Установившееся неравномерное плавно изменяющееся движение жидкости в открытых призматических и непризматических руслах

Размещено на http://allbest.ru

УСТАНОВИВШЕЕСЯ НЕРАВНОМЕРНОЕ ПЛАВНО ИЗМЕНЯЮЩЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ОТКРЫТЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ И НЕПРИЗМАТИЧЕСКИХ РУСЛАХ

1. Формы свободной поверхности потока в открытых призматических руслах с прямым уклоном дна (>0)

При рассмотрении равномерного движения жидкости в открытых призматических руслах указывались условия, при соблюдении которых происходит равномерное движение.

При нарушении этих условий, например при возведении в русле плотины или перепада, движение станет равномерным, при этом глубины будут отличаться от нормальных.

В зависимости от гидравлических условий, создающихся при возведении сооружений, и состояния потока глубины могут по длине потока увеличиваться или уменьшаться по мере приближения к сооружению, а скорости при этом будут соответственно уменьшаться или увеличиваться.

Проанализируем формы свободной поверхности потока в открытых призматических руслах при уклонах дна >0.

Учтем, что след свободной поверхности на продольной вертикальной плоскости будет криволинейным. Эти следы являются кривыми свободной поверхности. жидкость русло призматический гидравлический

Для анализа используем уравнение, записав его в виде

, (1)

где - расходная характеристика при равномерном движении;

- расходная характеристика при неравномерном движении;

-параметр кинетичности.

Напомним, что при критическом состоянии потока, при спокойном состоянии потока и - при бурном состоянии потока.

Равенство числителя уравнения (1) нулю соответствует равномерному движению, когда .

Если знаменатель стремится к нулю, т. е. , то и свободная поверхность скачкообразно повышается (или понижается). В первом случае происходит переход потока из бурного состояния в спокойное - так называемый гидравлический прыжок. Во втором случае образуется водопад.

Когда числитель и знаменатель не равны нулю, возможны различные сочетания знаков числителя и знаменателя в (1). При глубина вдоль потока непрерывно и плавно увеличивается (кривая подпора), а при непрерывно и плавно уменьшается (кривая спада). Следовательно, имеем две основные формы кривых свободной поверхности в открытых призматических руслах: кривые подпора при и кривые спада при .

В зависимости от конкретных условий кривые подпора и спада могут иметь различные особенности. В зависимости от уклона дна равномерное движение при данном расходе может происходить:

а) при спокойном состоянии потока (), если ;

б)при бурном состоянии потока (), если ;

в)при критическом состоянии потока (), если .

Для анализа условий образования кривых свободной поверхности зафиксируем при зоны в потоке, определяемые и (рис. 1), проведем также параллельно линии дна линии нормальной NN и критической КК глубин.

Тогда получаются следующие зоны, в которых может располагаться кривая свободной поверхности: зона a - выше линий NN и КК; зона b - между линиями NN и КК; зона c - ниже линий NN и КК.

При линии NN и КК совмещены и имеются только зоны a и c. При возможны восемь случаев образования кривых свободной поверхности.

I. Уклон дна , т е. при равномерном движении поток находится в спокойном состоянии, .

Зона а: (рис. 2). Пусть вследствие возведения плотины имевшееся в бытовых (ненарушенных) условиях равномерное движение с глубиной на участке некоторой длины перешло в неравномерное движение с глубинами . При этом , . Учитываем, что при спокойном состояним потока , при увеличении по сравнению с параметр будет еще уменьшаться по сравнению с при равномерном движении, поэтому >0. Формулу (1) условно можно представить только знаками числителя и знаменателя, тогда получим

.

Таким образом, имеем расположенную в зоне кривую подпора вогнутой формы (так как ). Проанализируем поведение кривой подпора в верхней (по течению) и в нижней (по течению) частях. При получим, что , и , т е кривая подпора в верхней части асимптотически стремится к линии нормальных глубин NN, т. е. пересекается с этой линией лишь в бесконечности. Для крупных сооружений на равнинных реках длина кривой подпора может достигать нескольких сотен километров.

Рис. 1

При возрастании и числитель и знаменатель (1) стремятся к единице, так как и . Тогда , т. е. кривая подпора в нижней части асимптотически стремится к горизонтальной прямой.

Зона b: (рис 3). В этом случае равномерное движение вследствие создания перепада перешло в неравномерное. Здесь ; а .

Тогда (1) можем представить как

.

Глубины по длине потока уменьшаются, т е. в рассматриваемом случае имеем кривую спада , располагающуюся в зоне . Эта кривая асимптотически стремится к линии нормальных глубин NN в верхней своей части, так как , .

Кривизна линий тока становится столь большой, что распределение давления по живому сечению значительно отличается от гидростатического.

Рис. 2

Рис. 3

Кривая спада располагается в зоне b и обращена выпуклостью вверх Укажем, что в сечении 1-1, т е выше уступа на расстоянии, равном , кривая свободной поверхности пересекает линию критических глубин. Строго говоря, применение (15.8) вблизи входа в перепады, т. е на участке между 1-1 и 1-1, неправильно. При расчете достаточно длинных русл иногда условно считают, что глубина над ребром уступа равна .

Зона с: (рис. 4). Поток поступает на участок сопряжения бьефов за водосливной плотиной в бурном состоянии, а в естественных (бытовых) условиях находится в спокойном состоянии. От глубины, образующейся у подножья водослива, ниже по течению движение будет неравномерным. Глубины при этом будут увеличиваться, скорости уменьшаться, образуется кривая подпора .

Рис. 4

Действительно, на участке кривой подпора глубины , т. е. , а . Следовательно, . Кривая подпора располагается в зоне , так как перейти через линию критических глубин плавным образом кривая свободной поверхности не может, что видно на графике изменения удельной энергии сечения .

В рассматриваемом случае и уменьшение до минимума, а затем последующее увеличение удельной энергии сечения и продолжение движения невозможны.

Кривая свободной поверхности имеет вогнутую форму (выпуклостью обращена вниз) и заканчивается в том сечении, где начинается гидравлический прыжок.

Анализ остальных кривых подпора и спада проведем, помня, что каждая кривая свободной поверхности формируется непрерывно только в границах своей зоны.

II. Уклон дна , т. е. при равномерном движении поток находится в бурном состоянии, .

Зона : (рис. 5). В этом случае ; . Так как , то в пределах рассматриваемой кривой .

Тогда и кривая подпора расположена в зоне . Кривая имеет выпуклую форму, в нижней части асимптотически приближается к горизонтальной линии (снизу от этой линии), так как при отношение .

Кривая подпора образуется ниже гидравлического прыжка по течению, через который происходит переход потока из бурного состояния в спокойное.

Зона : (рис. 6). В этом случае ; . При параметр .

Тогда имеем кривую спада . При кривая асимптотически стремится к линии нормальных глубин NN. Можно считать, что глубина, с которой начинается плавная кривая спада в этой зоне, равна .

Ширина канала на первом и на втором участках канала одинакова. Следовательно, будет одной и той же на обоих участках.

Рис. 5

Но вблизи перелома дна в верхней части кривой движение только условно считается плавно изменяющимся. Кривая спада имеет вогнутую форму.

Рис. 6

Зона с: (рис. 7). Здесь , а . Тогда и имеем кривую подпора . В данном случае начальная глубина определяется расчетом истечения из-под вертикального плоского затвора. В нижней части кривая асимптотически стремится к линии нормальной глубины, так как при отношение . Кривая имеет выпуклую форму.

III. Уклон дна , т. е. при равномерном движении поток находится в критическом состоянии, . В этом случае имеются лишь две зоны: а и с.

Зона a: (рис. 8). В этом случае , . Тогда , т. е. имеем кривую подпора. Такая кривая образуется при сопряжении потока, находящегося в критическом состоянии, с потоком, находящимся в русле с (рис. 8). В широких руслах кривая подпора в зоне а близка к горизонтальной прямой.



Рис. 7

Зона с: (рис. 8). В этом случае ; . Из уравнения (1) имеем , и кривая свободной поверхности - кривая подпора .

Такая кривая создается при сопряжении двух потоков, если уклон подводящего русла , т, е. , a уклон отводящего русла (рис. 8). В широких руслах кривая подпора в зоне также близка к горизонтальной прямой.

Рис. 8

2. Формы свободной поверхности потока в открытых призматических руслах с нулевым (=0) и обратным (<0) уклоном дна

При прямом уклоне дна (>0) равномерное движение происходит при равенстве работы силы тяжести в направлении движения и сил сопротивления движению жидкости.

На участке с проекция силы тяжести на направление движения равна нулю (при ) или отрицательна (при ). Поскольку на таких участках равномерное движение вообще невозможно, не имеет смысла и понятие нормальной глубины для случаев движения в руслах с . В связи с этим при имеем только две зоны: и .

Движение происходит, как и в других случаях, за счет уменьшения удельной (на единицу веса) энергии потока , имеющейся в потоке при вступлении на рассматриваемый участок русла.

Удельная энергия потока затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений. Удельная энергия сечения также будет уменьшаться вниз по течению.

Поток может вступать на участок с нулевым или обратным уклоном в спокойном или бурном состоянии, так как вступление потока на участок с в критическом состоянии энергетически невозможно. Это объясняется тем, что удельная энергия сечения в критическом состоянии минимальна и нет источника энергии для преодоления гидравлических сопротивлений ниже по течению.

Зона . Поток вступает на участок с в спокойном состоянии, . Удельная энергия сечения при этом определяется верхней ветвью кривой (рис. 15.3).

Уменьшению удельной энергии сечения соответствует уменьшение глубины. Тогда становится ясно, что поток, вступивший на участок с или , может иметь свободную поверхность только в форме кривых спада (при ) или (при ).

Зона . Поток вступает на участок с в бурном состоянии, . Здесь уменьшение удельной энергии сечения возможно лишь при росте глубин [нижняя ветвь кривой ].

Поэтому при вступлениии на участок с потока в бурном состоянии возможные формы кривой свободной поверхности - только кривые подпора (при ) или (при ).

Итак, в открытых призматических руслах возможны 12 видов кривых свободной поверхности.

3. Интегрирование дифференциальных уравнений установившегося неравномерного движения в открытых призматических руслах

Для расчета кривых свободной поверхности необходимо проинтегрировать уравнение

,

которое может быть записано в общем виде

, (2)

где .

Проинтегрировав (2), получим формулы для расчета кривых подпора и спада. Для упрощения решения примем некоторые допущения.

Запишем (2), зная, что уклон может быть больше нуля, равен нулю и меньше нуля. Тогда при имеем

, (3)

где знак минус в знаменателе соответствует 0; а знак плюс соответствует 0;

- расход при равномерном движении;

- расход, который пропускало бы данное живое сечение при , соответствующих неравномерному движению, но в условиях равномерного движения, т. е. при гидравлическом уклоне и при .

Расход изменяется вдоль потока, будучи различным по значению в различных сечениях.

При

,

где - абсолютное значение отрицательного уклона ;

- фиктивный расход, который проходил бы через данное живое сечение при равномерном движении и прямом уклоне, равном .

При из (2) имеем

,

или

, (4)

где i -произвольное положительное значение уклона, его часто принимают ; - также фиктивный расход, который пропускало бы данное живое сечение при глубине и других параметрах, соответствующих неравномерному движению, но в условиях равномерного движения при уклоне дна , т. е. . Расход изменяется по длине потока.

Отношение равно отношению соответствующих средних скоростей и параметров кинетичности, т.е.

. (5)

При этом и - средняя скорость и параметр кинетичности, которые были бы в данном живом сечении (размеры его соответствуют неравномерному движению), но в условиях равномерного движения.

Таким образом, среднюю скорость можно определить по формуле Шези

.

Тогда

. (6)

Для широких русл ; .

Параметр также выражают в виде

, (7)

или с учетом введенных в гл. 16 соотношений между элементами живого сечения при равномерном движении, принимая коэффициент по формуле Павловского,

, (8)

где .

Для последующего интегрирования введем новую переменную

, (9)

т. е.

(10)

Как видно из (9) и (10), конкретные условия движения отражены отношением .

При этом хотя и - произвольные, но связаны между собой по (10): приняв по (10), получим значение и наоборот.

Далее принимается допущение

, (11)

откуда

.

Тогда уравнения (3) можно преобразовать с учетом (10) и (11).

1. Прямой уклон дна, :

или после преобразований

. (12)

2. Обратный уклон дна, :

или

. (13)

3. Нулевой уклон дна, , по (4)

или

. (14)

При расчетах обычно кривая свободной поверхности по длине разбивается на ряд участков.

Обозначим живые сечения в общем виде номерами 1 и 2 и учтем, что по длине параметр изменяется очень мало.

Для интегрирования введем допущение, позволяющее считать на данном участке постоянной величиной, равной

.

1. Прямой уклон дна, :

, (15)

Где . (16)

2. Обратный уклон дна, :

, (17)

Где . (18)

3. Нулевой уклон дна, :

, (19)

Где . (20)

4. Расчет кривых свободной поверхности в открытых призматических руслах

Существует много способов расчета кривых свободной поверхности. Их можно разделить на две группы в зависимости от подхода к принятию и соответствующих им значений .

Согласно первому подходу задаются постоянным значением и вычисляют по (10) , согласно второму задаются значениями , a вычисляют по (10), причем могут получиться и не целые числа.

Способ И. И. Агроскина. Значение задано, ; a=ah/.

Тогда по (10)

.

Учитывая, что

;

Получаем

. (21)

Далее по (8)

.

Индекс нуль, как и ранее, соответствует равномерному движению.

Для различных форм живого сечения выражения для и имеют различный вид.

Трапецеидальное поперечное сечение. Как известно из

.

Тогда



,

где -характеристика живого сечения при равномерном движении, т. е. при и .

Подставив полученные выражения для и в (21), найдем

Если учесть, что может быть принят приблизительно равным 0,2, то .

Тогда становится ясным, почему принят .

Обозначим

(22)

Тогда

. (23)

В каждой задаче выражения - постоянная величина.

Параметр по (8) с учетом , и , выраженных через ширину трапеции по дну ,

, (24)

где - коэффициент шероховатости.

Здесь обозначено

. (25)

Значения , вычисленные по (25) при затабулированы.

Выражение в каждой задаче - постоянная величина.

Параболическое поперечное сечение. В этом случае и .

Тогда из (21) при этом же =5,5 (что даст возможность использовать те же значения при =5,5, что и для трапеций), если обозначить

, (26)

Получим

.

Параметр для параболического русла найдется вновь по (8) с учетом соотношений между элементами такого русла:

. (27)

Соответственно .

В каждой задаче и - постоянные величины.

Обращает на себя внимание однотипность выражений для и при расчетах по Агроскину в руслах с различной формой поперечного сечения. Величина равна частному от деления функции , на постоянное в каждой задаче значение той же функции, но при равномерном движении, т. е. , .

Параметр кинетичности равен произведению на линейный параметр в степени , т. е. , и на функцию характеристики живого сечения, т. е. , . Наличие таблиц существенно облегчает выполнение расчетов. Изменение в пределах незначительно сказывается на длине рассчитываемых кривых свободной поверхности.

В заключение укажем, что, принимая другие целые значения , не равные единице, например 2; 3; 4, получим при при ; при и т.д. И тогда можно непосредственно выполнить интегрирование, т. е., не применяя таблиц, найти необходимые значения функций или или . Определив в каждом случае, найдем длину кривой свободной поверхности.

Длина кривой свободной поверхности независимо от выбранного значения получится практически одной и той же. Связано это с тем, что при разных значения , как было показано, будут различными. Различными будут и значения , и значения функций при , при и при , которые определяются в зависимости от принятого значения .

Способ Б. А. Бахметева. Б. А Бахметевым было установлено, что для многих форм поперечного сечения русл (для которых расходная характеристика является монотонно возрастающей функцией глубины ) существует показательная зависимость

, (7.28)

где и - две произвольно взятые глубины в данном поперечном сечении русла; и - соответствующие им расходные характеристики.

Эта зависимость - приближенная и строгого теоретического обоснования не получила, но она находит довольно широкое применение и дает вполне удовлетворительные результаты. Величина называется гидравлическим показателем русла. Приближенно считается, что гидравлический показатель русла постоянен для данного поперечного сечения русла и не зависит от глубины. Однако это справедливо лишь для некоторых русл. К ним относятся узкие прямоугольные русла (), широкие () прямоугольные () и некоторые другие.

Для прямоугольных, трапецеидальных и параболических русл (кроме широких и узких) при показатель определяется по вытекающему из (28) выражению

,

где - средняя глубина на рассчитываемом участке; - расходная характеристика при этой глубине.

Так как для указанных русл показатель зависит от глубины, то выбор именно таких величин ( и , и ) дает необходимую точность при расчетах. Для русл с замкнутым и составным поперечным сечением зависимость (28) вообще неприменима.

При расчетах по способу Б. А. Бахметева длина кривых свободной поверхности определяется по (15), (17 17) и (19) при уклонах дна и соответственно.

По Б. А. Бахметеву при , приняв в (28) глубины и , имеем , или . Далее

.

Длина кривой свободной поверхности определяется по (15), функция - по (16);

; .

При и длина кривой свободной поверхности определяется по (17), а функция - по (18), - фиктивная нормальная глубина при равномерном движении с расходом в русле с уклоном

.

При длина определяется по (19), по (20), в качестве произвольного положительного уклона здесь принят , a

; .

Гидравлический показатель русла определяется при (29); при

,

где ; при

,

где .

Последовательность расчета кривых свободной поверхности в открытых призматических руслах. При расчете кривых свободной поверхности чаще всего необходимо найти значения глубин в различных створах, разбивающих рассчитываемую кривую на участки, и, суммируя длины отдельных участков, найти длину кривой свободной поверхности, т. е. построить кривую.

При расчете сначала определяются нормальная глубина и критическая глубина (если необходимо, то и критический уклон ). Затем в результате анализа устанавливается тип кривой свободной поверхности, асимптоты этой кривой, определяются граничные глубины.

При этом могут быть известны обе граничные глубины из гидравлического расчета сооружения (например, верхняя и нижняя глубины для кривой подпора ). В других случаях из гидравлического расчета сооружения известна лишь одна глубина, а вторая назначается так, чтобы она, например, отличалась от нормальной глубины на 1-3 % (рис. 2, 3, 7).

После определения граничных глубин весь участок кривой свободной поверхности разбивается на ряд расчетных участков. Последовательно переходя от одного участка к другому, вычисляя глубину на одной границе участка при известной глубине на другой границе участка и длину участка кривой свободной поверхности, можно выполнить расчет всей кривой подпора или спада.

5. Установившееся неравномерное плавно изменяющееся движение жидкости в открытых непризматических руслах

В гидротехнической практике встречаются случаи, когда приходится рассчитывать установившееся неравномерное плавно изменяющееся движение жидкости в открытых непризматических руслах. К таким случаям может быть отнесено движение в пределах расширяющихся или сужающихся входных или выходных участков гидротехнических сооружений, в сравнительно коротких каналах с увеличивающейся или уменьшающейся по направлению течения шириной и т. п.

В этих случаях изменение глубин по длине потока описывается общим уравнением установившегося неравномерного плавно изменяющегося движения (15.7). Поскольку точное интегрирование уравнений (15.7) и (15.8) пока не осуществлено, пользуются приближенными решениями.

Одно из таких решений -- применение уравнения Бернулли, т. е. замена дифференциального уравнения движения уравнением в конечных разностях. Этот способ впервые был предложен В. И. Чарномским (1914 г.). Аналогичное решение было предложено Хестедом в 1924 г. Рассматриваемый способ иногда называют способом Хестеда.

Следуя В. И. Чарномскому, запишем для двух сечений рассматриваемого потока применительно к рис. 15.1, находящихся на конечном, но достаточно малом расстоянии друг от друга (плоскость сравнения проходит через наинизшую точку второго сечения),

, (30)

где - уклон дна; - малое конечное расстояние между сечениями: - потери напора на преодоление гидравлических сопротивлений на длине участка .

Как и раньше, будем считать, что потери по длине при плавно изменяющемся движении можно определять по формуле, непосредствено вытекающей из формулы Шези,

.

Полагая, что потери на трение на участке можно определить через средние на данном участке величины , имеем

. (31)

Заменив в (30) и приняв , т. е. с²/м, получим

. (32)

Уравнение (32) и принимается за основное расчетное уравнение для рассматриваемого движения в непризматических руслах.

Задача решается следующим образом. В непризматическом русле с известным уклоном дна и известной шероховатостью, оцениваемой, например, коэффициентом шероховатости , проходит расход .

Поперечные сечения водотока, а также глубина воды в первом сечении известны. При известной можно определить . Необходимо найти глубину во втором сечении, отстоящем от первого на расстояние . Задача решается подбором, путем последовательных приближений.

Задаемся значением глубины . Далее вычисляем значения

; ; .

Подставляя полученные значения в (32) при заданной , проверяем, насколько верно была назначена .

Если получается равенство, то данное значение глубины удовлетворяет уравнению (32). При неравенстве необходимо задаться новым значением глубины и так вплоть до отыскания значения , удовлетворяющего уравнению (32). Найдя такое значение для участка 1-2, переходим к участку 2-3, а затем к последующим.

Размещено на Allbest.ru

...