Уравнения электродинамики

В обобщенном законе Гаусса свободный заряд Q, находящийся в объеме V , ограниченном замкнутой поверхностью S , определяется выражением . Применим к левой части теорему Остроградского-Гаусса. Получаем

(19) - III-е уравнение в интегральной форме

Это равенство справедливо для любого объема. Поэтому подынтегральные выражения равны, т.е.

(20) - III-е уравнение в дифференциальной форме

Уравнение (20), справедливое в любой обыкновенной точке пространства в любой момент времени, выражает обобщенный закон Гаусса в дифференциальной форме. Оно математически выражает физический факт: источником или стоком векторного поля D является плотность объемного электрического заряда, линии вектора D начинаются в точках, где > 0 и заканчиваются в точках, где < 0. Уравнение называют третьим уравнением Максвелла в дифференциальной форме, а обобщенный закон Гаусса является его интегральной формой.

Применяя к принципу непрерывности магнитного потока теорему Остроградского-Гаусса, получаем:

(21) - IV-е уравнение в интегральной форме

Поскольку объем V произволен, то равенство может выполняться только при

(22) - IV-е уравнение в дифференциальной форме

Это уравнение, справедливое в любой обыкновенной точке пространства в любой момент времени, выражает в дифференциальной форме физический факт непрерывности векторных линий магнитной индукции; векторное поле магнитной индукции В не имеет истоков; в природе магнитные заряды отсутствуют. Уравнение (22) называют четвертым уравнением Максвелла в дифференциальной форме, а принцип непрерывности магнитного потока является его интегральной формой.

Рассмотрим закон полного тока . Он справедлив для любого вещества, но при постоянном во времени токе. Применим к левой части закона полного тока теорему Стокса. Получаем

(23)

Поскольку поверхность S произвольна, но одна и та же в поверхностных интегралах, то подынтегральные выражения поверхностных интегралов равны, т.е.

rotH = j(p) (24)

Это дифференциальная форма закона полного тока в стационарном случае. Действительно, применим к обеим частям уравнения операцию дивергенции. Дивергенция ротора любого вектора всегда равна нулю. Поэтому = 0, т.е. получено уравнение, но справедливое только для случая постоянного тока (и заряда), когда = 0.

Пусть плотность тока зависит от времени, т.е. . Если применить выражение к нестационарному полю, то оно оказывается несправедливым, поскольку не удовлетворяется закон сохранения электрического заряда. Это указывает на то, что эти выражения являются неполными. Допустим, что дополнено некоторым слагаемым . Применив здесь операцию дивергенции к обеим частям равенства, с учетом получаем .

Используя закон сохранения электрического заряда и учитывая, имеем . Решением последнего уравнения является , где a -- произвольный вектор. Максвелл постулировал, что = 0, тогда . Вектор называют плотностью тока смещения. При этом имеем

(25)

Здесь сумма j + j_c называется вектором плотности полного электрического тока. Интегральной формой уравнения является:

(26) - I-е уравнение в интегральной форме

Это закон полного тока в интегральной форме, справедливый в нестационарном случае.

Уравнение (25) выражает закон полного тока в дифференциальной форме. Оно устанавливает количественную связь между входящими в него векторными величинами в любой точке пространства и в любой момент времени. Изменяющаяся в момент времени t в точке пространства р плотность тока порождает в этой точке и в этот момент времени вихрь вектора Н. Если даже в точке р в момент времени t плотность тока j отсутствует, то вихрь меняющегося в пространстве магнитного поля порождается током смещения с плотностью , т.е. меняющимся во времени электрическим полем. Уравнение (25) называют первым уравнением Максвелла.

Пусть имеется поверхность S, опирающаяся на контур L (рис. 1). Поместим контур L во внешнее магнитное поле с индукцией В. Изменение во времени магнитного потока Ф через поверхность S, вызывает в этом контуре электродвижущую силу Э (э.д.с.), определяемую циркуляцией вектора Е вдоль контура L: . Если контур L имеет некоторую проводимость, то под действием э.д.с. в контуре возникает ток проводимости, который можно измерить. Опыт показывает, что величина э.д.с. равна скорости изменения магнитного потока Ф во времени: , т.е.

(27)

Это закон электромагнитной индукции, открытый Фарадеем опытным путем.

Максвелл обобщил закон электромагнитной индукции, постулировав равенство для произвольного замкнутого контура, проходящего в любой среде. В частном случае контур L может быть проводящим, он может быть и воображаемым. С учетом этого постулата называют обобщенным законом электромагнитной индукции.

В электродинамике неподвижных сред контур L должен быть покоящимся (неподвижным). Поверхность S тоже считаем неподвижной, но произвольной. Тогда изменение магнитного потока во времени происходит только за счет изменения вектора В во времени. Это значит, что производную по времени можно внести под знак интеграла, где интегрирование выполняется по пространственным координатам, в виде частной производной. При этом получаем:

(28)=2-е уравнение в интегральной форме

Из этого обобщенного закона электромагнитной индукции для неподвижных сред получают второе уравнение Максвелла.

Применим к левой части (28) теорему Стокса. Получаем:

Так как поверхность S произвольна, то это равенство возможно только при равенстве подынтегральных выражений, т.е.

(29) - II-е уравнение Максвелла в дифференциальной форме

Это второе уравнение Максвелла. Оно справедливо в любой точке пространства в любой момент времени и выражает обобщенный закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме. Из (29) следует, что изменение во времени в точке р магнитного поля сопровождается изменением в окрестности точки р (по пространственным координатам) электрического поля.

Выражение (29) является интегральной формой второго уравнения Максвелла.

Полная система уравнений Максвелла состоит из четырех уравнений

(30)

Первые два уравнения обладают симметрией в следующем смысле: по первому уравнению изменение во времени электрической индукции порождает вихревое магнитное поле, вектор напряженности которого изменяется в пространстве; по второму уравнению изменение во времени магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле, изменяющееся в пространстве. Из этого следует возможность существования ЭМ волн в средах вдали от тел с токами проводимости. Электрическое и магнитное поля могут существовать, взаимно порождая друг друга.

По аналогии с первым уравнением Максвелла величину ЭВ в правой части второго уравнения Максвелла можно рассматривать как плотность магнитного тока смещения.

Система уравнений Максвелла -- это результат обобщения основных законов электродинамики, установленных с помощью опытных данных. Эти уравнения правильно отражают законы электромагнетизма, так как выводы теории полностью подтверждаются опытными данными. Не обнаружено опытных данных, противоречащих теоретическим результатам, найденным на основе решения системы уравнений Максвелла. Поэтому система уравнений Максвелла принимается в качестве аксиом.

Основные уравнения электродинамики в комплексной форме

При передаче информации посредством ЭМ поля описывающие его векторы меняются во времени. Мгновенные значения векторов поля Е(p,t), D(p,t), Н(p,t), В(p,t), вектора плотности тока j(p,t) и плотности заряда можно представить в виде интегралов Фурье (прямого преобразования Фурье). Обозначим мгновенное значение любого из векторов ЭМ поля через a(p,t). Тогда применяя к нему преобразование Фурье, получаем:

(31)

где -комплексная амплитуда, или спектральная плотность соответствующего вектора, -частота, i-мнимая единица.

Подставляя значения преобразований Фурье векторов поля в первое уравнение Максвелла, меняя последовательность выполнения операций ротора и дифференцирования по времени, учитывая, что , умножим результат на множитель , где -фиксированная частота. Этот множитель можно внести под знак интеграла. Выполним интегрирование полученного выражения по переменной t в пределах от до . Получаем, меняя порядок интегрирования и сокращая множитель : электромагнитный индукция максвелл гистерезис

Учитывая здесь, что интеграл по времени есть интеграл Фурье -функции и сокращая множитель 2, имеем:

Применяя при интегрировании по со основное свойство -функции, получаем:

, откуда, возвращаясь к частоте (выполнив замену ), имеем:

(32)

Применив аналогичные операции к остальным трем уравнениям Максвелла, получаем

, (33)

,

Систему уравнений (32), (33) называют системой уравнений Максвелла в комплексной форме (уравнениями Максвелла для комплексных амплитуд).

Предположим, что в линейной изотропной среде отсутствуют диэлектрический и магнитный гистерезисы. Использовав при этом преобразования Фурье для D(p,t), В(p,t), , Е'(р,г) и j(p,t), получаем материальные уравнения в комплексной форме (для комплексных амплитуд):

(34)

; (35)

где считается, что в случае задания сторонней напряженности поля .

Применимость материальных уравнений в простой форме ограничена, так как в них не учитывается явление запаздывания во времени электрической поляризации и намагничивания, наблюдаемые в веществах на высоких частотах (частотная дисперсия).

Так как в общем виде , , , то находим тем же путем закон сохранения электрического заряда в комплексной форме (для комплексных амплитуд):

; (36)

Многие задачи возбуждения ЭМ поля изучаются при одинаковых параметрах сред в области источника и в объеме . Тогда , , и , ,

, . Сторонние токи заданы при этом в области и закон Ома имеет одинаковый вид во всем объеме V

, (37)

Подставляя материальные уравнения , получаем уравнения Максвелла для комплексных амплитуд векторов напряженностей поля:

(38)

где -- абсолютная комплексная диэлектрическая проницаемость среды (не является комплексной амплитудой).

В первом уравнении Максвелла слагаемое описывает плотность тока смещения . Второе слагаемое -- это плотность тока проводимости. Если в веществе плотность тока проводимости намного больше плотности тока смещения, т.е. , то вещество называют проводником. Если в веществе плотность тока проводимости намного меньше плотности тока смещения, т.е. , то вещество называют диэлектриком. Таким образом, одно и то же вещество на разных частотах может быть диэлектриком, проводником и полупроводником.

При математическом моделировании применяются понятия идеального проводника и идеального диэлектрика. Если = 0, то ток проводимости отсутствует, вещество-- идеальный диэлектрик. Если вещество называют идеальным проводником. Для него

.

Если тело считается идеальным диэлектриком, то джоулевы потери в нем отсутствуют поскольку = 0. Если тело считается идеальным проводником, то ЭМ поле в него не проникает, т.е . ,

Магнитное поле не изменяется ни при каких физических процессах в теле. Это значит, что внутри идеального проводника переменное во времени магнитное поле существовать не может. Таким образом, в идеальном проводнике , Поэтому, тело идеальной проводимости, находящееся в ЭМ поле, джоулевых потерь в поле не вносит.

Учтем явление гистерезиса в линейных изотропных средах. Если в выражениях, изученных ранее применить преобразования Фурье для векторов ЭМ поля и для функций , под знаком интеграла, то умножая результат на и интегрируя полученное выражение по t от до , учитывая значение интеграла Фурье -функции, получаем:

; ; (39)

где и являются комплексными функциями частоты.

Учитывая, что , где , , получаем при отсутствии линейного магнитного гистерезиса:

(40)

; ;

Если ее представить в показательной форме: , то называется тангенсом угла -- электрических потерь. Он определяется отношением активной части плотности тока в веществе к его реактивной части.

При отсутствии линейного электрического гистерезиса = 0 имеем т.е. тангенс угла электрических потерь при этом определяется только отношением плотностей токов проводимости и смещения.

Проводимости проводников и диэлектриков могут отличаться на много порядков. Проводимости металлов (серебра, латуни, меди, железа и др.) превосходят проводимости хороших диэлектриков (полистирола, слюды) на 18-22 порядка в широком диапазоне частот. На рис. 2 приведены (экспериментальные) графики зависимостей проводимостей и относительных диэлектрических проницаемостей от частоты / для глины (1), песка (2), пресной (3) и морской (4) воды при температуре 20° С (В[ -- влажность 4%, В₂ -- влажность 15%). Как видно из графиков, диэлектрическая проницаемость и удельная проводимость, кроме частоты, зависят от температуры и влажности вещества.

Рис.2 Графики частотной зависимости 1

Размещено на Allbest.ru