Энергия. Работа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Энергия. Работа

1. Аналогия между вращательным и поступательным движением

Рассмотрев поступательное и вращательное движения можно установить аналогию между ними. В кинематике поступательного движения используются путь s, скорость и ускорение а. Их роль во вращательном движении играют угол поворота , угловая скорость и угловое ускорение е. В динамике поступательного движения применяются понятия силы , массы т и импульса Во вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы -- момент инерции I_z и роль импульса -- момент импульса Зная формулы поступательного движения легко записать формулы вращательного движения. Например, при равномерном движении пройденный путь вычисляется по формуле: s=t, а при вращательном угол поворота -- по формуле =t. Второй закон Ньютона и а основной закон динамики вращательного движения -- и При поступательном движении импульс тела равен а при вращательном движении момент импульса -- Эту аналогию можно продолжать и дальше.

2. Работа силы при поступательном движении. Мощность

Пусть тело (материальная точка) под действием постоянной силы , составляющей неизменный угол б с направлением перемещения, движется прямолинейно в некоторой системе отсчёта и проходит путь l. Тогда, как известно из школьного курса физики, работа A этой силы находится по формуле:

A=Flcos б =F_l l,(1)

Рассмотрим теперь общий случай вычисления работы, когда тело движется поступательно по криволинейной траектории под действием переменной силы. На пути l выделим элементарный участок dl, в пределах которого можно считать силу и угол б неизменными величинами, а сам участок -- прямолинейным. Тогда работу dA на этом участке найдём, используя формулу (1): dA=Fdlcos б. Работа A на всём пути равна сумме работ dA, т.е.

(2)

Значок l при интеграле означает, что интегрирование производится по всему пути l.

Формуле (2) можно придать иной вид, если воспользоваться скалярным произведением векторов. Тогда подынтегральное выражение dA запишется в виде: dA=Fdlcos б = где вектор элементарного перемещения, и

(3)

Из формулы (1) видно, что работа является алгебраической величиной. Знак работы зависит от угла б. Если угол б острый, то cos б > 0 и работа положительная, если же угол б тупой отрицательная.

В системе единиц СИ единицей работы является джоуль (Дж). Она вводится из формулы (1), в которой полагают cos б =1. 1 Дж это работа, которую совершает сила в 1 Н на пути 1 м при условии совпадения направлений силы и перемещения.

Для характеристики быстроты совершения работы вводится понятие мощности, равной работе, совершённой в единицу времени. Если элементарный промежуток времени dt совершается элементарная работа dA, то мощность Р равна

(4)

В системе единиц СИ мощность измеряется в ваттах (Вт). Как следует из (4), 1Вт=1 Дж / 1 с, т.е. 1 Вт это мощность, при которой за 1 с совершается работа в 1 Дж.

3. Работа силы при вращательном движении

Рассмотрим твёрдое тело, которое под действием переменной силы поворачивается вокруг оси z на некоторый угол ц. Эта сила создаёт момент сил М_z, вращающий тело. Сила направлена по касательной к окружности, по которой движется точка приложения силы. Поэтому угол =0. Учитывая это, по аналогии с формулой механической работы (см. (2)), находим выражение, по которому вычисляется работа при вращательном движении:

(5)

Работа будет положительной, если направление касательной составляющей силы совпадает с направлением вращения, и отрицательной при их противоположном направлении.

Механической энергией называют способность тела или системы тел совершать работу. Различают два вида механической энергии: кинетическая и потенциальная энергии.

4. Кинетическая энергия поступательного движения

Кинетической называется энергия, обусловленная движением тела. Она измеряется работой, которую совершает равнодействующая сила, чтобы разогнать тело из состояния покоя до данной скорости.

Пусть тело массой m начинает двигаться под действием равнодействующей силы . Тогда элементарная работа dA равна dA=Fdlcos б. В данном случае направление силы и перемещения совпадают. Поэтому =0, cos=1 и dl=·dt, где -- скорость, с которой движется тело в данный момент времени. Эта сила сообщает телу ускорение По второму закону Ньютона F=ma= Поэтому и полная работа А на пути l равна: Согласно определению, W_k = A, поэтому

(6)

Из формулы (6) следует, что значение кинетической энергии зависит от выбора системы отсчёта, поскольку скорости тел в различных системах отсчёта различны.

5. Кинетическая энергия вращательного движения

Пусть тело с моментом инерции I_z вращается относительно оси z с некоторой угловой скоростью . Тогда из формулы (6), пользуясь аналогией между поступательным и вращательным движениями, получаем:

(7)

Теорема о кинетической энергии

Пусть тело массой т движется поступательно. Под действием различных сил, приложенных к нему, скорость тела изменяется от до Тогда работа А этих сил равна

(8)

где W_k1 и W_k2 кинетическая энергия тела в начальном и конечном состоянии. Соотношение (8) называется теоремой о кинетической энергии. Его формулировка: работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии. Если тело одновременно участвует в поступательном и вращательном движениях, например, катится, то его кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии при этих движениях.

6. Консервативные и неконсервативные силы

Если на тело в каждой точке пространства действует какая-нибудь сила, то совокупность этих сил называют силовым полем или полем. Существует два вида полей потенциальные и непотенциальные (или вихревые). В потенциальных полях на тела, помещённые в них, действуют силы, зависящие только от координат тел. Эти силы получили название консервативных или потенциальных. Они обладают замечательным свойством: работа консервативных сил не зависит от пути переноса тела и определяется только его начальным и конечным положением. Отсюда следует, что при движении тела по замкнутому пути (рис.1) работа не совершается. Действительно, работа A на всём пути равна сумме работы A_1B2, совершаемой на пути 1B2, и работы A_2C1 на пути 2C1, т.е. А=A_1B2+A_2C1. Но работа A_2C1=-A_1C2, так как движение происходит в противоположном направлении и A_1B2=A_1C2. Тогда А=A_1B2 - A_1C2 = 0, что и требовалось доказать. Равенство нулю работы по замкнутому пути можно записать в виде

(9)

Значок "" на интеграле означает, что интегрирование производится по замкнутой кривой длиною l. Равенство (9) является математическим определением консервативных сил.

Рис. 1

В макромире имеется всего лишь три вида потенциальных сил гравитационная, упругая и электростатическая силы. К неконсервативным силам относятся силы трения, называемые диссипативными. В этом случае направления силы и всегда противоположны. Поэтому работа этих сил по любому пути отрицательная, вследствие чего тело непрерывно теряет кинетическую энергию.

7. Потенциальная энергия

Тела, находящиеся в потенциальном поле, обладают способностью в определённых условиях совершать работу. Например, тело, поднятое над Землёй, когда его отпускают, приходит в движение под действием гравитационной силы, совершая работу. Следовательно, тела в данном поле обладают энергией, которую называют потенциальной. Эта энергия зависит от расположения тел, создающих поле, и от положения тела в этом поле, т.е. она зависит от взаимного расположения взаимодействующих тел. Однако от взаимного расположения тел или частей одного и того же тела зависят силы взаимодействия между ними. Итак, энергия, обусловленная взаимодействием тел или частей одного и того же тела, называется потенциальной.

Величина потенциальной энергии тела может быть определена лишь с точностью до произвольной постоянной, значение которой зависит от выбора так называемого нулевого уровня, т.е. положения тела, в котором потенциальную энергию условно принимают за ноль. Потенциальная энергия равна той работе, которую совершают силы поля, действующие на тело, при переносе его из данной точки на нулевой уровень. Однако выбор нулевого уровня не отражается на физических законах.

Потенциальная энергия тела, находящегося в гравитационном поле, вычисляется по формуле:

и W_p=mgh,(10)

если за нулевой уровень энергии выбрать в бесконечности или на поверхности Земли. Здесь -- гравитационная постоянная, М -- масса Земли, m -- масса тела, h -- расстояние от тела до нулевого уровня, g -- ускорение свободного падения. Потенциальная энергия деформированной пружины находится по формуле:

(11)

вращательный энергия скорость мощность

где k и х -- коэффициент жёсткости и величина деформации пружины.

8. Теорема о потенциальной энергии

Работа A_p, совершаемая силами потенциального поля при переносе тела из положения 1 в положение 2, может быть выражена через потенциальные энергии W_p1 и W_p2 в этих положениях. Она равна

A_p=W_p1W_p2=(W_p2W_p1)=?W_p,(12)

т.е. работа сил потенциального поля равна уменьшению потенциальной энергии перемещаемого тела или изменению потенциальной энергии тела, взятому с обратным знаком. Соотношение (12) называют теоремой о кинетической энергии.

9. Закон сохранения механической энергии

Предположим, что тело движется в гравитационном поле Земли. На него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Тогда работа A при переходе тела из одного положения в другое складывается из работы Aнк силы сопротивления воздуха (неконсервативная сила) и работы Aк силы тяжести (консервативная сила), т.е. A=Aнк+Aк. Согласно теореме о кинетической энергии, запишем: A = Wк2 Wк1, где Wк1 и Wк2 кинетическая энергия тела в начальном и конечном положениях. Левые части последних равенств равны. Поэтому приравняем и их правые части, т.е. Aнк+ Aк = Wк2 Wк1. Согласно теореме о потенциальной энергии, Aк=Wp1Wp2, где Wp1 и Wp2 потенциальная энергия тела в данном поле в начальном и конечном положениях. Учитывая это, из предыдущего равенства получаем Aнк=(Wк2+Wp2) (Wк1 + Wp1). Величину W, равную сумме кинетической и потенциальной энергии тела, т.е. W = Wк+ Wp, называют полной механической энергией или механической энергией. Тогда Wк1+Wp1=W1 и Wк2+Wp2=W2, где W1 и W2 полная механическая энергия тела в начальном и конечном положении. Итак,

(13)

т.е. изменение полной механической энергии тела в силовом поле равно работе неконсервативных сил, действующих на него. Тело, находящееся в силовом поле, можно рассматривать как механическую систему, состоящую из тел, создающих поле, и самого тела. Поэтому возможна и другая формулировка выражения (13): изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил, действующих на неё.

Если на механическую систему и внутри неё действуют только консервативные силы, то Aнк = 0 и W2 = W1, т.е.

(14)

Следовательно, в механической системе, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энергия величина постоянная. В этом и состоит закон сохранения механической энергии.

10. Космические скорости

Исследование и освоение космоса осуществляется космическими аппаратами, запускаемыми с Земли. Для их запуска в зависимости от их назначения им сообщают различные скорости, называемые космическими. Первой космической скоростью называется скорость, которой должно обладать тело, чтобы двигаться по круговой орбите вокруг Земли. Обозначим её через х. Пусть тело массой m движется по окружности радиуса r. На него действует сила притяжения к Земле, равная , где -- гравитационная постоянная, M масса Земли. Эта сила сообщает телу нормальное ускорение a_n = х ²/ r. Здесь х орбитальная скорость. Используя второй закон Ньютона, получаем: Отсюда

(13)

Но r = R + h, где R -- радиус Земли и h -- высота полёта спутника над Землёй. Поскольку радиус Земли (R 6400 км) намного больше высоты полёта спутника (h 300 м), можно считать, что r R. С учётом этого из (13) следует, что

(14)

поскольку ускорение свободного падения на поверхности Земли. Подставляя g₀9,8м/с² и R 6400 км = 6,410⁶ м в формулу (14), находим, что х ₁ 8 км/с.

Второй космической скоростью х₂ называют минимальное значение скорости, при которой тело преодолевает земное притяжение, т.е. уходит за его пределы. Для выхода за пределы земного тяготения тело должно обладать достаточной кинетической энергией. Примем на бесконечности потенциальную энергию равной нулю. Кинетическая энергия тела при этом также равна нулю, так как тело останавливается. Согласно закону сохранения механической энергии: W₂=W₁. Но и W₂=0. Учитывая это, получаем: и Но где g₀ ускорение свободного падения на поверхности Земли. С учётом этого имеем: где х₂ начальная скорость тела, равная второй космической скорости. Отсюда

(15)

Используя выражение (14), запишем х₂=х₁. Поскольку х₂8 км/с, то х₂11 км/с. Тело, обладающее второй космической скоростью, покидает Землю и становится спутником Солнца, т.е. оно будет двигаться вокруг Солнца подобно планетам Солнечной системы.

Скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, называют третьей космической скоростью. Эта скорость зависит от направления выхода тела из зоны действия земного притяжения. При запуске тела вдоль экватора в направлении движения Земли по орбите х₃17км/с.

Размещено на Allbest.ru