Граничные условия на поверхностях раздела реальных сред

Размещено на http://www.allbest.ru/

Граничные условия на поверхностях раздела реальных сред

Неоднородная среда в общем случае имеет диэлектрическую и магнитную проницаемости и проводимость, являющиеся функциями координат. Но на поверхности раздела двух разных сред эти функции испытывают разрыв (скачок). Например, на поверхности раздела металл-воздух проводимость и диэлектрическая проницаемость меняются скачком. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме описывают ЭМ поле в обыкновенной точке пространства, поэтому на поверхности раздела сред, где нарушается непрерывность параметров среды, они теряют смысл и должны быть дополнены условиями, определяющими поведение векторов поля в точках скачка параметров сред. Эти условия устанавливаются с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме.

Пусть некоторый объем V заполнен веществом с параметрами , , и ограничен поверхностью S (рис. 2).

а б

Рис.2. К выводу граничных условий

Векторы ЭМ поля внутри тела обозначим через , , , . Тело находится в среде с параметрами , , . Векторы поля в среде обозначим через , , , . Поверхность S есть поверхность раздела сред.

Выделим у поверхности S некоторый элементарный объем цилиндрической формы с длиной образующей и контур с длиной боковой стороны , такие, что часть и часть находятся в среде, а другие их части -- в объеме V. Считаем, что и -- точки наблюдения ЭМ поля расположены соответственно в объеме и в среде. Тогда с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме можно связать векторы поля в точках и в точках . Если затем положить , то точки и стремятся на поверхность S раздела сред, т.е. и , где .

1. Граничные условия для нормальных составляющих векторов поля

условие граничный поле вектор

Установим условия, определяющие поведение нормальных к границе раздела сред составляющих векторов поля. Для этого рассмотрим объем (рис. 2а). Обозначим через поверхность, образованную пересечением с границей раздела сред, а через , -- орты нормалей к торцам цилиндра. Считаем, что в каждой точке существует орт нормали .

Применим третье уравнение Максвелла в интегральной форме к объему , ограниченному поверхностями торцов , и боковой поверхностью цилиндра :

(1)

так как при имеем и поэтому интеграл по стремится к нулю. Учтем, что при , , .

Поскольку мало, то применяя теорему о среднем, можно вынести , | и из-под знака интеграла. Таким образом, сокращая на , получаем при

(2)

На границе раздела S реальных сред заряды не скапливаются, поэтому они не имеют особенности, они не являются поверхностными, т.е. при . Значит,

(3)

Применим к объему четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме:

,

где - фиктивные сторонние магнитные заряды

При имеем

AS'+AS'+AS6 (4)

Считаем, что на границе раздела реальных сред фиктивный магнитный заряд, как и электрический, не может быть чисто поверхностным, поэтому при . Значит,

(5)

Если -- некоторый вектор, то -- нормальная к S составляющая вектора. Поэтому имеем:

(6)

Это математическая формулировка граничных условий для нормальных составляющих векторов индукций: нормальные составляющие векторов индукций при переходе через поверхность раздела реальных сред непрерывны.

Для линейных изотропных сред:

,,,

Поэтому в соответствии с (6) нормальные составляющие векторов напряженностей поля имеют скачок на S:

(7)

2. Граничные условия для касательных составляющих векторов поля

Найдем граничные условия для касательных составляющих векторов напряженностей поля. Для этого сначала применим интегральную форму первого уравнения Максвелла к контуру (рис. 2б). Пусть и -- орты нормали и касательной к поверхности S в точке (предполагаем, что нормаль и касательная в каждой точке существуют). Введем в точке орт такой, что . Считаем, что на контур натянута поверхность и .

При имеем: .

Интеграл по замкнутому контуру представляется в виде суммы интегралов по частям контура , и двух интегралов по боковым сторонам . Но если , то два последних интеграла стремятся к нулю. В интеграле правой части равенства при малом можно воспользоваться теоремой о среднем и вынести плотность полного тока из-под знака интеграла. Таким образом, получаем

(8)

Применим к контуру второе уравнение Максвелла в интегральной форме с учетом заданной плотности стороннего магнитного тока

,

где - фиктивные сторонние токи

При при тех же условиях, получаем

(9)

В реальных средах на поверхности раздела и не обращаются в бесконечность (не имеют особенности), поэтому их произведения на при стремятся к нулю. Применяя теорему о среднем и сокращая результат на , имеем

Если -- некоторый вектор, то -- определяет касательную к поверхности S составляющую этого вектора. Таким образом, последние равенства дают математическую запись граничных условий на поверхности раздела сред

(10)

т.е. касательные составляющие векторов напряженностей электрического и магнитного полей остаются непрерывными при переходе через поверхность раздела реальных сред. Для комплексных амплитуд получаем:

(11)

3.Граничные условия на поверхности идеально проводящего тела

Если тело объема V -- металл, то его проводимость велика. При построении математической модели предполагают, что , т.е. телу присваивают свойства идеального проводника, в котором ЭМ поле не может существовать -- оно вытесняется в бесконечно тонкий слой у поверхности S . Надо установить граничные условия на S. Тело находится в изотропной непроводящей среде.

Пусть . Тогда при и . В плотности объемных электрического и стороннего магнитного зарядов у поверхности S выражаются произведениями соответствующих плотностей поверхностных зарядов и - функции, т.е. и (фиктивный сторонний магнитный заряд) имеют особенности при . Так как по определению ( -- физически бесконечно малый объем), то

где -- плотность поверхностного электрического заряда.

Тогда . Аналогично, . Таким образом, получаем граничные условия на поверхности идеального проводника

(12)

Если , то и, следовательно,

, т.е. (13)

Устанавливаем поведение касательных к поверхности составляющих векторов Е и Н. Электрический и магнитный токи смещения через поверхность , опирающуюся на контур , при стремятся к нулю, так как на S они не имеют особенностей. Но контур охватывает полный ток проводимости или сторонний магнитный ток. Итак, при при

, a , где v -- средняя скорость носителей заряда, (рис.3,б). Поскольку заряд сосредоточен на поверхности, то и , где J -- плотность поверхностного тока.

Аналогичным образом получаем: , где -- плотность поверхностного стороннего магнитного тока.

Таким образом, из находим

(14)

Эти условия показывают, что на идеально проводящем теле, расположенном в изотропной непроводящей среде, касательная составляющая вектора эквивалентна перпендикулярной ей составляющей плотности поверхностного электрического тока, а касательная составляющая вектора эквивалентна плотности стороннего поверхностного магнитного тока. Из последнего следует вывод: в математической модели оказывается возможным в качестве плотности поверхностного фиктивного стороннего магнитного тока задавать касательную составляющую вектора Е.

Отметим, что на идеально проводящем теле можно создать с помощью, например, щелей или отверстий в теле, в которых возбуждается ЭМ поле. Между кромками щелей возникает напряженность электрического поля, которую в (14) можно заменить плотностью поверхностного магнитного тока.

Если сторонние токи на теле отсутствуют, то получаем граничные условия

(15)

где JB -- плотность вторичного (индуцированного) поверхностного электрического тока

С помощью (15), можно получить для линейных изотропных непроводящих сред важные условия, определяющие поведение векторов Н и Е у поверхности идеально проводящего тела. Расположим начало декартовой системы координат в некоторой точке локально у плоской поверхности раздела сред и направим ось z перпендикулярно этой поверхности (рис. 3,б). Тогда и касаются поверхности в этой точке. Вне сторонних источников

.

Но на поверхности, т.е. при z = 0, касательные к поверхности составляющие Е должны обращаться в нуль, значит, , . Поскольку производные по х и у -- это производные в поперечном относительно нормали направлении, то при z = 0. Таким образом, учитывая, что есть производная по нормали к S , а и -- это касательные к S составляющие вектора, имеем

, т.е. при (16)

Для комплексных амплитуд получаем

(17)

При отсутствии сторонних токов на S имеем

Итак, на поверхности идеального проводника нормальная составляющая вектора и касательная составляющая вектора обращаются в нуль, а касательная составляющая вектора имеет экстремум. Эти граничные условия позволяют утверждать, что силовые линии магнитного поля (замкнутые) подходят к идеально проводящему телу так, что только касаются его поверхности, сгущаясь у этой поверхности. Силовые линии электрического поля к идеальному проводнику подходят так, что всегда перпендикулярны его поверхности.

В линейной изотропной однородной непроводящей () среде при отсутствии сторонних зарядов на S имеем: т.е. . Если точка р находится на поверхности S (при z = 0), то поскольку при z = 0 ,

необходимо, чтобы выполнялось граничное условие при z = 0. Таким образом, на идеально проводящей поверхности тела . Это позволяет утверждать, что на поверхности идеально проводящего тела нормальная составляющая вектора имеет зкстремум.

Нормальная составляющая вектора претерпевает скачкообразное изменение.

5. Физическая сущность граничных условий

Выше было показано, что граничные условия для нормальных и касательных составляющих векторов электромагнитного поля имеют существенные различия. Выясним физические причины этого явления. Рассмотрим вначале граничные условия для составляющих вектора . Пусть имеются две изотропные среды с общей границей раздела, характеризуемые диэлектрическими проницаемостями и . Предположим вначале, что на границе раздела сред отсутствуют свободные поверхностные заряды

(). Под воздействием внешнего электрического поля обе среды поляризуются, причем вектор , характеризующий поляризацию, будет иметь разные значения в этих средах, так как . Если вектор , а следовательно, и вектор перпендикулярны поверхности раздела, то на ней появятся нескомпенсированные поверхностные заряды, связанные с молекулами вещества. На рис. показан случай, когда и соответственно вторая среда поляризуется легче, чем первая. Это символически отображено на рис3., а тем, что во второй среде больше молекулярных диполей, ориентированных параллельно вектору . Образующиеся на границе раздела нескомпенсированные поверхностные заряды в рассматриваемом примере являются положительными (рис.3а). Если векторы и параллельные поверхности раздела, то такие заряды не возникают (рис.3б).

Очевидно, что при произвольной ориентации вектора (или ) у границы раздела величина появляющихся на ней нескомпенсированных поверхностных зарядов определяется изменением значений нормальной составляющей вектора при переходе через границу раздела.

Выберем на поверхности раздела сред некоторую точку и рассмотрим поведение составляющих вектора при переходе через границу раздела. Электрическое поле в рассматриваемой точке складывается из первичного поля, вызвавшего поляризацию сред, и вторичного поля, создаваемого поляризационными зарядами, что касательная составляющая напряженности дополнительного электрического поля непрерывна, а нормальная имеет разрыв. Складывая дополнительное поле с первичным полем и полем всех остальных поляризационных зарядов, получаем, что у полного поля в точке наблюдаемая нормальная составляющая вектора имеет разрыв , а касательная - непрерывна .

Очевидно, что наличие на границе раздела плотности свободных поверхностных зарядов не может нарушить непрерывность касательной составляющей вектора , но приводит к изменению величины разрыва его нормальной составляющей.

Рассмотрим теперь граничные условия для составляющих вектора . Пусть имеются две изотропные среды с общей границей раздела, характеризуемые магнитными процаемостями и . Предположим вначале, что на границе раздела отсутствуют поверхностные токи, обусловленные движениями свободных зарядов . Под действием внешнего магнитного поля обе среды намагничиваются.

Так как намагниченность сред различна , то эти эквивалентные поверхностные токи не компенсируют друг друга и суммарный поверхностный ток на границе раздела не равен нулю. Каждый элемент поверхностного тока создает вокруг себя замкнутые линии вектора . Нормальные к поверхности раздела составляющие этих элементарных полей попарно компенсируются, а касательные складываются. В результате у поверхности раздела в средах I и II появляются противоположно направленные магнитные поля и (см.рис.5а). Поэтому касательные составляющие суммарного вектора , определяемого суммой первичного и вторичного полей, имеют разные значения по разные стороны от границы раздела, т.е. . Нормальная составляющая суммарного вектора остается непрерывной .

Пусть теперь . Из изложенного очевидно, что поверхностные токи не приводят к разрыву нормальной составляющей вектора , т.е. граничное условие для этой составляющей остается прежним . Однако поверхностные токи изменяют величину разрыва касательной составляющей вектора .

Размещено на Allbest.ru