Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство связи

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Курсовая Работа

по дисциплине «Теория Электрических Цепей»

Расчёт электрических фильтров

Выполнил студент

группы М-14 Лысай А.В

Проверила: Дежина Е.В

Новосибирск 2012

Содержание

фильтр полюс амплитудный спектр

Введение

Задание

1. Расчет и построение графиков амплитудного спектра радиоимпульсов

2. Формирование требований к полосовому фильтру

3. Формирование передаточной функции НЧ - прототипа

4. Реализация LC-прототипа

5. Реализация пассивного полосового фильтра

6. Расчет полюсов ARC-фильтра

7. Формирование передаточной функции

8. Расчет элементов схемы фильтра

9. Проверка результатов расчета

Литература

Введение

В данной курсовой работе выполняется конкретная техническая задача - расчет электрической цепи для выделения эффективной части спектра периодических радиоимпульсов с помощью полосового фильтра, по схеме пассивного LC-фильтра и по схеме активного ARC-фильтра.

Электрические фильтры - это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами: они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания частотных составляющих определенного спектра частот, лежащего в полосе пропускания, и подавления тех составляющих, частоты которых лежат за пределами полосы пропускания, т.е. в полосе непропускания или полосе задерживания.

В начале нашего столетия электрические фильтры, составленные из ряда катушек индуктивности и конденсаторов, получили широкое применение в технике. Благодаря их применению оказалось возможным осуществление многих магистралей дальней телефонной, телеграфной и других видов связи. В 30-е годы началось развитие современной теории построения электрических фильтров, основанной на использовании строгих математических методов наилучшего приближения функций, разработанных великим русским ученым и математиком П.Л. Чебышевым и его учениками и последователями. Применение этих методов позволило обеспечить построение электрических фильтров с нужными характеристиками при минимально необходимом числе элементов. Особенно быстрое и плодотворное развитие методов синтеза электрических цепей, и в частности электрических фильтров, достигнуто в результате применения ЭВМ и разработки специальных методов расчета. В настоящее время практическое применение получили кварцевые, электромеханические, активные RС - фильтры и другие.

По взаимному расположению полос пропускания и полос задерживания различают фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и режекторные фильтры (РФ).



Задание

Согласно заданию на курсовую работу на входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рис. 1.1) с параметрами: период следования импульсов Т_и = 105 мкс; длительность импульсов t_и = 40 мкс; период несущей частоты T_н = 10 мкс; амплитуда несущего колебания U_m.н = 12 В, имеющего форму гармонического u_н(t) = U_m.н Ч cosщ_нt. Фильтр должен обеспечить максимально допустимое ослабление в полосе пропускания ДА = А_мах = 3 дБ. Полное ослабление на границах полос не пропускания А_пол = 23 дБ. Сопротивление генератора радиоимпульсов R_г и сопротивление нагрузки R_H пассивного фильтра R_r = R_н = R = 1000 Ом (рис. 1.2). Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

Рисунок 1.2 Сопротивления нагрузок фильтра

Требуется рассчитать двусторонне нагруженный пассивный полосовой LC-фильтр и активный полосовой RC-фильтр для выделения эффективной части спектра радиоимпульсов, лежащей в полосе частот от (f_н - 1/t_и) до (f_н + 1/t_и) (главный «лепесток спектра»). Частоты полосы f_п1 и f_п2 границы полосы пропускания фильтров определяются крайними частотами в главном «лепестке спектра». Частоты f_з1 и f_з2 полосы задерживания (непропускания) фильтра определяются частотами первых дискретных составляющих, лежащими слева от (f_н - 1/t_и) и справа от (f_н + 1/t_и).

В ходе выполнения курсовой работы необходимо:

1. Рассчитать и построить график амплитудного спектра радиоимпульсов.

2. Определить частоты f?_п2 и f_з2 и рассчитать превышение амплитуды частоты f_п2 над амплитудой частоты f_з2 в децибелах в виде соотношения А? = 20lgU_mп/U_mз на входе фильтра.

3. Рассчитать минимально допустимое ослабление фильтра в полосе задерживания А_min = A_пол - А?.

4. Рассчитать порядок m НЧ-прототипа требуемого фильтра.

5. Получить выражение для передаточной функции НЧ-прототипа при аппроксимации его характеристики полиномом Чебышева.

6. Осуществить реализацию двухсторонне нагруженного полосового LC-фильтра

7. Осуществить реализацию полосового ARC-фильтра.

8. Привести ожидаемую характеристику ослабления полосового фильтра в зависимости от частоты, т.е. А = K(f).

9. Рассчитать ослабление ARC-фильтра на границах полосы пропускания и полосы непропускания (задерживания).

10. Привести схему ARC-полосового фильтра.



1. Расчет и построение графиков амплитудного спектра радиоимпульсов

Вначале находим несущую частоту:

Гц = 100 кГц

Затем рассчитываем частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:

кГц

кГц

кГц

кГц

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте f_H находится по формуле:

B (1.1)

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот (рис. 1.3).



Рисунок 1.3 Огибающая дискретного спектра периодических радиоимпульсов и дискретные составляющие внутри огибающей спектра

Внутри огибающей находятся спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами f_i, где i - номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле:

Учитывая, что

кГц

рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от f_H:

кГц

кГц

кГц

кГц

кГц

Частоты гармоник, лежащих слева от f_H, будут равны:

кГц

кГц

кГц

кГц

кГц

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся по формуле:

, (1.2)

где К = t_И/Т_Н - количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе.

,

Из анализа рис. 1.3 видно, что главный «лепесток спектра» занимает диапазон частот от 75 до 125 кГц. После расчета амплитуд по (1.2) их значения отразим в виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра (рис. 1.3).

2. Формирование требований к полосовому фильтру

Учитывая, что амплитуды спектральных составляющих на частотах 75 и 125 кГц равны нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 80.95 кГц до 119.05 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра f_п1 и f_п2 соответственно (рис. 2.1). Граничную частоту полосы непропускания f_з2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты (f_н + 1/t_и) = 125 кГц. Этой частотой является частота f₃ = 128.57 кГц. Следовательно, f_з2 = f₃ = 128.57 кГц.

Рисунок 2.1 Границы полосы пропускания и непропускания

Используя понятие центральной частоты ПП и ПН найдем центральную частоту ПП:

Тогда граничная частота f_З.1 полосы непропускания будет:

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник f₂ и f₃ спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной А_пол - полного ослабления:

дБ, где (2.1)

(2.2)

- исходная разница амплитуд второй и третьей гармоник в децибелах, найденная в ходе расчета спектра радиоимпульсов.

По (2.2) находим:

отсюда по (2.1):

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

Аппроксимацию передаточной функции выполним с помощью полинома Чебышева.



3. Формирование передаточной функции НЧ - прототипа

Найдем граничные частоты ПП и ПН НЧ - прототипа:

Найдем значения нормированных частот:

Требования к НЧ - прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 3.1.

Рисунок 3.1 Требования к НЧ

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП используя универсальное соотношение



, (где ш(?) - функция фильтрации) (3.1)

при А = ДА и ? = 1, когда ш(1) = Т_т(1) = 1:

Порядок фильтра Чебышева находится также из (3.1), но при А = A_min и ? =?₃, т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева T_m(?) = ch m arch ?, поэтому:

(3.2)

Для вычисления функции arch x воспользуемся соотношением:

.

После подстановки в (3.2) исходных данных и вычислений получим т = 2.27. Рассчитанное значение т округляем в большую сторону до целого числа, т = 3.

Полюсы нормированной передаточной функции НЧ - прототипа при ?A = 3 дБ:

(3.3)

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ - прототипа в виде:

,

где v(p) - полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

Производя вычисления, получим:

(3.4)

4. Реализация LC-прототипа

Для получения схемы НЧ - прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рис. 1.2) выражение для входного сопротивления Z_вх.1(p).



Подставляя в Z_BX.1(p) (4.1) значение v(p) из (3.4), после преобразований получим:

для фильтров Чебышева третьего порядка)

(4.1)

Формула (4.1) описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рис. 1.2 фильтр, нагруженный на сопротивление R_Н, это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу формула для Z_BX(p) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, Z_BX.1(p) (4.1) преобразуем к виду:

(4.2)

после чего производим ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: рС, 1/pL, l/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение (4.2) можно записать в виде цепной дроби:

, (4.3)



Рисунок 4.1 Схема фильтра

По (4.3) составляем схему (рис. 4.1), на которой С_1н = 3,349; L_2н ⁼ 0,712; С_3н ⁼ 3,349; R_г.н = R_н.н = R_нор.

Денормируем элементы схемы НЧ - прототипа, используя соотношения:

; ; R = R_нор •R_г, (4.4)

где щ_н⁼ щ_п.нч - нормирующая частота;

R_г - нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения (4.4) и значения щ_н и R_r получаем реальные значения элементов схемы НЧ - прототипа:

нФ

нФ

R_г = R_н = 1 • 10³ Ом = 1 кОм.



5. Реализация пассивного полосового фильтра

Из теории фильтров известно, что между частотами НЧ - прототипа и частотами щ_ПФ полосового фильтра существует соотношение

,(5.1)

где.

На этом основании (5.1) индуктивное сопротивление НЧ - прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами:

и ,(5.2)

а емкостное сопротивление НЧ - прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами:

и .(5.3)

Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рис. 4.1 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рис. 5.1.

Рисунок 5.1 Схема полосового фильтра

Элементы этой схемы рассчитаем по формулам (5.2) и (5.3):

Ф

6. Расчет полюсов ARC-фильтра

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к полосовому LС - фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LС-фильтра - ее полюсами (3.4). Формула пересчёта полюсов НЧ-прототипа в полюсы ПФ:

где

- полюсы передаточной функции НЧ - прототипа.

Найдем полюсы денормированной передаточной функции ПФ.

Вначале находим:

рад/с;

рад/с;

рад/с.

Затем сами полюсы:

(6.1.а)

;

; (6.1.б)

;

. (6.1.в)

Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ - прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной.

Их значения удобно представить в виде таблицы.

Таблица 2

Номера полюсов	Полюсы H(p)
	-б•104	±щ?104
1,2	3,5739	61,5771
3,5	2,0958	73,4143
4,5	1,4782	51,7803

Чередование пар полюсов в таблице 2 значения не имеет.



7. Формирование передаточной функции

Учитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид:

.

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

.(7.1)

Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле:

.

Коэффициенты в знаменателе (7.1) находятся по формулам:

; и ;(7.2)

где - значение полюсов (6.1).

;

;

;

;

;

.

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведем в таблицу 3.

Таблица 3

Номер сомножителя	Значение коэффициентов
	ai1	bi1	bi0
1	150910.84	71478.946	3.805Ч1011
2	150910.84	41915.37	5.394Ч1011
3	150910.84	29563.576	2.683Ч1011

Подставляя найденные коэффициенты в H(p) (7.1) получим:

(7.3)

8. Расчет элементов схемы фильтра

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис. 8.1).

Рисунок 8.1 ПФ на одном операционном усилителе

Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рис. 8.1, в виде:

(8.1)

Из формулы (8.1) видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции H(p) (7.3) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R₁, R₂, С₃, С₄, R₅ ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в двух последних формулах (7.3) и (8.1).

Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя первой формулы (7.3):

В системе (8.2) пять неизвестных и только три уравнения. Система не решаема. Поэтому зададимся значениями, например, емкостей конденсаторов С₃ и C₄ (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т. к. переменных конденсаторов с большой емкостью не существует).

Если принять С₃ = С₄ = 2 нФ, то решая (8.2) систему, получим:

R₁ = 3.313 кОм, R₅ = 13.99 кОм, R₂ = 47.645 Ом.

Составляя аналогичную систему для второго звена при тех же

С₃= С₄ = 2 нФ, получим:

R₁ = 3.313 кОм, R₅ = 23.858 кОм, R₂ = 19.541 Ом.

Аналогично для третьего звена:

R₁ = 3.313 кОм, R₅ = 33.825 кОм, R₂ = 27.774 Ом

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений R₁ и R₅ в каждом звене берутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление R₂ берется составным, из последовательно соединенных постоянного и переменного резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.

9. Проверка результатов расчета

Известно, что H(p) всего фильтра будет:

H(p)=H₁(p)H₂(p)H₃(p),(9.1)

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра.

Произведем замену переменной вида p = jщ в (8.1), в результате чего получаем выражение:

Находим модуль H(jщ) в виде:

(9.2)

Зная H(щ), легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

A(щ)=A₁(щ)+A₂(щ)+A₃(щ), (9.3)

где:

.(9.4)

Выполним расчет звеньев фильтра. Из предыдущего раздела (8) берем значения элементов С₁, С₂, R₁, R₅.

Подставляем эти значения в (9.2):

Все результаты сводим в таблицу 4.

Таблица 4

f, кГц	f з1	fп1	f0	fп2	fз2
	74.954	80.952	98.168	119.048	128.572
H1(щ)	0.438	0.604	2.111	0.604	0.438
H2(щ)	0.223	0.273	0.578	3.031	1.032
H3(щ)	1.463	4.299	0.82	0.387	0.317
H(щ)	0.143	0.708	1.019	0.655	0.143
A1(щ)	7.166	4.377	-6.491	4.377	7.166
A2(щ)	13.02	11.286	4.761	-9.632	-0.272
A3(щ)	-3.304	-12.667	1.566	8.255	9.988
A(щ)	16.882	2.996	-0.164	3.669	16.882

Из расчета ясно, что значение H(щ) (9.2) наиболее сильно зависит от величины сопротивления R₂, поэтому именно это сопротивление необходимо выбирать переменным.

На рис. 9.1 приведена ожидаемая теоретическая кривая зависимости ослабления фильтра от частоты. На рис. 9.2 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.

Рисунок 9.1 Зависимости ослабления фильтра от частоты

Рисунок 9.2 Принципиальная схема активного полосового фильтра

R₁, R₂, R₅ - сопротивление 1-го звена

R?₁, R?₂, R?₅ - сопротивление 2-го звена

R?₁, R?₂, R?₅ - сопротивление 3-го звена



Литература

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. «Основы теории цепей». Учебник-М.: Радио и связь, 2000 г.

2. Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. «Теория электрических цепей». Учебник - М.: Радио и связь, 1998 г.

3. Бакалов В.П., Рожков В.М., Сметанина М.И., Методические указания «Расчет электрических фильтров». Новосибирск, 2002 г.

4. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. - М.: Радио и связь, 1983 г.

Размещено на Allbest.ru

...