Электрические цепи

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Содержание

Лекция 1. Математические модели элементов электрических цепей

1. Способы описания свойств элементов электрических цепей

2. Сопротивление

3. Емкость

4. Индуктивность

5. Индуктивно связанная цепь, идеальный трансформатор

6. Активные элементы

7. Модели реальных пассивных элементов

8. Зависимые источники электрических сигналов

Контрольные вопросы

Лекция 2. Электрические цепи при гармоническом воздействии в установившемся режиме

1. Способы описания электрических цепей

2. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

3. Эквивалентные преобразования электрических цепей

4. Классификация электрических цепей

5. Воздействие, реакция, параметры и характеристики цепей

6. Основные свойства линейных цепей

7. Основные свойства нелинейных цепей

8. Основные задачи теории электрических цепей

9. Методы анализа (расчета) линейных цепей при гармоническом воздействии

Лекция 1. Математические модели элементов электрических цепей

1. Способы описания свойств элементов электрических цепей

электрический цепь трансформатор кирхгоф

Любая электрическая цепь состоит из отдельных элементов, в которых при протекании электрического тока происходят достаточно сложные энергетические явления, связанные с преобразованием электрической энергии. Для упрощения описания процессов, происходящих в реальных элементах, их считают идеальными, т.е. предполагают, что каждый элемент обладает лишь одним каким-либо свойством: либо поглощать электрическую энергию (пассивные элементы), либо накапливать ее (реактивные элементы), либо создавать (активные элементы).

Классификация элементов электрических цепей дана на рис. 3.1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рис. 3.1. 1 - элементы электрических цепей, 2 - пассивные элементы, 3 - активные элементы, 4 - сопротивление, 5 - емкость, 6 - индуктивность, 7 - взаимно-индуктивная цепь, 6 - источник тока, 8 - источник ЭДС.

Существует три способа описания свойств элементов электрических цепей:

1. Аналитический способ - в виде электрической характеристики (уравнения) элемента. Это зависимость между физическими величинами, определяющими параметр элемента. Например, для сопротивления I = U/R (рис. 3.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

2. Графический способ - это график аналитического выражения электрической характеристики. Например, для сопротивления эта вольт-амперная характеристика (ВАХ) приведена на рис. 3.3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

3. Параметром элемента, который определяется из электрической характеристики:

, например ,

где воздействие - электрическая величина, которая воздействует на элемент; отклик появляется в результате воздействия. Параметр есть отношение отклика к воздействию.

Рассмотрим подробнее свойства идеальных элементов электрических цепей.

2. Сопротивление

Сопротивление - идеальный элемент, которому свойственно только поглощение электрической энергии с преобразованием ее в тепловую, механическую или другую форму.

Условное обозначение приведено на рис. 3.4.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1. Электрическая характеристика участка, обладающего сопротивлением R, имеет вид

Для участка цепи, обладающего сопротивлением при протекании тока, на его выводах возникает напряжение, которое прямо пропорционально току. Эта характеристика называется вольт-амперной.

2. Параметром сопротивления является величина, которая называется сопротивлением и обозначается

.

Единица измерения сопротивления - ом [Ом]. Часто применяют кратные единицы: 10³ Ом = 1кОм (килоОм), 10⁶ Ом = 1МОм (мегаОм), 10⁹ Ом = 1 ГОм (гигаОм). Иногда вместо сопротивления пользуются параметром, который называется проводимостью: G = 1/R. Единица измерения проводимости - сименс [См].

3. Закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений на участке цепи, обладающем сопротивлением:

.

4. Закон Ома в комплексной форме устанавливает связь между комплексными амплитудами напряжения и тока ( и ) на элементе. Он записывается в виде уравнения = Z, где Z - комплексная величина, она называется комплексным сопротивлением элемента:

Z = .

Найдем соотношения (закон Ома в комплексной форме и комплексное сопротивление) для участка цепи, обладающего сопротивлением.

Считаем, что , отсюда .

Из закона Ома для мгновенных значений следует, что

, отсюда .

Тогда закон Ома в комплексной форме имеет вид

= Z_R, ().

Отсюда получим выражение для комплексного сопротивления

,

из которого следует:

а) комплексное сопротивление не зависит от частоты;

б) сдвиг по фазе между напряжением и током равен 0 (ц_и = ц_i).

Пусть, например, ток через сопротивление R = 2 Ом равен i(t) = 4cos(2р1000t + р/3) [А]. Его комплексная амплитуда равна I_m = 4e^jр/3 [А], а комплексную амплитуду напряжения на сопротивлении расcчитаем по соотношению U_m = I_m R = 4e^jр/3 2 = 8e^jр/3 [B]. При необходимости можно записать и выражение для мгновенного напряжения на сопротивлении:

u(t) = 8cos(2р1000t + р/3) [В].

5. Мгновенная мощность:

,

т.е. сопротивление поглощает электрическую энергию.

6. Активная мощность: , здесь cos ц = 0, P_S - полная мощность.

7. Реактивная мощность: , так как sin ц = 0.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

8. Реальным элементом, приближающимся по своим свойствам к сопротивлению, является резистор. Он представляет собой объем проводника (рис. 3.5) с высоким удельным сопротивлением с. Его параметром является сопротивление. Оно рассчитывается по формуле

,

где с - удельное сопротивление проводника, т.е. сопротивление проводника с единичными по длине гранями, l - длина проводника, S - площадь поперечного сечения.

3. Емкость

Емкость - это идеальный элемент, который способен накапливать и отдавать энергию в виде связанного с напряжением электрического поля.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Условное обозначение приведено на рис. 3.6.

1. Электрическая характеристика емкости С = f(u) характеризуется зависимостью накопленного заряда q от приложенного напряжения u, в случае линейной зависимости имеет вид

или [Ф].

Единица измерения емкости - фарада [Ф]. Часто пользуются единицами, которые составляют доли от фарады: 10-³ Ф = 1мФ (миллифарада); 10-⁶ Ф =1мкФ (микрофарада); 10-⁹ Ф = 1 нФ (нанофарада); 10-¹² Ф = 1 пФ (пикафарада).

2. Закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения.

.

Разрешим это уравнение относительно u_С(t), считая, что при t = 0 ток мгновенно изменяет свое значение:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

,

отсюда при t = +0 (рис. 3.7), получим:

,

где U_C(-0) - напряжение на емкости до скачка тока через емкость; U_C(+0) - напряжение на емкости сразу после скачка тока.

Это соотношение называется законом коммутации для емкости, т.е. при скачкообразном изменении тока через емкость напряжение на емкости мгновенно измениться не может, оно изменяется непрерывно.

3. Закон Ома в комплексной форме для емкости.

Считаем, что

,

отсюда .

Определим ток, используя закон Ома для мгновенных значений:

,

отсюда

= jщCU_me-^jц.

Здесь учтено, что

+.

Из записанного следует, что закон Ома в комплексной форме для емкости:

, или ,

а комплексное сопротивление емкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

.

Из последнего выражения следует:

а) - модуль сопротивления емкости зависит от частоты (рис. 3.8). Емкость имеет бесконечно большое сопротивление для постоянного тока (щ = 0);

б) ток опережает напряжение на 90, или напряжение отстает от тока на 90, т.е. = _и - _i = -90. Это следует из соотношения =е-^j90.

Пусть напряжение на емкости u(t) = 10 cos(2р1000t + р/6) [В].

Комплексная амплитуда этого напряжения имеет вид

U_m = 10e ^jр/6 [B].

При емкости С = 1мкФ комплексное сопротивление емкости

Z_C = (j2р1000)-¹.

По закону Ома в комплексной форме для емкости найдем комплексную амплитуду тока через емкость:

I_m = 2р10-² [A],

а затем и выражение для мгновенного тока

i(t) = 2р10-² cos(2р1000t + р/6) [В].

4. Мгновенная мощность:

.

Если , то емкость накапливает электрическую энергию, забирая ее от источника сигнала, напряжение на емкости возрастает, поэтому говорят, что емкость заряжается.

Если , то емкость возвращает энергию в цепь, т.е. сама является источником энергии, которую накопила, напряжение при этом на емкости уменьшается, и говорят, что емкость разряжается. Поэтому и называют емкость реактивным элементом.

5. Активная мощность:

,

так как ц = - 90.

6. Реактивная мощность:

,

где P_S - полная мощность.

7. Энергия, запасаемая емкостью, - это мощность, поглощенная за время t:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

.

8. Реальным элементом, приближающимся по своим свойствам к емкости, является конденсатор, его основным параметром является емкость. В простейшем случае он представляет собой две металлические пластины, разделенные диэлектриком (рис. 3.9).

Емкость такого конденсатора определяется выражением:

,

где е - диэлектрическая проницаемость, S - площадь пластины, d - расстояние между пластинами.

4. Индуктивность

Индуктивность - идеальный элемент, который способен накапливать и отдавать энергию в виде связанного с током магнитного поля.

Условное обозначение индуктивности приведено на рис. 3.10.

1. Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току, протекающему через индуктивность

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

.

Основной характеристикой индуктивности является зависимость (i), называемая вебер-амперной характеристикой. Для линейной индуктивности зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат .

Единица - генри [Гн].

2. Закон Ома для мгновенных значений.

При протекании электрического тока на индуктивном элементе:

.

Если ток постоянный, то .

Разрешим это уравнение относительно тока, считая, что при t = 0 напряжение на индуктивности мгновенно возрастает:

.

Отсюда следует,

.

Это соотношение называют законом коммутации для индуктивности. Оно означает, что при мгновенном изменении напряжения на индуктивности ток мгновенно измениться не может. Здесь учтено, что; I_L(-0) - ток через индуктивность до коммутации, I_L(+0) - ток через индуктивность после коммутации.

3. Закон Ома в комплексной форме и комплексное сопротивление индуктивности:

; .

Из записанного следует:

а) модуль комплексного сопротивления зависит от частоты (рис. 3.11);

б) . Это означает, что напряжение опережает ток на 90, т.е. = _u - _i = 90.

4. Мгновенная мощность:

.

Если P(t) > 0, то накапливается энергия; если P(t) < 0, то происходит отдача энергии.

5. Р_А = 0 .

6. Р_Q = UI = P_S.

7. Энергия, которую запасает электрический элемент:

 .

8. Реальным элементом, приближающимся к индуктивности, является катушка индуктивности. Она представляет собой спираль (рис. 3.12), выполненную из ряда витков тонкого провода; основным ее параметром является индуктивность.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рис. 3.11

Рис. 3.12

Индуктивность зависит от параметров витка, от шага намотки, от числа витков, от магнитной проницаемости материала (сердечника), введенного в катушку.

5. Индуктивно связанная цепь, идеальный трансформатор

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Идеальный трансформатор служит для преобразования (трансформации) переменного тока одного напряжения в переменный ток другого напряжения. Он состоит из двух индуктивно связанных катушек индуктивности (рис. 3.13), слева расположена первичная катушка индуктивности, справа - вторичная катушка индуктивности.

L₁ - первичная индуктивность, L₂ - вторичная индуктивность, M - коэффициент взаимной индуктивности.

Напряжения и токи в этом элементе связаны следующими отношениями:

, .

Каждое из напряжений состоит из двух слагаемых: первое обусловлено током через данную индуктивность, второе - через соседнюю.

Знак у второго слагаемого зависит от направления токов в индуктивностях, если токи направлены одинаково, в одном направлении (такое включение называется согласованным), то берется знак плюс, если токи направлены встречно (встречное включение), то берется знак минус.

Идеальный трансформатор - это такой элемент электрической цепи, который передает энергию без ее потери, т.е.

р₁ = u₁ i₁ = p₂ = u₂ i₂,

где p₁ - мощность, подводимая к первичной индуктивности, р₂ - мощность, отбираемая от вторичной индуктивности. В идеальном трансформаторе не происходит потери энергии при передаче сигнала через него. Напряжения u₁ и u₂ и токи i₁ и i₂ связаны соотношениями:

u2 = n u1, i1 = ,

где n - коэффициент трансформации. Он равен отношению числа витков вторичной обмотки щ₂ к числу витков первичной щ₁:

.

Если n > 1, то такой трансформатор называется повышающим (напряже-ние). Если 0 < n < 1, т.е. число витков во вторичной обмотке меньше, чем в первичной, то такой трансформатор называется понижающим (напряжение).

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

У реального трансформатора p₁ < p₂. Он представляет собой несколько обмоток, размещенных на общем замкнутом сердечнике, выполненном из магнитомягкого материала для увеличения магнитной связи (рис. 3.14.).

6. Активные элементы

1. Идеальный источник ЭДС - это такой источник, который вырабатывает напряжение, величина которого не зависит от сопротивления нагрузки или тока нагрузки (рис. 3.15, а), т.е. U_н = E = const, при var (R_н, I_н). В обозначении «^» показывает направление увеличения потенциала. Реальным источником, приближающимся к идеальному источнику ЭДС, является аккумулятор.

а б в

Рис. 3.15

Идеальный источник ЭДС невозможен, так как мощность такого источника должна быть бесконечной. Рассчитаем I_н = U_н /R_н. Если R_н , то

P_ист = EI_н .

Для реальных источников ЭДС (рис. 3.15, б) необходимо учитывать их внутреннее сопротивление R_i, что приводит к зависимости напряжения на нагрузке от тока нагрузки

U_н = E - I_н R_i.

Зависимость U_н (I_н) называется внешней характеристикой источника ЭДС (рис. 3.15, в). Чем меньше R_i, тем ближе источник к идеальному источнику ЭДС. Идеальный источник ЭДС должен иметь нулевое внутреннее сопротивление R_i = 0.

2) Идеальный источник тока. Это источник, вырабатывающий ток I через сопротивление нагрузки, величина которого не зависит от напряжения на нагрузке и ее сопротивления R_н (рис. 3.16, а), т.е. I_н = I = const, при var (U_н, R_н).

Идеальный источник тока невозможен, так как мощность такого источника должна быть бесконечной. Рассчитаем U_н = I_нR_н. Если R_н, то P = I_нU_н.

а б в

Рис. 3.16

Для реального источника тока (рис. 3.16, б) необходимо учитывать его внутреннее сопротивление R_i, что приводит к зависимости тока через нагрузку от сопротивления нагрузки

I_н = I - I₁, I₁ = IR_н /(R_i+R_н).

Отсюда следует, что при увеличении сопротивления нагрузки часть тока I проходит через внутреннее сопротивление R_i, что приводит к уменьшению тока через нагрузку. Идеальный источник тока должен иметь внутреннее сопротивление R_i = , тогда I₁ = 0. На рис. 3.16, в показана внешняя характеристика источника тока.

7. Модели реальных пассивных элементов

В идеальных элементах электрических цепей протекает лишь один процесс преобразования энергии: либо поглощения энергии, либо накопления, либо выделения. Процессы, протекающие в реальных элементах, гораздо сложнее, чем в идеальных, поскольку в них протекает одновременно несколько процессов преобразования энергии. Модели реальных элементов называют схемами замещения, или эквивалентными схемами, они состоят из идеальных элементов (рис. 3.17), которые отражают процессы, протекающие в реальных элементах. При составлении эквивалентных схем учитывают конструктивные, технологические и частотные особенности.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Индексами «0» обозначены основные элементы схем, а индексами «S» -вспомогательные, которые учитывают дополнительные процессы, протекающие в элементах. Элементы с индексами S называют паразитными, так как они мешают работе основного. Например, для всех элементов на высоких частотах необходимо учитывать индуктивности выводов элементов, а также емкость, которая всегда существует между ними. Для емкости необходимо учитывать несовершенство диэлектрика между пластинами (R_S - сопротивление утечки), для индуктивности - резистивное сопротивление провода, которым намотана катушка индуктивности.

8. Зависимые источники электрических сигналов

Все активные элементы могут быть разделены на зависимые и независимые. Источники, которые создают напряжение и ток, величины которых не зависят от напряжения и тока на других участках электрической цепи, называются независимыми. Они рассмотрены в разделе 3.7. Источники, которые создают напряжение и ток, величины которых зависят от напряжения и тока на других участках цепи, называются зависимыми. Они приведены на рис. 3.18 и имеют следующие названия:

1) Источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН, рис. 3.18, а). Его параметром является K_u = U_2m /U_1m - коэффициент передачи по напряжению.

2) Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ, рис. 3.18, б). Его параметром является K_iu = U_2m /I_1m - коэффициент преобразования тока в напряжение.

3) Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН, рис. 3.18, в). Его параметром является K_ui = I_2m /U_1m - коэффициент преобразования напряжения в ток.

а б в г

Рис. 3.18

4) Источник тока, управляемый током (ИТУТ, рис. 3.18, г). Его параметром является K_i = I_2m /I_1m - коэффициент передачи по току.

Контрольные вопросы

1. Какие элементы цепи называются идеализированными.

2. Как связаны переменные ток и напряжение на емкости и индуктивности?

3. Какие элементы схем называют пассивными?

4. На каком элементе гармонический ток опережает напряжение на 90?

5. Чему равна энергия запасенная емкостью и индуктивностью?

6. По какому закону изменяется ток через емкость, если напряжение на нем линейно возрастает во времени.

7. Чему равно внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС?

8. Как называют схемы (модели) реальных элементов, составленные из идеализированных элементов?

9. Как связаны токи и напряжения в идеальном трансформаторе?

Лекция 2. Электрические цепи при гармоническом воздействии в установившемся режиме

1. Способы описания электрических цепей

Элементы, соединенные определенным образом и предназначенные для протекания электрического тока, называются электрической цепью.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Электрическая цепь графически представляется электрической схемой (рис. 4.1), моделью. Электрическая схема показывает все элементы, входящие в электрическую цепь, в виде их условных обозначений и порядок их соединения между собой.

С точки зрения расположения элементов электрической цепи, они описываются следующими топологическими понятиями.

Узел - точка соединения двух и более ветвей. В схеме, представленной на рис. 4.1, 7 узлов (у = 7). Узлы, в которых соединяются 2 элемента, называются устранимыми. Узлы, в которых соединяются более 2 элементов, называются неустранимыми. В данной схеме 4 неустранимых узла.

Обычно интерес представляют независимые узлы. Это узлы, которые отличаются, по крайней мере, на одну ветвь. Их число подсчитывается как N_y = y - 1 = 3.

Ветвь - участок цепи между узлами, по элементам которого протекает общий для всех элементов ток. В схеме, представленной на рис. 4.1, 6 ветвей (b = 6).

Контур - замкнутый путь для протекания электрического тока. Обычно рассматриваются независимые контуры. Контуры называются независимыми, если они отличаются, по крайней мере, одной ветвью. Число независимых узлов на 1 меньше числа узлов в схеме. Число независимых контуров равно разнице между числом ветвей и числом независимых узлов +1. При топологическом анализе интересуются независимыми контурами, их число подсчитывается из соотношения N_k = b - y + 1.

Зависимости между током и напряжением в электрической цепи описываются с помощью законов Ома и Кирхгофа.

2. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Закон Ома

Устанавливает связь между током и напряжением на участке цепи.

Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС (рис. 4.2):

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

,

где Z - комплексное сопротивление участка цепи, - напряжение на данном участке цепи.

Закон Ома для участка цепи, содержащего источники ЭДС, представлен на рис. 4.3.

Закон Ома позволяет определить ток на этом участке цепи.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Члены алгебраической суммы берутся со знаком «+», если направления ЭДС и тока совпадают, и со знаком «-», если не совпадают.

- арифметическая сумма комплексных сопротивлений на данном участке, все члены суммы берутся со знаком «+».

.

Законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа (для узла): алгебраическая сумма комплексных амплитуд тока в узле равна нулю.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

При записи первого закона Кирхгофа (рис. 4.4) пользуются следующим правилом: токи, втекающие в узел, берутся со знаком «+», а вытекающие - со знаком «-»:

.

Второй закон Кирхгофа (для контура): алгебраическая сумма падений напряжений на пассивных элементах контура (рис. 4.5) равна алгебраической сумме источников ЭДС, входящих в контур:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа:

1) выбирают условно-положительное направление обхода элементарного контура;

2) члены суммы берутся со знаком «+», если ток через элемент и направление обхода совпадают, и со знаком «-» в противном случае;

3) слагаемые правой суммы берутся со знаком «+», если направление источника ЭДС и направление обхода совпадают, и со знаком «-» в противном случае.

3. Эквивалентные преобразования электрических цепей

Электрические цепи считают простыми, если они содержат только последовательное или только параллельное соединение элементов.

Участок цепи, содержащий и параллельное, и последовательное соединение элементов, называют сложным, или участком со смешанным соединением элементов.

Преобразования электрических цепей считают эквивалентными, если при их выполнении напряжения и токи на интересующих нас участках не изменяются.

При преобразовании сложных электрических цепей пользуются последовательным методом, т.е. последовательно преобразуют участки цепи, имеющие простое соединение элементов.

Эквивалентное преобразование схемы при последовательном соединении элементов

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рассмотрим комплексную схему замещения электрической цепи, состоящей из последовательного соединения отдельных элементов (рис. 4.6). Данная цепь представляет собой контур, у которого через все элементы протекает общий для всех элементов ток. Эквивалентно преобразуем схему к одному элементу, но так, чтобы напряжение и ток на выводах схемы сохранили свои значения. Это возможно, когда сопротивление исходной и эквивалентной цепи одинаковы. На основании закона Ома и второго закона Кирхгофа в комплексной форме можно записать уравнение электрического равновесия

.

Напряжение и ток для обеих схем одинаковы, когда

.

Вывод. При эквивалентном преобразовании при последовательном соединении элементов их комплексные сопротивления складываются.

1) Эквивалентное преобразование сопротивлений.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.7. Эквивалентно преобразуем сопротивления R₁ и R₂ к одному сопротивлению R_экв.

Учитывая, что Z_R = R, и полученное соотношение, имеем R_экв = R₁ + R₂.

2) Эквивалентное преобразование емкостей.

Рассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.8. Эквивалентно преобразуем емкости С₁ и С₂ к одной эквивалентной емкости С_экв.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Учитывая, что Z_С = 1/(jщC), и полученное соотношение, имеем

.

3) Эквивалентное преобразование индуктивностей.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рассмотрим электрическую цепь схема, которой приведена на рис. 4.9. Эквивалентно преобразуем индуктивности L₁ и L₂ к одной эквивалентной индуктивности L_экв.

Учитывая, что Z_L = jщL, и полученное соотношение, имеем L_экв = L₁ + L₂.

Эквивалентное преобразование схемы при параллельном соединении элементов

Рассмотрим комплексную схему замещения электрической цепи, состоящей из параллельного соединения отдельных элементов (рис. 4.10). Данная цепь содержит два узла, между которыми включены все элементы. Общим для всех элементов является напряжение на них. Эквивалентно преобразуем схему к одному элементу, но так, чтобы напряжение и ток на выводах схемы сохранили свои значения. Это возможно, когда сопротивление исходной цепи и эквивалентной цепи одинаково. На основании закона Ома и первого закона Кирхгофа в комплексной форме можно записать уравнение электрического равновесия

I = I₁+I₂+…+I_n, или (U/Z_экв) = (U/Z₁) + (U/Z₂) + … +(U/Z_n) .

Отсюда следует, что

(1/Z_экв) = (1/Z₁) + (1/Z₂) + … +(1/Z_n), или Z_экв = 1/[(1/Z₁) + (1/Z₂) + … +(1/Z_n)].

Учитывая, что (1/Z) = Y - комплексная проводимость элемента, можно записать

Y_экв = Y₁ + Y₂ + … + Y_n.

Вывод. При эквивалентном преобразовании при параллельном соединении элементов их комплексные проводимости складываются.

1) Эквивалентное преобразование сопротивлений.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.10. Эквивалентно преобразуем сопротивления R₁ и R₂ к одному сопротивлению R_экв.

Учитывая, что Z_R = R, и полученное соотношение, получим R_экв = R₁R₂/(R₁+R₂).

2) Эквивалентное преобразование емкостей.

Рассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.11. Эквивалентно преобразуем емкости С₁ и С₂ к одной эквивалентной емкости С_экв. Учитывая, что Z_С = 1/(jщC), и полученное соотношение, имеем C_экв = C₁ + С₂ .

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

3) Эквивалентное преобразование индуктивностей.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Рассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.12. Эквивалентно преобразуем индуктивности L₁ и L₂ к одной эквивалентной индуктивности L_экв.

Учитывая, что Z_L = jщL, и полученное соотношение, имеем L_экв = L₁L₂/(L₁+L₂).

Эквивалентное преобразование схемы при смешанном соединении элементов

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Такое преобразование выполняется последовательным методом, т.е. последовательно преобразуются участки цепи, имеющие простое соединение элементов. Рассмотрим такое преобразование на примере для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис. 4.13).

Эквивалентное сопротивление находим методом последовательных эквивалентных преобразований. Этот метод состоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис. 4.14:

а б в

Рис. 4.14

Эквивалентное преобразование источников электрических сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Любой источник электричес-кого сигнала может быть представлен одной из двух схем (рис. 4.15-4.16), поскольку при определенном выборе параметров элементов эти схемы эквивалентны, т.е. ток нагрузки I_н и напряжение на нагрузки U_н в этих схемах одинаковы.

Схему 1 можно заменить схемой 2, если параметры схемы 2 выбраны из условий: I = E/Z_i1, Z_i2 = Z_i1.

Схему 2 можно заменить схемой 1, если параметры схемы 1 выбраны из условий: E =I Z_i1, Z_i1 = Z_i2.

4. Классификация электрических цепей

В общем случае, когда схема электрической цепи неизвестна, недоступна или нас не интересует, ее изображают в виде прямоугольника с рядом выводов (полюсов) схемы, с помощью которых она соединяется с другими устройствами.

1. В зависимости от числа выводов (полюсов) электрические цепи делятся на двухполюсники, четырехполюсники, многополюсники (рис. 4.17)



Рис. 4.17

2. В зависимости от характера элементов, входящих в электрическую цепь, различают:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1) Линейные цепи. Это цепи, которые состоят только из линейных элементов, т.е. элементов, параметры которых не зависят от токов и напряжений на них. Все линейные элементы имеют линейные вольт-амперные характеристики (рис. 4.18).

Процессы в таких цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

2) Нелинейные цепи. Это цепи, которые содержат нелинейные элементы, т.е. элементы, параметры которых зависят от токов и напряжений на них. Все нелинейные элементы имеют нелинейные вольт-амперные характеристики (рис. 4.19). Процессы в таких цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

3) Параметрические цепи. Это цепи, в состав которых входят параметрические элементы, т.е. элементы, параметры которых изменяются во времени (например, микрофоны). Процессы в таких цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами.

3. В зависимости от соотношения длины электромагнитной волны л и геометрических размеров электрической цепи L различают цепи с сосредоточенными и распределенными параметрами.

л - это путь, который проходит волна за период T.

л = cT = c/ ,

где c - скорость света, - частота. Длина волны зависит от частоты сигнала.

а) Если л >> L, то цепи называются цепями с сосредоточенными параметрами. В них все процессы преобразования энергии сосредоточены в элементах.

В таких цепях токи и напряжения в различных сечениях цепи зависят только от времени и не зависят от координаты сечения х. Процессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями в полных производных.

б) Если л ? L, то цепи называются цепями с распределенными параметрами. В них элементы R, L, C необходимо рассматривать распределенными в пространстве.

Токи и напряжения в таких цепях зависят не только от времени, но и от координаты. Процессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

4. В зависимости от наличия в цепях активных элементов различают пассивные и активные цепи. Активные цепи содержат источники (активные элементы), а пассивные их не содержат. Активные цепи делят на автономные и неавтономные. Автономные цепи содержат независимые источники, а неавтономные содержат только зависимые источники.

Основные режимы электрических цепей

В зависимости от частоты выделяют следующие режимы работы цепей:

1) при постоянных ЭДС и токах;

2) при переменных ЭДС и токах.

В зависимости от характера протекающих в цепи электромагнитных процессов различают установившийся (стационарный) режим и переходной
(нестационарный) режим.

В зависимости от нагрузки различают четыре основных режима работы:

1) номинальный;

2) согласованный;

3) холостого хода;

4) короткого замыкания.

При номинальном режиме все устройства данной цепи работают в нормальных для них условиях.

Согласованным называют режим передачи от источника к приемнику наибольшего количества энергии или режим выделения в нагрузке наибольшей мощности.

Режим холостого хода возникает при отключении нагрузки, при обрывах цепи (). Режим короткого замыкания - при .

5. Воздействие, реакция, параметры и характеристики цепей

Большинство электрических цепей служат средствами связи для передачи сигналов от источника сигнала в нагрузку (рис. 4.20).

Рис. 4.20

Сигнал источника сигнала x(t) на входе цепи называется входным сигналом или воздействием.

Сигнал на выходе цепи y(t) называется выходным сигналом, откликом или реакцией цепи. В общем случае связь между откликом и воздействием представляет собой дифференциальное уравнение y(t) = F(x(t), a, b, c, ...), где a, b, c … - параметры элементов, входящих в электрическую цепь.

Если входной сигнал гармонический и характеризуется комплексной амплитудой и цепь линейна, то откликом будет являться также гармонический сигнал с комплексной амплитудой . При этом связь между комплексными амплитудами и имеет вид линейного алгебраического уравнения

,

где - параметр электрической цепи (рис. 4.21).

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Поскольку в состав цепей входят элементы, сопротивления которых зависят от частоты, то параметры цепей оказываются зависящими от частоты. Зависимость параметров цепи от частоты называют частотными характеристиками, или частичными функциями параметров цепи.

6. Основные свойства линейных цепей

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Свойство 1. В линейных цепях выполняется принцип суперпозиций, т.е. отклик линейной цепи на сумму воздействий равен сумме откликов на действие каждого воздействия в отдельности. Рассмотрим линейную цепь (рис. 4.21).

Если x(t) = x₁, то y = y₁= kx₁;

если x(t) = x₂, то y = y₂= kx₂;

если x(t) = x₁+x₂, то y = kx₁+kx₁ = y₁+y_2.

Свойство 2. В линейных цепях новых гармонических составляющих не возникает.

Рассмотрим линейную цепь вида у = kх. Пусть x(t) = A cos щ₀t + B cos Щt, тогда у(t) = kA cos щ₀t + kB cos Щt (рис. 4.22).

7. Основные свойства нелинейных цепей

Свойство 1. В нелинейных цепях принцип суперпозиции не выполняется. В качестве примера нелинейной цепи рассмотрим y = kx² (рис. 4.23).

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Если x(t) = x₁, то y = y₁ = kx₁²;

если x(t) = x₂, то y = y₂ = kx₂²;

если x(t) = x₁ + x₁, то y = kx₂² + kx₂² + 2kx₁x₂.

Слагаемое 2kx₁x₂ возникает в результате взаимодействия двух сигналов в нелинейной цепи. Его называют комбинационной составляющей.

Свойство 2. В нелинейных цепях происходит трансформация спектра, т.е. появляются новые гармонические составляющие.

На рис. 4.24 показаны спектры сигналов на входе и выходе цепи.

Рис. 4.24. Спектры сигналов: а - на входе, б - на выходе цепи

8. Основные задачи теории электрических цепей

Основных задач две.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1) Задача анализа электрической цепи состоит в отыскании откликов y_i(t), т.е. токов и напряжений на интересующих нас участках цепи по заданной схеме и воздействиям x_j(t). Схематично задача анализа показана на рис. 4.25.

Задача анализа имеет единственное решение (она однозначна).

2) Задача синтеза электрической цепи состоит в отыскании схемы цепи (структуры цепи) и параметров ее элементов по заданным откликам и воздействиям. Схематично задача синтеза показана на рис. 4.26.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Задача синтеза сложнее задачи анализа и обычно неоднозначна, т.е. можно создать ряд схем с одной и той же функцией цепи. Окончательный вариант схемы выбирается на основе дополнительных требований к ней.

Например:

1) Синтезировать схему при минимальной стоимости ее деталей;

2) синтезировать пассивную схему, используя только элементы R и C.

9. Методы анализа (расчета) линейных цепей при гармоническом воздействии

в общем случае расчет (анализ) электрических цепей сводится к отысканию токов во всех ветвях схемы. При гармоническом воздействии в основу всех методов расчета линейных цепей положен метод комплексных амплитуд (МКА). Возможность применения МКА основана на том, что в линейных цепях новых гармонических составляющих не возникает, а потому расчет цепей сводится к расчету амплитуд и начальных фаз токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, в то время как частота в любой точке цепи равна частоте входного сигнала.

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 4.27.

б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х(t) = X_m cos(₀t - _x) X_m = X_m e-^jx.

Рис. 4.27

2) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Y_m = Y_m e-^jy.

3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.

Y_m =Y_m e -^jy y(t) = Y_m cos(₀t - _y).

Основными методами анализа (расчета) являются:

1. Метод токов ветвей (МТВ).

2. Метод контурных токов (МКТ).

3. Метод узловых потенциалов (МУП).

4. Метод наложения.

Название метода дается в соответствии с тем, какая величина при составлении уравнений состояния принимается за неизвестную в данном методе расчета. Рассмотрим подробнее эти методы.

Метод токов ветвей (МТВ)

Данный метод основан на применении 1-го и 2-го законов Кирхгофа. За неизвестные величины в этом методе принимаются искомые токи во всех ветвях схемы. Для того чтобы задача имела однозначное решение для схемы, состоящей из b ветвей (b = N), необходимо составить N независимых уравнений.

Порядок решения данным методом.

1) Проводится топологический анализ схемы.

а) Во всех ветвях стрелками показывают положительное направление токов и нумеруют их I₁, I₂, …, I_N. Отсюда определяют число ветвей b = N.

б) Подсчитывают число узлов у и определяют число независимых узлов N_у = у - 1.

в) Подсчитывают число независимых контуров по формуле
N_k = b - у + 1. На схеме независимые контуры выделяют дугами. Стрелкой на дуге показывают положительное направление обходов элементов контуров. Эти контуры нумеруют. За положительное направление принимают направление по часовой стрелке.

2) По 1-му и 2-му законам Кирхгофа относительно токов ветвей записывают уравнения. Общее число уравнений составляет N_y + N_k = b, это означает, что записанная система относительно токов ветвей имеет однозначное решение. В общем случае для схемы из b = N ветвей составленные уравнения образуют систему линейных алгебраических уравнений N-го порядка:

где x_i - искомые токи ветвей; a_ji - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; в_i - постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.

3) Токи в ветвях находят по правилу Крамера

x_i=; ,

где - главный определитель системы; _i - определитель, получается из главного путем замены i-го столбца на столбец свободных членов в_i.

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.28). Определить токи во всех ветвях схемы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1) Проведем топологический анализ.

а) b = 3; б) y = 2, N_у =1; в) N_k = b - y + 1 = 2.

2. Запишем систему уравнений, составленную по методу токов ветвей.

I₁ - I₂ - I₃ = -I для узла 1;

Z₁I₁+ Z₂ I₂ + 0 I₃ = E₁ - E₂ для контура 1;

0 I₁+ Z₂ I₂ + Z₃ I₃ = E₂ для контура 2.

Метод контурных токов (МКТ)

Метод основан на 2-м законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют источниками ЭДС (рис. 4.29).

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Эта схема эквивалентна, если

а) E = IZ_i^I;

б) Z_i^II = Z_i^I.

1) Топологический анализ схемы.

а) Как и в предыдущем методе, определяют число ветвей b.

б) Определяют число узлов у.

в) Подсчитывают число независимых контуров N_k = b - y + 1.

Все независимые контуры обозначены дугами со стрелками на них, которые показывают положительное направление обхода.

Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: I_k1; I_k2; I_kNk.

За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.

2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений N_k = N_k порядка:

где I_ki - контурный ток i-го контура;

Z_ii - собственное сопротивление i-го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих в i-й контур;

Z_ji - сопротивление смежных ветвей между i-м и j-м контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «-», если они направлены встречно;

E_ki - контурная ЭДС i-ого контура. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в i-й контур. Контурная ЭДС E_ki берется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «-», если они направлены встречно.

3) По правилу Крамера находят контурные токи I_ki=.

...