Кинематика материальной точки и механика твёрдого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ «ГОРНЫЙ»

Кафедра общей и технической физики

Контрольная работа

«Кинематика материальной точки и механика твёрдого тела»

Выполнила: студентка гр. ТПП-13 Белова Д.В.

Проверил: профессор Федорцов А.Б.

Санкт-Петербург 2014

Задание

Шар радиусом R=0.2 м и массой m=3 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению ?(t)=E-F*t, где E=5 рад и F=4 рад/с, и одновременно движется поступательно согласно уравнению x(t)=B*t+C*t² -D*t³, где B=10 м/с, С=5 м/с² и D=0.5 м/с³, в направлении вектора момента импульса. На поверхности шара на максимальном удалении от оси вращения нанесена точка N.

1. Рассчитать для 10 значений времени t, лежащих в интервале от 3,4 до 8 с:

А) Полную скорость н(t) точки N;

Б) Кинетическую энергию шара Е_k(t);

В) Положение шара по координате x(t).

2. Построить по рассчитанным значениям величин зависимости: V(t); E_k(t) и x(t) в интервале времени от 3,4 до 8 с.

3. Рассчитать:

1. Среднюю угловую скорость щ шара за интервал времени от 3,4 до 8 с.

2. Среднее значение углового ускорения за этот же интервал времени.

3. Момент сил М, действующих на шар в момент времени t₂=8 c.

4. Момент импульса шара L в момент времени t₂=8 c.

5. Работу сил, обеспечивающих движение шара за интервал времени от 3,4 до 8 с.

Вращательное движение -- вид механического движения. При вращательном движении материальной точки она описывает окружность. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела все его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной.

Скорость -- векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки относительно выбранной системы отсчёта; по определению, равна производной радиус-вектора точки по времени. Этим же словом называют и скалярную величину -- либо модуль вектора скорости, либо алгебраическую скорость точки, т. е. проекцию этого вектора на касательную к траектории точки.

Вектор скорости материальной точки в каждый момент времени определяется как производная по времени радиус-вектора текущего положения этой точки, так что:

Угловая скорость -- физическая величина, являющаяся псевдовектором и характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения в единицу времени:

,

Угловое ускорение -- псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости материальной точки.

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно -- при замедленном).

При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости по времени, то есть

,

Момент силы -- векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы -- по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы -- производная по времени от момента импульса,

,

где -- момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.

,

То есть, если I постоянная, то

,

где -- угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. физический скалярный энергия

Для систем, совершающих вращение как целое (как абсолютно твёрдое тело) вокруг одной из осей симметрии (или, обобщенно -- вокруг так называемых главных осей инерции тела), справедливо соотношение

где -- момент инерции относительно оси вращения, -- вектор угловой скорости

Энергия -- скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и взаимодействия материи, мерой перехода движения материи из одних форм в другие.

Механическая работа -- это физическая величина, являющаяся скалярной количественной мерой действия силы или сил на тело или систему, зависящая от численной величины, направления силы (сил) и от перемещения точки (точек), тела или системы.

Момент инерции -- скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где m_i -- масса i-й точки, r_i -- расстояние от i-й точки до оси.

Решение.

Пусть N - точка, максимально удаленная от оси вращения шара. Точка будет совершать сложное движение: относительное движение - движение по окружности с линейной скоростью и переносное движение - прямолинейное движение со скоростью . Абсолютное движение - движение по винтовой линии со скоростью .

1. Полная скорость точки

Относительная скорость точки:

.

Поскольку угловая скорость щ=-4 с^-1, т.е. величина постоянная, то в любой момент времени относительная скорость:

.

Переносная скорость точки:

.

В момент времени переносная скорость:

.

В момент времени переносная скорость:

.

Знак «-» означает, что скорость направлена в противоположную сторону. Полная скорость точки:

.

Полная скорость точки в момент времени :

.

Полная скорость точки в момент времени :

.

1.Б Кинетическая энергия шара равна сумме кинетической энергии поступательного движение шара и сумме кинетической энергии его вращения:

.

В момент времени угловая скорость вращения шара , переносная скорость н=26,7 м/с, а полная кинетическая энергия:

.

В момент времени угловая скорость вращения шара , переносная скорость н=-6 м/с, а полная кинетическая энергия:

.

1.В. Положение шара по координате x(t)

В момент времени положение шара:

м

В момент времени положение шара:

м

2. Построение графиков зависимости V(t); E_k(t) и x(t) в интервале времени от 3,4 до 8 с.

Зависимость модуля скорости точки от времени: v(t), м/с

Зависимость энергии от времени: Ek(t), Дж

Зависимость координаты точки от времени: x(t), м

3.1. Средняя угловая скорость шара за промежуток времени от до :

.

3.2. Среднее угловое ускорение шара:

.

3.3. Момент сил, действующих на шар:

,

где - момент инерции шара относительно оси проходящей через центр масс, - угловое ускорение в момент времени . Угловое ускорение:

.

Тогда

.

3.4. Момент импульса шара в момент времени :

,

где в любой момент времени. Тогда

.

3.5. Работа шара равна изменению кинетической энергии шара:

.

Вывод

Выполняя данное расчетно-графическое задание, был определен целый спектр различных значений для характеристик движения материальной точки, таких как: кинетическая энергия, полная скорость точки, средняя угловая скорость, среднее угловое ускорение, момент сил, момент импульса, работа шара. Также были построены графики зависимости различных величин от времени, что позволило наиболее наглядно охарактеризовать движение материальной точки.

Размещено на Allbest.ru