Методы разложения уравнений гидродинамики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Виды поправок

2. Гидродинамические уравнения идеальной жидкости

3. Флуктуации. Разложение уравнений с точностью до квадратичных членов

4. Влияние флуктуации

5. Поправочные члены к характеристикам звука

Заключение

Введение

Уравнения гидродинамики получаются путем разложения уравнений движения по градиентам скорости и термодинамических величин, причем в них учитываются члены вплоть до второго порядка по пространственным производным. В этом приближении вид уравнений, как известно, однозначно следует из одних только общих законов сохранения и потому одинаков для любых газов и жидкостей. Специфика проявляется лишь в термодинамических функциях и значениях кинетических коэффициентов.

1. Виды поправок

Иная ситуация возникает, как будет показано ниже, при переходе к следующему приближению. Существуют, вообще говоря, два совершенно различных типа поправок к гидродинамике. С одной стороны, это обычные «газокинетические» поправки, найденные Барнетом на основе уравнения Больцмана. Если ограничиться линеаризованными уравнениями, то в барнетовском приближении в уравнении Навье -- Стокса появляется добавочное слагаемое, пропорциональное третьей пространственной производной от температуры, порядок величины которого есть ,где -- волновой вектор или другая обратная характерная длина, --число частиц в единице объема, -- длина свободного пробега частиц, --характерная разность температур. С другой стороны, в данной работе будут вычислены флуктуационные поправки, обусловленные наличием длинноволновых тепловых флуктуации, в частности звуковых флуктуации. Поскольку поглощение звука пропорционадьно квадрату частоты (), звуковые флуктуации с достаточно малой частотой имеют как угодно большую длину свободного пробега. В этом заключается физическая причина того, что флуктуационный механизм является всегда основным для достаточно малых градиентов. Действительно, флуктуационная поправка к уравнению Навье -- Стокса, как будет видно ниже, по порядку величины равна , т. е. при достаточно малых она значительно превосходит газокинетическую поправку. Существенно, однако, что с ростом газокинетическая поправка становится основной при выполнении условия , где -- размер частиц, поэтому для газов () существует широкая область волновых векторов, в которой разложение по градиентам имеет смысл (), но флуктуационные поправки малы. Для жидкостей же и флуктуационные поправки всегда являются основными. Интересно отметить, что в этом случае поправочные члены не содержат никаких новых параметров и полностью выражаются через входящие в сами гидродинамические уравнения термодинамические функции и кинетические коэффициенты.

Важно подчеркнуть, что существует целый ряд явлений, которые отсутствуют в гидродинамическом приближении и потому целиком обусловлены именно поправками к гидродинамике. Например, в гидродинамике отсутствует термомеханический эффект, т. е. возникновение движения под действием градиента температуры при постоянном давлении. Такие явления в газах (при не очень малых ) и в жидкостях качественно отличаются друг от друга. В газах они описываются локальными барнетовскими уравнениями. В случае жидкостей из-за того, что флуктуационные поправки неаналитически зависят от , уравнения являются существенно нелокальными.

2. Гидродинамические уравнения идеальной жидкости

Будем исходить из гидродинамических уравнений идеальной жидкости, записанных в форме законов сохранения массы, импульса и энергии:

(1)

где -- плотность, -- скорость жидкости, -- давление, -- энергия единицы объема, -- тепловая функция единицы массы.

Первое из уравнений- это уравнение непрерывности. Рассмотрим некоторый объем пространства. Количество жидкости в этом объеме . Через элемент поверхности, ограничивающей этот объем в единицу времени вытекает жидкости. Вектор по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к ней. Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из данного объема есть

С другой стороны уменьшение количесва жидкости в объеме можно написать в виде

Приравнивая эти два выражения и преобразуя интеграл по поверхности к интегралу по объему получим:

и окончательно,

.

Второе уравнение- это уравнение потока импульса. Импульс единицы объёма жидкости есть . Скорость его изменения: . Вычисления производятся в тензорных обозначениях. Имеем:

.

Воспользуемся уравнением непрерывности, записав его в виде:

и уравнением Эйлера в форме:

.

Получим:

.

Первый член справа запишем в виде

и находим окончательно:

, .

3. Флуктуации. Разложение уравнений с точностью до квадратичных членов

Наличие тепловых флуктуации обусловливает появление малых поправок к гидродинамическим величинам, осциллирующих в пространстве и во времени. Для дальнейшего важно выяснить соотношение между волновыми векторами флуктуации, играющих основную роль, и волновым вектором гидродинамического движения. Пусть для определенности интересующим нас гидродинамическим движением является звуковая волна. Из полученных ниже формул видно, что основной вклад в поправочные члены вносят такие флуктуации, время затухания которых порядка обратной частоты гидродинамического движения. Поскольку время затухания любых флуктуации в жидкости обратно пропорционально квадрату волнового вектора , а частота звука пропорциональна первой степени , можно считать, что . Будем поэтому производить усреднение всех величин по объемам, линейные размеры которых значительно меньше , но значительно больше . Все линейные по амплитудам флуктуаций величины обращаются после такого усреднения в нуль:

,

и интересующий нас эффект возникает лишь во втором приближении по амплитуде флуктуации.

Произвольное малое возмущение в жидкости является суперпозицией звуковых, энтропийных и вихревых волн. Если в качестве независимых термодинамических переменных выбрать давление и энтропию единицы массы , то звуковые флуктуации соответствуют колебаниям давления и продольной части скорости , энтропийные флуктуации -- колебаниям , вихревые -- колебаниям поперечной части скорости при постоянных остальных переменных. Поскольку различные типы флуктуации можно считать статистически независимыми, средние значения от некоторых квадратичных комбинаций обращаются в нуль.

Например,

Разлагая уравнения (1) с точностью до квадратичных по амплитудам флуктуации членов и производя указанное выше усреднение, получим

(2)

где мы пренебрегли членами, не дающими вклада в интересующие нас линеаризованные уравнения.

Входящая в первое из уравнений (2) величина

(3)

является средней перенормированной плотностью жидкости. Аналогичным образом легко определить среднюю энтропию единицы объема:

(4)

и среднюю скорость

Если выбрать перенормированные величины , и в качестве новых независимых переменных, то можно переписать уравнения (2) в следующем виде:

(5)

где-- скорость звука,--теплоемкость единицы массы при постоянном давлении. Представим флуктуации в виде разложений:

где --нормировочный объем,--единичные взаимно перпендикулярные векторы, лежащие в плоскости, перпендикулярной направлению волнового вектора , и удовлетворяющие условию и введем функции распределения звуковых,

энтропийных,

и вихревых,

флуктуации.

Входящие в уравнения (5) средние значения выражаются через функции распределения следующим образом:

где . Подставляя эти формулы в уравнения (5), получим после простых преобразований

(6)

где введена перенормированная энтропия единицы массы.

В последнее из уравнений (6) под знаком временной производной кроме энтропии входит комбинация функций распределения, которая представляет собой «комбинаторную» энтропию флуктуации. Для дальнейшего удобно произвести еще одну перенормировку энтропии, включив в нее комбинаторную энтропию. Кроме того, во все уравнения вместо функций распределения можно подставить их отклонения , , от равновесных значений, поскольку равновесные флуктуации можно включить в определение термодинамических функций. В результате уравнения приобретают следующий вид:

(7)

Функция распределения звуковых флуктуации удовлетворяет обычному уравнению Больцмана

где---теплоемкость единицы массы при постоянном объеме,-- коэффициенты первой и второй вязкости,--коэффициент теплопроводности. Полагая , где --равновесная функция распределения, и линеаризуя кинетическое уравнение, найдем

(8)

где .

Входящие в правую часть уравнения (8) временные производные можно выразить через пространственные производные от скорости с помощью линеаризованных уравнений идеальной жидкости:

Неравновесная часть звуковой функции распределения, таким образом, равна

(9)

где -- частота и волновой вектор рассматриваемого гидродинамического движения.

В случае, когда мы интересуемся линеаризованными уравнениями, его можно записать в виде

где -- коэффициент температуропроводности. Равновесная функция равна . Отсюда тем же способом, что и выше, найдем неравновесную часть энтропийной функции распределения:

(10)

Функция распределения вихревых флуктуации удовлетворяет уравнению

откуда находим неравновесную часть :

(11)

При подстановке выражения (9) в последнее, например, из уравнений (7) под знаком дивергенции возникает, в частности, интеграл вида

Этот интеграл расходится в области больших , разность же конечна. Величина определяет вклад звуковых флуктуации в поток тепла при наличии постоянного в пространстве и во времени градиента температуры, т. е. вклад в статический коэффициент теплопроводности. Ясно, что регуляризация расходящегося интеграла должна заключаться в перенормировке коэффициента теплопроводности и вычитании из интеграла его значения при . Легко видеть, что все расходящиеся интегралы, получающиеся при подстановке формул (9) -- (11) в уравнения (7), могут быть аналогичным образом регуляризованы путем перенормировки статических кинетических коэффициентов .

4. Влияние флуктуации

В результате получаем следующие окончательные уравнения:

(12)

которые записаны в таком виде, чтобы был ясен вклад флуктуации в потоки импульса и тепла.

Тензоры определены следующими формулами:

Часть поправок к гидродинамическим уравнениям эквивалентна, таким образом, появлению дисперсии (временной и пространственной) кинетических коэффициентов. Кроме того, в выражении для потока тепла появляются члены с градиентами скорости и соответственно в тензоре потока импульса с градиентами температуры. Приведенное выше соотношение между тензорами и находится в согласии с принципом симметрии кинетических коэффициентов.

5. Поправочные члены к характеристикам звука

Полученные уравнения могут быть использованы для вычисления низкочастотной дисперсии звука в жидкостях. Из уравнений (12) легко определить поправочные члены к фазовой скорости звука и к его затуханию .

В результате:

флуктуация гидродинамическое уравнение

где Ф -- безразмерная величина, равная

Относительные поправки к скорости звука и затуханию пропорциональны, таким образом, соответственно и .

Заключение

В результате преобразований видно, что флуктационный механизм является основным для достаточно малых градиентов и поправочные члены не содержат никаких новых параметров и полностью выражаются через входящие в сами гидродинамические уравнения термодинамические функции и кинетические коэффициенты, а основной вклад в поправочные члены вносят такие флуктуации, время затухания которых порядка обратной частоты гидродинамического движения. Также часть поправок к этим уравнениям эквивалентна, таким образом, появлению дисперсии (временной и пространственной) кинетических коэффициентов. Полученные уравнения используются для получения характеристик звука, например, дисперсии. Важно подчеркнуть, что существует целый ряд явлений, которые отсутствуют в гидродинамическои приближении и потому целиком обусловлены именно поправками к гидродинамике.

Литература

1.А.Ф.Андреев «Поправки к гидродинамике жидкостей», ЖЭТФ 1978г.

2.Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц «Теоретическая физика: Гидродинамика», т.6 1988г.

Размещено на Allbest.ru