Основные законы гидростатики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гидростатика

1. Напряженное состояние покоящейся жидкости. Гидростатическое давление

Рассмотрим массу жидкости, находящейся в состоянии покоя (рис.2.1) (в общем случае относительного покоя), когда жидкость в резервуаре, который движется с ускорением относительно Земли, неподвижна по отношению к резервуару.

Рис.2.1

Рассечем объем, занимаемый жидкостью, произвольной плоскостью на две части, содержащие соответственно массы и , и отбросим одну из частей объема, например правую.

Чтобы сохранить равновесие оставшейся в левой части массы жидкости необходимо к ней приложить силу, эквивалентную действию отброшенной массы . Эта сила должна быть распределенной по площади рассечения . Напряжение этой силы в произвольной точке А площади со определяется соотношением

, (2.1)

где - элементарная площадка на площади рассечения, содержащая произвольную точку А; - сила, действующая на площадку . При предельном переходе площадка стягивается в точку А.

Покажем, что сила и напряжение направлены по внутренней нормали к площадке . Действительно, если бы сила была направлена не по нормали к площадке , то эту силу можно было бы разложить на составляющие: нормальную и касательную к площадке . Из-за текучести жидкости касательная составляющая привела бы жидкость в движение, т. е. в этом случае равновесие жидкости было бы невозможно.

Так как жидкость не сопротивляется растягивающим усилиям, то сила может быть только сжимающей. Таким образом, по любой поверхности , проведенной внутри покоящейся жидкости, всегда действует только распределенная сжимающая сила.

Нормальное напряжение поверхностных сил в покоящейся жидкости направлено всегда по внутренней нормали к площадке действия.

Через произвольную точку A покоящейся жидкости можно провести бесчисленное множество секущих поверхностей, по-разному ориентированных в пространстве. На любой из них можно выбрать площадку , содержащую точку А, и вычислить нормальное напряжение

.

При этом всегда направлено по внутренней нормали к площадке , т. е. направление зависит от того, на какой из секущих поверхностей выбрана площадка .

Докажем, что в покоящейся жидкости значение нормального напряжения не зависит от ориентации . Для этого выделим в покоящейся жидкости элементарную частицу в форме тетраэдра с ребрами , выбранными вдоль координатных осей, и объемом

(рис. 2.2).

Три грани тетраэдра лежат в координатных плоскостях, а четвертая грань наклонна и ориентирована нормально к направлению .

Отбросим окружающую тетраэдр жидкость и для сохранения равновесия выделенной частицы приложим к каждой грани тетраэдра поверхностные силы

и .

Рис.2.2

Кроме поверхностных сил на жидкость, заключенную в тетраэдре, действует массовая сила , плотность распределения которой . Проекция на оси координат обозначим .

Записав в проекциях на координатные оси уравнения равновесия жидкости, заключенной в тетраэдре, получим

или

Аналогично

(2.2) и

В уравнениях (2.2) обозначения относятся к углам, образуемым нормалью к грани с осями координат.

Если разделить каждый из членов первого уравнения (2.2) на площадь то получим

Но - площадь грани, перпендикулярной оси ОХ, т.е. грани ABD.

Так как объем тетраэдра , а площадь грани , то можно записать

.

Стягивая тетраэдр в точку A, в пределе получаем

.

Аналогично другие два уравнения в (2.2) дадут соответственно

и ,

откуда

.

Таким образом, доказано, что нормальное напряжение в любой точке покоящейся жидкости не зависит от направления действия. Это позволяет характеризовать напряженное состояние покоящейся жидкости в каждой точке скалярной величиной, представляющей значение нормального напряжения в этой точке. Эта величина называется гидростатическим давлением.

Давление может быть неодинаковым в различных точках покоящейся жидкости:

.

2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Рассмотрим жидкость, находящуюся в покое относительно неинерциальной системы координат . Выделим в этой жидкости элементарный параллелепипед с ребрами параллельными соответствующим осям координат (рис.2.3). Масса жидкости в параллелепипеде равна . Отбросим жидкость, окружающую параллелепипед, и заменим действием отброшенной жидкости силами. Это будут сжимающие поверхностные силы давления.

Рис.2.3

Кроме поверхностных сил на жидкость действуют массовые силы . Плотность распределения массовых сил , ее проекции на координатные оси .

Пусть давление в центре выделенного объема равно . Так как давление является непрерывной функцией координат, то, разложив эту функцию в ряд Тейлора по приращению и ограничиваясь в этом разложении двумя первыми членами, получим выражения для давления в центрах боковых граней АВКЕ и DCGH соответственно

; .

Аналогично можно получить выражения для давления в центрах остальных граней.

Составим уравнения равновесия жидкости, заключенной в параллелепипеде. В направлении ОХ получим

,

откуда после сокращений

.

Составив аналогичные уравнения в направлении OY и OZ, получим окончательно

(2.4)

Уравнения (2.4) представляют собой систему уравнений равновесия; они были выведены Эйлером и называются уравнениями Эйлера.

Для любого направления можно получить уравнение равновесия в виде

Умножив уравнения (2.4) соответственно на и сложив их, получим уравнение

Левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал функции . Заменив левую часть на , получим

(2.5)

Так как левая часть (2.5) представляет собой полный дифференциал и для однородной несжимаемой жидкости = const, то в правой части (2.5) выражение в скобках - полный дифференциал некоторой функции , т. e.

(2.6)

Следовательно, поле массовых сил потенциальное. Тогда (2.5) принимает вид

или

, (2.7)

где .

Функция выражает потенциальную энергию поля массовых сил.

Интегрируя (2.7) для несжимаемой жидкости (=const), получаем

или , (2.8)

где - произвольная постоянная интегрирования.

Для двух точек одного и того же объема данной однородной несжимаемой жидкости уравнение (2.8) записывается в виде

. (2.9)

3. Поверхности равного давления

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью равного давления.

Обратившись к уравнению (2.5) и полагая в нем =0 при , получаем дифференциальное уравнение семейства поверхностей равного давления

(2.10) или

= const. (2.11)

Различные значения постоянной в (2.11) соответствуют различным поверхностям равного давления.

Свободная поверхность жидкости, т.е. поверхность, граничащая с газовой средой, также является одной из поверхностей равного давления.

При равновесии жидкости массовая сила в любой точке жидкости ориентирована по нормали к поверхности равного давления, проходящей через эту точку.

4. Равновесие однородной несжимаемой жидкости относительно земли

Основное уравнение гидростатики. Рассмотрим жидкость, покоящуюся в сосуде, неподвижном относительно Земли. Для рассматриваемого случая действующей на жидкость массовой силой является только сила тяжести . Тогда .

Направив ось OZ вертикально вверх, получим

,

а подставив полученные величины в (2.5), будем иметь

. (2.12)

Интегрируя (2.12) в предположении =const и принимая, что в пределах рассматриваемого объема жидкости можно пренебречь изменением ускорения свободного падения по высоте (=const), получаем

или

, (2.13)

где - произвольная постоянная.

Разделив (2.13) на , получим

=const. (2.13а)

При делении на уравнение (2.13) примет вид

= const. (2.14)

Отметим, что члены уравнения (2.13а) отнесены к единице веса, а (2.14) - к единице массы.

Для двух точек одного и того же объема покоящейся жидкости уравнения (2.13а) и (2.14) представляются в виде

; (2.15)

. (2.16)

Уравнения (2.15) и (2.16) выражают гидростатический закон распределения давления в однородной несжимаемой жидкости, покоящейся относительно Земли. Уравнение (2.15) обычно называют основным уравнением гидростатики.

Поверхности равного давления. Для рассматриваемого случая равновесия, когда единственной массовой силой, действующей на жидкость, является сила тяжести, поверхности равного давления =const представляют собой семейство горизонтальных плоскостей.

Действительно, из (2.12) при получаем , т. е.

(2.17)

Каждому значению соответствует плоскость, в точках которой давление имеет определенное постоянное значение. Свободная поверхность жидкости в данном случае является одной из плоскостей равного давления. Здесь следует указать, что полученный вывод справедлив лишь в пределах сравнительно небольших поверхностей, для которых можно считать вектор ускорения свободного падения вертикальным.

Если рассматривать массу жидкости, имеющей большую поверхность, например поверхность моря, то становится очевидным, что необходимо учитывав действительное направление вектора ускорения свободного падения (по радиусу к центру Земли), а также то, что поверхности равного давления (и в том числе свободная поверхность) в этом случае не будут горизонтальными. Основное уравнение гидростатики можно записать иначе. Рассмотрим жидкость, покоящуюся в открытом резервуаре (рис. 2.4).

Рис.2.4

Пусть необходимо определить давление в точке А на уровне . Применим основное уравнение гидростатики (2.15) к точке и к точке В, расположенной на свободной поверхности жидкости на уровне . Давление на свободной поверхности равно , его называют внешним давлением. Оно может быть равным атмосферному (), большим () или меньшим () атмосферного.

Из основного уравнения гидростатики (2.15) имеем

.

Отсюда

(2.18)

где

; - глубина погружения точки под свободной поверхностью. Тогда

. (2.19)

Величину называют весовым давлением, так как она равна весу столба жидкости при единичной площади и высоте .

Таким образом, по (2.19) давление в точке покоящейся жидкости, находящейся на глубине под свободной поверхностью, равно сумме внешнего давления и давления .

Иногда давление называют абсолютным давлением и обозначают .

Избыточное и вакуумметрическое давление. Избыточным давлением называют разность

. (2.20)

В гидротехнических сооружениях, как правило, на свободной поверхности жидкости давление равно атмосферному .

В этих случаях

, (2.21)

где - глубина погружения рассматриваемой точки под свободной поверхностью жидкости. Таким образом, при избыточное и весовое давления совпадают.

Если давление в жидкости меньше атмосферного, то напряженное состояние жидкости характеризуется значением разрежения (вакуума).

Вакуумметрическое давление

. (2.22)

Давление измеряется с помощью пьезометров, манометров и вакуумметров.

Эпюры давления. Закон распределения в жидкости гидростатического давления легко изобразить графически в виде эпюр давления. Для этого нужно представить давление вектором, направление которого совпадает с направлением давления, а значение пропорционально значению давления.

Рис. 2.5

Эпюры всегда следует строить со стороны жидкости, помня о направлении действия нормальных напряжений в покоящейся жидкости (по внутренней нормали). Так, для плоской наклонной стенки, восстановив в каждой ее точке перпендикуляры, равные для давления и для избыточного давления (при ), и объединив концы этих отрезков, получим соответствующие эпюры давления (рис. 2.5); - глубина погружения рассматриваемой i-й точки под свободной поверхностью.

Закон Паскаля. Применив основное уравнение гидростатики к двум точкам покоящейся жидкости изменим давление в первой точке на , не нарушая равновесие жидкости. Тогда во второй точке давление должно измениться на некоторую величину . Из основного уравнения гидростатики следует, что

или

,

т. е. изменение давления в любой точке покоящейся жидкости передается в остальные ее точки без изменений. Это положение называется законом Паскаля.

Сообщающиеся сосуды. Допустим, что имеются два сообщающихся сосуда, содержащих жидкости с различными плотностями и (рис. 2.6). Сосуды открыты, и внешнее давление на их свободных поверхностях одинаково: . Поверхность раздела жидкостей, являясь поверхностью равного давления, будет горизонтальной плоскостью. Следовательно, . Отсюда

.

При разнородных жидкостях в открытых сообщающихся сосудах высоты уровней над плоскостью раздела жидкостей будут обратно пропорциональны плотностям жидкостей.

5. Геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики

Ордината рассматриваемой точки жидкости отсчитывается от произвольной горизонтальной плоскости XOY, принятой в качестве координатной. В гидравлике эту плоскость называют плоскостью сравнения, а отсчитанную от нее ординату точки - геометрической высотой точки, или высотой положения точки, или геометрическим напором в данной точке жидкости.

Величина имеет линейную размерность L^-1MT^-2/(L^-3MLT^-2)=L и представляет собой геометрическую высоту, на которую поднимется жидкость под действием давления . Указанную высоту можно измерить, если подсоединить к сосуду трубку, из которой полностью удален воздух. Жидкость в трубке поднимется на высоту . Если трубка открыта и давление на свободной поверхности равно атмосферному, то жидкость в трубке поднимется на высоту , соответствующую избыточному давлению.

Высота соответствует давлению . Высота называется пьезометрической высотой. Высота, соответствующая давлению называется вакуумметрической высотой. Эта высота может быть измерена с помощью простейшего вакуумметра (рис. 2.8).

Рис. 2.7 Рис. 2.8

Сумму высот называют гидростатическим напором . Пьезометрический напор меньше гидростатического напора на высоту, соответствующую атмосферному давлению, т. е. .

Отложив от плоскости сравнения по вертикали отрезки для различных точек покоящейся жидкости, обнаружим, что геометрическое место концов таких отрезков будет представлять собой горизонтальную плоскость, расположенную на расстоянии от плоскости сравнения. Такая плоскость называется плоскостью гидростатического напора, а если откладывать отрезки то плоскостью пьезометрического напора.

Если давление на свободной поверхности равно атмосферному, то плоскость пьезометрического напора совпадает со свободной поверхностью. При положения плоскости пьезометрического капора могут быть различными в зависимости от соотношения или (рис. 2.7,2.8).

6. Равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно вертикальной оси

При равновесии в движущемся сосуде жидкость движется вместе с сосудом как единое целое, т. е. находится в состоянии относительного покоя.

Рассмотрим цилиндрический сосуд радиусом (рис. 2.9), заполненный до некоторого уровня жидкостью плотностью и приведенный во вращение с постоянной угловой скоростью относительно вертикальной оси. Через некоторое время после начала вращения сосуда жидкость под действием сил трения будет вращаться с той же скоростью, что и сосуд. Установится равновесие жидкости относительно сосуда или, иначе говоря, относительно вращающейся вместе с сосудом неинерциальной системы координат . При написании уравнений равновесия в неинерциальной системе необходимо в число действующих сил вводить переносную силу инерции. В рассматриваемом случае такой силой является центробежная сила, направленная вдоль радиуса и равная для элементарной массы , вращающейся на расстоянии от вертикальной оси. Кроме центробежной силы на любую частицу действует сила тяжести . Проекции вектора плотности распределения массовых сил при этом:

от силы тяжести

; ; ;

от переносной силы инерции

; ; ,

где и - горизонтальные координаты произвольно выбранной точки A жидкости.

Рис.2.9

Рассмотрим здесь два вопроса.

Форма поверхностей равного давления. Используем уравнение поверхности равного давления (2.10)

и, подставляя в него выражения для и , найдем

.

После интегрирования получим

или, поскольку

,

. (2.23)

Из (2.23) ясно, что поверхности равного давления в рассматриваемом случае представляют собой семейство конгруэнтных параболоидов вращения с вертикальной осью. Различным значениям постоянной соответствуют разные параболоиды равного давления.

Свободная поверхность также является поверхностью равного давления, во всех точках которой давление равно внешнему давлению .

Найдем значение произвольной постоянной для параболоида свободной поверхности. Координаты вершины параболоида . Подставив эти координаты в уравнение (2.23), получим

.

Уравнение свободной поверхности

или

. (2.24)

Частица жидкости, находящейся в состоянии относительного покоя во вращающемся сосуде, расположенная на расстоянии радиуса от оси вращения, имеет линейную скорость . Высота, на которую поднята над вершиной параболоида точка свободной поверхности (например, ), равна

. (2.25)

Ордината вершины параболоида свободной поверхности при заданной угловой скорости зависит от объема жидкости в сосуде. Если до вращения сосуда уровень жидкости был горизонтальным и устанавливался на высоте , то объем жидкости равнялся . При вращении сосуда свободная поверхность становится параболической, форма объема жидкости изменяется, а его значение при =const остается неизменным:

.

После интегрирования имеем

или

.

Полагая , найдем угловую скорость и, при которой свободная поверхность жидкости коснется дна сосуда:

.

Закон распределения давлений. Используя дифференциальное уравнение равновесия жидкости (2.5) и подставляя в него проекции плотности распределения массовых сил, получаем

. (2.26)

После интегрирования уравнения (2.26) имеем

. (2.27)

Подставив в уравнение (2.27) координаты вершины параболоида свободной поверхности = 0, и давление , найдем

.

Подставив найденное значение в (2.27), получим

. (2.28)

Так как по (2.25) для любой точки, то можно переписать (2.28) в виде

или

, (2.29)

где - глубина погружения точки под свободной поверхностью, т. е. измеренное по вертикали расстояние от свободной параболической поверхности до рассматриваемой точки. Таким образом, в жидкости, покоящейся в равномерно вращающемся сосуде, давление по вертикали распределяется по гидростатическому закону.

7. Силы давления покоящейся жидкости на горизонтальные и наклонные плоские площадки (стенки)

Рассмотрим жидкость, покоящуюся относительно Земли. Выберем в жидкости горизонтальную площадку . Все точки этой площадки находятся на одинаковой глубине и испытывают одинаковое давление со стороны покоящейся жидкости. Если свободная поверхность жидкости открыта в атмосферу (), то сила избыточного давления на площадку определяется по формуле

. (2.30)

т. е. численно равна весу жидкости, заключенной в вертикальной призме основанием со и высотой .

Сила направлена со стороны жидкости перпендикулярно стенке. Линия действия силы пересекает площадку в центре тяжести, так как давление распределено по площадке равномерно.

Рис. 2.10

Из (2.30) очевидно, что сила избыточного гидростатического давления на дно сосуда зависит от плотности жидкости, площади дна и высоты заполнения сосуда жидкостью.

При равенстве , плотностей , площадей основания и глубин независимо от формы сосуда сила давления на горизонтальное дно будет одной и той же (рис. 2.10) (гидростатический парадокс).

Рассмотрим плоскую стенку с площадью смоченной части , наклоненную к горизонту под углом (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Гидростатическое давление жидкости не остается постоянным в пределах смоченной части стенки. Разбив площадь на элементарные площадки и считая в пределах давление неизменным, выразим значение силы давления на элементарную площадку как . Вектор направлен со стороны жидкости по нормали к площадке. Суммарное воздействие жидкости сведется к равнодействующей силе , значение которой определяется с учетом (2.19) по соотношению

. (2.31)

Так как расстояние , измеряемое по стенке от линии уреза воды (от оси ОY) до элементарной площадки , равно , то при =const получим

.

Интеграл представляет собой статический момент площади относительно оси ОY, т.е. в данном случае относительно линии уреза жидкости. Статический момент равен произведению площади на плечо момента:

. (2.32)

Выражение (2.31) примет вид

. (2.33)

Сила давления покоящейся жидкости на плоскую наклонную стенку равна произведению площади на давление жидкости в центре тяжести смоченной части стенки. Сила направлена со стороны жидкости по нормали к стенке.

При сила избыточного давления равна

. (2.34)

Далее силу избыточного давления (при ) будем обозначать (без индекса).

Сравним (2.30) и (2.34). Очевидно, что структура этих расчетных формул одна и та же, но в (2.30) входит - глубина погружения любой точки горизонтальной поверхности, а для наклонной плоской стенки в (2.34) входит - глубина погружения центра тяжести смоченной площади.

Линия действия силы пересекает площадку в точке (рис. 2.11), которая называется центром давления.

Центр давления не совпадает с центром тяжести площади , поэтому необходимо определять координаты центра давления.

Сила , связанная с действием в каждой точке смоченной площади одного и того же давления , приложена в центре тяжести смоченной площади (точке С). Сила приложена в другой точке, не совпадающей с точкой С.

Если необходимо найти точку приложения суммарной силы , то ее определяют по правилу сложения сил.

Обычно для расчетов гидротехнических сооружений представляют интерес сила избыточного давления (при ) и координаты точки ее приложения. В дальнейшем будем называть центром давления точку приложения силы (рис. 2.12).

Рис.2.12

Пусть рассматриваемая площадь имеет вертикальную ось симметрии (ее след - линия Ol на рис. 2.11). Тогда центр давления D будет расположен на оси симметрии и для определения его положения достаточно найти расстояние от линии уреза жидкости до точки D, т. е.

Воспользуемся теоремой моментов: момент равнодействующей относительно произвольной оси силы равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси. За ось моментов в данном случае примем линию уреза жидкости, т. е. ось OY. Тогда

(2.35)

Помня, что

; ,

подставим эти значения в (2.35):

, (2.36)

где - момент инерции смоченной площади относительно оси, совпадающей с линией уреза жидкости (оси OY).

Из (2.36) имеем

. (2.37)

Перенесем ось момента инерции в центр тяжести площади. Моменты инерции относительно параллельных осей связаны между собой соотношением

,

где момент инерции смоченной площади относительно оси, проходящей параллельно линии уреза жидкости через центр тяжести С этой площади. жидкость равновесие гидростатика давление

Подставив значение в (2.37), получим

(2.38) или

, (2.39)

где статический момент смоченной площади относительно линии уреза жидкости.

Центр давления силы избыточного давления на плоскую наклонную площадку расположен ниже центра тяжести смоченной площади, считая по оси симметрии (по наклону) стенки, на .

Отметим, что при ломаной наклонной стенке определяется для каждого из участков стенки относительно линии пересечения этого участка (или его продолжения) со свободной поверхностью (рис. 2.12).

8. Силы давления покоящейся жидкости на цилиндрические стенки

Рассмотрим некоторую ограниченную часть твердой цилиндрической поверхности, которую назовем цилиндрической стенкой. Пусть рассматриваемая стенка находится под односторонним воздействием покоящейся жидкости, которое сводится к тому, что в каждой точке на стенку действует давление жидкости. Разобьем стенку на элементарные площадки. В силу малости площадок будем считать их плоскими и выразим элементарную силу давления на них в общем виде . Силы уже не будут направлены параллельно друг другу, их линии действия могут не пересекаться в одной точке, и их сумма может не сводиться к одной равнодействующей.

Рис. 2 13

Для шаровой или круговой цилиндрической стенки элементарные силы давления, будучи нормальными к элементарным площадкам на этих поверхностях, направлены по радиусам и, следовательно, пересекутся в центре сферы или в центре круга (поперечного сечения цилиндра).

Определение сил давления на цилиндрические и шаровые поверхности имеет важное значение, так как в гидротехнических сооружениях обычно применяются конструкции с такими поверхностями (секторные, сегментные, вальцовые и шаровые затворы, водонапорные баки и т. п.).

Рассмотрим цилиндрические стенки, находящиеся под односторонним воздействием покоящейся жидкости. Определим силу избыточного давления. При этом условимся одну из осей координат направлять вдоль образующей цилиндрической поверхности.

Цилиндрическая поверхность с горизонтальной образующей. Направим ось OY параллельно образующей (рис. 2.13), а ось OZ - вертикально вверх.

Значение силы давления на цилиндрическую поверхность в данном случае определяется следующим образом:

, (2.40)

где и - горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления.

Выделим на цилиндрической поверхности элементарную площадку на которую действует направленная по нормали элементарная сила . Найдем горизонтальную и вертикальную составляющие силы :

;

.

Учитывая, что

и

имеем

;

,

где - проекция элементарной площадки на плоскость, перпендикулярную оси OX; - проекция элементарной площадки на плоскость, перпендикулярную оси OZ.

Проинтегрировав, получим для горизонтальной составляющей силы

, (2.41)

где - проекция всей цилиндрической поверхности на плоскость, нормальную к оси OX; - глубина центра тяжести проекции под пьезометрической плоскостью.

Для вертикальной составляющей получим

.

Интеграл представляет собой объем призмы, ограниченной снизу цилиндрической поверхностью, а сверху - ее проекцией на пьезометрическую плоскость. Направляющие этой призмы - вертикальные прямые. Полученное таким образом тело называется телом давления.

Вертикальная составляющая численно равна весу жидкости в объеме тела давления:

, (2.42)

где объем тела давления. На рис. 2.13 тело давления заштриховано вертикальными линиями.

Горизонтальная составляющая проходит через центр давления проекции , а вертикальная составляющая проходит через центр тяжести тела давления.

Направление вертикальной составляющей для схемы, изображенной на рис. 2.13, а, - вниз, а на рис. 2.13, б - вверх.

Из рис. 2.13, а видно, что при построении тела давления криволинейная (в данном случае цилиндрическая) поверхность проектируется на свободную поверхность (рис. 2.13, а) или на ее продолжение (рис. 2.13, б). В первом случае жидкость заполняет тело давления, вертикальная составляющая направлена вниз; во втором случае жидкость не заполняет тело давления, и вертикальная составляющая силы давления направлена вверх.

Направление линии действия силы определяется направляющими косинусами

; (2.43)

. (2.44)

Цилиндрическая стенка с вертикальной образующей.

Направим ось OZ параллельно образующей цилиндра, а оси ОХ и OY расположим в горизонтальной плоскости. На плоскость, нормальную оси OZ, цилиндрическая поверхность проектируется в виде линии, т. е. =0. Тогда

(2.45)

Направление линии действия силы определятся направляющими косинусами

;

.

Рис.2.14

Для цилиндрической поверхности в виде четверти боковой поверхности цилиндра радиусом г и высотой h с вертикальной образующей (рис. 2.14)

Прямолинейная труба круглого поперечного сечения с вертикальной осью заполнена покоящейся жидкостью под постоянным давлением. Пусть ось трубы расположена вертикально. Найдем силу, действующую на стенки трубы (рис. 2.15).

Рис.2.15

Горизонтальная сила , стремящаяся разорвать трубу по вертикальному диаметральному сечению, при давлении будет равна

,

где - длина трубы.

Рис.2.16

Эта сила действует на трубу как растягивающая. Она уравновешивается силами сопротивления, возникающими в материале, из которого изготовлена труба. Сила сопротивления распределена по площади осевого сечения трубы где - толщина стенки. Нормальное напряжение в материале стенок трубы определится при этом по формуле Мариотта

(2.46)

Произвольная криволинейная стенка abcd (рис. 2.16). В этом случае составляющие силы по направлениям горизонтальных осей ОХ и OY ( и ) и вертикальной оси OZ () не равны нулю:

(2.47)

Если линии действия составляющих пересекаются, то воздействие жидкости сводится к одной силе . Линия действия силы определяется углами, образованными направлением и направлениями координатных осей. Косинусы этих углов вычисляются по соотношениям

;

.

9. Закон архимеда. Плавание тел

Рассмотрим полностью погруженное в жидкость твердое тело, объем которого , а форма такова, что любая прямая пересекает поверхность этого тела только в двух точках (рис. 2.17). Для определения силы давления жидкости на тело воспользуемся результатами предыдущего параграфа.

Горизонтальные составляющие силы и взаимно уравновешиваются. Вертикальная составляющая силы давления равна весу жидкости в объеме тела.

Действительно, в данном случае имеем два тела давления: ABMNAEF, соответствующее давлению на верхнюю часть тела, и AKMFE, соответствующее давлению на нижнюю часть тела. Объем первого тела давления равен объем второго тела давления , причем .

Вертикальная составляющая равна весу жидкости в объеме , т. е. , и направлена по вертикали вниз. Вертикальная составляющая равна весу жидкости в объеме , т. е. , и направлена по вертикали вверх.

Рис.2.17

Равнодействующая сила давления равна разности указанных составляющих:

или

. (2.48)

Силу называют архимедовой силой.

Так как , то .

Сила давления покоящейся жидкости на погруженное в нее тело - архимедова сила - равна весу жидкости в объеме, вытесненном телом, направлена по вертикали вверх и приложена в центре тяжести этого объема. Это и есть закон Архимеда.

Объем вытесненной телом жидкости называется объемным водоизмещением.

Центр тяжести объемного водоизмещения называется центром водоизмещения, или центром давления D (так как в этой точке приложена равнодействующая сил давления на тело).

При полном погружении тела объем равен всему объему тела , при неполном погружении . Во втором случае архимедова сила равна

.

Тело плавает, если вес тела равен архимедовой силе:

(2.49)

Если вес тела больше архимедовой силы, то тело тонет (погружается), если меньше, то оно всплывает.

Рис. 2.18

Плавание может быть подводным (тело погружено полностью) или надводным (погружена в жидкость часть тела).

Из условия плавания для однородных тел следует

или

, (2.50)

где - плотность тела; - объем всего тела; - плотность жидкости; объемное водоизмещение. При подводном плавании , откуда .

При надводном плавании осадкой плавающего тела называют глубину погружения наинизшей точки смоченной поверхности тела.

Осадку тела при надводном плавании можно найти из (2.49) и (2.50).

Линия пересечения свободной поверхности жидкости с поверхностью плавающего тела называется ватерлинией (рис. 2.18). Площадь, ограниченная ватерлинией, называется площадью ватерлинии.

Ось плавания проходит через центр тяжести тела С и центр водоизмещения D. При равновесии тела, плавающего в надводном или в подводном состоянии, ось плавания вертикальна. Если тело имеет плоскость симметрии, то ось плавания должна находиться в этой плоскости.

10. Условия статической остойчивости плавающего тела

Рассмотрим симметричное тело, находящееся в состоянии плавания. Ось плавания вертикальна, расположена в плоскости симметрии тела и проходит через центр тяжести площади ватерлинии. Тело занимает при плавании определенное положение. Это положение можно изменить приложением внешних сил.

Остойчивостью называется способность тела плавать в одном и том же положении, т. е. восстанавливать положение после прекращения действия внешних сил, вызвавших нарушение исходного положения тела.

Плавающие тела должны обладать статической и динамической остойчивостью (различаются по характеру действия внешних сил).

Рассмотрим статическую остойчивость плавающих тел относительно продольной оси.

Если пара сил - вес тела и архимедова сила - во время крена стремится увеличить крен, то такое положение тела является неостойчивым. Если в результате действия указанной пары сил крен уменьшается, то тело в таком положении остойчиво.

Условия остойчивости различны при подводном и надводном плавании:

1) тело плавает полностью погруженным в жидкость (подводное плавание). На рис. 2.19, а показано положение, при котором пара сил и стремится увеличить крен. Происходит это потому, что центр тяжести тела С расположен выше, чем центр водоизмещения D.

Если центр тяжести тела С находится ниже центра водоизмещения D, то указанная пара сил стремится к уменьшению крена (рис. 2.19, б) и восстановлению положения тела. При таких условиях плавающее тело остойчиво.

Таким образом, условие статической остойчивости при подводном плавании формулируется так: при подводном плавании тело будет статически остойчиво, если центр тяжести С расположен на оси плавания ниже центра водоизмещения D;

Рис.2.19 Рис.2.20

2) тело плавает при частичном погружении (надводное плавание). Если гело (рис. 2.20) выведено из положения равновесия и повернулось около продольной оси на угол , то объем водоизмещения , оставаясь постоянным, изменит свою первоначальную форму. Его поперечное сечение АВО станет равным сечению А₁В₁O. При крене центр водоизмещения (центр давления) D не остается на оси плавления (ось плавания связана с телом), а перемещается в точку D', через которую при крене проходит архимедова сила .

Точку пересечения линии действия архимедовой силы с осью плавания называют метацентром. При углах крена <15° положение точки пересечения линии действия архимедовой силы с осью плавания практически не изменяется. Можно считать, что центр водоизмещения при углах крена <15° перемещается по дуге окружности, описываемой из метацентра М радиусом который называется метацентрическим радиусом.

При поперечном крене тела (дифференте) метацентр и метацентрический радиус называют поперечными.

Метацентрический радиус определяется следующим образом (если <15°):

, (2.51)

т. е. метацентрический радиус равен частному от деления центрального момента инерции площади ватерлинии относительно продольной оси на объемное водоизмещение плавающего тела. И при надводном плавании более низкое (по сравнению с центром водоизмещения D) расположение на оси плавания центра тяжести тела С обеспечивает статическую остойчивость тела (рис. 2.21,а).

Но, как будет видно, выполнение этого условия при надводном плавании не является обязательным.

Рис.22.1

При надводном плавании образование пары сил ( и ), стремящейся уменьшить крен, возможно и в том случае, если центр тяжести тела С расположен на оси плавания выше, чем центр водоизмещения D. Но только при этом центр тяжести тела С не должен быть расположен выше метацентра. Если центр тяжести тела С на оси плавания лежит выше метацентра, то пара сил и стремится увеличить крен (рис. 2.21,б).

При надводном плавании тело остойчиво при расположении центра тяжести тела С между центром водоизмещения (точка С выше D) и метацентром М (точка С ниже М) - рис. 2.21, в.

Следовательно, для обеспечения остойчивости тела при надводном плавании необходимо, чтобы расстояние между центром водоизмещения D и центром тяжести тела С было меньше метацентрического радиуса:

или . (2.52)

Если расстояние между метацентром М и центром тяжести тела С, называемое метацентрической высотой, - величина положительная.

Чем больше метацентрическая высота, тем больше момент пары сил и , стремящийся к уменьшению крена (т. е. к более надежному обеспечению остойчивости).

Обычно если тело обладает остойчивостью относительно продольной оси площади ватерлинии, то его остойчивость относительно поперечной оси будет заведомо обеспечена.

У плавающих полых тел, частично заполненных жидким грузом, положение центра тяжести С при крене изменяется, и условия остойчивости таких тел будут несколько иными. Наличие жидкого содержимого уменьшает остойчивость.

Размещено на Allbest.ru

...