Основные элементы термодинамики

На рис. 12 и 13 представлен пример определения показателя политропы.



Рис. 12. Пример обработки опытных данных для определения показателя политропы

Табл. 7

i - номер точки	pi, Па	vi,	lnp	lnv
1	p1	v1	lnp1	lnv1
2	p2	v2	lnp2	lnv2
…	…	…	…	…
N	pN	vN	lnpN	lnvN

Рис. 13. Пример определения показателя политропы

Если все точки не укладываются удовлетворительно на одной прямой, то используется метод линейно-кусочной аппроксимации, по которому показатели политропы определяются для отдельных участков процесса.



Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Рис. 14. Пример определения показателей политропы для отдельных участков

В этом случае реальный процесс рассчитывается по уравнению pvn = const при последовательно изменяющемся значении показателя политропы n: n1, n2, n3 и т.д. Значения А,Q,U, найденные на отдельных участках процессов затем суммируются.

В тех случаях, когда расчёты выполняются для небольшого участка процесса или для всего процесса известны только две точки, можно использовать метод определения показателя политропы n по двум точкам.

Рис. 15. Иллюстрация к методу определения n по двум точкам

Если реальный процесс задан pv-координатах, то используется уравнение политропы в виде:

pvn = p1v1n = p2v2n =const

После логарифмирования и приведения подобных, получим искомое значение n:

ln p1 + n ln v1 = ln p2 + n ln v2

ln p1 - ln p2 = n (ln v2 - ln v1)

(139)

В политропном процессе газ считается идеальным. Так как основное уравнение политропы pvn =const по форме совпадает с уравнением адиабаты идеального газа pvk =const (уравнение Пуассона), то без вывода запишем еще два уравнения политропы:

(140)

(141)

Для определения показателя политропы может использоваться любое из трех уравнений политропы.

Так как теплоёмкость является функцией процесса, то получим формулу для теплоёмкости в политропном процессе сn:

Из общей формулы теплоёмкостей однородных систем (74) для политропного процесса имеем:

Так как в политропном процессе газ считается идеальным, то:



Требуется найти . Для этого воспользуемся уравнением политропы (140):

.

Логарифмируя и дифференцируя это уравнение, приводя подобные получим:

Откуда:

Подставим найденное значение в уравнение (76):

Окончательно:

(142)

В (142) показатель адиабаты k>1, в то время как n(, +).

При 1<n<k значение cn получается отрицательным. С физической точки зрения это трудно объяснимо, поэтому, придавая отрицательной величине cn формальный характер, вычисление А, Q, U проводим с этим отрицательным значением.

Изопроцессы, в силу универсальности уравнения , можно рассмотривать как частные случаи политропного процесса:

1) при n = 0 получается уравнение изобарного процесса (p=const);

2) при n = 1 - уравнение изотермического процесса (pv=const);

3) при n = k - уравнение адиабатного процесса pvk=const (или S=const);

4) при n = - уравнение изохорного процесса (v=const).

На рис.16 представлены различные процессы с указанием значений показателя политропы. Пунктирной линией в качестве примера изображены процессы, не относящиеся к изопроцессам.

Рис. 16. Показатель политропы для различных процессов

4.2 Работа, теплота и внутренняя энергия в политропном процессе

Как известно, удельная абсолютная деформационная работа определяется по формуле:



Для того, чтобы найти этот интеграл, необходимо знать уравнение, связывающее давление и объем. Таким уравнением является уравнение политропы pvn=const. Запишем это уравнение развернутом виде:

,

откуда:

Тогда:

Окончательно:

(143)

Так как в политропном процессе газ считается идеальным, то преобразуем (143) к виду:

Или окончательно:

(144)

Получим ещё несколько формул для Аn, для чего подставим в (144) , найденные из других уравнений политропы. Из уравнения

Тогда:

(145)

Из уравнения следует:

Или:

(146)

После подстановки (146) в (144) окончательно получим:

(147)

Формула (147) широко используется в теории газовых турбин, газовой динамике и так далее.

Внутренняя энергия идеального газа зависит только температуры, поэтому соотношение (73) для идеального газа примет вид:

, (148)

откуда после интегрирования при сv=const:

(149)

Формула (148) справедлива для любого процесса, в том числе и для политропного, поэтому:

(150)

Как известно:

,

откуда для политропного процесса:

dQn=cndT (151)

После подстановки (142) в (151) и интегрирования при окончательно получим:

(152)

4.3 Изменение энтропии в политропном процессе

Для обратимых процессов, как известно:

dQ = T dS

Так как одновременно:

dQ = c dT,

то из равенства правых частей этих уравнений получим:

dS = c (153)

Из (153) и (142) для политропного процесса:

dSn = ,

Откуда после интегрирования окончательно получим:

 (154)

Подставляя в (154) отношения из (144*) и (146) получим еще две формулы для расчета ?Sn:

или:

(155)

или:

(156)

Как известно, в инженерных расчетах полагают, что энтропия равна нулю при нормальных физических условиях. Тогда, подставляя в (154) Тн вместо Т1 и Т вместо Т2 получим формулу для расчета энтропии:

(157)

Из формул (155) и (156) аналогично получим:

(158)

(159)

5. Исследование изопроцессов. Работа, теплота, внутренняя энергия в изопроцессах

5.1 Изохорный процесс (v = const)

Из общей формулы для абсолютной работы термодеформационной системы при dU=0 следует:

Av = 0 (160)

Изменение внутренней энергии из (148) определяется по формуле:

(161)

Из первого начала термодинамики в обычной интегральной форме Q = U + A для изохорного процесса получаем:

Qv = Uv (162)

или:

(163)

Ранее для изохорного процесса была получена формула:

Этот же результат может быть получен из (154) при nv=±?.

5.2 Изотермический процесс (T = const)

В формуле (143) при nT = 1 и p1v1 = p2v2 = RT = const получается неопределенность види {0/0}, которую нужно раскрывать специальным образом (например, по правилу Лопиталя). Проще найти абсолютную механическую работу в изотермическом процессе из общей формулы:

.

Из уравнения изотермического процеса:

,

следует связь между p и v:

,

откуда после подстановки в (163) и интегрирования получаем:

(164)

или:

 (165)

или:

(166)

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, поэтому при Т=const:

UT = 0 (167)

Этот же результат формально следует из (148).

Из первого начала термодинамики для изотермического процесса с учетом (167) получаем:

QT = AT (168)

Таким образом в изотермическом процессе вся подведенная к системе теплота идет на совершение системой абсолютной работы.

Из (154), (155) при n=1 получаются известные формулу для расчета изменения энтропии в изотермическом процессе:

Здесь:

R=cp-cv

cp/cv=K

Окончательно:

(169)

Формула (169) совпадает с полученной ранее.

5.3 Изобарный процесс (p = const)

Из общей формулы для удельной абсолютной деформационной работы в политропном процессе (143) при np=0 получим:

(170)

Из уравнения удельная теплота в изобарном процессе равна . При получим:

(171)

Ранее из первого начала термодинамики в энтальпийной форме было получено:

Qp = i2-i1.

Изменение внутренней энергии в изобарном процессе в соответствии с формулой (149) определяется как:

(172)

Из (154) получим:

(173)

Формула (173) совпадает с полученной ранее.

5.4 Адиабатный процесс (dQ=0)

Как известно, обратимые адиабатные процессы являются изоэнтропными (S=const).

Из формулы (143) при ns = k, получаем:

(174)

По аналогии с формулами (145) и (147), заменяя n на k, можно сразу записать:

(175)

(176)

или:

(177)

Из первого начала термодинамики в дифференциальной форме получим еще одну формулу для абсолютной работы в адиабатном процессе:

dQ = dU + dA, откуда при dQ=0

dAS = - dUS (178)

или после интегрирования:

(179)

Из (149) изменение удельной внутренней энергии определяется по формуле:

(180)

Подставляя (180) в (179) окончательно получим:

(181)

6. Второй закон термодинамики

Первый закон термодинамики говорит о том, что невозможно получить работу без подвода энергии извне, в частности в форме теплоты, то есть закон устанавливает возможность взаимопревращений работы и теплоты, но не устанавливает особенности превращения теплоты в работу и работы в теплоту. Но работа в теплоту превращается легко, просто и без потерь, а для превращения теплоты в работу нужны сложные технические устройства, и это превращение теплоты всегда сопровождается потерями энергии. С точки зрения физики, различие кроется на уровне превращения упорядоченного движения в хаотическое (AQ) и хаотического в упорядоченное (QA).

Все процессы в природе подразделяются на самопроизвольные и вынужденные. Самопроизвольные: падение давления в сосуде при разгерметизации, диффузия газов, передача теплоты от более к менее нагретому телу и т.д., и в общем случае - превращении работы в теплоту. Вынужденные: нагнетание давления, разделение газов и т.д., и в общем случае - превращение теплоты в работу.

Ранняя формулировка 2-ого закона термодинамики (формулировка Томсона): «Невозможно провести отрицательный (вынужденный) процесс без компенсации его положительным самопроизвольным процессом».

Пример: Таяние снега - вынужденный процесс, так как сопровождается самопроизвольным процессом передачей тепла от более нагретого тела к менее нагретому (от Солнца к Земле).

Известны также другие формулировки второго закона термодинамики:

- «Каждый вынужденный процесс избегает одиночества и требует сопровождения себя самопроизвольным процессом»;

- «Невозможно построить тепловой двигатель, термический КПД которого превышал бы термо-КПД цикла Карно»;

- «Энтропия в адиабатически изолированных системах всегда возрастает»;

- «Вечный двигатель 2-ого рода невозможен».

Вечный двигатель 2-ого рода - двигатель, единственным источником теплоты которого, являлась бы теплота окружающей среды.

С точки зрения первого закона термодинамики это возможно, но второй закон термодинамики утверждает, что должно быть как минимум два источника теплоты: нагреватель (ВИТ) и холодильник (НИТ).

Рассмотрим прямой обратимый цикл Карно:

Рис. 17. Прямой цикл Карно в P-V и T-S координатах

Для обратимых процессов известно соотношение dQ = TdS.

Для изотермических процессов после интегрирования получаем:

Q1 = T1(S2 - S1), Q2 = T2(S1 - S2).

Отведенная теплота Q2 считается отрицательной.

Термический КПД для любых процессов (обратимых и необратимых) имеет общую формулу:

(182)

Тогда:

.

(183)

Из (183) следует теорема Карно:

Термо-КПД обратимого цикла Карно не зависит от состава рабочего тела и определяется только температурами нагревателя T1 (ВИТ) и холодильника T2 (НИТ).

Все реальные процессы являются необратимыми, так как всегда сопровождаются дополнительными потерями энергии в окружающую среду, то есть:

Откуда из (182):

(184)

Подставим в (184) значения из (182) и (183) и получим:

,

откуда окончательно:

(185)

Формула (185) справедлива для необратимых процессов.

Для обратимых процессов, когда , из (182) и (184) получим:

,

откуда для обратимых процессов:

(186)

Рассмотрим на рис. 18 произвольный прямой обратимый цикл 1-а-2-в-1 и разобьем его бесчисленным числом адиабат, добавим к ним элементарные изотермические участки и образуем таким образом бесчисленное количество элементарных циклов Карно:

Рис. 18. Произвольный прямой обратимый цикл

Для элементарного цикла Карно уравнение (186) запишется следующим образом:

(187)

Проинтегрируем (187) по замкнутому контуру:

или (188)

Из математики известно, что равенство нулю линейного интеграла по замкнутому контуру означает наличие полного дифференциала в качестве подинтегральной функции.

Для обратимых процессов dQ/Т = dS, поэтому из (188) следует, что dS является полным дифференциалом, и, соответственно, энтропия является функцией состояния. Изменение S не зависит от пути перехода и определяется только ее значениями в начальном и конечном состояниях: ?S=S2-S1.

Для необратимых процессов dQ T dS.

На рис. 19 изображен гипотетический цикл, часть которого (1-а-2) является обратимой, а оставшаяся (2-в-1) - необратимой. Суммарно такой процесс является необратимым. Для элементарного прямого необратимого цикла Карно (185) запишется следующим образом:

(189)

Рис. 19. Гипотетический произвольный суммарно необратимый прямой цикл

Проинтегрируем (193) по замкнутому контуру:

,

откуда:

?S=S2-S1>

Или после дифференцирования:

(190)

В необратимых процессах изменение энтропии всегда больше, нежели в обратимых процессах.

Клаузиус предположил, что все процессы в масштабах Вселенной являются суммарно - адиабатными, для которых dQ = 0. Тогда из (190), получаем:

(195)

Уравнение (191) называют математической формулировкой второго закона термодинамики.

Энтропия - это мера неупорядоченности системы.

Sгаза>Sжидк>Sтв.тел.

По Клаузиусу, теплота, переходя от более нагретых тел к менее нагретым телам, будет излучаться в космическое пространство, передаваться к другим космическим телам и через какое-то время температура во Вселенной должна выровняться. Для преобразования теплоты в работу необходимо иметь как минимум два источника теплоты (ВИТ и НИТ), но так как температура НИТ и ВИТ будет одинаковой, то преобразование теплоты в работу станет невозможным. Именно эта потеря энергией способности к преобразованиям называется тепловой смертью Вселенной.

Критика тепловой смерти Вселенной.

С философской точки зрения, у любого конца, есть свое начало, а в масштабах бесконечного вселенского времени таких чередований «начало-конец», «конец-начало», должно быть бесчисленное множество. Эта позиция хорошо согласуется с современной теорией пульсирующей Вселенной. Факт разбегания Вселенной установили по так называемому «красному смещению» (эффект Доплера): излучение удаляющихся тел смещается в красную часть спектра, а приближающихся - в фиолетовую («фиолетовое смещение»). С точки зрения статистической физики критику тепловой смерти дал Больцман, по которому термодинамическое состояние системы - это её наиболее вероятное состояние. Но наряду с наиболее вероятными состояниями, есть маловероятные, называемые флуктуациями. Процессы с dS>0 - это наиболее вероятные, но должны быть и флуктуации с dS<0, компенсирующие наиболее вероятные события.

И, наконец, последний аргумент. Строение Вселенной только начинает изучаться, поэтому считать ее адиабатической системой преждевременно…

Третьим законом термодинамики называют следствие тепловой теоремы Нернста (рассматривается в химической термодинамике). По этой теореме при T0, величина S0, поэтому получить абсолютный ноль температур невозможно так как при S = 0 все формы движения должны прекратится.

Размещено на Allbest.ru

...