Стационарное электромагнитное поле. Магнитостатика

Размещено на http://www.allbest.ru/

5

Стационарное электромагнитное поле. Магнитостатика

1. Основные уравнения стационарного электромагнитного поля

Стационарным называют неизменное во времени электромагнитное поле, создаваемое постоянным током. Оно описывается системой дифференциальных уравнений

В системе (1) можно выделить две группы уравнений , одна из которых содержит только векторы электрического поля , а другая - только магнитного поля . При наличии постоянного тока эти группы уравнений связаны соотношением . Из уравнений группы следует, что электрическое поле постоянного тока, как и электростатическое, является потенциальным, а из уравнений группы а следует, что магнитное поле постоянного тока является вихревым.

Уравнения стационарного электромагнитного поля в интегральной форме получаются из уравнений Максвелла, если входящие в них величины считать не зависящими от времени. При этом интегральные соотношения, соответствующие уравнениям группы , совпадают с уравнениями электростатики в интегральной форме, а интегральные соотношения, соответствующие уравнениям группы , имеют вид

(2)

Полагая в уравнении непрерывности получаем, что плотность постоянного тока удовлетворяет условию

(3)

Следовательно, в стационарном поле линии тока проводимости являются непрерывными. магнитный поле ток энергия

Вытекающая из уравнения Максвелла относительная независимость электрических и магнитных векторов позволяет рассматривать отдельно электрическое и магнитное поля, что существенно упрощает изучение стационарных электромагнитных процессов.

Отметим, что для существования постоянного тока в однородной проводящей среде недостаточно действия одного потенциального электрического поля, удовлетворяющего соотношениям. Рассмотрим замкнутый проводник длины и постоянного сечения , ось которого образует контур (рис.11, а). Пусть по этому проводнику течет ток , равномерно распределенный по сечению. Вектор плотности тока , где -орт касательной к линии тока. Предположим, что в проводнике действует только потенциальное электрическое поле. Тогда во всех точках проводника выполняется соотношение . Из предыдущих формул следует, что

(4)

где R-сопротивление проводника.

Так как величина заведомо отлична от нуля, то равенство (4) возможно лишь при . Действительно, при перемещении заряда по замкнутому контуру в потенциальном электрическом поле работа не совершается. Поэтому ток, представляющий собой упорядоченное движение заряженных частиц, не может расходовать энергию потенциального электрического поля . Для создания тока в цепи должен действовать источник энергии - так называемая сторонняя эдс. На рис.11,6 этот источник условно показан кружком.

Пусть напряженность электрического поля, создаваемого сторонней эдс, равна . Закон Ома в этом случае записывается в форме

(5)

С учетом формулы (5) соотношение (4) принимает вид

(6)

где - действующая в цепи сторонняя эдс.

Уравнение (6) представляет собой закон Ома для цепи постоянного тока. Сторонние эдс вызываются различными причинами, например они возникают на границе раздела проводящих сред, химически воздействующие друг на друга (гальванические эдс).

2. Магнитостатика

Предположим, что в каждой точке рассматриваемой области плотность тока проводимости равна нулю (), а сама область не охватывает тока. Кольцевые области, сцепленные с током (рис.12), в данном разделе не анализируются.

Уравнения описывающие магнитное поле записываются . Интегральные соотношения магнитостатики получаются из уравнения Максвелла, если в последних положить . При этом второе уравнение остается без изменений а первое принимает вид

(7)

Так как в рассматриваемом случае , то по аналогии с электростатикой можно ввести в рассмотрение скалярную функцию, , называемую магнитостатическим потенциалом и связанную с вектором соотношением

(8)

В однородной среде магнитостатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

(9)

Разность значений магнитостатического потенциала между точками и можно представить в виде

(10)

На границе раздела двух сред с разными магнитными проницаемостями ( и ) должны выполняться общие граничные условия для составляющих векторов и :

Таким образом, напряженность магнитостатического поля и напряженность электростатического поля в области без зарядов удовлетворяют одинаковым уравнениям и однотипным граничным условиям. Следовательно, решение задач магнитостатики можно получить из решений аналогичных задач электростатики простой заменой в них на и на .

3. Магнитное поле и постоянный ток

В тех случаях, когда в рассматриваемой области имеется ток или область охватывает ток (рис. 12), магнитостатический потенциал становится неоднозначной функцией. Разность его значений между точками и зависит от контура, по которому выполняется интегрирование в формуле (10), а именно при каждом обходе контура вокруг тока в положительном направлении (так, чтобы контур образовывал с направлением, в котором течет ток, правовинтовую систему) значение интеграла в (10) возрастает на величину .

Таким образом, магнитостатический потенциал не позволяет установить связь между стационарным магнитным полем и создающим его постоянным током. Для определения стационарного поля обычно вводят векторный потенциал , связанный с векторами и соотношениями

(11)

Векторный потенциал стационарного поля удовлетворяет уравнению

(12)

при

Если токи сосредоточены в ограниченной области , то решение уравнения:

(13)

где - расстояние от элемента до точки, в которой вычисляется потенциал.

Если токи распределены по поверхности с плотностью , равенство (13) следует заменить выражением

(14)

а в случае линейного тока , протекающего по контуру ,- формулой

(15)

В (14) и (15) - расстояние от элементов и соответственно до точки, в которой вычисляется потенциал.

Перейдем от векторного потенциала к напряженности магнитного поля . Предполагая, что пространство заполнено однородной изотропной средой, получаем

(16)

Учитывая, что плотность тока не зависит от координат точки, в которой вычисляется поле, и используя тождество , преобразуем подынтегральное выражение в (16):

(17)

где Ro - орт вектора , проведенного из в точку наблюдения.

Подставляя (17) в (16), получаем

(18)

К аналогичным выражениям для вектора в случае поверхностных и линейных токов:

(19)