• Введение
• § 1. Уравнение Шредингера в магнитном поле
• § 2. Движение в однородном магнитном поле
• § 3. Атом в магнитном поле
• § 4. Спин в переменном магнитном поле
• § 5. Плотность тока в магнитном поле
• Заключение

Введение

где s - величина спина частицы, а m - характерная для частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного момента равны m _z =mу/s. Отсюда видно, что коэффициент m (который и называют обычно просто величиной магнитного момента) представляет собой наибольшее возможное значение m, достигаемое при проекции спина у = s.

Отношение m/hs дает отношение собственного магнитного момента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси z). Как известно, для обычного (орбитального) момента это отношение равно е/2тс. Коэффициент же пропорциональности между собственным магнитным моментом и спином частицы оказывается иным. Для электрона он равен - е /тc, т.е. вдвое больше обычного значения (такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Дирака. Собственный магнитный момент электрона (спин 1/2) равен, следовательно, - m _B, где

(111.2)

Эту величину называют магнетоном Бора.

Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнетонах, определяемых как eh/2m_pc, где m_p - масса протона. Эксперимент дает для собственного магнитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, причем момент направлен по спину. Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магнетона.

Обратим внимание на то, что величины m, и s, стоящие в обоих сторонах равенства (111,1), как и следовало, одинаковы по своему векторному характеру; обе являются аксиальными векторам. Аналогичное же равенство для электрического дипольного момента d (d = const·s) противоречило бы симметрии по отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относительный знак обеих сторон равенства.

В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле может рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивистским эффектом, и его учет требует последовательной релятивистской теории.

В классической теории функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном поле имеет вид

где ц - скалярный, А - векторный потенциал поля, a р - обобщенный импульс частицы. Если частица не обладает спином, то переход к квантовой механике производится обычным

образом: обобщенный импульс надо заменить оператором p =-ih, и мы получим гамильтониан

H (111.3)

Если же частица обладает спином, то такая операция недостаточна. Дело в том, что собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем. В классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эффектом, исчезает при переходе к классическому пределу. Правильное выражение для гамильтониана получится путем введения (в 111,3) дополнительного члена - mН, соответствующего энергии магнитного момента m в поле Н. Таким образом, гамильтониан частицы, обладающей спином, имеет вид

H (111.4)

При раскрытии квадрата (p - ) ² надо иметь в виду, что оператор р, вообще говоря, не коммутативен с вектором A, являющимся функцией координат. Поэтому надо писать

H (111.5)

Согласно правилу коммутации оператора импульса с любой функцией координат имеем:

pA- Ap=-ih divA (111.6)

Таким образом, p и А коммутативны, если div A = 0. Это, в частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его векторный потенциал в виде

A= [Hr] (111,7)

Уравнение ih ?Ш/?t = HШ с гамильтонианом (111,4) представляет собой обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля. Волновые функции, на которые действует гамильтониан в этом уравнении, - симметричные спиноры ранга 2s.

Волновые функции частицы в электромагнитном поле обладают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потенциалов поля. Как известно, последние определены лишь с точностью до калибровочного преобразования

AA+f, цц- (111.8)

где f - произвольная функция координат и времени. Такое преобразование не отражается на значениях напряженностей поля. Ясно поэтому, что оно не должно существенно изменять также и решений волнового уравнения; в частности, должен оставаться неизменным квадрат | Ш |². Действительно легко убедиться в том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновременно с заменой (111,8) в гамильтониане произвести также и замену волновой функции согласно

ШШ exp (111.9)

Эта неоднозначность волновой функции не сказывается ни на какой имеющей физический смысл величине (в определение которой не входят в явном виде потенциалы).

В классической механике обобщенный импульс частицы связан c её скоростью соотношением mv = p-eA/c.

движение атом магнитное поле

Для того чтобы найти оператор v в квантовой механике, надо прокоммутировать вектор r с гамильтонианом. Простое вычисление приводит к результату

mv = p- (111.10)

в точности аналогичному классическому. Для операторов компонент скорости имеют место правила коммутации

{ V_x,V_y }=i {V_y,V_z}=i

{V_z,V_x}= i (111.11)

которые легко проверить непосредственным вычислением. Мы видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скорости частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это значит, что частица не может иметь одновременно определенных значений скорости по всем трем направлениям.

При движении в магнитном поле симметрия по отношению к обращению времени имеет место лишь при условии изменения знака поля Н (и векторного потенциала А). Это значит, что уравнение Шредингера Hш = Eш должно сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным величинам и изменении знака Н. Для всех членов в гамильтониане (111,4), за исключением члена - sH, это непосредственно очевидно. Член же - sHш в уравнении Шредингера переходит при указанном преобразовании в s*Hш*, и на первый взгляд нарушает требуемую инвариантность, поскольку оператор s* не совпадает с - s.

Следует, однако, учесть, что волновая функция есть в действительности контрвариантный спинор ш^лм…, который при комплексном сопряжении переходит в ковариантный ш^лм…*. Ко-нтравариантным же является спинор ш_лм…^*. Находя компоненты (sHш) * и выражая их через ш_лм…^*, убеждаемся в том, что операция обращения времени приводит к уравнению Шредингера для компонент ш_лм…^* того же вида, который имело исходное уравнение для компонент ш^лм….

(µ_B - магнетон Бора). Оператор

(113,3)

можно рассматривать как оператор "собственного" магнитного момента атома, которым он обладает в отсутствие поля.

Внешнее магнитное поле расщепляет атомные уровни, снимая вырождение по направлениям полного момента (эффект Зеемана). Определим энергию этого расщепления для атомных уровней, характеризующихся определенными значениями квантовых чисел J, L, S (т.е. предполагая для уровней случай LS-связи).

Будем считать магнитное поле настолько слабым, что µ_B H мало по сравнению с расстояниями между уровнями энергии атома, в том числе по сравнению с интервалами тонкой структуры уровней. Тогда второй и третий члены в (113,2) можно рассматривать как возмущение, причем невозмущенными уровнями являются отдельные компоненты мультиплетов. В первом приближении третьим членом, квадратичным по полю, можно пренебречь по сравнению с линейным вторым членом.

В этом приближении энергия расщепления определяется средними значениями возмущения в состояниях (невозмущенных), отличающихся значениями проекции полного момента на направление поля. Выбрав это направление в качестве оси z, имеем

(113,4)

Среднее значение J _z, совпадает просто с заданным собственным значением J _z == m_j. Среднее же значение S можно найти следующим образом с помощью "поэтапного" усреднения.

Усредним сначала оператор S по состоянию атома c заданными значениями S, L и J, но не m_j. Усредненный таким образом оператор S может быть "направлен" лишь вдоль J - единственного сохраняющегося "вектора", характеризующего свободный атом. Поэтому можно написать

S=const J

В таком виде, однако, это равенство имеет лишь условный смысл, поскольку три компоненты вектора J не могут иметь одновременно определенных значений. Буквальный же смысл имеют его z-проекция

S_z=const J_z =const M_j

и равенство

SJ=const J² = const J (J+1)

получающиеся умножением обеих его сторон на J. Внеся сохраняющийся вектор J под знак среднего, пишем SJ = SJ. Среднее же значение SJ совпадает с собственным значением

SJ=1/2 [J (J+1) - L (L+1) +S (S+1)]

которому оно равно в состоянии с определенными значениями L², S², J². Определив const из второго равенства и подставив в первое, имеем, таким образом,

S_z=M_{J (}113.5)

Собрав полученные выражения и подставив в (113,4), находим следующее окончательное выражение для энергии расщепления:

(113.6)

где

g =1 + (113,7)

есть так называемый множитель Ланде или гиромагнитный множитель. Отметим, что g =1 если спин отсутствует (S = 0, таи что J = L), и g = 2, если L = 0 (так что J = S).

Формула (113,6) дает различные значения энергии для всех 2J + 1 значений m_J = - J, - J + 1,., J. Другими словами, магнитное поле полностью снимает вырождение уровней по направлениям момента - в противоположность электрическому полю, оставлявшему нерасщепленными уровни с m_J = ±| m_J |. Отметим, однако, что линейное расщепление, определяемое формулой (113,6), отсутствует, если g = 0 (что возможно и при J 0, например, для состояния ⁴D_1/2).

Cуществует связь между сдвигом уровня энергии атома в электрическом поле и его средним электрическим дипольным моментом. Аналогичная связь существует и в магнитном случае. Потенциальная энергия системы зарядов в классической теории дается выражением - -µН, где µ-магнитный момент системы. В квантовой теории она заменяется соответствующим оператором, так что гамильтониан системы

H=H_{o -} µH= H_o-µ_zH

Применив теперь формулу

(с полем Н в качестве параметра ), найдем, что среднее значение магнитного момента

µ_z= (113,8)

где - сдвиг уровня энергии данного состояния атома. Подставив сюда (113,6), мы видим, что атом в состоянии с определенным значением m_j проекции момента на некоторое направление z обладает средним магнитным моментом в том же направлении;

µ_z=µ_BgM_J (113,9)

Если атом не обладает ни спином, ни орбитальным моментом (S = L = 0), то второй член в (113,2) не дает смещения уровня ни в первом, ни в более высоких приближениях (так как все матричные элементы от L и S исчезают). Поэтому весь эффект связан в этом случае с третьим членом в (113,2) и в первом приближении теории возмущений смещение уровня равно среднему значению

(113.10)

Написав [Hr_a] ²=H²r²sin², где - угол между r_a и Н, и усреднив по направлениям r_a, получим sin²= 1 - cos² = 2/3 (волновая функция состояния с L = S = 0 сферически-симметрична и потому усреднение по направлениям производится независимо от усреднения по расстояниям r_a). Таким образом,

(113.11)

Магнитный момент, вычисленный по формуле (113,8), будет теперь пропорционален величине поля (атом с L = S = 0 в отсутствие поля магнитным моментом, конечно, не обладает). Написав его в виде Н, мы можем рассматривать коэффициент как магнитную восприимчивость атома. Для нее получим следующую формулу Ланжевена

= (113.12)

Эта величина отрицательна, т.е. атом диамагнитен.

Если же J == 0, но S = L 0, то линейное по полю смещение уровня тоже отсутствует, но квадратичный эффект второго приближения от возмущения - µ_atН превышает эффект (113,11). Это связано с тем, что, согласно общей формуле (38,10), поправка к собственному значению энергии во втором приближении определяется суммой выражений, в знаменателе которых стоят разности невозмущенных уровней энергии - в данном случае интервалы тонкой структуры уровня, являющиеся малыми величинами. В § 38 было отмечено, что поправка второго приближения к нормальному уровню всегда отрицательна. Поэтому магнитный момент в нормальном состоянии будет величиной положительной, т.е. атом, находящийся в нормальном состоянии J=0,L=S0, парамагнитен.

В сильных магнитных полях, когда µ_oН сравнимо с интервалами тонкой структуры или превышает их, расщепление уровней отклоняется от предсказываемого формулами (113,6) - (113,7); это явление называют эффектом Пашена-Бака.

Вычисление энергии расщепления весьма просто в случае, когда зеемановское расщепление велико по сравнению с интервалами тонкой структуры, но, конечно, по-прежнему мало по сравнению с расстояниями между различными мультиплетами (так что в гамильтониане (113,2) можно по-прежнему пренебречь третьим членом по сравнению со вторым). Другими словами, энергия в магнитном поле значительно превышает взаимодействие спин-орбита. Поэтому в первом приближении можно этим воздействием пренебречь. Тогда сохраняется не только проекция полного момента, но и проекции М_L и М_S орбитального момента и спина, так что расщепление определяется формулой

М_L +2 М_S) (113.13)

Мультиплетное расщепление накладывается на расщепление в магнитном поле. Оно определяется средним значением оператора

ALS по состоянию с данными М_L, М_S (мы рассматриваем Мультиплетное расщепление, связанное со взаимодействием спин-орбита). При заданном значении одной из компонент момента средние значения двух других равны нулю. Поэтому LS = М_L М_S, так что в следующем приближении энергия уровней определяется формулой

М_L +2 М_S) +A М_L М_S (113.14)

Вычисление зеемановского расщепления в общем случае произвольного (не LS) типа связи невозможно. Можно лишь утверждать,. что расщепление (в слабом поле) линейно по полю и пропорционально проекции m_j полного момента, т.е. имеет вид

(113.15)

где g_nJ - некоторые коэффициенты, характерные для данного терма (посредством n обозначаем совокупность квантовых чисел, кроме J, характеризующих терм). Хотя эти коэффициенты, каждый в отдельности, и не могут быть вычислены, оказывается возможным получить полезную в применениях формулу, определяющую их сумму, взятую по всем возможным состояниям атома с данной электронной конфигурацией и данным полным моментом. По определению,

g_nJ М_J=<nJ М_J|L_z+2S_z|nJ М_J>

Величины же g_SLJ М_J (g_SLJ - множитель Ланде (113,7), отвечающий LS-связи) являются диагональными матричными элементами

g_SLJ М_J=<SLJ М_J|L_z+2S_z|nJ М_J>

вычисленными по другой полной системе волновых функций. Функции каждой из этих систем получаются из другой системы линейным унитарным преобразованием. Но такое преобразование оставляет неизменной сумму диагональных элементов матрицы. Поэтому заключаем, что

g_nJ М_J = g_SLJ М_J

или, поскольку g_nJ и g_SLJ от М_J не зависят,

g_nJ = g_SLJ (113,16)

Суммирование производится по всем состояниям с данным значением J, которые возможны для данной электронной конфигурации. Это и есть искомое соотношение.

(выписана лишь та часть гамильтониана, которая зависит от спина).

В однородном поле этот оператор не содержит явно координат. Поэтому волновая функция частицы распадается на произведение координатной и спиновой функций. Из них первая есть просто волновая функция свободного движения; нас интересует ниже только спиновая часть. Покажем, что задача о частице с произвольным моментом s может быть сведена к более простой задаче о движении частицы со спином Ѕ. Для этого достаточно воспользоваться следующим приемом. Именно, вместо одной частицы со спином s можно формально ввести систему из 2s "частиц" со спином 1/2.

Оператор s при этом представляется в виде суммы операторов спина этих "частиц", а волновая функция - в виде произведения 2s спиноров первого ранга. Гамильтониан (114,1) распадается тогда на сумму 2s независимых гамильтонианов:

H=H_a, H_a = (114,2)

так что движение каждой из 2s "частиц" определяется независимо от других. После того как это сделано, достаточно снова ввести компоненты произвольного симметричного спинора ранга 2s вместо произведений компонент 2s спиноров первого ранга.