Расчет электрических цепей при импульсном воздействии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Расчет электрических цепей при импульсном воздействии

Введение

цепь импульсный спектральный сигнал

Цель курсовой работы состоит в систематизации и закреплении знаний, полученных при изучении классического, операторного и спектрального методов расчета процессов в линейных электрических цепях, а также теоретических основ анализа дискретных сигналов и линейных дискретных системах.

Задание на курсовую работу содержит схему анализируемой цепи рис. 1 и входной сигнал в виде одиночного импульса, параметры которого указаны на рисунке рис. 2.

Рисунок 1. Анализируемая схема

Рисунок 2. Входной сигнал

Все резисторы схемы имеют сопротивление R=1 кОм, индуктивность С=1 мкФ.

В процесс выполнения работы необходимо получить следующие результаты:

2.1 - рассчитать и построить график напряжения на выходе цепи, для этого необходимо получить аналитические выражения, описывающие U₂(t) на различных интервалах времени с помощью интеграла Дюамеля, воспользоваться программой «Определение реакции цепи на импульс заданной формы с помощью интеграла Дюамеля» (DML) и вычислить значения напряжения на выходе для 12 моментов времени и построить график, затем проверить полученные выражения на нескольких интервалах времени.

2.2 - вычислить передаточную функцию цепи H(jщ), спектральную плотность сигнала на входе и выходе цепи, построить соответствующие графики, для этого записать амплитудно- и фазо-частотные характеристики передаточной функции цепи H(щ) и Ф(щ), получить аналитические выражения спектральной плотности входного сигнала, выделив амплитудную и фазовую характеристики ее U₁(щ), и Ф₁(щ), рассчитать значения АЧХ и ФЧХ цепи, модуля и аргумента спектральной плотности сигнала на входе и выходе цепи с помощью программы «Спектральный метод расчета АЧХ и ФЧХ (FREAN)

2.3 - используя импульсную характеристику цепи, получить выражение для передаточной функции, для этого записать выражение для импульсной характеристики цепи, полученную как производную от переходной характеристики, подставить в формулу прямого одностороннего преобразования Фурье и после вычисления интеграла, записать в виде H(jщ).

2.4 - провести дискретизацию входного сигнала и импульсной характеристики цепи, вычислить отсчеты дискретного сигнала на выходе и построить графики спектра дискретизированного сигнала и АЧХ дискретизированной цепи, для этого среди вычисленных в 2.2 значений U₁(щ) выбрать максимальное и найти частоту, выше которой модуль спектральной плотности не превышает значения 0,1U_1max(щ), считая эту частоту верхней границей спектра, выбрать период дискретизации и определить значения функции входного сигнала в выбранных точках отсчета U₁(n), для тех же моментов времени вычислить дискретные значения импульсной характеристики цепи h(n), воспользовавшись формулой дискретной свертки или перемножив Z - преобразования функции дискретного входного сигнала U₁(z) и дискретной импульсной характеристики H(z), вычислить значения дискретной последовательности сигнала на выходе цепи U₂(n) на интервале времени 0?t<10T, сравнив результат со значениями U₂(t), полученными в 2.1.

2.5 - по отсчетам входного сигнала вычислить его спектральную плотность, для этого воспользовавшись аналогией между Z - преобразованием Фурье, вычислить значения спектральной плотности дискретного сигнала U₁(n) на 4-5 частотах, построить график спектральной плотности дискретизированного сигнала.

2.6 - составить схему дискретной цепи, выполнив Z - преобразование дискретизированной импульсной характеристики, для этого рассматривая Z - преобразование дискретной импульсной характеристики цепи как системную функцию, составить схему, рассчитать и построить график АЧХ дискретной цепи.

2.7 - определить передаточную функцию цепи, корректирующей искажения дискретного сигнала, вносимые сконструированной дискретной цепью, рассчитать дискретный сигнал на выходе корректора, для этого передаточная функция корректирующей цепи должна быть обратна передаточной функции цепи, полученной в 2.4, вычислив отсчеты импульсной характеристики корректирующей цепи H' (n) и применив операцию дискретной свертки к последовательностям U₂(n) и Н' (n) получить результат, совпадающий со значениями U₁(n), составить схему и построить графики АЧХ и ФЧХ корректирующей цепи.

2. Вычисление напряжения на выходе цепи U2 (t)

На вход цепи, изображенной на рис. 1 подается импульсный сигнал U₁(t), приведенный на рис. 2. Вычисляется переходная характеристика цепи, как реакция на входное воздействие в виде единичной функции 1 (t). Численно она равна напряжению на выходе цепи

g(t) = U₂(t)

Рисунок 3. Анализируемая схема

В момент коммутации при t>0

B

т.к. напряжение в конденсаторе скачком не меняется.

Рисунок 4. Анализируемая схема в момент коммутации

В принужденном режиме при t>?

Рисунок 5. Анализируемая схема в принужденном режиме

B

Переходная характеристика цепи

(1)

Запишем операторное сопротивление и приравняем 0

Весь отрезок времени 0?t<? разбивается на три интервала. Границы интервалов приходятся на моменты времени t₀ = 0, t₁ = 2 мс, t₂ = 4 мс

Значения функции входного сигнала U₁(t) и его производной на каждом из интервалов

1) интервал 0?t<t₁:

В момент t = 0 входной сигнал изменяется скачком от 0 до 10, следовательно,

U₁(0) = 10, В

U₁(t) = 10, В

U'₁(t) = 0, В/С.

2) интервал t₁?t<t₂:

U₁(t) = 0 В, а в пределах самого интервала U₁(t) = 20-2500t, В; U'₁(t) = -2500, В/С.

3) интервал t₂?t

U₁(t) = 0 В, и в пределах самого интервала сигнал отсутствует U₁(t) = 0, U'₁(t) = 0.

Реакция пассивной цепи на заданное воздействие определяется при помощи интеграла Дюамеля

Интеграл Дюамеля

1) 0<t<2

(3)

(4)

2) интервал 2?t<4:

(5)

3) интервал 4?t:

(6)

С помощью программы DML вычисляются значения U₂(t).

Результаты расчета приведены в табл. 1 и по ним построен график U₂(t) на рис. 6

Таблица 1. Значения U₂(t), вычисленные с помощью интеграла Дюамеля

t, мс	0	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2	2,25	2,5
U, В	0	0,929	1,427	1,693	1,836	1,912	1,953	1,975	1,987	1,964	1,898
t, мс	2,75	3	3,25	3,5	3,75	4	5	6
U, В	1,809	1,706	1,597	1,484	1,369	1,252	0,103	0,008



Рисунок 6. График зависимости выходного сигнала от времени

Для проверки правильности нахождения интеграла Дюамеля подставляем t в формулы полученные выше и сверяем с результатами, полученными компьютерным путем:

(на первом отрезке)

(на первом отрезке)

(на втором отрезке)

(на третьем отрезке)

Результаты практически сходятся. Это позволяет сделать вывод о правильности расчетов.

3. Вычисление спектра сигнала на входе и на выходе цепи

Для нахождения спектральной плотности входного сигнала функция U₁(t) представляется в виде суммы «четырех» простейших функций:



Рисунок 7. Представление входного сигнала U1 (t) в виде суммы четырех функций времени

(t>0 мс)

(t<0 мс) изображение (7)

мс t>2

мс t<2 изображение (8)

мс t>2

мс t<2 изображение (9)

мс t>4

мс t<4 изображение (10)

Изображение входного сигнала записывается как сумма изображений «простейших» функции.

 (11)

Заменяя в последнем выражении p на jщ, получаем спектральную плотность входного сигнала

(12)

Обозначим действительную часть как A, а мнимую как В. Тогда получим амплитудная характеристика спектральной плотности входного сигнала

(13)

Фазовая характеристика его

(14)

Передаточная функция по напряжению цепи, изображенной на рис. 1

(15)

где -общий ток

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) этой цепи

Фазо-частотная характеристика ФЧХ

Амплитудная характеристика спектральной плотности сигнала на выходе цепи записывается в виде

(16)

Вычисление моделей и аргументов спектральных плотностей на входе и выходе цепи, а также АЧХ и ФЧХ ее производится с помощью программы «FREAN».

Результаты расчетов приведены в таблице 2, а графики функций, построенные по этим данным - на рисунках

Таблица 2. Результаты расчетов

F, кГц	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
U1 (w), мВс	35	27,32	10,73	3,81	5,5	1,59	3,91	2,46	1,73	2,5	0,8
Ф1 (w), ?	0	64,5	121,2	63	97,5	90,4	75,4	120	61,3	99,8	90,7
H(w)	0,2	0,194	0,1787	0,1597	0,141	0,1246	0,111	0,0989	0,0891	0,0809	0,074
Фн(w), ?	0	-14,1	-26,67	-37	-45,1	-51,47	-56,44	-60,37	-63,54	-66,14	-68,29
U2 (w), мВс	7,00	5,30	1,92	0,61	0,78	0,20	0,43	0,24	0,15	0,20	0,06
Ф2 (w), ?	0	50,4	94,5	26,0	52,4	38,9	19,0	59,6	-2,2	33,7	22,4

F, кГц	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
U1 (w), мВс	2,1	1,38	1,11	1,62	0,53	1,44	0,96	0,81	1,2
Ф1 (w), ?	76,5	119,7	61	100,3	91,1	76,8	119,5	60,8	100,5
H(w)	0,0681	0,063	0,0586	0,0547	0,051	0,0483	0,046	0,0432	0,041
Фн(w), ?	-70,1	-71,65	-72,97	-74,13	-75,1	-76,03	-76,82	-77,53	-78,17
U2 (w), мВс	0,14	0,09	0,07	0,09	0,03	0,07	0,04	0,03	0,05
Ф2 (w), ?	6,4	48,1	-12,0	26,2	16,0	0,8	42,7	-16,7	22,3

Рисунок 7. Амплитудные характеристики спектров сигналов на входе и выходе цепи



Рисунок 8. Фазовые характеристики спектров сигналов на входе и выходе цепи и ее частотные свойства

4. Связь между импульсной характеристикой и передаточной функцией цепи

Временные и частотные характеристики цепи связаны между собой формулами преобразования Фурье. По найденной в п. 2.1 переходной характеристике вычисляется импульсная характеристика цепи (рисунок 1)

(17)

5. Дискретизация входного сигнала и импульсной характеристики

Пусть принимается за верхнюю границу спектра входного сигнала .Тогда по теореме Котельникова частота дискретизации кГц. Откуда период дискретизации T=0.2 мс

По графику, изображенному на рис. 2, определяем значения дискретных отсчетов входного сигнала U₁(n) для t моментов дискретизации.

Дискретные значения импульсной характеристики вычисляются по формуле

(18)

где T=0.0002 с; n=0, 1, 2,…., 20.

Таблица 3. Дискретные значения функции входного сигнала и импульсной характеристики

t, c	n	U1 (n)	H(n)
0	0	5	0,1
0,0002	1	10	0,06065
0,0004	2	10	0,03679
0,0006	3	10	0,02231
0,0008	4	10	0,01353
0,001	5	10	0,00821
0,0012	6	10	0,00498
0,0014	7	10	0,00302
0,0016	8	10	0,00183
0,0018	9	10	0,00111
0,002	10	10	0,00067
0,0022	11	9,5	0,00041
0,0024	12	9	0,00025
0,0026	13	8,5	0,00015
0,0028	14	8	9,1E-05
0,003	15	7,5	5,5E-05
0,0032	16	7	3,4E-05
0,0034	17	6,5	2E-05
0,0036	18	6	1,2E-05
0,0038	19	5,5	7,5E-06
0,004	20	2,5	4,5E-06

Дискретные значения сигнала на выходе цепи вычисляются для первых 8 отсчетов с помощью формулы дискретной свертки.

Таблица 4. Дискретный сигнал на выходе цепи

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t, мс	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
U2 (n)	0,500	1,303	1,790	2,086	2,265	2,374	2,440	2,480	2,504	2,519	2,528

n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
t, мс	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2
U2 (n)	2,483	2,406	2,309	2,201	2,085	1,964	1,842	1,717	1,591	1,215

Сопоставление результатов расчета с данными таблицы 1 показывает, что различие в значениях U₂(t), вычисленные с помощью интеграла Дюамеля и путем дискретизации сигнала и импульсной характеристики отличаются на несколько десятых, что является допустимым отклонением при данных начальных параметрах.



Рисунок 9. Значение дискретного сигнала на входе цепи

Рисунок 10. Значение дискретного сигнала на выходе цепи

Рисунок 11. Значение дискретных отсчетов импульсной характеристики цепи H(n)

6. Спектральные характеристики дискретизированного сигнала

цепь импульсный спектральный сигнал

Спектральные характеристики дискретизированного сигнала U₁(n) могут быть вычислены на любой частоте, однако для сокращения объема расчетов целесообразно ограничиться 4 значениями частоты.

Спектральная плотность дискретизированного сигнала U₁(n) на любой частоте может быть вычислена по формуле:

(20)

На частотах:

1) f₁=0 Гц

щ₁=0 рад/с

U₁(щ₁)= 35 мВс

2) f₂=0.625 кГц

U₁(щ₂)=3,986 мВс

3) f₃=1,25 кГц

U₁(щ₃)=0,644 мВс

4) f₄=2,5 кГц

U₁(щ₄)=0,319 мВс

Таблица 5. Спектральная плотность дискретизированного сигнала

F, кГц	0	0,625	1,25	2,5
U1(щ), мВс	35	3,986	0,644	0,319



Рисунок 12. График спектральной плотности дискретизированного сигнала.

Сравнив полученные результаты с результатами расчета плотности входного сигнала на данных частотах, полученные в пункте 2.2, можно сделать вывод, что они отличается незначительно на всех частотах, поэтому график спектральной плотности будет аналогичен графику спектральной плотности входного сигнала. Чтобы получить более точный график следует взять больше расчетных частот.

7. Синтез схемы дискретной цепи

Z - преобразование импульсной характеристики цепи, дискретные значения которой H(n) приведены в пункте 2.4, записывается в виде

Учитывая, что Z - преобразование входного и выходного дискретных сигналов связаны между собой соотношением

, можем записать (21)



Схема дискретной цепи, реализующая это соотношение имеет вид

Рисунок 13. Z - преобразование схемы дискретной цепи

a₀=0.1 b₁=0.6065

Z^-1 - Z - преобразование блока памяти с задержкой на один период дискретизации

Коэффициенты передачи масштабных усилителей a₀, b₁ те же, что и в предыдущей схеме. T - элемент памяти с задержкой на один период дискретизации.

Передаточная функция дискретной цепи

(22)

АЧХ дискретной цепи тогда имеет вид

Таблица 6. Значения АЧХ дискретной цепи

f, кГц	0	1	2	3	4	5	6	7	8
H(щ)	0,256	0,1	0,065	0,065	0,1	0,256	0,1	0,065	0,065

Рисунок 14. АЧХ дискретной цепи

8. Передаточная функция корректирующей цепи

Компенсация искажений сигнала, вносимых заданной цепью может быть выполнена с помощью корректора, подключаемого к входу или выходу цепи. Различают амплитудные и фазовые корректоры, которые служат соответственно для корректирования АЧХ и ФЧХ искажающего четырехполюсника. При этом передаточная функция всей схемы должна быть постоянной величиной, не зависящей от частоты.

Реализация пассивной схемы корректора в аналоговой форме даже для простейших цепей технически сложная и в большинстве случаев невыполнимая задача, т.к. требуется создать схему, матрица А-параметров которой обратна матрице А-параметров исходной цепи.

Значительно проще проблема коррекции искажений решается при обработке дискретизированного сигнала. В этом случае Z - преобразование передаточной функции корректора H' (Z) находится как величина, обратная H(Z) исходной цепи, вычисленной в пункте 2.6.

(23)

H`[n]={}

Дискретные значения сигнала на выходе корректора вычисляются с помощью дискретной свертки.

(24)

Таблица 7. Дискретные значения импульсной характеристики корректора и сигнала на выходе

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8
t, мс	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4	1,6
H`(n)	10	-6,065	0	0	0	0	0	0	0
U`2(n)	5,000	10,000	10,000	10,001	10,001	10,001	10,001	10,001	10,001

Схема дискретной цепи, реализующая функцию корректора в соответствии с формулой в канонической форме имеет вид:

Рисунок 15. Схема дискретной цепи

a₀=10 а₁=-6,065

Аналитическое выражение передаточной функции корректирующей цепи

(25)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) корректирующей цепи

Таблица 8. Значения АЧХ корректирующей цепи

f, кГц	0	1	2	3	4	5	6	7	8
H`(щ)	4,948	15,389	19,958	16,911	7,411	4,917	15,369	19,956	16,928

Рисунок 16. АЧХ корректирующей цепи

Заключение

При выполнении курсового проекта мной были получены следующие результаты:

1. значения напряжений на выходе цепи при расчете интегралом Дюамеля и при помощи дискретизации сигналов практически совпадают

2. значение спектральной плотности входного сигнала на определенной частоте совпадает, с небольшой погрешностью, со значениями, вычисленными используя суммирование дискретного входного сигнала

3. дискретные отсчеты входного сигнала равны дискретным значениям сигнала на выходе корректора, применяемого для компенсации искажений сигнала, вносимых заданной цепью

Таким образом, существует ряд методов расчета цепей, применение которых дает одни и те же результаты. Эти методы позволяют рассчитать необходимые параметры цепи и сигнала, а также решать ряд задач, связанных с процессами в электрических цепях.

Литература

1. Бакалов В.П. Воробиенко П.П. Крук Б.И. «Теория электрических цепей». М.: Радио и связь, 1998

2. Шебес М.Р. Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. М.: Высшая школа, 1990

3. Тихобаев В.Г. Расчет электрических цепей при импульсном воздействии (методические указания к курсовой работе). Новосибирск: СибГУТИ, 2001

Размещено на Allbest.ru

...