Анализ переходных процессов в электрических цепях

Размещено на http://www.allbest.ru/

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(НИУ "БелГУ")

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННО-ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ

Курсовая работа по дисциплине

Анализ переходных процессов в электрических цепях

Гончаров П.А.

Белгород, 2013

Содержание

Введение

1. Анализ существующих методов расчёта переходных процессов в электрических цепях

1.1 Описание классического метода расчета параметров переходных процессов в электрических цепях

2. Расчёт параметров переходных процессов в электрических цепях с двумя реактивными элементами

2.1 Определение основных параметров электрической цепи в начале переходного режима и в принужденном режиме

2.2 Определение характеристик переходных процессов классическим методом

2.3 Графики зависимости токов и напряжений от времени

2.4 Расчет экстремумов и точек перегиба на графике

2.5 Определение обобщенных характеристик цепи

Заключение

Список используемой литературы

Приложение

Введение

Процессы, при которых параметры в цепи могут изменяться как мгновенно, так и не скачкообразно, играют важную роль в радиотехнике и электронике. Данная курсовая работа посвящена изучению переходных процессов. электрический ток напряжение

Целью работы является возрастание производительности работы электрооборудования, вследствие чего снижение финансовых расходов на эксплуатацию и уход за оборудованием.

Исходя из этого задачи, которые ставит курсовая работа, выглядят следующим образом:

1. Провести анализ литературных источников;

2. Описать классический метод расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях;

3. Определить начальные и конечные условия для всех токов и напряжений в цепи;

4. Построить качественные графики;

5. Рассчитать характеристики переходных процессов классическим методом;

6. Построить точные графики переходного процесса;

7. Рассчитать и построить обобщённые характеристики цепи.

В данной курсовой работе больше всего внимания уделено классическому методу анализа расчета переходных процессов.

Актуальностью работы является исследование переходных процессов, которое покажет какие параметры электрической цепи могут изменяться мгновенно, что может повлиять за собой нарушение работы электрооборудования.

Объектом курсовой работы является определение характеристик переходных процессов.

1. Анализ существующих методов расчёта переходных процессов в электрических цепях

Переходные процессы возникают в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, т.е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т.д. Физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т.е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может измениться скачком при коммутации в цепи.

Во время переходных процессов величины токов в отдельных ветвях и напряжения на отдельных элементах могут превышать значения, соответствующие установившемуся режиму, в несколько раз. После окончания переходного процесса устанавливается новый режим, который определяется только внешними источниками энергии. При отключении внешних источников энергии переходный процесс может возникать за счет электромагнитной энергии, накопленной до начала переходного режима в индуктивных и емкостных элементах цепи. При расчете начало отсчета времени переходного процесса совмещают с моментом коммутации, причем через - обозначают момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, а через - момент времени, следующий непосредственно за коммутацией. При рассмотрении переходных процессов исключается электрическая дуга, которая возникает при включении и выключении цепи. Чтобы исключить влияние электрической дуги считается, что ключ замыкается или размыкается мгновенно, и в момент времени коммутация уже произошла.

Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии, что является возможным, только если мощность источников энергии является бесконечно большой. В связи с тем, что любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, общая энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно. В связи с этим используются следующие два закона коммутации:

1. Первый закон коммутации - ток через индуктивный элемент непосредственно до коммутации равен току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации.

2. Второй закон коммутации - напряжение на конденсаторе непосредственно до коммутации равно напряжению на конденсаторе непосредственно после коммутации.

Эти законы можно записать в математическом виде, выглядят они следующим образом:

1.

2.

Законы коммутации могут не выполняться в цепях, имеющих узлы с ветвями, содержащими только емкости и источники тока, или контуры с ветвями, которые содержат только индуктивности и источники напряжения. Коммутация в таких цепях называется некорректной.

Основными методами в линейных цепях, которые используется для анализа переходных процессов, являются:

1. классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи

2. операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам

3. частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза

4. метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия

5. метод переменных состояний, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в форме Коши

Наиболее распространенными я являются классический и оперативный методы. Первый обладает физической наглядностью и удобен для расчёта простых цепей, а второй упрощает расчёт сложных цепей.

В данной курсовой работе для расчетов параметров электрической цепи был использован классический метод расчета.

1.1 Описание классического метода расчета параметров переходных процессов в электрических цепях

Название метода "классический" отражает использование в нём решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Эти уравнения составляют для схем, полученных после коммутации, основываясь на известных методах расчета электрических цепей, таких как метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов. Решение полученной системы уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущность классического метода. После того, как получили дифференциальное уравнение относительно одной переменной, следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, которое записывается в виде суммы принужденной и свободной составляющих, которая описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока:

Здесь:

1. Хпр описывает установившиеся (принужденные процессы), определяемые внешним воздействием. По существу, это значение конечных условий при , найденных при

2. и - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий, при

3. и - корни характеристического уравнения, полученного из однородного дифференциального уравнения для

4. :

Но характеристическое уравнение можно получить, не составляя дифференциального уравнения цепи. Комбинированный метод в том и заключается, что характеристическое уравнение, из которого находятся корни и , получается из уравнения , где - входное операторное сопротивление цепи. Также при расчете переходных процессов в электрических цепях необходимо определить начальные и конечные условия. Когда начальные условия нулевые, напряжение на емкости до начала коммутации и после нее равно нулю, а ток в индуктивности до и после коммутации также равен нулю, согласно законам коммутации:

То есть в цепи будут протекать переходные процессы с нулевыми начальными условиями. В момент включения постоянного напряжения источника Е (при ) напряжение и ток измениться не могут и равны нулю. Остальные величины (, , , ) могут измениться скачком. Следовательно, емкость в эквивалентной схеме для можно заменить коротким замыканием (перемычкой), а индуктивность - разрывом.

Когда начальные условия ненулевые, напряжение на емкости до начала коммутации и после не равно нулю, а ток в индуктивности до и после коммутации так же не равен нулю:

Поэтому до начала коммутации (при ) токи и напряжения в ветвях не будут равны нулю. Так как напряжение на емкости и ток в индуктивности изменяться скачком не могут, то емкость в эквивалентной схеме для можно заменить источником напряжения , а индуктивность источником тока .

Анализ эквивалентной схемы необходимо проводить, используя законы Ома и Кирхгофа. Значения искомых величин (токов и напряжений) нужно записать в общем виде (через Е, , , R1, R2), а затем подставить числовые данные и полученные результаты внести в подготовленную таблицу. Далее следует провести проверку полученных результатов. В любой момент времени должны выполняться 1-й и 2-й законы Кирхгофа. Этот контроль позволит избежать ошибок и установит правильность полученных результатов при исследовании переходных процессов.

Данный метод применяют для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

При более высоких порядках определение постоянных интегрирования и решение характеристического уравнения представляет собой сложный процесс, поэтому в сложных цепях используется операторный метод.

2. Расчёт параметров переходных процессов в электрических цепях с двумя реактивными элементами

2.1 Определение основных параметров электрической цепи в начале переходного режима и в принужденном режиме

В приведенной схеме, представленной на рисунке 1, были определены начальные и конечные условия для всех токов и напряжений в цепи с нулевыми начальными условиями.

Рисунок 1. Исходная схема для расчета параметров переходного процесса

В таблицу 1 занесены данные для последующих расчётов:

Таблица 1. Данные для расчета

R1, Ом	R2, Ом	С, Ф	С 1, Ф	L, Гн	L1, Гн	Е, В
2	4	-	-	1/2	1	8

В представленной схеме ненулевые начальные условия, а, следовательно, согласно законам коммутации:

1) Начальные условия ()

До начала коммутации (при ) в цепи через индуктивность протекает ток . Определим этот ток из эквивалентной схемы для . Так как процесс в цепи был установившемся, то для постоянного тока индуктивность заменим перемычкой (рисунок 2).

Рисунок 2. Эквивалентная схема цепи для времени

Ток равен (по закону Ома):

.

Напряжение на индуктивности , а напряжение на сопротивлении R1 равно

Контроль вычислений.

- второй закон Кирхгофа выполняется.

Ток и напряжение равны нулю, так как цепь R2L1 до начала коммутации отключена.

2) После коммутации () ток в индуктивности скачком измениться не может, поэтому:

.

Индуктивность в эквивалентной схеме для момента времени заменим источником тока

.

Так как , то индуктивность в эквивалентной схеме заменяется разрывом (рисунок 3).

Рисунок 3. Эквивалентная схема цепи для времени

Для рассматриваемой схемы ГНУ:

По 1-ому закону Кирхгофа:

Отсюда следует, что:

Так как на L1 обрыв:

Напряжение на индуктивности

Контроль вычислений.

1-й и 2-й законы Кирхгофа выполняются.

3) Конечные условия ()

После окончания переходного процесса все токи и напряжения в схеме (рисунок 4) будут постоянными. Так как , то индуктивность в эквивалентной схеме заменяется перемычкой:



Рисунок 4. Эквивалентная схема цепи для времени

Анализ эквивалентной схемы позволил определить токи и напряжения:

Контроль вычислений.

- 1-й закон Кирхгофа выполняется.

Таблица 2. Результаты вычислений

t	0 -	0+
i1, A	4	4	6
i2, A	0	4	4
i3, A	0	0	2
uR1, B	8	8	8
uR2, B	0	0	8
UL, B	0	0	0
UL1,B	0	8	0

С учетом НУ и КУ можно качественно построить графики (рисунок 5).

Рисунок 5. Качественные графики

2.2 Определение характеристик переходных процессов классическим методом

Для составления дифференциального уравнения был выбран ток . Тогда уравнение в общем виде имеет вид:

Принужденная составляющая тока

, поэтому:

Для определения корней характеристического уравнения и была составлена эквивалентная операторная схема цепи (рисунок 6).

Рисунок 6. Эквивалентная операторная схема цепи

Далее было найдено операторное входное сопротивление и приравнено к нулю (). Операторное сопротивление индуктивности , тогда:

Условие выполняется, если числитель равен нулю:

Корни этого уравнения:

;Подставив значения и в уравнение для , было получено:

После этого были определены произвольные постоянные и . Используя значение самой функции и ее производной при , т.е. были учтены начальные условия. Учитывая, что :

Откуда было получено первое уравнение для нахождения произвольных постоянных:

Для получения второго уравнения было найдено значение при :

Откуда получается, что второе уравнение для нахождения произвольных постоянных:

Совместное решение двух уравнений:

Дает следующие значения произвольных постоянных:

После подстановки произвольных постоянных в выражение для получаем:

Были произведены контрольные вычисления.

При ,

При ,

Это показывает, что полученные данные соответствуют данным из таблицы 1.

Расчет остальных токов и напряжений выглядят следующим образом:

А) Напряжение :

Контроль вычислений:

Б) Напряжение

Контроль вычислений:

В) Ток :

Контроль вычислений:

Г) Ток :

Контроль вычислений:

Д) Напряжение :

.

Контроль вычислений:

Е) Напряжение :

Контроль вычислений:

Результаты вычислений:

Построенные графики зависимости токов и напряжений от времени по найденным значениям токов и напряжений, представлены в пункте 2.3. Их построение было реализовано с помощью программной среды MatLab.

2.3 Графики зависимости токов и напряжений от времени

Графики зависимости токов и напряжений от времени представлены на рисунках 7.1 - 7.7. Построение точных графиков было реализовано в программной среде MATLAB. Пунктирными вертикальными линиями на графиках отмечен период переходного процесса, который был определен как

, где

Рисунок 7.1. Точный график функции



Рисунок 7.2. Точный график функции

Рисунок 7.3. Точный график функции



Рисунок 7.4. Точный график функции

Рисунок 7.5. Точный график функции



Рисунок 6.6 Точный график функции

Рисунок 6.7. Точный график функции

По графика можно заметить, что качественные графики, были построены так, чтобы показать как предположительно могут изменяться токи и напряжения. Хоть они и приближены к точным, но все же не учитывают скачки во время переходного процесса. С помощью этих графиков можно определить то, какие из параметров цепи могут изменяться скачкообразно, а следовательно, можно рассчитать параметры цепи, которые следует подкорректировать для корректной работы электрооборудования, исключая его поломку.

2.4 Расчет экстремумов и точек перегиба на графике

Определение экстремумов и точки перегиба .

Продифференцировано выражение

При производная

положительна, это означает, что кривая должна идти вверх под некоторым углом.

Приравнена производная к нулю и найдено максимальное значение функции:

По таблице значений , представленной в приложении 1, выбрано ближайшее число , значит

Определена вторая производная и, приравняв ее к нулю, найдена точка перегиба напряжения :

;

;

;

Выбрано из таблицы ближайшее число , тогда .

Значение напряжения :

График для приведен на рисунке 8.



Рисунок 8 - График с найденными экстремальными значениями и точкой перегиба, при t1=0,231c - экстремальное значение, при t2=0,462c - точка перегиба.

2.5 Определение обобщенных характеристик цепи

Последней практической частью курсовой работы является расчет обобщенных характеристик электрической цепи. Обобщенные характеристики К(р), К(), h(t), g(t) определяются для схем только с нулевыми начальными условиями. И поэтому в связи с тем что, параметры электрической цепи, которые были взяты для данной курсовой работы имеют ненулевые начальные условия, обобщенные характеристики вычисляться не будут.

Заключение

В данной курсовой работе были выполнены все задачи, а именно:

Задача 1 - был проведён анализ литературных источников, касающихся данной курсовой работы. Были найдены все необходимые статьи и материалы по данной теме.

Задача 2 - был описан классический метод расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях. Были найдены все необходимые формулы для расчёта.

Задача 3 - были определены начальные и конечные условия для всех токов и напряжений в цепи;

Задача 4 - были построены качественные графики переходного процесса. Они показывают, какими могут быть графики переходного процесса.

Задача 5 - были рассчитаны характеристики переходных процессов классическим методом. Были применены все формулы, найденные в литературных источниках по классическому методу.

Задача 6 - были построены точные графики переходного процесса.

Задача 7 - были рассчитаны и построены обобщённые характеристики цепи.

Цель данной курсовой работы была достигнута, все затронутые задачи решены. Были получены следующие результаты:

1. Рассчитаны значения всех токов и напряжений

2. Построены графики переходного процесса

3. Рассчитаны обобщенные характеристики цепи

4. Найдены значения тока и напряжения в точке максимума и перегиба

Как уже было сказано расчет переходных процессов имеет огромное значение в практике, так как зная свойства переходных процессов цепи или устройства при включении можно избежать поломок оборудования.

Для создания эквивалентных схем цепи было использовано приложение Microsoft Office Visio 2013. При вычисление переходных процессов и построения качественных графиков в данной курсовой работе была использована программная среда MATLAB, которая сильно облегчила построение качественных графиков в классическом методе расчетов.

Список используемой литературы

1. Витков М.Г. Основы теории цепей. Лабораторный практикум: Учебное пособие для студентов вузов связи, обучающихся по направлению "Телекоммуникации"/ Н.И. Смирнов. - М.: Радио и связь, 2001.- 224 с.

2. Касаткин А.С. Электротехника: Учеб. Для вузов / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. -8-е изд., испр. - М.: Издательский центр "Академия", 2003. - 544 с.

3. Фриск В.В. Основы теории цепей. / Учебное пособие.- М.: ИП РадиоСофт, 2002 -288 с.

4. Бычков Ю.А. Основы теории электрических цепей: Учебник для студентов вузов/ В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышев. - СПб.: Лань, 2002.- 464 с.

5. Бакалов Валерий Пантелеевич. Основы теории цепей. Компьютерный тренажерный комплекс: Учебное пособие для студентов вузов по по направлению "Телекоммуникации"/ О.Б. Журавлева, Б.И. Крук. - М.: Радио и связь, 2002.- 200 с.

Приложение А.

Таблица 4. Значения функции е-х для разного значения времени

х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	1,0000	0,9900	0,9802	0,9704	0,9608	0,9512	0,9418	0,9324	0,9231	0,9139
0,1	0,9048	0,8958	0,8869	0,8781	0,8694	0,8607	0,8521	0,8437	0,8353	0,8270
0,2	0,8187	0,8106	0,8025	0,7945	0,7866	0,7788	0,7711	0,7634	0,7558	0,7483
0,3	0,7408	0,7334	0,7261	0,7189	0,7118	0,7047	0,6977	0,6907	0,6839	0,6771
0,4	0,6703	0,6637	0,6570	0,6505	0,6440	0,6376	0,6313	0,6250	0,6188	0,6126
0,5	0,6065	0,6005	0,5945	0,5886	0,5827	0,5769	0,5712	0,5655	0,5599	0,5543
0,6	0,5488	0,5434	0,5379	0,5326	0,5273	0,5220	0,5169	0,5117	0,5066	0,5016
0,7	0,4966	0,4916	0,4868	0,4819	0,4771	0,4724	0,4677	0,4630	0,4584	0,4538
0,8	0,4493	0,4449	0,4404	0,4360	0,4317	0,4274	0,4232	0,4190	0,4148	0,4107
0,9	0,4066	0,4025	0,3985	0,3946	0,3906	0,3867	0,3829	0,3791	0,3753	0,3716
1,0	0,3679	0,3642	0,3606	0,3570	0,3535	0,3499	0,3465	0,3430	0,3396	0,3362
1,1	0,3329	0,3296	0,3263	0,3230	0,3198	0,3166	0,3135	0,3104	0,3073	0,3042
1,2	0,3012	0,2982	0,2952	0,2923	0,2894	0,2865	0,2837	0,2808	0,2780	0,2753
1,3	0,2725	0,2698	0,2671	0,2645	0,2618	0,2592	0,2567	0,2541	0,2516	0,2491
1,4	0,2466	0,2441	0,2417	0,2393	0,2369	0,2346	0,2322	0,2299	0,2276	0,2254
1,5	0,2231	0,2209	0,2187	0,2165	0,2144	0,2122	0,2101	0,2080	0,2060	0,2039
1,6	0,2019	0,1999	0,1979	0,1959	0,1940	0,1920	0,1901	0,1882	0,1864	0,1845
1,7	0,1827	0,1809	0,1791	0,1773	0,1755	0,1738	0,1720	0,1703	0,1686	0,1670
1,8	0,1653	0,1637	0,1620	0,1604	0,1588	0,1572	0,1557	0,1541	0,1526	0,1511
1,9	0,1496	0,1481	0,1466	0,1451	0,1437	0,1423	0,1409	0,1395	0,1381	0,1367
2,0	0,1353	0,1340	0,1327	0,1313	0,1300	0,1287	0,1275	0,1262	0,1249	0,1237
2,1	0,1225	0,1212	0,1200	0,1188	0,1177	0,1165	0,1153	0,1142	0,1130	0,1119
2,2	0,1108	0,1097	0,1086	0,1075	0,1065	0,1054	0,1044	0,1033	0,1023	0,1013
2,3	0,1003	0,0993	0,0983	0,0973	0,0963	0,0954	0,0944	0,0935	0,0926	0,0916
2,4	0,0907	0,0898	0,0889	0,0880	0,0872	0,0863	0,0854	0,0846	0,0837	0,0829
2,5	0,0821	0,0813	0,0805	0,0797	0,0789	0,0781	0,0773	0,0765	0,0758	0,0750
2,6	0,0743	0,0735	0,0728	0,0721	0,0714	0,0707	0,0699	0,0693	0,0686	0,0679
2,7	0,0672	0,0665	0,0659	0,0652	0,0646	0,0639	0,0633	0,0627	0,0620	0,0614
2,8	0,0608	0,0602	0,0596	0,0590	0,0584	0,0578	0,0573	0,0567	0,0561	0,0556
2,9	0,0550	0,0545	0,0539	0,0534	0,0529	0,0523	0,0518	0,0513	0,0508	0,0503
3,0	0,0498	0,0493	0,0488	0,0483	0,0478	0,0474	0,0469	0,0464	0,0460	0,0455

Размещено на Allbest.ru

...