1. Уравнения состояния идеального газа (производные формы):

,

,

,

,

,

где р - давление;

n - концентрация молекул;

k = 1,38 10^-23 Дж/К; - постоянная Больцмана;

T - абсолютная температура;

V - объём;

N - число молекул;

с - плотность газа;

м - молярная масса;

m - масса газа;

н - число молей;

R = 8,31 Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная.

2. Закон Дальтона:

,

где p - давление смеси газов, p_i - парциальное давление i - го компонента смеси газов.

3. Термодинамические процессы в идеальном газе постоянной массы:

а) изотермический, Т = const, ;

б) изобарный, p= const, ;

в) изохорный, V = const, .

Примеры решения задач

Задача 1. В баллоне объёмом 20 л находится аргон под давлением 1,0 МПа и температуре 300 К. После того как из баллона было взято 20,0 г аргона, температура в баллоне понизилась до 280 К. Определить давление газа, оставшегося в баллоне.

Дано: Решение: молекула газ кинетический теплопроводность

V = 20 л = 2,0·10^-2 м³ Для решения задачи воспользуемся

р₁ = 1,0 МПа = 1,0·10⁶ Па уравнением состояния идеального

Т₁ = 300 К газа, применив его к начальному и

Т₂ = 280 К конечному состояниям газа:

Дm = 20,0 г = 2,0·10^-2 кг

, (1)

р₂ - ? . (2)

Из уравнений (1) и (2) выразим m₁ и m₂ и найдём их разность:

,

откуда находим

. (3)

Проверку решения проведем по размерности физических величин. В правую часть вместо символов величин подставим их единицы измерения. В правой части два слагаемых. Первое из них имеет размерность давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых - давление, а второй - безразмерный. Проверим второе слагаемое:

.

Вычисления произведём по формуле (3) с учётом, что для аргона кг/моль.

Ответ: 875 кПа.

Задача 2. В сосуде находится смесь 14,0 г азота и 16,0 г кислорода при температуре 300 К и давлении 8,3 кПа. Определить плотность этой смеси, считая газы идеальными.

Дано: Решение:

Для каждого компонента в смеси

газов можно записать уравнения

состояния:

, (1)

. (2)

Давление смеси равно (по закону Дальтона). Суммируя (1) и (2), с учётом закона Дальтона найдём объём газа

.

Для плотности смеси находим

.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: 0,1 кг/м³.

Задача 3. Поршневым воздушным насосом откачивают баллон объёмом 10,0 л. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объём 0,4 л. Через сколько циклов давление в баллоне уменьшится от 0,1 МПа до 0,1 кПа? Процесс считать изотермическим, газ - идеальным.

Дано: Решение:

V = 10 л = 1,0 10^-2 м³ Для изотермического процесса в первом

ДV = 0,4 л = 0,4 10^-3 м³ и следующих циклах можно записать

р₀ = 0,1 МПа = 1,0 10⁵ Па ,

р_N = 0,1 кПа = 100 Па ,

Т = const -----------------------

N - ? .

Получаем рекуррентную формулу

, (1)

где N - число циклов. Прологарифмировав соотношение (1), получим для числа циклов

. (2)

Правая часть (2) содержит отношения однородных величин и является безмерной.

Вычисления:

Ответ: 176 циклов.

Задача 4. Идеальный газ совершает процесс, в котором давление изменяется в зависимости от объёма по закону p=p₀-бV², где p₀=0,1 МПа, б=1,0·10⁷ Па?моль²/м⁶. Количество вещества газа равно 1 моль. Определить максимальную температуру газа в процессе.

Дано: Решение:

р = р₀ - бV² Найдём зависимость . Для этого

р₀= 0,1 МПа = 10⁵ Па воспользуемся уравнением состояния для

б = 1,0·10⁷ Па?моль²/м⁶ одного моля газа

Т_max - ? .

Исключая давление, получим

. (1)

Из условий

находим максимум функции T(V). Получается, что в области положительных значений V и Т зависимость (1) при объёме моля газа

имеет максимальную температуру, равную

.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: 465 К.

Задачи для самостоятельного решения

1.1. Определить число молекул водорода в объёме 1,55 л при температуре 27 °С и давлении 750 мм рт. ст.

1.2. Определить концентрацию и плотность азота при температуре 15 °С и давлении 10^-4 мм рт. ст.

1.3. Определить массу одной молекулы: азота (N₂), аммиака (NH₃), ацетилена (C₂H₂), ацетона (CH₃COCH₃).

1.4. Сколько молекул содержится в 22 г водорода?

1.5. Сколько молекул газа находится в колбе объёмом 2 л при давлении 0,66·10⁵ Па и температуре 17 °С.

1.6. Плотность некоторого газа при нормальных физических условиях (р = 760 мм рт. ст., t = 0 °С) составляет 88,15 г/м³. Определить молярную массу газа.

1.7. Масса кислорода 0,02 кг, температура 40 °С. Какое давление оказывает кислород на стенки сосуда объемом 200 л?

1.8. Давление кислорода 2·10⁵ Па, плотность 1,2 кг/м³. Определить температуру.

1.9. Определить массу метана (СН₄), который содержится в баллоне объемом 15 л при давлении 10⁶ Па и температуре 27 °С.

1.10. Определить давление, оказываемое 1 кг азота на стенки сосуда объемом 1 м³, при температуре 27 °С.

1.11. Баллон ёмкостью 12 л наполнен азотом при давлении 8,1·10⁶ Па и температуре 17 °С. Какое количество азота находится в баллоне?

1.12. На сколько уменьшится масса воздуха в комнате объемом 50 м³ при повышении температуры в ней от 17 °С до 27 °С? Атмосферное давление остается постоянным и равным 760 мм рт. ст.

1.13. 716 мг органического соединения с формулой (С₃Н₆О)_n превращается при 200 °С и давлении 750 мм рт. ст. в пар объемом 242,6 см³. Определить число n.

1.14. Определить химическую формулу молекулы некоторого соединения углерода с кислородом, если 1 г этого вещества в газообразном состоянии создаёт в сосуде объёмом 1 л давление 0,56·10⁵ Па при температуре 27 °С.

1.15. Сколько электронов содержится в кислороде, который занимает при давлении 10⁶ Па и температуре 200 °С объём 1 л?

1.16. В баллоне объемом 15 л находится 96 г неизвестного газа при давлении 10⁶ Па и температуре 300 К. Определить химическую формулу газа, если в состав молекулы газа входят атомы водорода и углерода.

1.17. Определить плотность паров ртути при 420 °С и давлении 2,3 мм рт. ст. Молярная масса ртути 200 г/моль.

1.18. Определить подъёмную силу заполненного гелием аэростата, представляющего собой шар радиусом 6 м. Давление гелия и окружающего воздуха равно 760 мм рт. ст., температура 17 °С.

1.19. На сколько градусов надо нагреть воздух внутри воздушного шара, чтобы шар взлетел? Диаметр шара 10 м, масса его оболочки 10 кг. Атмосферное давление 760 мм рт. ст., температура окружающего воздуха 27 °С.

1.20. В баллоне находится полый стальной шарик радиусом 2 см и массой 5 г. Какое давление воздуха надо создать в баллоне, чтобы шарик находился в состоянии невесомости? Температура воздуха 20 °С. Считать, что для воздуха справедливо уравнение состояния идеального газа.

1.21. В сосуд, на дне которого лежит твёрдый шар радиусом 5 см, нагнетают воздух при температуре 27 °С. Когда давление в сосуде становится равным 2·10⁵ Па, шар поднимается. Определить массу шара.

1.22. При изобарном нагревании газа на 1 °С его объём увеличился на 1/335 часть начального объема. Определить начальную температуру газа.

1.23. До какой температуры нужно нагреть баллон объемом 1 л, содержащий 17,5 г водяного пара, чтобы баллон разорвался? Стенки баллона выдерживают давление не более 10⁷ Па.

1.24. Цилиндрическая трубка длиной 66 см наполовину погружена в ртуть. Верхний конец трубки закрывают пальцем и вынимают трубку из ртути. Часть ртути при этом вытекает. Какой длины столбик ртути остался в трубке? Атмосферное давление равно 750 мм рт. ст.

1.25. Определить плотность смеси 4 г водорода и 32 г кислорода при температуре 7 °С и давлении 700 мм рт. ст.

1.26. Узкая цилиндрическая трубка, закрытая с одного конца, содержит воздух, отделённый от наружного воздуха столбиком ртути длиной 15 см. При вертикальном положении трубки, когда закрытый конец находится вверху, длина столбика воздуха равна 30 см, когда закрытый конец находится внизу, длина столбика воздуха равна 20 см. Определить атмосферное давление.

1.27. Горизонтально расположенный цилиндр разделён подвижным поршнем на две части. В одной части находится 8 г кислорода, а в другой - некоторое количество гелия. Определить массу гелия, если он занимает 0,67 часть объёма всего цилиндра. Температура газов одинакова.

1.28. Горизонтально расположенный цилиндр разделён подвижным поршнем на две части. В одной части находится 3 г кислорода, а в другой - 17 г азота. Какую часть объёма всего цилиндра занимает водород?

1.29. В вертикально расположенном закрытом цилиндрическом сосуде с площадью основания 25 см² находится газ, разделённый поршнем массой 1 кг на два равных отсека. Масса газа под поршнем в два раза больше массы газа над поршнем. Определить давление газа в каждом отсеке. Трением в системе пренебречь, температура в обеих частях сосуда постоянна.

1.30. При нагревании газа в закрытом сосуде на 1 ⁰С, давление газа увеличилось на 0,2 %. Определить начальную температуру газа.

1.31. В баллоне находился газ при атмосферном давлении 10⁵ Па и температуре 10 °С. При открытом вентиле баллон нагрели, а затем вентиль закрыли и баллон остудили до начальной температуры. Давление газа в баллоне после этого стало равно 0,7 атм. На сколько градусов нагрели баллон?

1.32. Сколько молекул воздуха вышло из комнаты объёмом 120 м³ при увеличении температуры от 15 °С до 25 °С? Атмосферное давление 760 мм рт. ст.

1.33. Из баллона объемом 10 л вследствие неисправности вентиля вытекает водород. Начальная температура газа 7 °С, давление 5·10⁶ Па. Через некоторое время при температуре 17 °С манометр показал такое же давление. На сколько уменьшилась масса газа?

1.34. Определить молярную массу неизвестного газа, свойства которого соответствуют свойствам смеси 64 г кислорода и 8 г гелия.

1.35. Сухой воздух по массе состоит из азота (75,52 %), кислорода (23,15 %), аргона (1,28 %) и углекислого газа (0,05 %). Пренебрегая примесями других газов, определить молярную массу сухого воздуха.

1.36. В сосуде объёмом 2 м³ при температуре 100 °С и давлении 4·10⁵ Па находится смесь кислорода и 8 кг сернистого газа (SO₂). Определить парциальные давления газов.

1.37. Плотность смеси азота и водорода равна 0,3 кг/м³ при температуре 320 К и давлении 2·10⁵ Па. Определить концентрацию молекул водорода в смеси.

1.38. В закрытом сосуде емкостью 1 м³ находится 0,9 кг водяного пара и 1,6 кг кислорода. Определить давление этой смеси на стенки сосуда при температуре 600 °С.

1.39. В сосуде находится 14 г азота и 9 г водорода при температуре 20 °С и давлении 10⁵ Па. Определить молярную массу смеси и объём сосуда.

1.40. Определить массу водяных паров в 1 м³ воздуха при давлении 760 мм рт. ст., относительной влажности воздуха 60 % и температуре 25 °С. Давление насыщенного водяного пара при этой температуре равно 3167 Па.

1.41. В баллоне ёмкостью 2 м³ содержится смесь азота и окиси азота (NO). Масса смеси равна 14 кг, температура 300 К, давление 0,6·10⁶ Па. Определить массу окиси азота.

1.42. Плотность смеси азота и водорода равна 0,3 кг/м³. Какова концентрация молекул азота в смеси, если концентрация молекул водорода в смеси равна 4,2·10¹⁹ см^-3?

1.43. Молярная масса смеси кислорода и гелия равна 18 г/моль. Масса гелия 8 г. Определить массу кислорода в смеси.

1.44. В сосуде объёмом 10 л содержалась смесь 2 г водорода и 2 г кислорода. В результате реакции в баллоне образовалась вода. Определить парциальное давление водорода при 17 °С.

1.45. В сосуде находится смесь азота и водорода. При температуре Т и давлении р азот полностью диссоциирован на атомы, а водород остается двухатомным. При температуре 2Т и давлении 3Р, оба газа полностью диссоциированы. Определить отношение масс азота и водорода в смеси?

1.46. При комнатной температуре жидкая четырёхокись азота N₂O₄ частично диссоциирует в двуокись азота NO₂, которая превращается в газ. В сосуде объёмом 250 см³ находится 0,9 г N₂O₄ при температуре 27 °С и давлении 960 мм рт. ст. Определить степень диссоциации газа.

1.47. В результате диссоциации из одной исходной молекулы газа образуются две одинаковые молекулы газа. Определить степень диссоциации газа, если молярная масса образующейся смеси составляет 62,5 % молярной массы исходного газа?

1.48. Определить массу воздуха в колодце площадью сечения 2 м² и глубиной 6 м. Температура воздуха уменьшается в зависимости от глубины по линейному закону от 27 °С у поверхности до 7 °С на дне. Атмосферное давление 100 кПа.

1.49. Воздух находится под давлением 0,1 МПа между двумя одинаковыми горизонтальными пластинами. Температура возрастает линейно от 17 °С у нижней пластины до 117 °С у верхней. Объём пространства между пластинами 3 л. Определить массу воздуха между пластинами.

1.50. В результате диссоциации из одной исходной молекулы газа образуются две одинаковые молекулы газа. Степень диссоциации газа равна 60 %. Определить молярную массу образующейся смеси.

1.51. Давление воздуха внутри бутылки при температуре 17 °С равно 0,1 МПа. На сколько градусов нужно нагреть бутылку, чтобы пробка вылетела? Без нагревания пробку можно вытянуть, приложив силу 15 Н. Площадь поперечного сечения пробки 3 см².

1.52. Сколько качаний нужно сделать поршневым насосом с рабочим объёмом 1 л, чтобы повысить давление от 0,1 МПа до 0,3 МПа в сосуде объёмом 10 л?

1.53. За какое число качаний поршневым насосом с рабочим объёмом 1 л можно понизить давление от 0,1 МПа до 50 кПа в сосуде объёмом 10 л?

1.54. Объём идеального газа изменяется пропорционально давлению по закону V=бp, где б > 0. Во сколько раз изменится давление газа при уменьшении температуры от 327 °С до 27 °С?

1.55. Объём идеального газа изменяется пропорционально давлению по закону V=бp, где б > 0. Во сколько раз изменится объём газа при увеличении температуры от 400 К до 625 К?

1.56. В некотором процессе давление газа изменяется по закону p=бV², где б > 0. Определить начальную температуру газа, если после увеличения объёма в 1,2 раза температура газа оказалась равной 200 °С.

1.57. Давление газа изменяется по закону, где б > 0. Во сколько раз изменится температура газа при увеличении его объёма в 1,4 раза?

1.58. Определить наименьшее давление идеального газа в процессе, в котором температура изменяется по закону T=T₀+бV³, где Т₀=273 К, б=4·10⁹ К/м³, V - объём моля газа.

1.59. Определить максимальную температуру идеального газа в процессе, в котором давление изменяется по закону р=р₀-бV³, где р₀=0,1 МПа, б=2·10⁸ Па/м³, V - объём моля газа.

1.60. В левой части цилиндрического сосуда длиной 1 м, разделённого теплонепроницаемым поршнем, находится водород, а в правой - гелий. Объём гелия в 3 раза больше объёма водорода.

1.61. При нагревании гелия поршень сместился на 5 см. На сколько градусов изменилась температура гелия, если начальные температуры газов были одинаковы? Температура водорода поддерживается постоянной и равной 300 К.

II. ОСНОВЫ. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

2.2. Средняя квадратичная скорость молекул газа равна 500 м/с при давлении 4·10⁵ Па. Определить плотность газа.

2.3. Определить среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул газа, плотность которого при давлении 2·10⁵ Пa равна 0,8 г/м³.

2.4. Во сколько раз средняя квадратичная скорость теплового движения пылинок, взвешенных в воздухе, меньше средней квадратичной скорости молекул кислорода, входящего в состав воздуха? Масса пылинки 10^-8 г.

2.5. Два одинаковых сосуда содержат одинаковое число молекул кислорода. Сосуды соединены краном. В первом сосуде средняя квадратичная скорость молекул равна 400 м/с, во втором - 500 м/с. Какой будет эта скорость, если открыть кран, соединяющий сосуды?

2.6. При какой температуре средняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скорости на Земле?

2.7. При какой температуре молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость, как и молекулы водорода при температуре 100 K?

2.8. Колба объемом 4 л содержит некоторый газ массой 0,6 г под давлением 200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.

2.9. Смесь гелия и аргона находится при температуре 1 200 К. Определить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию атомов гелия и аргона.

2.10. Определить среднюю арифметическую скорость молекул газа, если их средняя квадратичная скорость равна 1 км/с.

2.11. Определить средние квадратичные скорости теплового движения молекул водорода, азота, кислорода при 0 °С.

2.12. Определить средний квадратичный импульс молекулы водорода Н₂ при температуре 27 °С.

2.13. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода равна средней квадратичной скорости молекул азота при температуре 100 °С?

2.14. На рисунке схематично изображена молекула кислорода. Момент инерции молекулы кислорода относительно оси О равен 19,2·10^-40 г·см³. Определить значение средней квадратичной частоты вращения молекулы кислорода при 27 °С относительно оси О.

2.15. Определить кинетическую энергию теплового движения всех молекул кислорода, занимающих объем 5,5 л при давлении 2·10⁵ Па. Энергией, приходящейся на колебательные степени свободы, пренебречь.

2.16. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, находится при температуре 300 К. Определить среднюю квадратичную угловую скорость вращательного движения молекулы, если ее момент инерции 2,1·10^-39 г·см².

2.17. Считать, что воздух состоит из молекул азота, кислорода, водорода и углекислого газа. Молекулы какого из газов обладают наибольшей средней скоростью?

2.18. Сравнить средние квадратичные скорости молекул двух газов с параметрами: a) p₁=600 кПа, р=1,2 кг/м³; б) Р₂=400 кПа, с₂=0,8 кг/м³.

2.19. При какой температуре средняя кинетическая энергия теплового движения атомов гелия будет достаточна для того, чтобы атомы гелия преодолели земное тяготение и навсегда покинули земную атмосферу?

2.20. Частицы гуммигута диаметром 10^-6 м участвуют в броуновском движении. Плотность гуммигута 1,2·10³ кг/м³. Определить среднюю квадратичную скорость частиц при 17 °С.

2.21. В момент взрыва атомной бомбы температура достигает 10⁷ °С. Считать, что при этой температуре молекулы полностью диссоциированы на атомы, а атомы ионизированы. Определить при этих условиях среднюю квадратичную скорость иона водорода.

2.22. Пользуясь функцией распределения Максвелла и определением относительной скорости u (относительная скорость равна отношению скорости молекулы х к наиболее вероятной скорости х_в), получить функцию распределения Максвелла в приведенном виде:.

2.23. Определить вероятность того, что какая-нибудь молекула кислорода при температуре 0 °С имеет скорость, точно равную наиболее вероятной скорости.

2.24. Перейти от функции распределения Максвелла по скоростям к функции распределения молекул газа по значениям энергии: , где е - кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

2.25. Доказать, что функция распределения Максвелла достигает максимального значения, если значение скорости молекулы равно значению наиболее вероятной скорости.

2.26. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не более чем на 1 %?

2.27. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от средней квадратичной скорости не более чем на 1 %?

2.28. Какая часть молекул азота при нормальных условиях имеет значения скоростей в интервале от 99 м/с до 101 м/с?

2.29. При какой температуре число молекул азота, обладающих скоростями в интервале от 299 м/с до 301 м/с, равно числу молекул азота, обладающих скоростями в интервале от 599 м/с до 601 м/с?

2.30. Сколько процентов молекул азота при температуре 280 К обладает скоростями в интервале от 500 м/с до 510 м/с?

2.31. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более чем на 10 м/с, при температуре 0 °С.

2.32. Водород находится при температуре 273 К. Определить отношение числа молекул водорода, обладающих скоростями в интервале от 2 000 м/с до 2 001 м/с, к числу молекул водорода, обладающих скоростями в интервале от 1000 м/с до 1001 м/с.

2.33. Определить температуру, при которой функция распределения молекул кислорода по скоростям имеет максимум при скорости 500 м/с.

2.34. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не более чем на 10 м/с при температуре 300 °С?

2.35. Определить температуру кислорода, при которой скоростям молекул 400 м/с и 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла.

2.36. Определить высоту горы, если атмосферное давление на ее вершине равно половине атмосферного давления на уровне моря. Температуру считать одинаковой и равной 273 К.

2.37. Определить показания барометра на высоте Останкинской телевизионной башни, равной 540 м. Температуру считать одинаковой и равной 280 К. Атмосферное давление на поверхности Земли равно 760 мм рт. ст.

2.38. При подъеме аэростата барометр изменил свое показание на 11 кПа. На какой высоте находится аэростат, если на поверхности Земли барометр показывал 0,1 МПа? Температуру воздуха считать одинаковой и равной 290 К.

2.39. Чему равна концентрация молекул воздуха на высоте 2 км над уровнем моря? Давление на уровне моря 101 кПа, а температура 10 °С. Изменением температуры с высотой пренебречь.

2.40. Пылинки массой 10^-10 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1 %. Температуру воздуха во всем объеме считать равной 27 °С.

2.41. У поверхности Земли концентрация молекул водорода почти в 10⁶ раз меньше, чем концентрация молекул азота. На какой высоте концентрации молекул водорода и молекул азота будут равны? Температуру воздуха считать одинаковой и равной 0 °С.

2.42. При наблюдении в микроскоп взвешенных в жидкости частиц гуммигута обнаружено, что концентрация частиц в одной фокальной плоскости в два раза больше их концентрации в другой фокальной плоскости, расстояние между которыми 40 мкм. Температура жидкости 17 °С. Диаметр частиц 0,4 мкм, а плотность гуммигута на 0,2 г/см³ больше плотности окружающей жидкости. Определить по этим данным число Авогадро.

2.43. Определить массу водяного пара, заключенного в столбе атмосферного воздуха сечением 1,0 м² и высотой 4,15 км. Температура воздуха во всех слоях постоянна и равна 15 °С. Парциальное давление паров воды на поверхности Земли 10³ Па.

2.44. Толщина слоя воздуха, в пределах которого концентрация взвешенных в воздухе пылинок изменяется не более чем на 1%, равна 4,2 мм. Определить массу пылинки. Температуру воздуха считать одинаковой и равной 300 К.

2.45. На высоте 123 км от поверхности Земли концентрации молекул водорода и азота равны. Определить отношение концентраций молекул водорода и азота у поверхности Земли.

2.46. При наблюдении в микроскоп взвешенных в воде частиц гуммигута обнаружено, что концентрация частиц в одной фокальной плоскости в два раза больше их концентрации в другой фокальной плоскости, расстояние между которыми 40 мкм. Плотность гуммигута 1,2 г/см³. Температура воды 290 К. Определить диаметр частиц.

III. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ