитически, для русла правильного поперечного сечения возможны более простые решения.

Для прямоугольного русла (рис.4) имеем

где - удельный расход, т. е. расход на единицу ширины прямоугольного русла.

Для трапецеидального русла критическая глубина рассчитывается аналитическим способом, предложенным И. И. Агроскиным. На рис.4 даны следующие обозначения: - ширина сечения по дну; - глубина наполнения; - коэффициент откоса. Тогда

; ;

;

; .

Перепишем уравнение в виде

Обозначим безразмерное отношение через .

Получим

Или

где - критическая глубина в прямоугольном русле с тем же расходом и той же шириной по дну, что и у рассматриваемой трапеции.

По аналогии с введем обозначение для прямоугольного русла (- коэффициент откоса трапеции). Также получим

Очевидно, что .

Задаваясь различными значениями , можно получить из (15.21) соответствующие и затем значения отношения .

По найденным и определяем и затем находим .

Для треугольного русла имеем

Для параболического русла (рис. 15.4, в), описываемого уравнением (- параметр параболы, имеющий линейную размерность), имеем

; ;

,

где ; на урезе воды. Тогда

В заключение заметим, что совместное рассмотрение уравнений приводит к выводу о равенстве параметра кинетичности единице при критическом состоянии потока, т. е. =1. Таким образом, оценка состояния потока может быть сделана по значению параметра кинетичности, а именно:

- спокойное состояние потока;

- бурное состояние потока.

КРИТИЧЕСКИЙ УКЛОН

Как видно из изложенного выше, критическая глубина зависит только от геометрической формы поперечного сечения русла и расхода, но не зависит от продольного уклона дна . Кроме того, в призматическом русле критическая глубина постоянна по всей его длине.

При равномерном движении жидкости нормальная глубина, как это следует, зависит именно от уклона. Тогда, очевидно, для любого призматического русла (при заданном расходе ) можно подобрать такое значение , при котором нормальная глубина станет равной .

Критическим уклоном называется уклон, при котором нормальная глубина равна критической,

Для определения нужно решить совместно уравнения, принимая :

,

откуда

или ,

так как .

Из уравнения следует, что нормальная глубина уменьшается с увеличением . Поэтому если фактический уклон дна русла , то и поток при равномерном движении будет находиться в спокойном состоянии. Наоборот, при поток при равномерном движении будет находиться в бурном состоянии, т. е. .

Размещено на Allbest.ur