Режимы движения жидкости. Уравнения Рейнольдса

Размещено на http://www.allbest.ru/

РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА



1. Ламинарный и турбулентный режимы движения жидкости, число Рейнольдса и его критическое значение

Многочисленные экспериментальные исследования показали, что потери энергии при движении жидкости существенно зависят от характера движения частиц жидкости в потоке, от режима движения жидкости.

Еще в 1880 г. Д. И. Менделеев в работе «О сопротивлении жидкостей и воздухоплавании» указал на наличие различных видов движения жидкости, которые отличаются друг от друга характером зависимостей сил трения от скорости движения. Более подробно эти виды движения жидкостей были изучены английским физиком О. Рейнольдсом в 1883 г.

Наглядно особенности режимов движения можно наблюдать на специальной опытной установке, схема которой показана на рис. 1. К баку Б достаточно больших размеров, наполненному жидкостью, присоединена стеклянная труба Т; вход в трубу сделан плавным; в конце трубы установлен кран К для регулирования расхода потока. Измерение расхода выполняется с помощью мерного бака М и секундомера.

Над баком Б расположен сосуд С, наполненный раствором краски, плотность которого близка к плотности жидкости в потоке. По трубке Т1 краска вводится в поток. Расход краски регулируется краном Р.

Рис.1

При открытом кране К в трубе Т установится некоторая скорость потока (высота уровня жидкости в баке поддерживается постоянной). Если открыть кран Р, то в трубу Т начнет поступать краска. При малой скорости потока в трубе Т краска образует прямолинейную и резко выделяющуюся не смешивающуюся с окружающей жидкостью струйку. Заметного обмена частицами между окрашенной струйкой и окружающей ее жидкостью не происходит. Если ввести в жидкость краску несколькими струйками, то все они будут двигаться, не смешиваясь с остальной массой жидкости. Это свидетельствует о том, что в прямой стеклянной трубе Т при данном открытии крана жидкость движется отдельными не перемешивающимися между собой слоями. Линии тока при этом прямолинейны и устойчивы (рис. 2, а).

При некотором большем открытии крана окрашенная струйка начинает искривляться и становится волнообразной. Это может происходить только в результате изменений во времени (пульсации) векторов местных скоростей в потоке.

При увеличении скорости потока в трубе Т струйка распадается на отдельные хорошо видные вихри, происходит перемешивание окрашенной струйки со всей массой текущей жидкости (рис. 2, б).

Рис. 2

Движение жидкости, при котором отсутствуют изменения (пульсации) местных скоростей, приводящие к перемешиванию жидкости, называют ламинарным (от латинского слова lamina - слой).

Движение жидкости, при котором происходят изменения (пульсации) местных скоростей, приводящие к перемешиванию жидкости, называют турбулентным (от латинского слова turbulentus - беспорядочный).

Применяются также термины ламинарный режим движения, турбулентный режим движения.

При постепенном закрывании крана явление повторяется в обратном порядке. Однако переход от турбулентного режима к ламинарному происходит при скорости, меньшей той, при которой наблюдается переход от ламинарного движения к турбулентному. Скорость потока, при которой происходит смена режима движения жидкости, называется критической. Рейнольдсом было обнаружено существование двух критических скоростей одной - при переходе ламинарного режима движения в турбулентный режим, она называется верхней критической скоростью , другой - при переходе турбулентного режима движения в ламинарный режим, она называется нижней критической скоростью. Опытным путем доказано, что значение верхней критической скорости зависит от внешних условий опыта, постоянства температуры, уровня вибрации установки и т. д. Нижняя критическая скорость в широком диапазоне изменения внешних условий остается практически неизменной. В опытах было показано, что нижняя критическая скорость для потока в цилиндрической трубе круглого сечения пропорциональна кинематической вязкости и обратно пропорциональна диаметру трубы :

.

Коэффициент пропорциональности оказался одинаковым для различных и :

.



В честь Рейнольдса этот коэффициент был назван критическим числом Рейнольдса и обозначен .

Для любого потока по известным можно составить и вычислить число Рейнольдса и сравнить его с критическим значением . Если , то и режим движения жидкости ламинарный; если , то и режим движения, как правило, турбулентный. Однако создание специальных условий движения жидкости (плавный вход в трубу, изоляция от динамических воздействий и т.п.) позволяло в лабораторных условиях получать и наблюдать ламинарное движение в трубах при числах Re, доходивших до (40…50)103 и более. Но такое ламинарное движение очень неустойчиво, и достаточно воздействия малого возмущения, чтобы произошел переход в турбулентное движение.

Таким образом, в общем случае режим движения жидкости определяется безразмерным комплексом

,

составленным из четырех величин динамической вязкости , плотности жидкости , характерного геометрического размера живого сечения и средней скорости потока .

Этот комплекс называется числом Рейнольдса и обозначается символом Re.

Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам трения (вязкости).

Отнесенные к единице объема силы инерции, действующие в установившемся потоке, имеют порядок ; силы трения, также отнесенные к единице объема, - . Очевидно, что отношение указанных сил и дает число , где - характерный поперечный размер живого сечения.

Поскольку характерный размер живого сечения выбирается произвольно, число Рейнольдса имеет нижний индекс, указывающий выбранную характерную линейную величину. Чаще всего в качестве характерных линейных величин принимают диаметр трубы , гидравлический радиус или глубину жидкости в открытом русле (канале) .

Тогда

; ; .

Число в дальнейшем будем обозначать Re без индекса.

В расчетах обычно принимают для цилиндрических круглых труб =2320.

На конфузорных (сужающихся) участках труб значение >2320, а на расширяющихся участках (диффузор) <2320.

Для открытых русл

=580.

В опытах Рейнольдса было обнаружено, что переход ламинарного движения в турбулентное происходит не мгновенно и не одновременно по всей длине трубы. При числах , близких к (но меньше ), на отдельных участках трубы периодически возникают турбулентные области («пробки»), которые сносятся вниз по направлению движения. На месте возникновения «пробки» вновь восстанавливается ламинарное движение. Происходит перемежающаяся смена ламинарного и турбулентного движений в данном сечении. При дальнейшем увеличении числа участки турбулентного движения полностью заполняют трубу.

Коэффициент перемежаемости равен отношению времени, в течение которого в данном сечении наблюдалось турбулентное движение, ко всему времени наблюдений; если =0, движение ламинарное, если =1, движение полностью турбулентное.

При =2320 движение становится полностью турбулентным (=1) на длине более тысячи диаметров от входа в трубу.

В природе и технике турбулентное движение жидкости наблюдается чаще, чем ламинарное. Области ламинарного движения - движение вязких жидкостей типа масел по трубам и в механизмах, движение грунтовых вод (но оно может также быть и турбулентным), движение в капиллярах (в том числе и движение крови в живых организмах).

2. Турбулентные потоки. Осредненные скорости и напряжения. Пульсационные составляющие

Измерения местных скоростей турбулентного потока показали, что поле скоростей такого потока изменяется беспорядочно, хаотично; однако изменение местных скоростей носит ярко выраженный пульсационный характер - значения составляющих скорости «пульсируют» около некоторых осредненных значений.

Рейнольдс предложил рассматривать мгновенные значения параметров турбулентного движения в виде суммы осредненных (во времени) значений и пульсационных составляющих (добавок).

При этом мгновенные значения проекций скорости и напряжений записывают в виде

(6.2)

Все величины с чертой наверху представляют собой осредненные по времени значения параметров

где - интервал времени осреднения.

Пульсационные составляющие проекций скорости и напряжений (их называют также пульсационными добавками, пульсационными скоростями и напряжениями) определяются следующим образом:

При турбулентном движении пульсирующими величинами являются не только составляющие (проекции) скорости, но и нормальные напряжения , и касательные напряжения .

Значения осредненных во времени пульсационных добавок скорости и напряжений равны нулю:



Понятно, что записанные (для краткости) без индексов значения нормальных и касательных напряжений и их пульсационные составляющие (добавки) в каждом конкретном случае имеют необходимые индексы, характеризующие направления действия и площадки, к которым эти напряжения приложены.

При рассмотрении турбулентного движения принимается, что интервал времени осреднения достаточно велик, вследствие чего осредненное значение пульсирующей составляющей не изменяется, если выполнить повторное осреднение.

Пульсации мгновенных значений кинематических и динамических параметров обусловливают то обстоятельство, что в строгом понимании турбулентное движение является неустановившимся (даже если осредненные характеристики его не изменяются во времени).

Рис.3



Рис.4

При турбулентном движении местные осредненные скорости могут не зависеть от времени [установившееся осредненное турбулентное движение (рис.3)] или зависеть от времени [неустановившееся осредненное турбулентное движение (рис. 4)], но в обоих случаях мгновенные значения местных скоростей в точках отличаются от осредненных, т. е. пульсируют.

Если изменение во времени какого-либо параметра, например горизонтальной составляющей скорости в данной точке при установившемся осредненном турбулентном движении, изобразить графически (рис.6.3), то интеграл будет равен площади фигуры OABCDE, заключенной между кривой , т.е. ABCD, осью абсцисс ОЕ и ординатами ОА и ED, отвечающими началу и концу назначенного интервала времени .

Осредненное (по времени) значение отсюда будет равно указанному ранее:

.

Необходимо четко различать осредненную (по времени, в данной точке) и среднюю в данном живом сечении скорость (- расход, - площадь живого сечения).

Для оценки пульсационных составляющих (добавок) скорости вводится стандарт, равный среднеквадратичному отклонению пульсационных добавок:

Степенью (интенсивностью) турбулентности называют отношение среднеквадратичного отклонения пульсационной составляющей (добавки) скорости к характерной скорости потока (к осредненной местной скорости в данной точке, к средней по вертикали, к средней по живому сечению, к максимальной скорости). Обычно за характерную скорость принимают среднюю скорость потока, осредненную местную скорость в данной точке или динамическую скорость

,

где - гидравлический радиус; - гидравлический уклон.

Отнеся среднеквадратичное отклонение к средней скорости потока, имеем соответственно.

Исследования показывают, что наиболее общие результаты для описания пульсирующих скоростей при турбулентном движении получаются, если в качестве масштаба скоростей принять динамическую скорость, т. е. находить отношения, при этом получаются универсальные кривые распределения по радиусу трубы или по глубине открытого потока.

Турбулентность характеризуется также частотой пульсаций скорости. Опыты показывают, что при турбулентном движения наблюдаются довольно широкие спектры частот.

В большинстве процессов, происходящих при турбулентном напорном (в трубопроводах) и безнапорном (в каналах и реках) движении, определяющими являются низкочастотные пульсации.

3. Двухслойная модель турбулентного потока

Основной особенностью турбулентного режима движения является интенсивное перемешивание частиц жидкости (молей). Подчеркнем, что имеется в виду перемешивание именно молей, а не молекул жидкости. Интенсивность процесса перемешивания растет с увеличением числа Рейнольдса.

Рассмотрим поток жидкости в прямолинейной цилиндрической трубе круглого сечения (осесимметричный поток).

Исследованиями установлено, что процессы турбулентного перемешивания происходят по разному в различных частях поперечного сечения трубы. Современные представления о структуре потока в трубе при турбулентном режиме движения представим в виде приближенной двухслойной схемы (модели) (рис. 5).

Рис. 5

На твердой стенке (внутренняя поверхность трубы) скорости, в том числе и пульсационные, равны нулю. Вблизи твердой стенки находится весьма тонкий слой, толщину ее обозначим (на рис. 5 размер непропорционально увеличен). В этом слое преимущественное влияние имеют касательные напряжения, рассчитываемые по закону вязкого трения Ньютона (1.12). Поэтому рассматриваемый слой назван вязким подслоем потока.

В пределах вязкого подслоя скорость линейно увеличивается от нуля на стенке до некоторого значения на границе слоя.

Раньше считали, что в пределах этого тонкого слоя движение полностью ламинарное, пульсации в нем отсутствуют, и поэтому рассматриваемый слой называли ламинарной пленкой. Однако теперь установлено, что пульсации скорости, давления и касательного напряжения передаются и в вязкий подслой, так что говорить о полностью ламинарном характере движения в вязком подслое не следует.

Интенсивность пульсаций продольной скорости в нем может достигать 0,3 (это весьма большое значение для данного случая). Остальная часть поперечного сечения трубы занята турбулентным ядром потока, где и происходят интенсивные пульсации скорости и перемешивание частиц. Подчеркнем, что описанная двухслойная модель турбулентного потока - приближенная.

4. Уравнения Рейнольдса

Как уже указывалось, турбулентное движение жидкости характеризуется хаотичным беспорядочным случайным изменением скоростей и других гидродинамических параметров. Эти изменения носят характер нерегулярных пульсаций и потому допускают осреднение и представление поля любого гидродинамического параметра в виде суммы двух полей поля осредненного параметра и поля пульсаций параметра.

Пользуясь таким представлением, запишем по (2) проекции действительных местных скоростей через их осредненные значения и пульсационные добавки : , так же поступим и с давлением .

При этом учтем, что осредненные во времени пульсационные составляющие местных скоростей и давление равны нулю: , так как пульсационные составляющие - знакопеременные величины с равной вероятностью как положительных, так и отрицательных их значений.

Рейнольдс предложил, выполняли осреднение, придерживаться определенных правил. Если и - осредняемые зависимые переменные, a - одна из четырех независимых переменных , то ; ; ; ; , где повторное осреднение обозначено двумя чертами над осредняемой величиной.

Рассмотрим уравнения Навье - Стокса (5.8), сначала только первое из этих уравнений

Рассмотрим три последних члена в правой части, выражающих конвективное ускорение:



Так как для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид

,

то .

Выполнив аналогичные преобразования для конвективных членов в двух других уравнениях Навье - Стокса (5.8), получим уравнения Навье - Стокса в виде

(6.3)

Выполнив операции осреднения членов уравнений, получим



При дальнейших преобразованиях учтем, что

и т.д.

Так как , то получим

и т.д.

Для осредненного установившегося турбулентного движения получаем три уравнения Рейнольдса



Уравнение неразрывности является четвертым уравнением, входящим в систему уравнений осредненного установившегося турбулентного движения вместе с уравнениями Рейнольдса.

После осреднения уравнение неразрывности имеет вид

.

Каждый из членов, содержащих пульсационные составляющие скорости, можно записать в ином виде:

.

Перепишем уравнения Рейнольдса, изменив форму записи членов с пульсационными скоростями.

(6.4)

Члены вида , , имеют размерность напряжений. Таким образом, в левой части уравнений имеются члены как отражающие действие чисто вязкостных напряжений

,

так и содержащие напряжения, связанные с пульсациями скоростей, т. е. появляющиеся только при турбулентном режиме движения, например

.



Члены , , представляют собой нормалкчые турбулентные напряжения на площадках, перпендикулярных соответствующим осям, a , , - касательные турбулентные напряжения на тех же площадках.

Следует обратить внимание на знаки минус перед турбулентными напряжениями в уравнениях Рейнольдса. Касательные напряжения - положительные величины, пульсации скорости, в них входящие, разноименны. При положительном значении, например, добавка действующая на рассматриваемый элементарный объем (на частицу жидкости), будет отрицательной вследствие неизменности массы в этом объеме. Произведения (и других разноименных пульсационных составляющих скорости) - всегда отрицательные величины.

Таким образом, при турбулентном движении касательные напряжения могут быть представлены суммой вязкостных напряжений и касательных напряжений, появляющихся вследствие турбулентных пульсаций :

.

Турбулентные касательные напряжения выражаются формулой

,

при этом они подчиняются свойству взаимности: .

Полученная система является незамкнутой. Для того чтобы с помощью уравнений Рейнольдса можно было получить определенные результаты, необходимо замкнуть систему введением в нее дополнительных соотношений, устанавливающих связи между переменными, не использованные при составлении системы уравнений движения. Проблема замыканий уравнений Рейнольдса в общем виде не решена.

Обычно в качестве дополнительных соотношений используют зависимости между турбулентными касательными напряжениями и осредненными скоростями турбулентных потоков.

5. Различные теории турбулентности

В настоящее время существует несколько гипотез, позволяющих получить зависимости между турбулентными касательными напряжениями и осредненными скоростями турбулентных потоков. Эти гипотезы получили название теорий турбулентности.

Одной из наиболее распространенных теорий турбулентности является полуэмпирическая теория Л. Прандтля, предложенная им в 1925 г. Она основана на представлении о том, что при турбулентном перемешивании количество движения массы, переносимой в потоке за счет поперечной пульсационной составляющей скорости, остается неизменным на некотором пути, а затем изменяется скачком. Длина этого пути - так называемая длина пути перемешивания . Предполагается, что это расстояние проходит моль жидкости, не взаимодействуя с другими молями и сохраняя постоянным свое осредненное количество движения.



Рис. 6

После прохождения этого пути моль жидкости смешивается с жидкостью другого слоя, отдавая ей разницу количества движения. Длина пути перемешивания имеет аналог в виде длины свободного пробега молекулы в молекулярно-кинетической теории. Но при этом средняя длина пробега молекул мала по сравнению с размерами поперечного сечения, а размеры турбулентных вихрей (образований) могут быть сопоставимы с размерами сечения.

Длина перемешивания - геометрическая величина, которая характеризует внутреннюю структуру потока при турбулентном движении, ее рассматривают как один из масштабов турбулентности.

Рассмотрим турбулентный установившийся поток (рис.6.6). Ось ОХ совпадает с направлением осредненного движения.

Через площадку , выбранную в потоке нормально к оси OZ, переносится жидкость со скоростью . Масса перенесенной за время жидкости

.

Если продольная скорость этой массы до пересечения границы , а количество движения , то согласно гипотезе Прандтля значения этих величин остаются неизменными на пути , а затем изменяются. В теории Прандтля предполагается малой. На расстоянии от площадки осредненная скорость потока равна , а количество движения массы равно .

Применив теорему о количестве движения, придем к выводу, что на пути на перемещающуюся массу действовала продольная сила

или .

Эту силу называют силой турбулентного трения.

Модуль касательного напряжения

.

Для двухмерных равномерных потоков (рис.6.6) , , . В этом случае . Допуская, что и подставляя в предыдущее выражение для с учетом разноименности и , имеем:

.

Таким образом, теория Прандтля объясняет происхождение турбулентных касательных напряжений в уравнениях Рейнольдса обменом количества движения при перемешивании масс.

Осредненное значение имеет вид

, (6.7)

т. е. мы вновь получили такое же выражение для , что и (6) из уравнений Рейнольдса.

Далее Прандтль предположил, что величины и одного порядка

Так как , то

. (8)

Общее касательное напряжение при турбулентном режиме движения равно сумме чисто вязкостного напряжения и , при этом определяется по (1.12). Тогда

.

Знак плюс в первом члене соответствует увеличению скоростей при возрастании расстояния , отсчитываемого от стенки.

При ламинарном движении нет перемешивания в жидкости и



.

При развитом турбулентном движении, когда происходит интенсивное перемешивание в жидкости, второй член в (9) существенно больше, чем первый, и можно пренебречь. Тогда по (8)

.

Так как каждая из пульсационных составляющих скорости приближенно пропорциональна средней скорости, то для развитого турбулентного движения касательные напряжения растут пропорционально квадрату средней скорости (квадратичная область сопротивления) и обозначаются :

.

Когда значения сопоставимы со значениями , то общее касательное напряжение определяется по (9) и зависит от средней скорости и степени, меньшей чем вторая.

Предлагались и другие гипотезы для определения касательного напряжения . Буссинеск в 1877 г. предложил записывать турбулентное касательное напряжение по аналогии с вязкостным касательным напряжением в виде

, (8а)

где - коэффициент турбулентного обмена, называемый также виртуальной (кажущейся) вязкостью по аналогии с динамической вязкостью ; - кинематическая турбулентная вязкость [в отличие от кинематической (молекулярной) вязкости ]. Очевидно, что исходя из (8а) должна иметь вид

рейнольдс турбулентный ламинарный пульсационный

.

Как кинематическая вязкость так и динамическая турбулентная вязкость характеризуют статистические свойства турбулентности и зависят от механизма турбулентного перемешивания. Величины и существенно изменяются в пределах живого сечения как в трубах, так и в открытых потоках; .

Сведения о кинематической турбулентной вязкости важны при рассмотрении распределения взвешенных частиц (наносов) в потоке, а также при изучении других вопросов.

Академик М.Д. Миллионщиков предложил рассматривать турбулентную кинематическую вязкость состоящей из трех слагаемых:

,

при этом

.

Составляющая равна

,

где толщина вязкого подслоя.

Составляющая равна

,

где и - коэффициенты; - параметр, определяющий характерную высоту шероховатости

Исходя из этой гипотезы, М. Д. Миллионщиковым получены формулы для распределения скоростей и для коэффициента Дарси , хорошо согласующиеся с опытом.

По А. Н. Колмогорову в связи с проявлениями неустойчивости осредненного движения возникают турбулентные возмущения (вихри) первого порядка, т. е. самые крупные в данных условиях. Распад вследствие неустойчивости этих вихрей приводит к появлению более мелких вихрей, от которых появляются еще более мелкие вихри. И так вплоть до вихрей самого малого размера, в которых и происходит гашение энергии путем перехода ее во внутреннюю тепловую энергию (в теплоту). Меньше последних вихри не могут образоваться вследствие влияния вязкости. Такая картина структуры существует, если турбулентные вихри первого порядка (самые крупные) получают энергию из осредненного движения, а вихри последующих порядков получают энергию по каскаду друг от друга, от более крупных к более мелким соседним и так далее. Частота пульсации скорости для самых крупных вихрей - наименьшая, в более мелких вихрях частота пульсаций увеличивается по мере уменьшения их размеров.

А. Н. Колмогоровым получено выражение для внутреннего масштаба турбулентности, характеризующего размеры тех вихрей, где энергия потока переходит непосредственно в тепловую вследствие действия сил вязкости.

Внутренний масштаб равен

,

где - кинематическая вязкость; - рассеиваемая (переходящая в теплоту в единицу времени) удельная энергия, отнесенная к единице массы.

В безнапорных и напорных потоках вихри первого порядка сопоставимы с глубиной потока или с диаметром (радиусом) трубы, которые принимают в этих случаях за внешний масштаб турбулентности.

Так как турбулентное движение является случайным процессом, то его можно описать рядом статистических характеристик. Обычно используют корреляционные моменты, коэффициенты корреляции, спектральные функции, коэффициенты вариации (интенсивности турбулентности), коэффициенты эксцесса и т. д. Упрощенный анализ ограничивается сведениями о стандартах пульсаций, их интенсивности, частотах, законах распределения вероятностей пульсаций и о масштабах турбулентности.

Укажем, что теоретические работы (А. Н. Колмогоров и другие авторы) пока еще не приводят к рекомендациям для технических расчетов, хотя успешно объясняют закономерности механизма турбулентного движения. Поэтому здесь в технических приложениях используем решения, основанные на гипотезе Прандтля.

Размещено на Allbest.ru

...