Круглый металлический волновод

Размещено на http://www.allbest.ru/

Круглый металлический волновод

1. Вывод формул для поля

При анализе волн в круглом волноводе (рис.18) будем считать, что заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами е и м, а оболочка обладает бесконечной проводимостью. В таком волноводе возможно раздельное существование Е- и Н-волн и невозможно существование ТЕМ-волн. При анализе естественно использовать цилиндрическую систему координат, совместив ось Ж с продольной осью волновода. Для упрощения изложения введем функцию w=w (r, ц, z) = w0 (r, ц) exp (- i Яz), которая в случае Е-волн равна Emz, а в случае Н-волн - Нтz. Функция w0 (r, ц) удовлетворяет уравнению Гельмгольца

(1)

где, как обычно, . Представим функцию w0 в виде w0= R(r) Ц(ц). Разделяя переменные в уравнении (1) 1, получаем

(2)

(3)

где , C и D -произвольные постоянные.

При r>0 функция Неймана стремится к бесконечности, а составляющие Еmz и Нтz должны быть ограничены. Поэтому нужно считать D = 0. При этом имеем

. (4 )

В случае Е-волн w(r, ц, z) = Ez(r, ц, z), а поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные формулами (9.19) и (9.20). Вводя обозначение ВС = E0Ж получаем

(5a)

где (5б)

волновод поле энергия бессель

а штрих означает дифференцирование функции Бесселя по всему аргументу.

Так же как в формулах для поля в прямоугольном волноводе, индекс т в формулах (10.32а) и (10.326) имеет разный смысл. В (10.32а) он означает, что записана комплексная амплитуда рассматриваемой функции, а в (10.32б) т - определяет порядок функции Бесселя.

Входящая в (10.32б) постоянная ц0 влияет только на начало отсчета угла ц, ее изменение соответствует повороту структуры поля вокруг оси Ж. В рамках используемой физико-математической модели постоянные EOz и ц0 определить нельзя. Для их нахождения требуются дополнительные данные об источнике, создающем поле в волноводе (о мощности бегущей волны, ориентации вектора E и т.д.).

Чтобы найти неизвестную постоянную , используем граничное условие. В рассматриваемом случае из него следует равенство

, (6)

где а - радиус волновода (см. рис.18). Подставляя выражение для из (5б) в (6), получаем

. (7)

Имеется бесконечное множество значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называют корнями функции Бесселя. Обозначая п-й корень функции Бесселя т-го порядка через (см. рис.19), из (7) находим

. (8)

Параметр в вычисляется по известной формуле.

Как видно, в круглом волноводе возможно существование Е-волн различной структуры. Наименование этих волн производится в соответствии с обозначением корней уравнения (7). Например, корню v01 E соответствует волна E01, корню v12 E -волна E12, корню vmn E - волна Етп.

Зависимость структуры поля волны от угла ц определяется индексом т. Поперечное сечение волновода можно условно разделить на т секторов с одинаковой структурой поля в каждом секторе: поле волны периодично по углу ц с периодом 2р/т. Индекс m, таким образом, равен числу периодов структуры поля волны, укладывающихся на интервале [0, 2р] изменения угла ц. Равенство нулю индекса т означает, что структура поля волны обладает осевой симметрией (не зависит от угла ц).

На распределение составляющих векторов поля вдоль радиуса в интервале [0, а] влияют оба индекса m и n. При этом т определяет порядок функции Бесселя, а n - число вариаций составляющих векторов поля при изменении r от 0 до а: при n=1 составляющие векторов поля не изменяют знак (одна вариация), при n - 2 они один раз изменяют знак (две вариации) и т.д.

Каждому типу волны соответствует своя критическая длина волны, связанная с постоянной соотношением (6). В рассматриваемом случае

. (9)

Несколько первых корней функций Бесселя vmnE в порядке их возрастания и соответствующие критические длины волн, рассчитанные по формуле (9), приведены в табл.1. Низшим типом среди волн E в круглом волноводе является волна E01.

Таблица 1

Фазовая скорость, скорость распространения энергии, длина волны в волноводе и характеристическое сопротивление рассчитываются по известным формулам

На рис. 10.15 показана структура поля волны E01.

В случае З-волн функция w = Нтz (r, ц, z), а поперечные составляющие векторов поля выражаются через Hтz. Вводя обозначение ВС = H0z, получаем

(10а)

где (106)

Все сказанное о постоянных m, E0z и ц0 в полной мере относится и к постоянным т, H0z и ц0

Для определения поперечного волнового числа воспользуемся граничным условием = 0. Подставляя в это равенство приходим к уравнению

. (11)

Обозначая корни уравнения (11) через vmnH (см. рис. 20), находим, что

. (12)

Как видно, в круглом волноводе возможно существование Н-волн различной структуры, которые принято обозначать Нтn. Нумерация Н-волн аналогична нумерации волн Етп. Индекс т совпадает с порядком функции Бесселя, а n - с номером нуля первой производной функции Бесселя m-го порядка. Также как и в случае Е-волн, структура поля волны Нтп периодична по углу ц с периодом 2п/т, т.е. индекс т равен числу периодов структуры поля волны Нтп, укладывающихся на интервале [0, 2р] изменения угла ц. Равенство нулю индекса т означает, что поле волны не зависит от угла ц. Индекс n равен числу вариаций составляющих векторов поля вдоль радиуса волновода.

Несколько первых корней vmnH в порядке их возрастания и соответствующие им критические длины волн, рассчитанные по формуле

лксЗmn=2рa/ vmnH (13)

приведены в табл. 2. Низшим типом среди не только волн Н, но и всех волн в круглом волноводе, как следует из табл.1 и 2, является волна З11- Интересно отметить, что структура поля этой волны близка к структуре поля волны З10 в прямоугольном волноводе, также имеющей наибольшую критическую длину волны. На рис.10.17 показана структура поля волны З01.

Параметры Н-волн в, нц, нэ и Л вычисляются по известным формулам.

2. Токи на стенках круглого волновода

Плотность токов на стенках круглого волновода jSm в соответствии с граничным условием определяется формулой

. (14)

Из предыдущих формул следует, что при распространении по волноводу основной волны Н11 на его стенках текут и поперечные, и продольные токи (рис.22), а волна Н01 возбуждает только поперечные токи (рис.23), В случае волны E01, текут только продольные токи, равномерно распределенные по периметру волновода.

3. Передача энергии по круглому волноводу

Основной волной круглого волновода является волна Н11, а первым высшим типом - E01. Поэтому в соответствии с данными табл.10.1 и 10.2 условие одноволновости имеет вид 2,61а< л <3,41а, откуда

л/3,41 < a <л/2,61. (15)

Мощность, переносимая волной по круглому волноводу (мощность бегущей волны), рассчитывается по известной формуле. Вычисляя входящие в эту формулу интегралы, для волны Н11 получаем:

Где - длина волны Н11 в волноводе.

Коэффициент ослабления бМ, соответствующий волне Н11, вычисляется по формуле

(16)

Формулы для коэффициента ослабления бМ, соответствующие другим типам волн, могут быть получены из этой формулы, График, характеризующий зависимость коэффициента ослабления от частоты для волны Н01 в круглом волноводе, имеет существенное отличие от графиков для волн Н11 и Е01. У этих волн коэффициент бМ неограниченно возрастает при и . Указанные особенности поведения бМ объясняются так же, как в случае прямоугольного волновода. Поведение коэффициента ослабления волны Н01 в круглом волноводе при увеличении частоты имеет иной характер, а именно коэффициент бМ для этой волны монотонно убывает с ростом частоты. Эта особенность объясняется тем, что у волны Н01 в круглом волноводе вектор плотности поверхностного тока проводимости не имеет продольной составляющей (jSmz = 0). Отличная от нуля составляющая jSmц возбуждается продольной составляющей напряженности магнитного поля Hmz(a, ц, z). При повышении частоты в волноводе с фиксированными размерами поперечного сечения структура поля любой волны приближается к структуре поля TEM-волны, у которой Зz = 0. Следовательно, у волны Н01 при повышении частоты Нтz > О и одновременно стремится к нулю плотность поперечных токов проводимости. Но это означает, что потери должны непрерывно уменьшаться. Как показывает численный расчет, потери в круглом волноводе на волне Н01 меньше потерь в волноводе того же радиуса на волне Н11, если только а/л>2, а существенный выигрыш достигается при а/л?3,...4.

Размещено на Allbest.ru