6

Раздел 1

Размещено на http://www.allbest.ru/

6

Глава 1

Основные уравнения электромагнетизма

В сферической системе координат векторное поле зависит только от радиуса. Какова должна быть эта зависимость, если дивергенция поля равна нулю?

1. Основные уравнения электромагнетизма

1.1 Электрическое и магнитное поля в вакууме. Заряды и токи

Электромагнитные явления проявляются через векторные поля сил, действующих на те частицы вещества, у которых есть электрический заряд или магнитный момент. Движущиеся электрические заряды вызывают ток. Электромагнитные явления проявляются в виде взаимодействия электрических зарядов и токов.

Два электрических заряда q_Э1 и q_Э2 притягиваются или отталкиваются в зависимости от знака заряда, что описывается с помощью закона Кулона:

, (1.1)

где - единичный вектор в направлении , а - вектор, направленный от одного заряда к другому и численно равный расстоянию между зарядами. Разноименные заряды притягиваются, а одноименные отталкиваются. Постоянная=10^-9/36 Ф/м - размерная величина, найденная экспериментально и названная диэлектрической проницаемостью вакуума.

Сила, действующая на единичный заряд, называется напряженностью электрического поля. В точке расположения второго первый заряд создает напряженность поля

электромагнетизм дивергенция магнитное поле уравнение

= = В/м. (1.2)

Для того, чтобы в какой-либо точке пространства существовала напряженность электрического поля, достаточно иметь источник, создающий его (в нашем случае заряд q_Э1).

Электрического поля достаточно для описания силы, действующей на неподвижный заряд в вакууме. В материальной среде эта сила изменяется из-за свойств среды.

Поэтому вводят в рассмотрение векторное поле , названное электрической индукцией или полем электрического смещения. Вектора и пропорциональны друг другу. Коэффициент пропорциональности называют диэлектрической проницаемостью. Электрическая индукция в вакууме записывается следующим образом:

= = Кл/м². (1.3)

Если электрические заряды приходят в движение, то возникает ток. Плотность электрического тока, т.е. ток через единицу поверхности определяется числом частиц, прошедших в единицу времени.

= e N А/м², (1.4)

где е =1.602*10^-19 Кл - заряд электрона.

Сила, воздействующая на заряд со стороны электрического поля, вызывает его движение, а значит электрический ток, пропорциональный этому полю, что описывается с помощью закона Ома, дифференциальная форма которого имеет следующий вид:

= _Э . (1.5)

Два проводника с током, расположенные неподалеку друг от друга притягиваются или отталкиваются. Если вблизи бесконечно длинного проводника с током I₁ на расстоянии r параллельно ему поместить проводник длинной ?₂ с током I₂, то на него будет действовать сила:

(1.6)

Сила. действующая на отрезок провода длинной 1м с током 1А называется магнитной индукцией. Бесконечно длинный провод с током I₁ создает на расстоянии r магнитную индукцию

Тл. (1.7)

Векторное поле для магнитной индукции называют магнитным полем. Всякий ток возбуждает магнитное поле. Связь между плотностью тока и возбуждаемой им в пустоте магнитной индукцией:

(1.8)

где dV - элемент объема проводника с током, а r - расстояние от проводника до точки наблюдения. Величину индукции, созданную в заданной точке, от тока, содержащегося в конечном объеме, можно определить интегрированием этого выражения по этому объему.

Вместе с магнитной индукцией вводят напряженность магнитного поля. . Напряженность магнитного поля связана с магнитной индукцией через магнитную проницаемость. Магнитная проницаемость вакуума равна . В вакууме

= /, (1.9)

где магнитная проницаемость вакуума = 410^-7 = 1.2510^-6 Гн/м.

1.2 Закон сохранения заряда, первое уравнение непрерывности

Одно из основных положений электромагнетизма состоит в том, что ни при каких условиях заряды не могут возникать или пропадать бесследно. Если в каких-либо условиях возникнет положительный заряд, то обязательно должен возникнуть и отрицательный заряд и, таким образом, суммарный заряд не изменяется. Этот факт называют законом сохранения заряда. Он приводит к уравнению непрерывности, сущность которого сводится к следующему. Если в некотором объеме изменяется плотность электрических зарядов во времени, то через поверхность, ограничивающую этот заряд, пойдет ток.

Получим уравнение непрерывности из закона сохранения заряда. Для этого возьмем некоторый замкнутый объем V, содержащий электрический заряд q _э. Если объемную плотность обозначить _э, то

(1.10)



С течением времени заряд может изменяться (рис.1.1), но, в соответствии с законом сохранения, это изменение должно происходить только за счет пересечения зарядами поверхности, ограничивающей объем. Процесс движения заряда через поверхность и есть ток через нее. Плотность тока можно определить, воспользовавшись выражением (1.4). В это выражение должна входить нормальная к поверхности скорость заряженной частицы, поскольку только она и определяет ток. Если ввести вектор , численно равный площади элемента dS и направленный по нормали к поверхности, то ток через поверхность dS:

dI = ( ). (1.11)

Полный ток через всю поверхность, ограничивающую объем, определится интегрированием плотности тока по этой замкнутой поверхности.

I_э = (1.12)

С другой стороны, если заряженные частицы пересекают поверхность, то изменяется заряд в объеме. Это изменение можно посчитать, если умножить ток на промежуток времени, в течение которого он проходил через поверхность.

dq_э = - I_Эdt. (1.13)

Знак минус перед током возникает, поскольку при положительном значении тока (ток направлен из объема), заряд в объеме уменьшается.

В соответствии с законом сохранения заряда нет никакой другой причины для изменения заряда в объеме, кроме прохождения тока через его поверхность. Поэтому электрический ток, рассчитанный из (1.12) и (1.13) должен быть один и тот же

. (1.14)

Это интегральная форма первого уравнения непрерывности. Заряд может изменяться не только во времени, но и в пространстве. Поэтому для заряда записана частная производная. Воспользуемся выражением (1.10), связывающим заряд с его плотностью и получим

= .

Если в некотором объеме плотность электрических зарядов не изменяется во времени, то ток через поверхность, ограничивающую этот заряд, отсутствует. Перейдем от интегральной формы уравнения непрерывности к дифференциальной. Для этого воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса в правой части равенства и преобразуем интеграл по поверхности от плотности электрического тока, в интеграл по объему от его дивергенции:

.

Из-за полной произвольности объема это равенство возможно лишь тогда, когда равны подынтегральные выражения, то есть:

. (1.15)

дифференциальная форма первого уравнения непрерывности, которая утверждает, что изменение плотности электрического заряда во времени в выбранной точке пространства приводит к возникновению электрического тока в этой точке.

1.3 Уравнения Максвелла для вакуума

Уравнения, описывающие электромагнитные явления, были сформулированы в середине девятнадцатого века и явились результатом исследований Фарадея, Гаусса, Максвелла и других ученых, но в окончательной форме были сформулированы Максвеллом и получили его имя. Уравнения Максвелла устанавливают связь между векторами электрического и магнитного полей, токами и зарядами и параметрами среды, в которой они находятся. Они записываются в двух формах - интегральной и дифференциальной.

Интегральная форма связывает потоки векторов и через замкнутую макроскопическую поверхность с зарядами, расположенными в объеме, охваченном этой поверхностью и циркуляцию этих векторов по замкнутому контуру с токами, пронизывающими поверхность, охваченную контуром, по которому рассчитывается циркуляция.

Дифференциальная форма записывается для тех же величин, но при стремлении к нулю объема или поверхности. Уравнений Максвелла всего четыре и каждое из них имеет свое имя. Рассмотрим последовательно эти уравнения.

Первое уравнение Максвелла. Закон Гаусса

Этот закон указывает на одну из причин возникновения электрического поля - электрический заряд и связывает величину заряда и величину поля. Рассмотрим объем V, охваченный поверхностью, площадь которой S. В этом объеме есть электрический заряд q_э, который создает электрическое поле . Согласно закону Гаусса они связаны следующим соотношением:

. (1.16)

Закон Гаусса нетрудно получить из определения для электрического поля как силы действующей на единичный заряд. Действительно, воспользуемся выражением (1.2)

=

и посчитаем поток вектора через сферу радиусом r. Из (1.16) и (1.2) получим:

=.

Опуская промежуточные вычисления и записывая только исходное выражение и результат, получим закон Гаусса в интегральной форме

. (1.17)

Теперь запишем это равенство в дифференциальной форме. Для этого перейдем от заряда q_Э в (1.17) к его плотности, воспользовавшись выражением (1.10).

= (1.18)

Полученное равенство можно упростить, если слева интегрирование по поверхности заменить интегрированием по объему, охваченному этой поверхностью. Для этого воспользуемся теоремой Остроградского - Гаусса, согласно которой интеграл от потока вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему, охваченному этой поверхностью.

.

Тогда равенство (1.18) перепишется в виде:

.

Ввиду полной произвольности в выборе объема V, это равенство возможно только в том случае, если равны подынтегральные выражения.

. (1.19)

Это и есть дифференциальная форма закона Гаусса - первого из рассмотренных нами уравнений Максвелла. В соответствии с определением дивергенции равенство (1.19) означает, что источник электрического поля - электрические заряды. Электрические силовые линии начинаются и кончаются на зарядах. Если в объеме нет зарядов, то нет истоков и стоков для электрических силовых линий.

Второе уравнение Максвелла. Уравнение непрерывности магнитных линий.

Это уравнение аналогично предыдущему, но описывает не электрические, а магнитные явления. Оно связывает магнитное поле и магнитный заряд. Снова рассмотрим объем V, охваченный поверхностью, площадь которой S. В этом объеме есть магнитный заряд q_м, который создает магнитное поле . Согласно закону непрерывности магнитных силовых линий они связаны следующим соотношением:

. (1.20)

Известно, что в природе отсутствуют магнитные заряды и в правой части равенства должен стоять ноль. Однако в технических приложениях иногда их приходится искусственно вводить. Например, если в задаче рассматривается поле, создаваемое постоянным магнитом и в интересующий нас объем входит только северный полюс магнита, он и будет играть роль магнитного заряда, создающего магнитное поле.

Если введены магнитные заряды, то можно ввести и их плотность. Тогда последнее равенство можно переписать в дифференциальной форме. Введем плотность магнитных зарядов равенством, аналогичным (1.10).

(1.21)

Объединяя (1.20), (1.21), пользуясь теоремой Остроградского - Гаусса и рассуждая так же, как в предыдущем разделе, получим:

;

. (1.22)

Источник магнитных силовых линий - магнитные заряды. В природе магнитных зарядов нет и, как правило, магнитные силовые линии непрерывны. Поэтому второе уравнение Максвелла называют уравнением непрерывности магнитных силовых линий.

Допуская существование магнитных зарядов, следует признать и существование магнитных токов, которые можно ввести точно так же, как вводились электрические токи:

. (1.23)

Для магнитного заряда, как и для электрического, справедлив закон сохранения. С течением времени магнитный заряд может изменяться, но, в соответствии с законом сохранения, это изменение должно происходить только за счет пересечения зарядами поверхности, ограничивающей объем. Процесс движения заряда через поверхность и есть ток через нее. Выразим в (1.23) магнитный ток через его плотность:

. (1.24)

Получена интегральная форма второго уравнения непрерывности. Чтобы перейти к дифференциальной форме, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса и заменим интеграл по поверхности от плотности магнитного тока на интеграл по объему от div j _m. Как и ранее, учтем произвольность объема V. Тогда

;

. (1.25)

Получена дифференциальная форма второго уравнения непрерывности, которая утверждает, что изменение магнитного заряда во времени в выбранной точке пространства приводит к возникновению магнитного тока в этой точке.

Третье уравнение Максвелла - закон полного тока

При обсуждении уравнения непрерывности магнитных силовых линий указывалось, что в природе магнитных зарядов не существует, и не они порождают магнитное поле. Обычно магнитное поле возникает вокруг проводника с электрическим током. Это явление количественно описывает закон полного тока. Согласно этому закону циркуляция напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна суммарному току, пронизывающему площадь, охваченную этим контуром.

. (1.26)

Выражение в левой части уравнения носит название магнитно-движущей силы.

Закон полного тока следует из определения магнитной индукции. Покажем это. Рассмотрим магнитное поле бесконечно длинного проводника

и попытаемся получить из него закон полного тока. Пусть контур L - окружность радиусом r, плоскость которой перпендикулярна проводнику с током. Запишем циркуляцию вектора по этой окружности.

.

Закон полного тока записан не для магнитной индукции, а для напряженности магнитного поля. Перейдем в последнем равенстве от магнитной индукции к напряженности магнитного поля.

=; ,

что полностью совпадает с (1.26).

Получим дифференциальную форму закона. Для этого выразим электрический ток через его плотность

.

Используем теорему Стокса для того, чтобы преобразовать циркуляцию напряженности магнитного поля по контуру L интегралом от ротора напряженности магнитного поля по площади, ограниченной этим контуром.

Из-за полной произвольности кривой L это равенство возможно лишь тогда, когда равны подынтегральные выражения, то есть:

rot = . (1.27)

Это и есть дифференциальная форма закона полного тока. В обе формулировки закона входит полный ток I_Э или его плотность . Рассмотрим, из каких составляющих состоит полный ток. В вакууме нет носителей заряда, и ток проводимости отсутствует. Магнитное поле может возбудить ток, проходящий за пределами рассматриваемого объема. Такой ток называют сторонним. Однако существует еще один вид тока, который называют током смещения и который существует в вакууме. С этим током мы сталкиваемся тогда, когда рассматриваем электрическую цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис. 1.2). В этой цепи протекает реактивный ток, который можно рассчитать, разделив напряжение источника на сопротивление емкости переменному току. Выясним природу этого тока. Между пластинами конденсатора вакуум, и ток проводимости не может проходить. Оказывается, что изменение электрического поля между пластинами, вызванное изменением заряда на пластинах, можно интерпретировать как ток. Покажем это. Выделим замкнутую поверхность S, охватывающую объем V, который содержит одну пластину конденсатора, а другая пластина находится за пределами объема. q_Э (t) - заряд на этой пластине. Электрические заряды, перемещаясь по проводнику, подходят к пластине конденсатора и накапливаются на ней, изменяя электрическое поле между пластинами. Этот процесс описывается первым уравнением Максвелла - законом Гаусса (см.1.16), который с учетом знака заряда электрона запишется так:

.

Если продифференцировать это выражение по времени, то справа окажется производная от заряда, а в соответствии с первым уравнением непрерывности (см. 1.15) она вызовет электрический ток. Следовательно, выражение, которое появится в левой части равенства, будет описывать искомый ток. Продифференцируем по времени последнее выражение:

== .

Приравнивая подынтегральные выражения для самой левой и самой правой частей равенства, получим:

. (1.28)

Итак, кроме стороннего тока, протекающего за пределами рассматриваемого объема, в вакууме существует ток смещения, величина которого зависит от скорости изменения электрического поля во времени. Распишем компоненты полного тока в законе полного тока. Тогда для интегральной формы вместо (1.26) получим

, (1.29)

а для дифференциальной формы вместо (1.27):

rot = +. (1.30)

Четвертое уравнение Максвелла. Закон электромагнитной индукции

Еще из школьного курса физики мы знаем, что при перемещении замкнутого контура в переменном магнитном поле в нем возникает ток. Это явление впервые наблюдал Фарадей в 1831 году и назвал его электромагнитной индукцией. Сформулируем этот закон более строго. Пусть в некоторой области пространства существует переменное магнитное поле и замкнутый контур длиной L, ограничивающий поверхность S. Тогда циркуляция электрического поля по контуру L равна по модулю производной.

Основные соотношения электромагнетизма для вакуума

Закон Ома в дифференциальной (1.1.1)

= _э.

Первое и второе уравнения непрерывности в дифференциальной (1.1.2)

;

Уравнения Максвелла в интегральной форме для (1.1.3)

; ;

Уравнения Максвелла в интегральной форме для (1.1.4)

; .

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме для (1.1.5)

; ;.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме для (1.1.6)

; rot = j_Эст+.

Связь между напряженностью и индукцией (1.1.7)

=; = .

по времени от магнитной индукции, пронизывающей этот контур.

. (1.31)

Выражение в левой части уравнения (1.31) носит название электродвижущей силы. Сравним выражения (1.29) и (1.31). Первое записано для циркуляции магнитного поля, а второе для циркуляции электрического поля. Однако правые части уравнений отличаются числом слагаемых. В выражении (1.29) учтены сторонний электрический ток и ток смещения, а в (1.31) только магнитный ток смещения. Анализируя закон непрерывности магнитных силовых линий, мы ввели магнитный ток. Вероятно, его необходимо учесть в правой части выражения (1.31). Тогда закон электромагнитной индукции в интегральной форме запишется так:

.

От интегральной перейдем к дифференциальной форме закона. Для этого преобразуем левую часть равенства, воспользовавшись теоремой Стокса. Циркуляция электрического поля по замкнутому контуру заменится интегралом по ограниченной контуром поверхности от ротора электрического поля.

Выразим магнитный ток через его плотность. Тогда последнее равенство перепишется в виде:

.

Воспользовавшись произвольностью объема, приравняем подынтегральные выражения

. (1.31)

Это дифференциальная форма закона электромагнитной индукции.

1.4 Уравнения Максвелла в веществе

Вещество состоит из атомов и молекул, которые в свою очередь содержат электрически заряженные частицы, электроны и протоны. Перемещаясь, заряды создают ток. Таким образом, в дополнение к существующим в вакууме, в веществе возникают другие заряды и токи, изменяющие электромагнитное поле. В приближении электродинамики сплошных сред, которая используется в технических приложениях, неоднородность распределения заряда в пределах атома, вызывающая изменение электромагнитного поля в тех же пределах, не учитывается. Коллективное движение заряженных частиц создает макроскопические неоднородности заряда и тока в веществе и изменяет электромагнитное поле. Анализ показывает, что учесть атомную структуру вещества можно с помощью поляризационных токов и зарядов, и зарядов, накапливающихся в веществе при прохождении по нему тока проводимости.

Дипольный момент, поляризационные заряды

Пусть диэлектрик помещен в электрическое поле напряженностью Силы, действующие на положительное ядро и отрицательные электроны, направлены в противоположные стороны, и центры положительного и отрицательного зарядов, которые раньше совпадали, теперь разойдутся на расстояние d (рис. 1.3). Молекула деформируется, и возникнет дополнительное электрическое поле. Это поле описывают с помощью дипольного момента, который рассчитывают как произведение величины зарядов на расстояние между положительным и отрицательным зарядом.

.

Если в объеме N молекул, то полный дипольный момент в объеме

(1.32)

Чем больше внешнее электрическое поле, тем сильнее разойдутся заряды и тем больше дипольный момент. В первом приближении можно считать, что дипольный момент пропорционален электрическому полю, приложенному к веществу.

. (1.33)

Электрическая индукция в веществе складывается из электрической индукции в вакууме и дипольного момента вещества,

. (1.34)

Коэффициент пропорциональности называют диэлектрической восприимчивостью вещества, постоянную - абсолютной диэлектрической проницаемостью вещества, а - относительной диэлектрической проницаемостью,

= , = 1 + . (1.35)

Если молекула не помещена в электрическое поле, то дипольный момент у нее, как правило, отсутствует. Существуют диэлектрики, молекулы которых обладают дипольным моментом. Однако, в отсутствие электрического поля диполи ориентированы хаотически и суммарного дипольного момента нет и в этом случае. Внешнее электрическое поле будет ориентировать диполи и возникнет поляризация. Равенство (1.33) верно и в этом случае.

В анизотропной среде вектор поляризации может не совпадать по направлению с электрическим полем, поэтому не совпадут по направлению вектора и . Векторное соотношение (1.34) выполняться не будет. В этом случае связь и можно описать с помощью тензора диэлектрической проницаемости

D _i = _ij E _j.

Несмотря на изменение вида связи между напряженностью электрического поля и электрической индукцией, линейная зависимость между и сохранится. В однородной среде диэлектрическая проницаемость - скаляр, а в анизотропной - тензор второго ранга.

Чтобы рассчитать диэлектрическую восприимчивость, найдем вектор поляризации. Остановимся на однородной среде. Сначала рассмотрим одномерный случай, когда к узкой полоске вещества толщиной х и площадью S вдоль оси х приложено электрическое поле (см. рис.1.3). Под действием электрического поля в элементарном объеме толщиной х происходят такие процессы. Слева, при х = х₀ электроны, из слоя толщиной d покинут объем и в нем возникнет положительный заряд q (x₀). Справа, при х = х₀ + х, наоборот, в полоску войдут электроны, расположенные правее координаты х₀ + х на d. Если электрическое поле однородно, то заряд в полоске не изменится. Но если поле неоднородно, то в объем войдет больше электронов, чем из него выйдет, или наоборот, и в полоске возникнет электрический заряд. Подсчитаем его. Пусть в единице объема содержится N электрических зарядов величиной q. Тогда слева из объема выйдет заряд q (x₀),

q (x₀) = NqSd (x₀),

а справа в объем войдет заряд q (x₀ +x),

q (x₀ +x) = NqSd (x₀+x).

Итак, под действием электрического поля в объеме появится дополнительный заряд, величину которого можно выразить через проекцию вектора поляризации вдоль оси х

q_пол= q (x₀ +x) - q (x₀) =Sx = S [Nqd (x₀) - Nqd (x₀+x)] =

= - S [P_x (x₀+x) - P_x (x₀)].

Разделим обе части равенства на Sх и устремим х к нулю. Тогда

_Эпол = .

Если электрическое поле изменяется в произвольном направлении, то в левой части равенства будет сумма частных производных по трем осям:

_Эпол = = - div = - div (_э). (1.36)

Определена плотность поляризационного заряда. Чтобы найти заряд во всем объеме, последнее равенство нужно проинтегрировать по этому объему.

.

Воспользуемся теоремой Остроградского - Гаусса и заменим справа интеграл по объему от дивергенции на интеграл по охватывающей его поверхности от потока вектора и получим окончательное выражение для электрического заряда.

. (1.37)

Таким образом, в электрическом поле диэлектрик поляризуется, что можно описать с помощью дипольного момента. В неоднородном поле возникают неоднородности заряда, которые изменят уравнения Максвелла.

На вещество воздействует не только электрическое, но и магнитное поле. Магнитные свойства вещества обусловлены спиновым и орбитальным магнитными моментами электронов оболочки атома и магнитными моментами ядер. Классическая теория, которая основывается на работах Ампера, может объяснить только орбитальный магнитный момент. Спиновый момент объясняет квантовая теория.

Ампер считал, что молекулы магнетиков несут в себе замкнутые токи, которые создают магнитное поле, и подобны макроскопическим магнитам. Поле, создаваемое замкнутым током, можно описать с помощью элементарного магнитного момента.

,

где S - площадь фигуры, обтекаемой током I.

На орбитах вокруг атома всегда находится несколько электронов, каждый из которых имеет свой магнитный момент. В парамагнетиках эти моменты не скомпенсированы и существует суммарный момент атома . Энергия взаимодействия магнитного поля с моментом

e

пропорциональна напряженности поля и зависит от угла между ними. Она оказывается минимальной по величине (но не по модулю) тогда, когда магнитный момент установится по полю.

Рассмотрим поведение вещества с N атомами в единице объема. Если магнитного поля нет, то моменты располагаются хаотически и суммарный момент равен нулю. Теперь поместим вещество в магнитное поле. Здесь возможны два варианта. Молекулы вещества могут иметь или не иметь магнитный момент.

Если магнитный момент есть, то вещество называют парамагнитным. Магнитный момент парамагнетика ориентируются по полю и, чем сильнее магнитное поле, тем точнее будет эта ориентация. В первом приближении суммарный магнитный момент парамагнетика будет пропорционален величине внешнего поля,

. (1.38)

В диамагнетике суммарный момент атома равен нулю и описанный выше эффект отсутствует, однако магнитное поле действует и на него. Под действием изменяющегося во времени внешнего магнитного поля в оболочке атома возникает электрический ток. Согласно правилу Ленца этот ток будет создавать магнитное поле, противоположное внешнему. Магнитный момент наведенного тока направлен против поля, создавшего его. Величина магнитного момента в первом приближении пропорциональна амплитуде поля,

. (1.39)

Диамагнетизмом обладают и парамагнитные молекулы. Полный магнитный момент можно получить, складывая (1.38) и (1.39).

. (1.40)

Есть еще одна причина возникновения магнитного момента. Он возникает и тогда, когда спиновые моменты электронов, входящих в атом не скомпенсированы. Такая ситуация существует в атомах, у которых не до конца заполнены электронные оболочки. К ним относятся атомы элементов переходных групп: 3d элементы (группа железа), 4f элементы (лантаниды) и так далее. Если между спиновыми моментами существует сильное обменное взаимодействие, то у соседних атомов магнитные моменты ориентируются параллельно, в одну сторону у ферромагнетиков и в противоположные стороны у антиферромагнетиках и ферритов (ферримагнетиков). У антиферромагнетиков взаимодействующие моменты одинаковы и суммарный момент равен нулю, а у ферритов нет. Магнитное состояние вещества, как и в случае пара - и диамагнетиков, описывается с помощью магнитного момента. Выражение (1.40) справедливо и для этой группы веществ. Отличие лишь в величине магнитной восприимчивости и ее поведении в сильном магнитном поле. Ограничимся слабыми магнитными полями и будем считать, что (1.40) выполняется всегда.

Итак, к внешнему магнитному полю добавляется внутреннее с магнитным моментом . Магнитная индукция в веществе складывается из магнитной индукции в вакууме и магнитного момента вещества.

; (1.41)

где - абсолютная магнитная проницаемость вещества, а - относительная.

= , = 1 + _М. (1.42)

В анизотропной среде вектор магнитной индукции может не совпадать по направлению с магнитным полем. Связь и теперь описывается с помощью тензора магнитной проницаемости

,

но линейная зависимость между и сохранится. В однородной среде магнитная проницаемость - скаляр, а в анизотропной - тензор второго ранга.

Формально можно считать, что источник внутреннего магнитного поля - магнитные заряды. Рассчитать их можно точно так же, как были посчитаны электрические поляризационные заряды. Тогда по аналогии с (1.36) можно записать

_{м i} = - div = - div (_М), ₍1.43)

где _{М i -} плотность внутренних магнитных зарядов.

Теперь можно рассчитать магнитный заряд в объеме V.

q _m = . (1.44)

Поляризационный электрический и магнитный токи

Мы выяснили, что под действием электрического и магнитного поля в веществе могут возникнуть электрический и магнитный заряды. В ограниченном объеме величина заряда может меняться, если он покидает объем, пересекая его поверхность. При движении зарядов через поверхность, возникает ток. Плотность тока можно найти, воспользовавшись уравнением непрерывности.

Рассчитаем электрический поляризационный ток. Воспользуемся дифференциальной формой первого уравнения непрерывности (см.1.15). Будем считать, что изменяются только поляризационный заряд. Величину поляризационного заряда возьмем из (1.36).

; div - .

Дивергенция - дифференциальная операция. Константу во втором слагаемом можно занести под символ дивергенции и, учитывая, что производная суммы двух слагаемых равна сумме производных, получим:

;

.

Поляризационный ток отсутствует, когда электрическое поле не изменяется и постоянная А равна нулю.

. (1.45)

Аналогично из второго уравнения непрерывности в дифференциальной форме (1.25) и выражения для поляризационного заряда (1.43) получим:

. (1.46)

Электрические и магнитные заряды, возникающие за счет тока проводимости. Под действием электрического поля в среде с конечной проводимостью возникает электрический ток, плотность которого определяется законом Ома в дифференциальной форме (см. 1.5),

= _Э .

Ток всегда связан с изменением заряда во времени первым уравнением непрерывности, интегральная форма которого (см. 1.14):

.

Чтобы рассчитать заряд, проинтегрируем последнее выражение по времени, в течение которого этот заряд накапливается.

(1.47)

Токи и заряды в веществе

Поляризационные заряды 1.2.1)

; .

Заряды, связанные с током проводимости. (1.2.2)

Плотность поляризационных зарядов в веществе (1.2.3)

r_Эпол = - div (c_э ). r_Мпол = - div (c_М ).

Плотность зарядов, связанных с током проводимости (1.2.4)

.

Плотность поляризационных токов (1.2.5)

;

Плотность токов проводимости (1.2.6)

= _Э ; = _М.

Плотность электрических зарядов рассчитаем, воспользовавшись дифференциальной формой уравнения непрерывности (см.1.15).

. . (1.48)

Магнитный ток тоже будет создавать магнитные заряды проводимости. Для магнитного тока, как и для электрического, справедлив свой закон Ома.

= _М. (1.49)

Воспользуемся вторым уравнением непрерывности (см.1.24, 1.25) и рассчитаем магнитный заряд, связанный с магнитным током проводимости и его плотность:

(1.50)

. (1.51)

Учет токов и зарядов, появляющихся в веществе, в уравнениях Максвелла

Уравнения Максвелла связывают электрическое и магнитное поле с токами и зарядами. В веществе появляются дополнительные токи и заряды. Они изменяют поля. Уравнения Максвелла тоже изменяются. Рассмотрим последовательно эти уравнения.

Первое уравнение Максвелла - закон Гаусса в интегральной форме для вещества получим, дополнив первое уравнение (1.1.3) поляризационными токами и зарядами, величина которых определена первыми уравнениями в (1.2.1, 1.2.2).

).

Перенесем два последних слагаемых в левую часть и учтем, что = _Э:

. (1.52)

Воспользуемся выражением для электрического смещения в веществе (см.1.34)

для того, чтобы упростить (1.52). Переменим порядок интегрирования во втором слагаемом и учтем, что сумма интегралов равна интегралу от суммы. Окончательно закон Гаусса в интегральной форме запишется так:

(1.52)

Перейдем к дифференциальной форме закона. Для этого преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объему. Выразим электрический заряд через его плотность и, воспользовавшись произвольностью объема, приравняем подынтегральные выражения.

. (1.53)

Второе уравнение Максвелла - уравнение непрерывности магнитных силовых линий в интегральной форме для вещества можно получить из аналогичного уравнения для вакуума, учитывая внутренние магнитные заряды и заряды, возникающие из-за магнитного тока проводимости. Проведя те же расчеты, что и при выводе закона Гаусса для вещества, получим интегральную (1.54) и дифференциальную (1.55) форму закона.

. (1.54)

. (1.55)

Третье уравнение Максвелла - закон полного тока в среде запишем, воспользовавшись аналогичным законом в вакууме. К стороннему току и току смещения добавим ток проводимости и поляризационный ток.

. (1.56)

Воспользовавшись интегральной формой закона (1.56) получим дифференциальную. Для этого преобразуем интеграл по замкнутой кривой L в интеграл по охватываемой ею поверхности. Выразим электрический ток через его плотность и, воспользовавшись произвольностью поверхности, приравняем подынтегральные выражения.

. (1.57)

Четвертое уравнение Максвелла - закон электромагнитной индукции для вещества получим аналогично, воспользовавшись законом для вакуума и дополнительными токами, протекающими в веществе. Методика получения уравнения та же, что и для закона полного тока. Сначала получим дифференциальную форму закона, а затем перейдем к интегральной. Воспользовавшись первым уравнением (1.1.6) и вторыми уравнениями (1.2.5, 1.2.6), получим:

(1.58).

Проинтегрируем по поверхности, которая пронизывается током. По теореме Стокса перейдем от интеграла по поверхности к интегралу по контуру, ограничивающему эту поверхность в левой части уравнения. Интеграл от плотности стороннего тока по поверхности заменим током и окончательно получим

(1.59).

Задачи и упражнения

1.1 Подсчитать поток вектора = 1/r² сквозь сферическую поверхность радиусом r = a. Центр сферы совпадает с точкой r = 0.

Уравнения Максвелла в веществе

Уравнения Максвелла в интегральной форме для потоков (1.3.1)

Уравнения Максвелла в интегральной форме для циркуляций (1.3.2)

;

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме для дивергенций (1.3.3)

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме для роторов (1.3.4)

Связь между напряженностью и индукцией (1.3.5)

Проницаемости, диэлектрическая и магнитная (1.3.6)

= = (1 + ); = = (1 + _М).

1.2 Подсчитать поток радиус-вектора через сферическую поверхность, центр которой совпадает с началом координат.

1.3 Подсчитать поток радиус-вектора через поверхность прямого круглого цилиндра. Радиус окружности основания r, высота цилиндра h.

1.4 Подсчитать поток вектора = ху+2у+z² сквозь поверхность сферы радиусом 2 м.

1.5 Подсчитать циркуляцию вектора = - у/а + х/а по окружности радиусом а.

1.6. Подсчитать циркуляцию вектора = (1 - 2z) + (x + 3y + z) + (5x + y) по периметру треугольника, вершины которого находятся на координатных осях, а расстояние от начала координат до любой вершины равно 1.

1.7 Подсчитать поток вектора сквозь замкнутую поверхность S, если во всем объеме дивергенция вектора постоянна и равна d.

1.8 Вычислить напряженность электрического поля в латунной ленте толщиной d = 0,12мм ? = 10мм., по которой протекает постоянный ток 150мА. Удельная проводимость латуни 2,510⁷См/м.

1.9 Бесконечно длинный цилиндр, радиусом 150 миллиметров, равномерно заряжен с поверхностной плотностью заряда 10^-6 к/м². Цилиндр находится в воздухе. Определите напряженность электрического поля, создаваемого цилиндром на расстоянии 15 метров от его оси.

1.10 Постоянный ток 2,5 ампера протекает по проводнику, сечение которого представляет собой квадрат со стороной 4мм. Найдите приближенное значение магнитного поля на поверхности проводника, считая ее на этой поверхности постоянной.

1.11 Постоянный ток, плотность которого равна 0,1 А/мм² протекает по двум параллельным медным пластинам, расположенным на расстоянии 3 см друг от друга, в противоположных направлениях. Удельная проводимость меди 5,710⁷См/м. Напряжение между пластинами 50 вольт. Определите тангенциальную и нормальную составляющие вектора на поверхности пластин, считая поле между пластинами однородным.

1.12 В среде с удельной проводимостью 0,001См/м, диэлектрической проницаемостью = 4 и магнитной проницаемостью = 1 существует электрическое поле напряженностью = 2 sin (310t +/2). Определите амплитуду плотности тока проводимости и плотности тока смещения.

1.13. Покажите, что в системе из двух полых коаксиальных цилиндрических проводников, по которым проходит в противоположных направлениях одинаковый ток, магнитное поле будет отсутствовать на любом расстоянии от оси, превышающем радиус внешнего проводника.

1.14. Определите частоту, на которой амплитуда тока смещения и тока проводимости будут одинаковы.

В меди _э = 5,710⁷См/м, = 1; в сухой траве _э = 0.001См/м, = 4;

в морской воде _э = 410⁶См/м, = 80; в фарфоре _э = 10^-13См/м, = 6;

1.15. К нихромовой пластине (удельная проводимость 510⁵См/м) длиной 10 сантиметров и шириной 3 миллиметра, толщина которой в миллиметрах изменяется по закону: t = 1,25/ (12,5 - x), приложено переменное синусоидальное напряжение амплитудой 1В на частоте 100 МГц. Определить распределение вдоль пластины электрического поля и рассчитать заряд, связанный с током проводимости и накопленный в платине за четверть периода.

1.16. Решить задачу 1.15 со следующими изменениями. Материал, из которого сделана пластина - полистирол. Электрическая проводимость равна нулю, а диэлектрическая проницаемость = 2,5.

1.17. Жесткий провод, согнутый в полукруг радиусом r, вращается с частотой f в однородном магнитном поле с индукцией В. Чему равна частота и амплитуда напряжения и тока, наведенного в проводнике, если внутреннее сопротивление вольтметра равно R, а сопротивление остальных частей цепи мало. Поле создаваемое током значительно меньше поля В.

1.18. По круглому витку провода течет постоянный ток I. Радиус витка равен а. Другой такой же виток провода 2 помещен на оси, проходящей через центр первого витка на расстоянии R, причем R>>a. Плоскости витков параллельны. Затем виток 2 приводится во вращение с угловой скоростью вокруг одного из его диаметров. Какова наведенная в витке 2 ЭДС, если он разомкнут.

1.19. Покажите, что уравнения непрерывности следуют из уравнений Максвелла.

Размещено на Allbest.ru

...