Линейные электрические цепи синусоидального тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Линейные электрические цепи синусоидального тока

1. Достоинства синусоидального тока

синусоидальный ток напряжение

Генерирование синусоидального тока

Широкое практическое использование синусоидального тока началось с 1891 года, когда на международной электротехнической выставке русский электротехник Михаил Осипович Доливо-Добровольский продемонстрировал линию передачи переменного тока со всеми ее звеньями: генератором, трансформатором, асинхронным двигателем.

Синусоидальный ток имеет следующие преимущества перед постоянным:

- легкость и экономичность получения больших количеств энергии;

- легкость и экономичность с помощью трансформаторов изменения напряжения и передачи энергии на большие расстояния;

- легкость и простота получения вращающегося магнитного поля, необходимого для работы конструктивно самого простого асинхронного двигателя.

Наибольшее количество электротехнических устройств рассчитано на синусоидальный ток стандартной промышленной частоты - 50 герц. Синусоидальные токи высоких частот используются в технике связи, сверхвысоких частот - в радиотехнике и телевидении.

Синусоидальные токи возникают в цепях при действии в них синусоидальных ЭДС, источниками которых служат машинные генераторы промышленной частоты или ламповые генераторы для получения токов высокой и сверхвысокой частот.

Принцип получения синусоидальных ЭДС в генераторах переменного тока основан на законе электромагнитной индукции, согласно которому ЭДС, наводимая в проводящем контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур.

. (2.1)

Рис. 2.1. Рамка в однородном магнитном поле

Принцип работы генератора легко понять на примере вращения рамки в однородном магнитном поле с постоянной угловой скоростью .

Пусть в момент времени t = 0 рамка расположена горизонтально и как видно из рис. 2.1 магнитный поток, пронизывающий площадь рамки будет максимальным Ф_m. Если рамку повернуть на некоторый угол относительно горизонтальной плоскости, то площадь рамки будет пронизываться меньшим потоком

.

При равномерном вращении рамки с угловой скоростью угол поворота рамки в любой момент времени =t.

Таким образом, магнитный поток, пронизывающий площадь вращающейся рамки будет изменяться по косинусоидальному закону

. (2.2)

Подставляя 2.2 в 2.1 и производя операцию дифференцирования, получим

. (2.3)

т.е. при равномерном вращении рамки в магнитном поле, наводимая в ней ЭДС, изменяется во времени по закону синуса. В промышленных генераторах переменного тока вращается не рамка, а постоянное магнитное поле, создаваемое обмоткой ротора, которое пересекает неподвижные витки обмотки статора и наводит в них синусоидально изменяющуюся ЭДС.

Значения ЭДС, напряжений и токов в данный момент времени называются мгновенными и обозначаются строчными буквами e, u, i.

В общем случае синусоидально изменяющиеся во времени величины имеют вид:

,

, (2.4)

,

где E_m, U_m, I_m - амплитуды ЭДС, напряжения и тока;

аргументы синуса _e, _u, _i - фазные углы и просто фазы ЭДС, напряжения и тока.

Фазы в начальный момент времени t = 0 называются начальными фазами -_e - начальная фаза ЭДС, _u - начальная фаза напряжения, _i - начальная фаза тока.

2.2 Особенности цепей с синусоидальными токами

При анализе работы цепей синусоидального тока, также как и для цепей постоянного тока, составляют схемы замещения, состоящие из идеальных элементов, которые отражают физические процессы, протекающие в реальной цепи. Но в отличие от цепей постоянного тока, работа устройств синусоидального тока сопровождается рядом явлений, не характерных для цепей постоянного тока: возникновением переменного магнитного поля, вихревого электрического поля, самоиндукции.

Под действием переменного магнитного поля сердечники электротехнических устройств циклически перемагничиваются, а протекание тока в проводниках сопровождается возникновением поверхностного эффекта, заключающемся в увеличении плотности тока в поверхностных слоях проводника и уменьшением во внутренних. Кроме того, в устройствах синусоидального тока в сердечниках возникают вихревые токи. Все перечисленные явления приводят к дополнительным затратам мощности и увеличению сопротивления по сравнению с устройствами постоянного тока

.(2.5)

Поэтому, в схемах замещения устройств синусоидального тока сопротивление R называется активным, оно всегда больше сопротивления постоянному току

R_акт > R_{пост. т}

При записи формул индекс “акт” в большинстве случаев опускают.

Активное сопротивление схемы замещения характеризует наличие необратимых процессов преобразования электрической энергии в другие виды, включая выделение энергии в виде тепла, увеличение сопротивления за счет поверхностного эффекта и потери энергии в ферромагнитных сердечниках за счет перемагничивания и вихревых токов.

Рис. 2.2. Идеальный индуктивный элемент

Индуктивный элемент схемы замещения реального электротехнического устройства синусоидального тока характеризует наличие изменяющегося магнитного поля, которое наводит в катушках ЭДС самоиндукции.

В наиболее общей форме закон электромагнитной индукции можно записать в следующем виде:

, (2.6)

где и называется потокосцеплением, и следовательно

. (2.7)

На основании второго закона Кирхгофа, рис. 2.2 u= - e и, следовательно

, (2.8)

т.е. в цепях с индуктивностью напряжение пропорционально скорости изменения тока.

Емкостный элемент схемы замещения характеризует наличие переменного электрического поля реального электротехнического устройства.

В те моменты времени, когда приложенное напряжение положительно, конденсатор заряжается и накапливает заряд

. (2.9)

А в момент времени, когда напряжение отрицательно, он перезаряжается, а т.к. , то следовательно

, (2.10)

т.е. в цепях с емкостью ток пропорционален скорости изменения напряжения.

Идеальные элементы R, L и C, включаемые в схему замещения являются пассивными, поэтому положительные направления токов и напряжений в них совпадают, а в источниках энергии совпадают положительные направления тока и ЭДС. При таких направлениях положительные значения мгновенных мощностей приемника и источника означают, что первый из них работает приемником, а второй источником. При отрицательных значениях мгновенных мощностей, наоборот - первый находится в режиме источника, а второй - в режиме приемника.

2.3 Действующие значения синусоидальных токов и напряжений

Для оценки эффективности действия синусоидального тока используют его тепловое действие и сравнивают с действием постоянного тока за время одного периода синусоидального. Действующее значение синусоидального тока численно равно такому значению постоянного тока, которое за время одного периода переменного тока выделяет в элементе цепи такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.

Действующие значения ЭДС, напряжения и тока обозначают прописными буквами без индексов: E, U, I.

По определению отсюда следует

, (2.11)

т.е. действующее значение синусоидального тока есть его среднеквадратичное значение за период.

Если , то после подстановки в 2.11 и интегрирования получим

.(2.12)

Аналогично можно получить действующие значения напряжения и ЭДС

. (2.13)

В действующих значениях градуируются электроизмерительные приборы электромагнитной системы, наиболее часто используемые в цепях синусоидального тока.

2.4 Методы изображения синусоидальных величин

Синусоидально изменяющиеся электрические величины можно изобразить аналитически с помощью уравнений с тригонометрическими функциями (см. формулы 2.4), графически в декартовых координатах и в виде вращающихся векторов на декартовой или комплексной плоскости.

При графическом построении положительные начальные фазы откладываются влево от начала координат, а отрицательные - вправо.

При изображении синусоидальных величин вращающимися векторами на декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные амплитудам синусоидальных величин и вращают их в направлении, противоположном движению часовой стрелки с постоянной угловой скоростью . Фазовый угол отсчитывают от оложительного направления горизонтальной оси.



За один период вектор повернется на 2 радиан. Следовательно, , а т.к. , то

(2.14)

- характеризует скорость изменения фазового угла и называется угловой частотой. При частоте f = 50 Гц = 314 рад / с.

Пусть к моменту времени t вектор повернется на угол, рис. 2.4. Тогда проекция вектора на вертикальную ось будет и равна мгновенному значению тока в момент времени t. При равномерном вращении вектора в любой момент времени фазовый угол и, следовательно

При частоте f= 50Гц

. (2.15)

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные токи и напряжения одной частоты называется векторной диаграммой. При построении векторных диаграмм векторы удобно проводить для момента времени t = 0.

Применение векторных диаграмм при анализе работы цепей делает его проще и нагляднее и позволяет свести электротехническую задачу к расчету треугольников.

Пусть, например, в узле электрической цепи

i₁ = i₂ + i₃,

и .

Тогда .

Нахождение амплитуды I_m1 и начальной фазы₁ аналитически довольно сложно и значительно проще эти величины найти из векторной диаграммы, построенной в масштабе. Диаграмму строим для t = 0. Пусть в масштабном отрезке “ ” будет 1А.

На рис. 2.5 представлены начальные положения векторов токов, проекции которых на вертикальную ось дают мгновенные значения токов в момент времени t = 0. Вектор тока I_m1 находится геометрическим сложением векторов I_m2 и I_m3. Так как диаграмма строилась в масштабе, величина тока I_m1 может быть найдена умножением длины вектора I_m1 на масштаб, а начальная фаза ₁ - измерена транспортиром.

При изображении вращающихся векторов синусоидальных величин на комплексной плоскости горизонтальную ось декартовых координат совмещают с осью действительных величин (+1) комплексной плоскости, тогда мгновенные значения синусоидальных величин получают на оси мнимых величин (+j). Положение конца вектора на комплексной плоскости соответствует точке на комплексной плоскости а + jb. С другой стороны, проекция вектора на ось действительных величин (+1) равна а, а на ось мнимых величин (+j) равна b. Следовательно вектор длиной рис. 2.6 (длина вектора называется модулем) можно условно, символически записать комплексным числом А= а+ jb. Вектор повернут относительно горизонтальной оси на угол .

Итак, синусоидально изменяющуюся величину можно изобразить вращающимся вектором, а вектор можно записать с помощью комплексного числа

, (2.16)

следовательно, синусоидально изменяющиеся во времени величины можно описывать комплексными числами. Применение комплексных чисел дает возможность заменить геометрическое сложение или вычитание векторов на векторной диаграмме алгебраическими действиями над комплексными числами этих векторов. Комплексные числа векторов называются комплексами токов, напряжений, ЭДС. При записи их обозначения подчеркиваются снизу, в старой литературе в их обозначении ставится точка сверху, например или .

2.5 Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока

Формулировки законов Кирхгофа для цепей синусоидального тока зависят от способа изображения синусоидальных величин. При аналитическом их описании и при изображении в декартовых координатах формулировки законов Кирхгофа для мгновенных значений ЭДС, напряжений и токов совпадают с формулировками, приведенными в разделе 1.6 для цепей постоянного тока.

Алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в узле равна нулю.

Алгебраическая сумма мгновенных значений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме мгновенных значений напряжений в том же контуре.

При изображении синусоидальных величин вращающимися векторами на векторной диаграмме производится сложение векторов, поэтому в формулировках законов Кирхгофа слово “алгебраическая“ заменяется на “геометрическая”.

Геометрическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю.

Геометрическая сумма ЭДС, действующих в контуре, равна геометрической сумме падений напряжений в том же контуре.

При комплексной записи синусоидальных величин геометрическое сложение векторов заменяется алгебраическими действиями над комплексными числами этих векторов, поэтому в формулировках законов Кирхгофа появляется термин “алгебраическая сумма комплексов”.

Алгебраическая сумма комплексов токов, сходящихся в узле равна нулю. Алгебраическая сумма комплексов ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме комплексов падений напряжений в том же контуре.

2.6 Резистивный элемент в цепи синусоидального тока

Пусть в цепи рис. 2.7 действует синусоидальное напряжение

(2.17)

или в комплексной форме

. (2.18)

Тогда, в соответствии с законом Ома, мгновенное значение тока в цепи



или

(2.19)

или в комплексной форме

. (2.20)

Сравнивая 2.17 и 2.19 видно, что ток в идеальной резистивной цепи, так же как и напряжение, изменяется по синусоидальному закону и совпадает с напряжением по фазе. Амплитуда тока связана с амплитудой напряжения соотношением

. (2.21)

Поделив обе части уравнения 2.20 на получим

, (2.22)

а поделив 2.18 на 2.20 получим

. (2.23)

Выражения 2.21, 2.22 и 2.23 представляют собой закон Ома для цепи с идеальным резистивным элементом соответственно для амплитудных, действующих значений тока и напряжения и в комплексной форме.

Выражения 2.18 и 2.20 позволяют построить векторную диаграмму тока и напряжения рис. 2.8.

Мгновенное значение мощности этой цепи равно произведению мгновенных значений тока и напряжения

(2.24)

т.е. мгновенная мощность в идеальной резистивной цепи - есть величина синусоидальная и всегда остается положительной. Это означает, что при любом направлении тока в цепи энергия поступает от источника в приемник, где необратимо преобразуется в другой вид.

Среднее за период значение мощности

.

После интегрирования получим

(2.25)

т.е. среднее за период значение мощности равно произведению действующих значений тока и напряжения.

2.7 Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока

Пусть к цепи рис. 2.9 подведено синусоидальное напряжение

или в комплексной форме

.

Как показано в разделе 2.2 напряжение в цепи с индуктивностью пропорционально скорости изменения тока, т.е. , т.е.

или

. (2.26)

После интегрирования 2.26 получим

 или

(2.27)

т.е. ток в идеальной индуктивной цепи, так же как и напряжение, изменяется по закону синуса и отстает по фазе от напряжения на одну четверть периода. Амплитуда тока связана с амплитудой напряжения соотношением

. (2.28)

Поделив обе части 2.28 на получим

, (2.29)

L - имеет размерность сопротивления, обозначается X_L и называется индуктивным реактивным сопротивлением, т.к. , то

. (2.30)

Нетрудно видеть, что индуктивное сопротивление растет с увеличением частоты.

Поделив комплекс напряжения на комплекс тока получим

, (2.31)

jX_L - называется комплексом индуктивного сопротивления, он может принимать только положительные значения.

Выражения 2.28, 2.29 и 2.31 представляют собой закон Ома для идеальной индуктивной цепи соответственно для амплитудных, действующих значений напряжения и тока, а также в комплексной форме.

В соответствии с комплексами напряжения и тока, векторная диаграмма идеальной индуктивной цепи построена на рис. 2.10.

Мгновенное значение мощности q_L этой цепи равно произведению мгновенных значений тока и напряжения:

.

После преобразования получим

, (2.32)

т.е. мгновенная мощность в идеальной индуктивной цепи также как ток и напряжение есть синусоидальная величина, и изменяется с удвоенной частотой по отношению к току и напряжению.

Волновые диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности, приведенные на рис. 2.11, показывают, что мгновенная мощность положительна только в четные четверти периода, когда ток и напряжение имеют одинаковое направление. В эти промежутки времени энергия от источника поступает в приемник, где накапливается в магнитном поле.

, (2.33)

а т.к. , то

, (2.34)

В нечетные периоды, когда напряжение и ток имеют противоположные направления, мгновенная мощность отрицательна. Это означает, что энергия, накопленная в магнитном поле приемника, возвращается источнику. Таким образом, при работе идеального индуктивного приемника энергия циркулирует между источником и магнитным полем приемника, а преобразования ее в другие виды не происходит, поэтому средняя мощность за период равна нулю. Такая цепь называется индуктивной реактивной.

2.8 Емкостный элемент в цепи синусоидального тока

Пусть к цепи рис. 2.12 действует синусоидальное напряжение или в комплексной форме

.

Как показано в разделе 2.2., ток в цепи с емкостью пропорционален скорости изменения напряжения, т.е. , т.е.

. (2.35)

После дифференцирования 2.35 получаем:

, (2.36)

или в комплексной форме

. (2.37)

ак видно из 2.36 ток в идеальной емкостной цепи так же, как и напряжение изменяется по синусоидальному закону и опережает напряжение по фазе на одну четверть периода. Амплитуда тока связана с амплитудой напряжения соотношением:

. (2.38)

Поделив обе части 2.38 на получим:

, (2.39)

- имеет размерность сопротивления, обозначается Х_С и называется емкостным реактивным сопротивлением.

. (2.40)

Из 2.40 видно, что емкостное сопротивление уменьшается с увеличением частоты.

Поделив комплекс напряжения на комплекс тока, получим

, (2.41)

- jXc - называется комплексом емкостного сопротивления, он может принимать только отрицательные значения.

Выражения 2.38, 2.39, 2.41 представляют собой закон Ома для идеальной емкостной цепи соответственно для амплитудных и действующих значений напряжения и тока, а также в комплексной форме.

В соответствии с комплексами напряжения и тока векторная диаграмма идеальной емкостной цепи построена на рис. 2.13.

Мгновенное значение мощности q_C этой цепи равно произведению мгновенных значений напряжения и тока

, т.е. (2.42)

мгновенная мощность в емкостной цепи также как ток и напряжение есть синусоидальная величина, изменяющаяся с удвоенной частотой по отношению к току и напряжению. Волновые диаграммы напряжения, тока и мощности, приведенные на рис. 2.14, показывают, что мгновенная мощность положительна только в нечетные четверти периода, когда ток и напряжение имеют одинаковое направление. В эти промежутки времени энергия от источника поступает в приемник, где накапливается в электрическом поле.

, (2.43)

а т.к. i=C, то

. (2.44)

В четные четверти периода, когда напряжение и ток имеют противоположные направления, мгновенная мощность отрицательна. Это означает, что энергия, накопленная в электрическом поле приемника, возвращается к источнику. Таким образом, при работе идеального емкостного приемника энергия циркулирует между источником и электрическим полем приемника, а преобразования ее в другие виды не происходит, поэтому средняя мощность за период равна нулю. Такая цепь называется емкостной реактивной.

2.9 Последовательная цепь элементов R-L-C при синусоидальном токе

Пусть в цепи рис. 2.15 протекает ток

(2.45)

или в комплексной форме

. (2.46)

Тогда, напряжения на элементах цепи, как показано в разделах 2.6 - 2.8 будут описываться следующими уравнениями:

(2.47)

или в комплексной форме

,

, (2.48)

.

На основании второго закона Кирхгофа комплекс напряжения на зажимах цепи равен сумме комплексов напряжений на отдельных участках

, (2.49)

а на основании закона Ома для отдельных участков цепи можно записать

.

Подставим U_R , U_L и U_C в 2.49 и получим

,

решая последнее уравнение относительно комплекса тока получим

.(2.50)

Выражение 2.50 представляет собой закон Ома для последовательной цепи элементов R-L-C.

Знаменатель формулы 2.50 обозначается Z и называется комплексом полного сопротивления

. (2.51)

Запишем комплекс полного сопротивления в показательной форме

- модуль комплекса полного сопротивления;

- аргумент комплекса полного сопротивления

. (2.52)

Подставляя комплекс полного сопротивления в показательной форме в 2.50 и решая его относительно комплекса напряжения будем иметь

,

т.е. приложенное к зажимам цепи напряжение сдвинуто по фазе относительно вектора тока на некоторый угол , величина которого зависит от соотношения сопротивлений элементов цепи.



Как видно из 2.52, если Х_L > X_C, то > 0, а напряжение будет опережать ток на угол , цепь будет носить индуктивный характер

u= U_msin ()

Если X_L < X_C, то < 0 и напряжение будет отставать от тока на угол

u= U_msin (),

а цепь будет носить емкостный характер.

Наконец, если X_L = X_C, то = 0, т.е. напряжение будет совпадать по фазе с током

u= U_msin,

а цепь будет носить активный характер.

В соответствии с уравнениями 2.46, 2.48 на рис. 2.16 построена векторная диаграмма в предположении, что X_L > X_C. Выделенный на диаграмме треугольник называется треугольником напряжений, из рассмотрения которого вытекает

,(2.53)

а также

,(2.54)

U_L - U_C - называется реактивным напряжением.



Поделив все стороны треугольника напряжений на ток, можно получить треугольник сопротивлений (рис. 2.17), из которого могут быть получены соотношения, аналогичные соотношениям, полученным из треугольника напряжений.

и

. (2.55)

Если все стороны треугольника напряжений умножить на ток, получим треугольник мощностей (рис. 2.18).

Гипотенуза этого треугольника характеризует установленную мощность источника, она называется полной мощностью

. (2.56)

По величине полной мощности выбирают все элементы электротехнических устройств и аппаратов.

Активная мощность

(2.57)

характеризует процессы необратимого преобразования электрической энергии в другие виды. Нетрудно видеть из рис. 2.18, что активная мощность составляет часть полной мощности

. (2.58)

Реактивная мощность

(2.59)

характеризует процессы обмена энергией между источником и полями приемников. Она составляет другую часть полной мощности

. (2.60)

Все три мощности, как это видно из рис. 2.17 связаны квадратурой

. (2.61)

Полную мощность S можно рассматривать как модуль величины, называемой комплексной мощностью .

,

, (2.62)

где сопряженный комплекс тока.

Из треугольника мощностей следует, что

, (2.63)

т.е. он показывает, какая доля мощности источника необратимо преобразуется в другие виды, поэтому он называется коэффициентом мощности.

2.10 Резонанс в последовательной цепи элементов R-L-C

Режим работы, при котором цепь, несмотря на наличие в ней реактивных элементов, ведет себя как идеальная активная, называется резонансом.

Как показано в предыдущем разделе, в этом случае реактивные сопротивления равны, т.е.

X_L = X_C,

а угол сдвига фаз между током и напряжением

= 0

Так как , а , то частота, при которой наступит резонанс, определяется формулой:

. (2.64)

Формула 2.64 показывает, что при неизменных параметрах элементов цепи ее можно ввести в резонанс, изменяя частоту, а при неизменной частоте - изменяя параметры.

В режиме резонанса активная мощность

,

т.к. соs = 1 , а ток в цепи определяется только активным сопротивлением R, т.к. X_L = X_C

, (2.65)

т.е. ток и активная мощность достигают максимальных значений, и вся энергия источника необратимо преобразуется в другой вид.

Однако, несмотря на это режим резонанса, который в данном случае называется резонансом напряжений, следует рассматривать как аварийный, особенно при наличии больших реактивных сопротивлений, включенных в цепь. В этом случае напряжения на реактивных элементах окажутся в раз больше, чем на зажимах цепи, что может привести к пробою изоляции реактивных элементов и выходу их из строя.

2.11 Параллельная цепь элементов R-L-C при синусоидальном токе

Пусть к цепи рис. 2.19 подведено синусоидальное напряжение или в комплексной форме

u = U_msin,



На основании первого закона Кирхгофа комплекс тока в неразветвленной части цепи равен сумме комплексов токов в ветвях, т.е.

I = I_R + I_L + I_C, (2.66)

а на основании закона Ома комплексы токов в ветвях

.

Подставляя комплексы токов в ветвях цепи в 2.66, получим

, (2.67)

= g называется активной проводимостью;

= b_L - реактивной индуктивной проводимостью;

= b_C - реактивной емкостной проводимостью цепи.

Подставив значения проводимостей в 2.67 получим:

,(2.68)

Y= g - j( b_L - b_C) называется комплексом полной проводимости цепи; запишем ее в показательной форме

. (2.69)

Модуль комплекса полной проводимости

, (2.70)

аргумент комплекса полной проводимости

. (2.71)

Подставляя комплексы напряжения и полной проводимости в 2.68 получим

,(2.72)

т.е. вектор тока в неразветвленной части цепи сдвинут относительно вектора напряжения на угол , величина которого определяется параметрами цепи.

Если b_L - b_C > 0, то < 0 и ток отстает от напряжения на угол

i=I_msin(),

цепь в этом случае носит индуктивный характер;

если b_L - b_C < 0, то > 0, а ток опережает напряжение на угол

i=I_msin(),

цепь в этом случае носит емкостный характер;

если b_L = b_C, то = 0 и ток совпадает по фазе с напряжением

i=I_msin,

а цепь носит активный характер.

Из 2.72 следует, что

. (2.73)

Выражение 2.73 есть закон Ома для действующих значений напряжения и тока.

В соответствии со значениями комплексов напряжения и токов в ветвях на рис. 2.20 построена векторная диаграмма для случая индуктивной цепи, т.е когда b_L > b_C.

Выделенный на диаграмме треугольник называется треугольником токов, из рассмотрения которого следуют формулы, широко используемые в практических расчетах:

, (2.74)

. (2.75)

Разность между индуктивным током I_L и емкостным током I_C называется реактивным током и обозначается I_P.

Поделив все стороны треугольника токов на напряжение, получим треугольник проводимостей (рис. 2.21), из которого следует полученная ранее формула модуля комплекса полной проводимости

а также формулы активной и реактивной проводимостей

. (2.76)

Поскольку законы изменения токов и напряжений и их фазовые соотношения в последовательной и параллельной цепях одинаковы, то естественно, что идентичными будут и энергетические процессы, протекающие в них. Формулы для расчета мощностей в параллельной цепи будут такими же, что и для расчета в последовательной цепи.

2.12 Резонанс в параллельной цепи R-L-C

При резонансе параллельная цепь, несмотря на наличие в ней реактивных элементов, ведет себя как идеальная активная. В этом случае реактивные проводимости равны, т.е.

b_L = b_C ,

а угол сдвига фаз между током и напряжением

= 0.

Так как b_L = , а b_C = 2fC , то частота, при которой наступит резонанс, определяется той же формулой, что и для последовательной цепи

f_P= .

Следовательно, ввести цепь в резонанс, который в данном случае называется резонансом токов можно теми же путями, что и последовательную: изменением параметров при постоянной частоте и, наоборот, изменением частоты при постоянных параметрах.

В режиме резонанса активная мощность равна полной

P=IUcos=S,

т.к. cos=1, а ток в цепи определяется только величиной активной проводимости, т.к. b_L = b_С

. (2.77)

Следовательно, при резонансе токов активная мощность достигает максимального значения, а ток в неразветвленной части цепи минимален. Поэтому в отличие от резонанса напряжений, резонанс токов не только не является аварийным режимом, но даже весьма желателен. Этот режим широко применяется в радиотехнике.

2.13 Технико-экономическое значение коэффициента мощности и методы его повышения

Промышленные приемники работают при постоянном напряжении сети и заданной мощности. Поэтому величина потребляемого тока определяется коэффициентом мощности

. (2.78)

Если электротехническая установка спроектирована с низким коэффициентом мощности, то величина потребляемого тока будет большой, что приведет к увеличению потерь в линии передачи. Если сопротивление линии передачи R, то мощность потерь в ней

. (2.79)

Подставляя 2.78 в 2.79 получим

. (2.80)

Как видно из 2.80 мощность потерь в линии передачи тем больше, чем меньше коэффициент мощности, т.е. чем ниже cos потребителя, тем дороже будет обходиться передача к нему электроэнергии. Увеличение тока установок с низким коэффициентом мощности требует установки более мощного коммутирующего оборудования, что в целом ведет к увеличению капитальных затрат. Поэтому повышение коэффициента мощности имеет огромное технико-экономическое значение. Например, его повышение всего на 0,01 только в московской энергосистеме дает ежегодно экономию в несколько миллионов киловатт-часов.

Увеличение коэффициента мощности промышленных предприятий осуществляется главным образом естественным путем, т.е. упорядочением энергетического режима оборудования, рациональным использованием установленных мощностей асинхронных двигателей и трансформаторов, заменой мало загруженных двигателей двигателями меньшей мощности, ограничением режимов холостого хода трансформаторов и двигателей.

В случае необходимости используют искусственный способ повышения коэффициента мощности.

Идея искусственного повышения cosзаключается в компенсации реактивной составляющей тока индуктивного потребителя путем параллельного подключения к нему приемника с емкостным током. Таким приемником может быть либо батарея конденсаторов, либо синхронный компенсатор.

Подавляющее большинство промышленных приемников имеет индуктивный характер; их схема замещения представлена на рис. 2.22

Рис. 2.22. Схема замещения индуктивного приемника (а) и его векторная диаграмма(б)



Рис. 2.23. Схема замещения индуктивного приемника с подключенной батареей конденсаторов (а) и его векторная диаграмма (б)

Как видно из векторной диаграммы, в таком приемнике ток отстает по фазе от напряжения источника на угол . При подключении параллельно приемнику батареи конденсаторов рис. 2.23 ток конденсаторов будет опережать напряжение источника на угол , а суммарный ток приемника и конденсатора уменьшится.

Как видно из векторных диаграмм рис. 2.22б и 2.23б при подключении батареи конденсаторов угол сдвига фаз между током и напряжением источника уменьшается, т.е. коэффициент мощности увеличивается.

Обычно с помощью батарей конденсаторов повышают cos до 0,9 - 0,95. Применение синхронных компенсаторов в маломощных установках экономически не целесообразно.

2.14 Расчет сложных цепей синусоидального тока символическим методом

Символический метод расчета цепей синусоидального тока является наиболее общим методом, при его использовании наблюдается полная аналогия с методом расчета цепей постоянного тока, и отличие будет только в математическом аппарате.

Рассмотрим расчет цепи (рис. 2.24) методом эквивалентного преобразования.



Пусть U=220 B, f=50 Гц, R₁=5 Ом, R₂=5 Ом, R₃=10 Ом, L₁=15,9 мГн, L₃=9,55 мГн, С₂=318,5 мкФ, С₃=637 мкФ.

Определить комплексы токов во всех ветвях цепи и составить баланс комплексных мощностей.

Находим комплексы полных сопротивлений ветвей:

.

При расчете вместо недостающих параметров в расчетные формулы проставляем нули

.

Запишем Z₁ в показательной форме :

.

Запишем Z₂ в показательной форме :

.

Запишем Z₃ в показательной форме :

.

Ветви R₂ - C₂ и R₃ - L₃ - C₃ подключены к одной паре узлов, и следовательно включены параллельно

.

При умножении и делении удобно пользоваться показательной формой записи комплексного числа, а при сложении и вычитании - алгебраической

.

Запишем знаменатель в показательной форме

.

Теперь исходную цепь можно представить следующей эквивалентной схемой (рис. 2,25).

В эквивалентной схеме элементы Z₁ и Z₂₃ соединены последовательно.

.

Запишем Z₁₂₃ в показательной форме :

.

Находим комплекс тока в первой ветви. Так как начальная фаза напряжения, приложенного к зажимам цепи, не дана, примем ее равной нулю

.

Находим комплекс напряжения первой ветви

.

Находим напряжение на параллельном участке цепи

.

Находим токи в ветвях

,

.

Находим комплексную мощность источника

.

Находим комплексные мощности приемников

.

Баланс мощностей сходится в действительной 998992 и мнимой частях 158163, следовательно, задача выполнена верно.

Размещено на Allbest.ru

...