Электромагнитные волны в направляющих системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Электромагнитные волны в направляющих системах

1. Волновые уравнения для направляемых волн

волна электрический магнитный энергия

Рассмотрим произвольную бесконечно протяженную однородную направляющую систему, ориентированную вдоль оси . Будем считать, что направляющая система не вносит потерь.

В области, где отсутствуют сторонние источники, комплексные амплитуды векторов и , соответствующие волне, бегущей вдоль однородной линии передачи, могут быть представлены в виде

(1)

где (коэффициент фазы), и - координаты, изменяющиеся в поперечном сечении рассматриваемой линии передачи. Выбор конкретной системы координат зависит от формы поперечного сечения линии. Множитель соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси , а множитель - волне, бегущей в обратном направлении. Для определенности будем считать, что волна распространяется в положительном направлении оси Z.

Векторы и должны удовлетворять однородным уравнениям Гельмгольца (. С учетом формул (1) эти уравнения при и могут быть переписаны в виде

(2)

(3)

а оператор . Величину называют поперечным волновым числом.

Покажем, что в тех случаях, когда векторы и (оба или один из них) имеют продольные составляющие, нахождение поля направляемой волны может быть сведено к определению составляющих и , так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные. Проецируя уравнения Максвелла на оси и декартовой системы координат и учитывая, что в рассматриваемом случае дифференцирование по переменной эквивалентно умножению на , получаем

(4)

Система уравнений (4) позволяет выразить составляющие , , и через

и . После элементарных преобразований имеем

(5)

Система уравнений (5) связывает поперечные и продольные составляющие векторов поля в декартовой системе координат. Для выражения этой связи в произвольной системе координат перейдем к векторной форме уравнений (5).

Введем векторы

(6)

, (7)

связанные с и соотношением и . Подставляя а (6) вместо и их выражения из (5), приходим к равенству

,

которое может быть переписано в виде

, (8)

где оператор .

Аналогично доказывается равенство

(9)

Продольные составляющие и удовлетворяют уравнениям

(10)

вытекающим из (2).

Таким образом, для определения поля и гибридных волн достаточно найти составляющие и путем решения уравнений (10) с учетом краевых условий, соответствующих рассматриваемой направляющей системе, а для вычисления поперечных составляющих использовать равенства (5) или (8) и (9).

У ТЕМ-волн продольные составляющие векторов и отсутствуют (и ).

2. Общие свойства и параметры электрических, магнитных и гибридных волн

В случае электрических (и ), магнитных (,) и гибридных () волн постоянная отлична от нуля. Это следует, в частности, из равенств (8) и (9). Для каждой конкретной линии передачи она может быть определена в результате решения уравнений (10) и учета краевых условий, соответствующих этой линии. Постоянная зависит от формы и размеров поперечного сечения линии передачи и от типа распространяющейся волны, но не зависит от частоты.

Выражая коэффициент фазы р из (3), получаем

(11)

Так как , то в зависимости от частоты подкоренное выражение в (11) может быть положительным (при ), равным нулю (при .) или отрицательным (при ).

В первом случае параметр - действительное число и фазы составляющих векторов поля в фиксированный момент линейно зависят от координаты , что является признаком распространения волны вдоль оси с постоянной скоростью . Как будет видно из дальнейшего, распространение волны в этом случае сопровождается переносом энергии вдоль оси .

В третьем случае . Подкоренное выражение в (11) оказывается отрицательным, и . Знак в правой части последнего равенства выбран из физических соображений: при этом множитель и амплитуды составляющих векторов и экспоненциально убывают вдоль оси . Если принять , то амплитуды векторов поля будут возрастать с удалением от источников, что в рассматриваемой задаче физически невозможно. Фазы составляющих векторов поля в данном случае не зависят от координат: поле имеет характер стоячей волны и экспоненциально уменьшается вдоль оси . Переноса энергии вдоль линии передачи в этом случае не происходит. Подчеркнем, что экспоненциальное убывание поля вдоль линии передачи не связано с потерями энергии: рассматривается идеальная направляющая система, в которой потери отсутствуют.

Во втором случае параметр . Такой режим называют критическим. Частота , определяемая из условия , называется критической частотой:

(12)

Соответствующая этой частоте критическая длина волны

(13)

Выражая из (13) и подставляя в (11), получаем

(14)

Как видно, параметр в является действительной величиной, т.е. поле (1) представляет собой распространяющуюся волну, только при выполнении условия

(15)

Неравенство (15) можно переписать в виде

(16)

Таким образом, , и гибридные волны в идеальной линии передачи могут распространяться только на частотах, превышающих некоторую критическую частоту, определяемую формулой (12). Отметим, что значение зависит от формы и размеров поперечного сечения линии и типа волны.

Неравенство (15), а также (16) называют условием распространения волны в линии передачи.

По аналогии с обычным определением назовем длиной направляемой волны , распространяющейся в линии передачи, расстояние между двумя поперечными сечениями, в которых в один и тот же момент времени фазы составляющих вектора (или ) отличаются на . Очевидно также, что длина волны равна расстоянию, на которое поверхность равной фазы перемещается за период. Так как зависимость всех составляющих векторов поля от координаты определяется множителем , то

(17)

а фазовая скорость вычисляется по формуле

(18)

Рис. 1

Как видно, при длина волны в линии и фазовая скорость и гибридных волн больше соответственно длины волны и фазовой скорости волны, свободно распространяющейся в безграничной однородной среде без потерь с параметрами и . Отметим, что у и гибридных волн фазовая скорость зависит от частоты. Это явление называют дисперсией волн. При фазовая скорость равна бесконечности, при увеличении частоты приближается к скорости света (рис. 1).

Общие выражения для критической длины волны (13), критической частоты (12), коэффициента фазы (14), длины волны в линии (17) и фазовой скорости (18) одинаковы для и гибридных волн. Однако из этого не следует, что значения перечисленных параметров будут одинаковыми для этих волн. Критическая длина волны зависит от поперечного волнового числа (). В свою очередь, значение зависит от формы и размеров поперечного сечения линии передачи и от структуры поля распространяющейся волны. Структура поля и гибридных волн различна, поэтому в общем случае соответствующие данным волнам значения могут не совпадать. При этом для указанных волн не будут совпадать и значения параметров .

Перейдем к вычислению характеристических сопротивлений рассматриваемых волн. По определению характеристическое сопротивление волны равно отношению поперечных к направлению распространения составляющих векторов и .

В случае волн поперечные составляющие векторов и определяются формулами

(19)

(20)

получающимися из (8) и (9) при . Подставляя в (20) выражение для из (19), приходим к соотношению . Аналогичное равенство выполняется и для векторов и , где и - продольные составляющие векторов и , введенных формулами (1). Как видно, векторы и (а также и ) взаимно перпендикулярны. Из полученного соотношения вытекает следующее выражение для характеристического сопротивления волн:

(21)

где . При этом соотношение, связывающее поперечные составляющие векторов и в случае волн принимает вид

(22)

Характеристическое сопротивление волн зависит от длины волны (от частоты). При оно всегда меньше . На критической частоте (при ) . При уменьшении (т.е. при увеличении частоты от до бесконечности) возрастает от нуля до (рис. 2).

Аналогично вычисляется характеристическое сопротивление волн . Полагая в (8) и (9) , получаем

(23)

(24)

Подставляя выражение для из (24) в (23), приходим к равенству . Умножая векторно обе части этого равенства на орт и раскрывая двойное векторное произведение по формуле (П.31), получаем

(25)

(26)

Рис. 2

Как видно, в случае волн векторы и (и соответствующие им векторы и ) как и аналогичные им векторы в случае волн, взаимно перпендикулярны. Характеристическое сопротивление волн зависит от частоты. При оно всегда больше . При увеличении частоты от критической до бесконечности убывает от бесконечности до (см. рис. 2).

В области волн длиннее критической () характеристические сопротивления и волн являются чисто мнимыми величинами. Это означает что при поперечные составляющие векторов напряженностей электрического и магнитного полей и на 90°. Очевидно, что при этом комплексный вектор Пойнтинга принимает чисто мнимые значения, т.е. вдоль линии не происходит переноса энергии. Поле в линии при являвется чисто реактивным. Напомним, что все формулы данного раздела получены в предположении, что линия является идеальной (не вносит потерь).

В случае гибридных потерь () поперечные составляющие векторов и определяются общими формулами (8) и (9). Поэтому получить единое простое выражение для характеристического сопротивления не удается: его величина зависит и от линии передачи, и от структуры поля распространяющейся волны и при может быть как больше, так и меньше . На частотах, меньших критической (), характеристическое сопротивление гибридных волн также принимает чисто мнимые значения.

3. Общие свойства поперечных электромагнитных волн

Соотношения (8) и (9) были получены непосредственно из уравнений Максвелла. Они должны выполняться для любых направляемых волн, включая волны. Полагая в (8) и (9) и , приходим к равенствам и . Так как и , то эти равенства будут выполняться только при . При этом из (12) и (13) следует, что у волн и . Следовательно, в тех направляющих системах, в которых возможно распространение волн, эти волны могут существовать на любой частоте вплоть до . Поэтому в волны могут распространяться только в тех линиях передачи, в которых может протекать постоянный ток. Этому требованию удовлетворяют направляющие системы, состоящие не менее чем из двух изолированных друг от друга металлических проводников (двухпроводная, коаксиальная, полосковая, экранированная двухпроводная линии и др.). В полых металлических трубах с любой формой поперечного сечения, диэлектрических волноводах и других аналогичных системах распространение волн невозможно. Действительно, предположим, что внутри полой идеально проводящей трубы распространяется ТЕМ-волна. Линии магнитного поля в этом случае должны образовывать замкнутые кривые, лежащие в поперечных плоскостях. Из первого уравнения Максвелла следует, что они должны охватывать продольные линии токов проводимости и(или) смещения. Для существования продольного тока вектор должен иметь продольную составляющую . Однако у волн такой составляющей не может быть по определению.

Так как в случае волн , то коэффициент фазы, фазовая скорость и длина волны будут совпадать с аналогичными параметрами волны, свободно распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде:

(27)

(28)

(29)

Характеристическое сопротивление волны легко находится из уравнений (4). Полагая в этих уравнениях и , приходим к соотношениям, которые можно записать в виде векторного равенства

(30)

(31)

Как видно, совпадает с характеристическим сопротивлением волны, свободно распространяющейся в безграничной однородной среде с параметрами и .

Отметим, что равенства (22), (25) и (30) однотипны и отличаются только значениями характеристических сопротивлений. Эти равенства можно объединить в одну формулу:

(32)

где -характеристическое сопротивление волны, распространяющейся по линии передачи: для волны , для волны и для волны.

Полагая в уравнениях (2) , сокращая множитель и учитывая, что в случае волны и , получаем уравнения для векторов и :

и (33)

Поле, удовлетворяющее таким уравнениям, является потенциальным. Это означает, что решения уравнений (33) могут быть представлены в виде градиентов от некоторых скалярных функций, например:

(34)

где функция зависит только от поперечных координат и удовлетворяет уравнению Лапласа . Аналогичное представление для вектора можно не выписывать, так как векторы и связаны соотношением, аналогичным (9.30): .

В уравнения (33) не входит частота. Из этого следует, что функции и , определяющие структуру поля в поперечных сечениях линии, не зависят от частоты и могут быть найдены на основе решения рассматриваемой задачи при .

4. Скорость распространения энергии и групповая скорость

До сих пор рассматривались исключительно монохроматические волны. Однако реальные электромагнитные сигналы являются немонохроматическими: они состоят из конечного либо бесконечного числа монохроматических колебаний с различными частотами. В системах, в которых имеет место дисперсия волн, например линии передачи с использованием , или гибридных волн, диэлектрическая среда с потерями и др., фазовая скорость монохроматической волны зависит от частоты; проходя один и тот же путь, монохроматические волны разной частоты получают разные фазовые сдвиги. В результате изменяется сдвиг по фазе между колебаниями, образующими сигнал. Соответственно изменяется форма сигнала-сигнал искажается. Чем уже спектр сигнала, тем меньше разница между фазовыми скоростями отдельных монохроматических волн, тем очевидно меньше эти искажения.

Для характеристики перемещения немонохроматических сигналов вводят понятие групповой скорости, обозначая этим термином скорость перемещения максимума огибающей группы монохроматических волн, близких между собой по частоте.

Следовательно, максимум сигнала непрерывно перемещается вдоль оси Z со скоростью

(35)

По определению эта величина и является групповой скоростью. Индекс в (35) опущен, поскольку центральная частота щ₀ была выбрана произвольно. При выводе формулы (35) условием применимости 5 явля5ются медленное изменение коэффициента фазы вблизи частоты и узость спектра сигнала. При невыполнении этих условий влияние дисперсии становится весьма заметным, и сигнал в процессе распространения так сильно меняет свою форму, что само понятие групповой скорости теряет смысл.

В направляющих системах коэффициент фазы описывается выражением (14). Подставляя (14) в (40), находим групповую скорость направляемых волн:

(36)

Как видно, при у , и смешанных волн , а у волн

(37)

В окрестности максимума сигнала, очевидно, сосредоточена основная часть энергии. Поэтому скорость перемещения максимума сигнала, т.е. групповая скорость, характеризует скорость перемещения энергии электромагнитного поля сигнала по линии передачи. Так как сигнал предполагался узкополосным, то эта скорость должна мало отличаться от скорости распространения энергии v₃ монохроматической волны, т.е. Как показывают расчеты в линиях передачи закрытого типа и некоторых других направляющих системах без потерь . Поэтому скорость распространения энергии в идеальных линиях передачи можно определять по формуле (35) с учетом (37):

(38)

Как и следовало ожидать, для , и гибридных волн, и для волн. Зависимость от частоты для , и смешанных волн показана на рис. 2. При скорость распространения энергии равна нулю и по мере повышения частоты приближается к скорости света в данной среде.

Размещено на Allbest.ru