Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский институт электронной техники.

(Технический Университет)

Кафедра КФН.

Курсовая работа

по курсу: Квантовая теория и статистическая физика

Голохов М.Г.

Москва 2004 г.

Введение

В данной курсовой работе мы рассмотрим электропроводную ньютоновскую жидкость, в которой взвешено большее количество твердых сферических однородно намагниченных частиц. Мы также установим, что в гидродинамическом отношении суспензия сферических магнитных частиц в электропроводной жидкости в отсутствие внешних полей подобна суспензии эллипсоидов вращения в обычной жидкости.

Эффективная вязкость суспензии магнитных частиц в электропроводной жидкости

Для начала вычислим эффективную вязкость суспензии твердых шариков. Жидкость, в которой взвешено большое количество мелких твердых частиц (суспензия), можно рассматривать как однородную среду, если мы интересуемся явлениями, характеризующимися расстояниями, большими по сравнению с размерами частиц. Такая среда будет обладать эффективной вязкостью , отличной от вязкости основной жидкости. Эта вязкость может быть вычислена для случая малых концентраций взвешенных частиц (т.е. суммарный объем всех частиц предполагается малым по сравнению с объемом всей жидкости). Вычисления сравнительно просты для случая шарообразных частиц.

В качестве вспомогательной задачи необходимо предварительно рассмотреть влияние, которое оказывает один погруженный в жидкость твердый шарик на течение, обладающее постоянным градиентом скорости. Пусть невозмущенное шариком течение описывается линейным распределением скоростей

, (1)

где - постоянный симметрический тензор. Давление в жидкости при этом постоянно: ; условимся в дальнейшем отсчитывать давление от этого постоянного значения. В силу несжимаемости жидкости () тензор должен иметь равной нулю след:

. (2)

Пусть теперь в начало координат помещен шарик радиуса . Скорость измененного им течения обозначим посредством ; на бесконечности должно обращаться в нуль, но вблизи шарика отнюдь не мало по сравнению с . Из симметрии течения ясно, что шарик останется неподвижным, так что граничное условие гласит: при .

Рассмотрим уравнение Навье-Стокса для движений с малым числом Рейнольдса. Для стационарного движения несжимаемой жидкости это уравнение имеет вид

.

Член имеет порядок величины . Выражение же . Отношение первой величины ко второй есть как раз число Рейнольдса. Поэтому при членом можно пренебречь, и уравнение движения сводится к линейному уравнению

. (3)

Вместе с уравнением непрерывности

(4)

оно полностью определяет движение. Полезно также заметить уравнение

, (5)

получающееся применением операции к уравнению (3)

Рассмотрим прямолинейное и равномерное движение шара в вязкой жидкости. Эта задача вполне эквивалентна задаче об обтекании шара потоком жидкости, имеющим на бесконечность заданную скорость . Распределение скоростей в первой задаче получается из решения второй задачи просто вычитанием скорости ; тогда жидкость на бесконечности оказывается неподвижной, а шар движется со скоростью - . Если мы рассматриваем движение как стационарное, то надо, конечно, говорить именно об обтекании жидкостью неподвижного шара, так как при движущемся шаре скорость жидкости в каждой точке пространства меняется со временем.

Поскольку , то может быть представлена в виде ротора некоторого вектора :

,

причем обращается на бесконечность в нуль. Вектор должен быть аксиальным для того, чтобы его ротор был полярным вектором, как скорость. В задаче об обтекании полностью симметричного тела-шара-нет никаких выделенных направлений за исключением направления . Этот параметр должен входить в линейно - в виду линейности уравнения движения и граничных условий к нему. Общий вид векторной функции , удовлетворяющей всем этим требованиям, есть , где - единичный вектор в направлении радиус-вектора (начало координат выбираем в центре шара), а - скалярная функция от . Произведение можно представить в виде градиента некоторой другой функции . Таким образом, получаем

, (6)

где , , .

Искомое решение уравнений движения (3)-(5) может быть получено непосредственно из найденного решения (6), если заметить, что производные от последнего по координатам тоже являются решениями. В данном случае мы ищем решение, зависящее как от параметров от компонент тензора (а не от вектора ). Таковым является

,

где () обозначает вектор с компонентами . Раскрывая эти выражения и выбирая постоянные и в функции так, чтобы удовлетворить граничным условиям на поверхности шарика, получим в результате следующие формулы для скорости и давления:

, (7)

(8)

(- единичный вектор в направлении радиус-вектора).

Переходя теперь к самому вопросу об определении эффективной вязкости суспензии, вычислим среднее (по всему объему) значение тензора плотности потока импульса , совпадающего в линейном по скорости приближении с тензором напряжений - :

.

Интегрирование можно производить здесь по объему сферы большего радиуса, который затем устремляется к бесконечности.

Прежде всего, пишем тождественно:

. (9)

В стоящем здесь интеграле подынтегральное выражение отлично от нуля лишь внутри твердых шариков; ввиду предполагаемой малости концентрации суспензии его можно вычислять для одного отдельного шарика, как если бы других вообще не было, после чего результат должен быть умножен на концентрацию суспензии (число шариков в единице объема). Непосредственное вычисление такого интеграла требовало бы исследование внутренних напряжений в шариках. Можно, однако, обойти это затруднение путем преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности бесконечно удаленной сферы, проходящей только через жидкость. Для этого замечаем, что ввиду уравнения движения имеет место тождество

;

поэтому преобразование объемного интеграла в поверхностный дает

.

Член с мы опустили, имея в виду, что среднее давление непременно обращается в нуль (действительно, это есть скаляр, который должен определяться линейной комбинацией компонент тензора ; но единственный такой скаляр ).

При вычислении интеграла по сфере очень большого радиуса в выражении (7) для скорости следует, конечно, сохранить лишь члены ~. Простое вычисление дает для этого интеграла

,

где черта обозначает усреднение по направлениям единичного вектора . Искомые средние значения произведений компонент единичного вектора представляют собой симметричные тензоры, которые могут быть составлены только из единичных тензоров . Имея это в виду, легко найти, что

, .

Производя усреднение, получаем окончательно:

. (10)

Первое слагаемое в (10) после подстановки в него из (1) дает ; член же первого порядка малости в этом слагаемом тождественно обращается в ноль после усреднения по направлениям (как и должно было быть, поскольку весь эффект заключен в выделенном в (9) интеграле). Поэтому искомая относительная поправка в эффективной вязкости суспензии определяется отношением второго члена в (10) к первому. Таким образом, получим

, , (11)

где - малое отношение суммарного объема всех шариков к полному объему суспензии.

Уже для суспензии с частицами в виде эллипсоидов вращения и окончательные формулы становятся очень громоздкими. В потоке суспензии с нешарообразными частицами наличие градиентов скорости оказывает ориентирующее действие на частицы. Под влиянием одновременного воздействия ориентирующих гидродинамических сил и дезориентирующего вращательного броуновского движения устанавливается анизотропное распределение частиц по их ориентации в пространстве. Этот эффект, однако, не должен учитываться при вычислении поправки к вязкости : анизотропия ориентационного распределения сама зависит от градиентов скорости (в первом приближении - линейно) и ее учет привел бы к появлению в тензоре напряжений нелинейных по градиентам членов.

Представляет интерес изучить этот вопрос для суспензии магнитных частиц в электропроводной жидкости. Хотя в отсутствии внешних полей такая суспензия не обладает макроскопической намагниченностью и в ней нет макроскопических токов проводимости, локальные магнитные поля частиц и индуцируемые ими в окрестности частиц токи придают задаче большое своеобразие.

Рассмотрим электропроводную ньютоновскую жидкость* [см. стр. 11], в которой взвешено большое количество твердых сферических однородно намагниченных частиц. Вычислим эффективную вязкость и тензор вязких напряжений такой среды, следуя программе энергетического метода. Покажем, что в гидродинамическом отношении суспензия сферических намагниченных частиц в электропроводной жидкости подобна суспензии эллипсоидов вращения в обычной жидкости.

Отправной точкой энергетического метода является исследование магнитной гидродинамики в окрестности уединенной частицы, помещенной в потенциальный поток

магнитный электропроводный жидкость гидродинамика

. (12)

Здесь - постоянный тензор** [см. стр. 11] скорости деформации невозмущенного частицей течения. В случае чисто вязкого обтекания для скорости и давления найдено:

,

. (13)

Здесь - радиус частицы, - расстояние от начала координат, где помещена частица, - вязкость несущей жидкости. Расчет дополнительных возмущений, вносимых МГД-эффектами. В приближении малых значений чисел Гартмана, Рейнольдса и магнитного числа Рейнольдса для поправок давления , скорости , электрических потенциалов индуцированного поля в жидкости () и в частице () найдено:

,

, (14)

.

Здесь - величина магнитного момента частицы и - его орт, - коэффициенты электропроводимости жидкости () и частицы (), - скорость света.

Энергию, диссипируемую в единице объема суспензии за единицу времени, вычислим как произведение числа частиц в единице объема на вклад отдельной частицы:

. (15)

Здесь первый интеграл вычисляется по объему жидкости, а второй - частицы; далее

-

тензор напряжений в жидкости,

, () - (16)

плотность тока проводимости в жидкости и частице, - напряженность магнитного поля в жидкости. Отметим, что плотность тока в (16) определяется по чисто вязкому профилю скорости (13) и невозмущенной напряженности поля , . Учитывая уравнения движения

, ,

Имеем

.

Используя (16) и закон сохранения заряда , запишем

,

.

Тогда в первом приближении по возмущению

. (17)

Здесь - чисто вязкий вклад. Переходя в (17) к интегралам по поверхности и учитывая непрерывность на поверхности частицы электрического потенциала и нормальной компоненты тока, имеем

(18)

Здесь - внешняя поверхность объема , - нормаль к ней. При интегрировании по бесконечно удаленной поверхности сохранится вклад слагаемых в подынтегральном выражении, уменьшающихся с расстоянием как. Используя соотношения (13), (14), (16), найдем, что вклад электромагнитного слагаемого обращается в нуль, а в разложениях по степеням ненулевой вклад дадут члены разложения



;

; (19)

,

.

В результате интегрирования находим выражение через тензор скорости деформации невозмущенного течения

(20)

Здесь

, ,

;

,

, .

Средний тензор скорости вычисляется путем усреднения локального значения тензора скорости сдвига

,

по объему, содержащему большое число частиц. Окончательный результат вычислений, следующий:

. (21)

Здесь

,

. (22)

, .

Эффективная вязкость суспензии есть тензор четвертого ранга в выражении мощности диссипации через средний тензор скорости сдвига:

. (23)

Соотношение (23) можно получить из соотношения (10), подставив в него выражение для тензора скорости деформации невозмущенного течения через усредненный тензор деформации , разрешив уравнение (21) относительно :

. (24)

Здесь - тензор, обратный тензору , компоненты которого определяются системой уравнений

. (25)

Подставив (24) в (10) с учетом (23), получим следующее:

. (26)

Отыскиваем в виде комбинации определяющих тензорных параметров , квадратичной по , симметричной относительно перестановок индексов в первой и второй парах:

(27)

Подставляя (27) в (25) и собирая слагаемые при одинаковых тензорных комбинациях, находим неизвестные постоянные в (27) в виде

, ,

, .

С помощью (27), (28), (21), (26) находим

. (28)

Кинетические коэффициенты определяются формулами

, , ,

.

Здесь

, , ,

.

Производя вычисления по полученным формулам с сохранением членов ~ но отбрасывая ~, находим

,

, , . (29)

Выполненные расчеты отвечают полной аксиальной упорядоченности ориентации магнитных моментов. Если, наоборот, частицы ориентированы случайным образом, вязкость вырождается в скаляр:

. (30)

Вычисленная поправка сравнима с поправкой Эйнштейна при .

Для частиц железа и ртути это дает характерный размер см.

Тензор вязких напряжений в магнитной электропроводной суспензии, движущейся свободно, без воздействия внешних полей, есть

(31)

Соотношение (31) с точностью до коэффициентов тождественно известному результату для тензора вязких напряжений суспензии эллипсоидов вращения. Это естественно, поскольку в обоих случаях симметрия среды определяется вектором-направлением.

Для гидродинамического описания суспензии наряду с уравнениями

, (32)

необходимо привлечь уравнения изменения . Его можно получить, исключив в кинематическом соотношении

(33)

скорость вращения частицы с помощью уравнения баланса действующих на частицу моментов сил. Сферическая частица в потоке электропроводной жидкости испытывает ориентирующий момент

, .

Он уравновешивается моментом трения, который с учетом МГД-эффектов и с учетом соотношения (24)

,

МГД-поправка к моменту трения пропорциональна и зависит от взаимной ориентации векторов . Эта зависимость, однако мала (~10%), и можно считать

, .

Найдя из уравнения и подставляя его в (33), получим

. (34)

Сохраняя члены ~ и отбрасывая ~, имеем

.

Уравнение (34) с точностью до совпадает с уравнением динамики единичного вектора оси вращения эллипсоида.

Соотношения (31) и (34) показывают, что в гидродинамическом отношении суспензия сферических намагниченных частиц в электропроводной жидкости в отсутствие внешних полей подобна суспензии эллипсоидов вращения в обычной жидкости.

*Н.ж.- вязкая жидкость подчиняющаяся при своем течении закону вязкого трения Ньютона. Для прямолинейного ламинарного течения этот закон устанавливает наличие линейной зависимости между касательной напряжением в плоскостях соприкосновения слоев жидкости и производной от скорости течения по направлению нормали к этим плоскостям () - динамический коэффициент вязкости. В общем случае пространственного течения для Н.ж. имеет место линейная зависимость между тензорами напряжений и скоростей деформации . Свойствами Н.ж. обладают большинство жидкостей (вода, смазочное масло) и все газы. Жидкости, для которых указанные выше зависимости не являются линейными, называются неньютоновскими жидкостями. К ним относятся ряд суспензий и растворов полимеров.

**Тензор - абстрактный объект T, имеющий определенную систему компонент в каждой рассмотренной системе координат, такой, что при преобразовании координат его компоненты изменяются по вполне определенному закону. Каждая точка n-мерного пространства задается в выбранной системе координат набором n-чисел (). Переход от одной системы координат к другой означает преобразование и выполняются следующие свойства:

1. где и - непрерывно диф-мые функции;

2. якобиан преобразования ;

Тензор ранга 0 -тензор, имеющий только одну компоненту с одним и тем же значением, во всех координатных системах является скаляром. Примеры скаляров в физике - масса, заряд. Тензор ранга 1 является вектором. Примеры векторов в трехмерном пространстве - скорость, импульс, сила, напряженность электрических и магнитных полей. Некоторые тензоры ранга 2 также имеют специальные названия в геометрии и физике, теории римановых пространств и в теории относительности, тензор напряжений и тензор деформации в механике сплошной среды и т. д.

В заключение отметим, что при расчете диссипации мы не учитывали вклад, связанный с вращением частицы, отличным от квазитвердого вращения с жидкостью. Это привело бы к возникновению перекрестных эффектов между симметричной и антисимметричной составляющими тензора скорости деформации, имеющих второй порядок малости по . Использование стационарного решения для обтекания частицы обосновано малым временем установления профиля обтекания по сравнению с макроскопическим гидродинамическим временем: .

Список литературы

1. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т.3. М.: Наука, 1966.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

3. Покровский В.Н. Напряженность, вязкость и оптическая анизотропия движущейся суспензии жестких эллипсоидов.// УФН. 1971.

4. Берковский Б.М., Кашевский Б.Э., Порошин Ю.В. Магнитная частица в поле вязкой электропроводной жидкости.// Магнит. Гидродинамика. 1987.

Размещено на Allbest.ru

...