Расчет электрических фильтров

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство связи

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

(ГОУ ВПО «СибГУТИ»)

Курсовая работа по дисциплине

«Основы теории цепей»

На тему:

«Расчет электрических фильтров»

Вариант №36

Выполнил: Черепенин А.В.

Группа: ЗТ-02

Кафедра: ТЭЦ

Проверила: Булатова Г. И.

Новосибирск 2011



Содержание

четырехполюсник фильтр радиоимпульс амплитудный

Введение

1. Задание на курсовую работу

2. Расчет полосового LC-фильтра

2.1 Расчет амплитудного спектра радиоимпульсов

2.2 Формирование требований к полосовому фильтру

2.3 Формирование передаточной функции НЧ-прототипа.

2.4 Реализация LC-прототипа

2.5 Реализация пассивного полосового фильтра

3. Расчет активного полосового фильтра

3.1 Расчет полюсов ARC-фильтра

3.2 Формирование передаточной функции

3.3 Расчет элементов схемы фильтра

4. Проверка результатов расчета

Заключение

Литература



Введение

Электрические фильтры - это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами: они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания частотных составляющих определенного спектра частот, лежащего в полосе пропускания (ПП), и подавления тех составляющих, частоты которых лежат за пределами ПП, т. е. в полосе непропускания (ПН) или полосе задерживания (ПЗ). Между этими полосами находится переходная область.

Обычно выделяют следующие четыре типа фильтра:

- фильтр нижних частот (ФНЧ), пропускающий все частоты ниже выбранного значения wc и подавляющий высшие частоты;

- фильтр верхних частот (ФВЧ), пропускающий все частоты выше выбранного значения и подавляющий нижние частоты;

- режекторный или заграждающий фильтр, подавляющий выбранную полосу частот и пропускающий нижние и верхние частоты;

- полосовой фильтр (ПФ), пропускающий выбранную полосу частот и подавляющий нижние и верхние частоты.

В соответствии с элементной базой можно выделить различные типы фильтров. Пассивные фильтры, содержащие элементы L и C. Они носят название LC-фильтры.

Требования микроминиатюризации аппаратуры заставили отказаться от использования индуктивностей, которые имеют большие габаритные размеры, особенно на низких частотах. Появились активные RC-фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и активных приборов (например, транзисторов).

Расчет активного фильтра включает в себя два этапа - этап аппроксимации и этап реализации. На первом этапе по заданному максимальному и минимальному ослаблению в полосе пропускания и в полосе непропускания формируется передаточная функция фильтра, т.е. математическое описание цепи. На втором этапе создают схему цепи и определяют значение ее элементов по полученной передаточной функции.



1. Задание на курсовую работу

На входе полосового фильтра действуют периодические прямоугольные радиоимпульсы (рис. 1.1) с параметрами:

tи - длительность импульсов;

Tи - период следования;

Tн - период несущей частоты;

Umн - амплитуда несущего колебания, имеющего форму гармонического uн(t) = = Umн cos нt.

Требуется рассчитать двусторонне нагруженный пассивный полосовой LC-фильтр и активный полосовой RC-фильтр для выделения эффективной части спектра радиоимпульсов, лежащей в полосе частот от (fн - 1/tи) до (fн + 1/tи) (главный «лепесток спектра»). График модуля спектральной функции U(f) = |U(jf)| радиоимпульса приведен на рис. 1.2.

Исходные данные для расчета приведены в таблицах 1.1 и 1.2. Сопротивления генератора радиоимпульсов Rг и сопротивление нагрузки Rн пассивного фильтра одинаковы: Rг = Rн = R = 1000 Ом. Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

Таблица 1.1

№№ вариантов	Тн,мкс	tи,мкс	Ти, мкс	А,дБ	Апол,дБ
36	10	40	154	3	30

Таблица 1.2

Варианты	Umн, В
36	12

В ходе выполнения курсовой работы необходимо:

Рассчитать и построить график амплитудного спектра радиоимпульсов.

Определить частоты fп2 и fз2 и рассчитать превышение амплитуды частоты fп2 над амплитудой частоты fз2 в децибелах в виде соотношения А = 20lgUmп/Umз на входе фильтра.

Рассчитать минимально допустимое ослабление фильтра в полосе задерживания Аmin = Апол - А.

Рассчитать порядок m НЧ-прототипа требуемого фильтра.

Получить выражение для передаточной функции НЧ-прототипа при аппроксимации его характеристики полиномом Чебышева.

Осуществить реализацию двухсторонне нагруженного полосового LC-фильтра.

Осуществить реализацию полосового ARC-фильтра.

Привести ожидаемую характеристику ослабления полосового фильтра в зависимости от частоты, т. е. A = K(f).

Рассчитать ослабление ARC-фильтра на границах полосы пропускания и полосы непропускания (задерживания).

Привести схему ARC-полосового фильтра.



2. Расчет полосового LC-фильтра

Согласно заданию на курсовую работу на входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рис. 1.1) с параметрами: период следования импульсов Tи = 154 мкс; длительность импульсов tи = 40 мкс; период несущей частоты Tн = 10 мкс; амплитуда колебаний несущей частоты Um.н = 12 В. Фильтр должен обеспечить максимально допустимое ослабление в полосе пропускания Аmax = A = 3 дБ. Полное ослабление на границах полос непропускания Апол = 30 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра Rг = Rн = 1000 Ом Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

2.1 Расчет амплитудного спектра радиоимпульсов

Прежде чем приступать непосредственно к расчету фильтра, необходимо определить частотный состав сигнала, поступающего на вход фильтра, т. е. рассчитать и построить график амплитудного спектра периодических радиоимпульсов, взяв за основу рис. 1.2.

Вначале находится несущая частота:

Затем рассчитывают частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте fн, находится по формуле,

Equation Section 3 (2.1)

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот (рис. 1.2).

Внутри огибающей находятся спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами fi, где i - номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле,

(2.2)

Учитывая, что

Рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от fн:



Рассчитываем частоты гармоник, лежащих только слева от fн:

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся по формуле,

(2.3)

где K = tи/Tн - количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе. К = 4.

Определяю амплитуды напряжения i-х гармоник, лежащих только справа от fн:

Определяю амплитуды напряжения i-х гармоник, лежащих только слева от fн:

После расчета амплитуд по (2.3) их значения отражаются в виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра, рис. 2.1.

Рисунок 2.1



Полезно обратить внимание на характерную особенность спектра, связанную с понятием скважности импульсов. Если скважность q, т.е. отношение периода следования импульсов Tи к длительности импульсов tи, равна целому числу, то в спектре отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности. В рассматриваемом примере q = 3,85.

2.2 Формирование требований к полосовому фильтру

Учитывая, что амплитуды спектральных составляющих на частотах 75 и 125 кГц равны нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 80,518 кГц до 119,482 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра fп1 и fп2 соответственно. Граничную частоту полосы непропускания fз2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты (fн + 1/tи) = 125 кГц. Этой частотой является частота f4 = 125,976 кГц. Следовательно, fз2 = f4 = 125,976 кГц.

Используя понятие центральной частоты или средней геометрической частоты ПП и ПН

(2.4)

определяю значение fз1 - граничной частоты ПН слева.

Центральная частота ПП:

Тогда граничная частота fз.1 полосы непропускания будет



Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник f3 и f4 спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной Апол - полного ослабления:

(2.5)

где (2.6)

исходная разница амплитуд третьей и пятой гармоник в децибелах, найденная в ходе расчета спектра радиоимпульсов.

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с помощью полинома Чебышева.

2.3 Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

Определяю граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа:

Рисунок 2.2

По формулам,

(2.7)

получаю значения нормированных частот,

Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 2.2.

При синтезе ФНЧ используются универсальные соотношения [1]:

(2.8)

(2.9)



Определяю коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП из рассмотрения (2.8) при A = A и = 1, когда (1) = Тm(1) = 1:

Определяю порядок фильтра Чебышева, также из рассмотрения (2.9), но при A = Amin и =з, т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева Тm() = chmarch, поэтому,

(2.10)

Для вычисления функции archх рекомендуется соотношение

После подстановки в (2.10) исходных данных и вычислений получим m = 3.

Пользуясь таблицей 2.1, находим полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа:



Таблица 2.1

А, дБ	Порядок m = 3
3,0	-0,29862; -0,14931 j0,903813

(2.11)

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде

где v(р) - полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

Производя вычисления, получим

(2.12)



2.4 Реализация LC-прототипа

Для получения схемы НЧ-прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рис. 2.3) составляется выражение для входного сопротивления Zвх.1(р) (2.13).

(2.13)

Для фильтров Чебышева третьего порядка сам полином Чебышева равен:

(2.14)

а полином h(р) будет:

(2.15)

Подставляя в (2.13) значение v(р) из (2.12) и значение h(p) из (2.15), после преобразований получаю

(2.16)

Формула (2.16) описывает входное сопротивление двухполюсника. А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра [16]. По этому методу формула для Zвх(р) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя.

Исходя из последнего, (2.16) преобразуется к виду,

(2.17)

после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение (2.17) можно записать в виде цепной дроби:

(2.18)

Рисунок 2.4

По формуле (2.18) составляем схему (рис. 2.4), на которой С1н = 3,349; L2н = 0,712; С3н = 3,349; Rг.н = Rн.н = Rнор.

Денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:

(2.19)

где, н = п.нч - нормирующая частота;

Rг - нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения (2.19) и значения н и Rг получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:



2.5 Реализация пассивного полосового фильтра

Из теории фильтров известно [16], что между частотами НЧ-прототипа и частотами пф полосового фильтра существует соотношение

(2.20)

где 0 находится по (2.4).

На основании (2.20) индуктивное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами

(2.21)

а емкостное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами

(2.22)

Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рис. 2.4 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рис. 2.5. Элементы этой схемы рассчитываются по формулам (2.21) и (2.22).

На этом расчет полосового LC-фильтра заканчивается.



3. Расчет активного полосового фильтра

3.1 Расчет полюсов ARC-фильтра

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LC-фильтра, полученными в разделах 2.12.3. Причем, не самой нормированной передаточной функцией (2.12), а только ее полюсами (2.11), и, согласно (3.1), найти полюсы денормированной передаточной функции ПФ.

(3.1)

где

- полюсы передаточной функции НЧ-прототипа;

0 = 2f0 - находится по (2.4).

Вначале находим:

Затем сами полюсы:

Equation Section 4

(3.2.а)

(4.1) (3.2.б)

(3.2.в)

Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной. Их значения удобно представить в виде таблицы 3.1.

Таблица 3.1

Номера полюсов	Полюсы H(p)
1,2	3,6551	61,4881
3,6	2,1506	73,6189
4,5	1,5044	51,4937

3.2 Формирование передаточной функции

Учитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид:



Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

(3.3)

Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле,

Коэффициенты в знаменателе (4.2) находятся по формулам:

(3.4)

где - значение полюсов (3.2).

Например,

;

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведены в таблицу 3.2.



Таблица 3.2

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
	ai1	bi1	bi0
1 2 3	15,4271104 15,4271104 15,4271104	7,3102104 4,3012104 3,0088104	379414619762 542436751757 265386435905

Подставляя найденные коэффициенты в 3.3 получим:

(3.5)

3.3 Расчет элементов схемы фильтра

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис. 3.1). Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей [1], можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рис. 3.1, в виде

Рисунок 3.1



(3.6)

Из (3.6) видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (3.5) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R1; R2; С3; С4; R5 ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах (3.5) и (3.6).

Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя (3.5):

(3.7)

В системе (3.7) пять неизвестных и только три уравнения. Система нерешаема. Для решения этой системы задам значения емкостей конденсаторов С1 и С2.

Если принять С1 = С2 = 2 нФ, тогда:

Принимаю: R1 = 3,241 кОм, R5 = 13,68 кОм, R2 = 49,038 Ом.

Составляю аналогичную систему для второго звена при тех же С1 = = С2 = 2 нФ, :

Принимаю: R1 = 3,241 кОм, R5 = 23,25 кОм, R2 = 19,945 Ом.

Аналогично для третьего звена:

Принимаю: R1 = 3,241 кОм, R5 = 33,24 кОм, R2 = 28,59 Ом.



4. Проверка результатов расчета

Проверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант - проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант - проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т. е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график H(f) или А(f) всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходных требованиям по ослаблению в ПП и в ПН. Конечно, второй вариант для разработчика предпочтительнее.

При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа (2.12) и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра (3.6). Очевидно, что Н(р) всего фильтра будет

Equation Section 5 (4.1)

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Итак, формула (4.1) позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчетов.

С этой целью в (3.6) произвожу замену переменной вида р = j, в результате чего получаю выражение,

Находится модуль H(j) в виде

(4.2)

Зная H(), легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

(4.3)

где (4.4)

Произвожу расчет первого звена фильтра.

Из раздела 3.3. беру значения элементов:

С1 = С2 = 2 нФ, R1 = 3,241 кОм, R2 = 49,038 Ом, R5 = 13,68 кОм.

Подставляем эти значения в (4.2)

На частоте границы ПП fп2 = 119,482 кГц определяю Н1(п2) = 0,601.

На частоте границы ПН fз2 = 125,976 кГц определяю Н1(з2) = 0,48.

На частоте fп1 = 80,518 кГц Н1(п1)= 0,609.

На частоте fз1 = 76,367 кГц. Н1(з2)= 0,486.

Аналогичные расчеты выполняю для второго и третьего звеньев.



С1 = С2 = 2 нФ, R1 = 3,241 кОм, R2 = 19,945 Ом, R5 = 23,25 кОм.

На частоте границы ПП fп2 = 119,482 кГц определяю Н2(п2) = 3,024.

На частоте границы ПН fз2 = 125,976 кГц определяю Н2(з2) = 1,354.

На частоте fп1 = 80,518 кГц Н2(п1)= 0,271.

На частоте fз1 = 76,367 кГц. Н1(з2)= 0,236.

С1 = С2 = 2 нФ, R1 = 3,241 кОм, R2 = 28,59 Ом, R5 = 33,24 кОм.

На частоте границы ПП fп2 = 119,482 кГц определяю Н1(п2) = 0,388.

На частоте границы ПН fз2 = 125,976 кГц определяю Н1(з2) = 0,338.

На частоте fп1 = 80,518 кГц Н1(п1)= 4,324.

На частоте fз1 = 76,367 кГц. Н1(з2)= 1,936.

Ослабления рассчитываются по формулам (4.3) и (4.4).

Для первого звена:

На частоте fз1 = 76,367 кГц

На частоте fп1 = 80,518 кГц

На частоте fз2 = 125,976 кГц



На частоте fп2 = 119,482 кГц

Аналогично рассчитываю ослабления для второго и третьего звеньев

Все результаты сводятся в таблицу 4.1.

На рис. 4.1 приведена ожидаемая теоретическая кривая зависимости ослабления фильтра от частоты. На рис. 4.2 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.

Рисунок 4.1



f, кГц	fз1	fп1	fп2	fз2
	76,367	80,518	119,482	125,976
Н1() Н2() Н3()	0.486 0.236 1.936	0.609 0.271 4.324	0.601 3.024 0.388	0.48 1.354 0.338
Н ()	0.222	0.714	0.705	0.22
А1(), дБ А2(), дБ А3(), дБ	6.267 12.542 -5.738	4.308 11.341 -12.718	4.423 -9.612 8.223	6.375 -2.632 9.422
А (), дБ	13.073	2.926	3.036	13.152



Заключение

Сравнивая рассчитанное ослабление всей схемы фильтра на частотах границ ПП и ПН с заданным ослаблением на этих же частотах (раздел 2.2), можно сделать вывод о довольно хорошем их соответствии.

При практическом изготовлении фильтров всегда предусматривается операция по их настройке, в ходе которой добиваются ослабления с требуемой точностью. В ходе расчета по формуле (3.9) я обратил внимание на то, что значение Н() наиболее сильно зависит от величины сопротивления R2, поэтому именно это сопротивление необходимо выбирать переменным.

Рассчитанные сопротивления (схема на рис. 4.2.) не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений R1 и R3 в каждом звене берутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление R2 берется составным, из последовательно соединенных постоянного и переменном резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.



Литература

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник - М.: Радио и связь, 2000. - 589 с.

2. Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник - М.: Радио и связь, 1998. - 444 с.

3. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: «Высшая школа», 1990. - 544 с.

4. Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сб. задач и упражнений. - М.: Радио и связь, 1989. - 328 с.

5. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. - М.: Радио и связь, 1983. - 752 с.

6. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник. - М.: Радио и связь, 1986. - 544 с.

Размещено на Allbest.ru

...