Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы

Выразим V₃, V₄,, , J₂, J₃ через скорость груза 1.

Положив V₁=V=V₂, получим

J₃=m₃i₃², J₂=, ,V₄= , , (1.7)

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5) в (1.6) с учетом (1.7), получаем:

(1.8)

T=, (1.9)

где m_пр= =3,68 кг (1.10)

Величину m_пр=const будем называть приведенной массой. Найдем производную от кинетической энергии по времени

(1.11)

Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения

(1.12)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т. е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

(1.13)

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы

Сумма мощностей остальных сил

(1.14)

или, раскрывая скалярные произведения,

(1.15)

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

В состоянии покоя приведенная сила равна нулю. Полагая , получаем условие равновесия системы

тогда, учитывая, что сила вязкого сопротивления

(1.16)

N^e=V F_{пр ,} (1.17)

(1.18)

Величину F_пр будем называть приведенной силой.

Подставим выражения для производной от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом (1.18) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения системы:

(1.19)

Запишем последнее уравнение в виде:

, (1.20)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

циклическая частота свободных колебаний,

k = 3,06 с^-1

показатель степени затухания колебаний.

n = 0,14 с^-1

Запишем начальные условия движения:

t=0 | . (1.21)

Выражения (1.20) и (1.21) совместно представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.

II. Определение закона движения системы

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.20).

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.20) складывается из общего решения однородного уравнения S_OD и частного решения S_Ч неоднородного: S = S_OD + S_Ч.

Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.20), имеет вид:

(2.2)

Решение этого уравнения ищем в виде функции

S = Ae^Lt , (2.3)

где А и L неопределенные постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:

(L² + 2nL + k²) Ae^Lt = 0

Так как мы ищем нетривиальное решение, то. Следовательно, должно выполняться условие

L² + 2nL + k² = 0. (2.4)

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Эти уравнение имеет два корня:

(2.5)

n < к, поэтому общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

(2.6)

где А₁,А₂ постоянные интегрирования,

(2.7)

k₁ = 3,06 c^-1

Решение (2.6), используя известные формулы Эйлера

,

нетрудно представить в виде:

S_{OD =} (2.8)

где постоянные интегрирования.

Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения

(2.9)

Частное решение ищем в виде правой части

(2.10)

Подставляя (2.10) в (2.9), после несложных преобразований получаем:

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных А и В:

.

Решая эту систему, получаем следующие выражения для коэффициентов А и В:

(2.11)

.

F₀ = 20 H, m_пр = 3.68 кг, k = 3.06 c^-1, n = 0.14 c^-1, .

A = -2,64 м

B = 4,68 м

Таким образом, решение (2.10) определено. Складывая (2.8) и (2.10), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.9)

(2.12)

Константы определяются из начальных условий (1.21). Для этого найдем производную по времени от (2.12)

(2.13)

Подчинив (2.12) и (2.13) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант

Решая эту систему, получаем:

. (2.14)

б = 5,54

tg в = 1,6

в = arctg(1,6) = 58

Подставляя (2.14) в (2.12), получаем закон движения механизма.

S = 5,54 е^-0,14t sin (0,36t+1,6) -2,64 sin (рt)+ 4,68cos (рt)

III. Определение реакций внешних и внутренних связей

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).

Рис.3. Расчетные схемы каждого тела механизма

Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс

(3.1)

(3.2)

В соответствии с расчетными схемами (рис.2) записываем уравнения (3.1) и (3.2) в проекциях на оси координат

тело 1: , (3.3)

тело 2: , (3.4)

3, (3.5)

(3.6)

(3.7)

, (3.8)

. (3.9)

С учетом кинематических соотношений (1.7) систему уравнений (3.3) (3.9) преобразуем к виду:

,

,

,

, (3.10)

,

,

Уравнения (3.10) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций: N₄, T₃₄, T₁₂,T_23, X₃, Y₃.

Решая эту систему, получаем и дифференциальное уравнение движения системы, и выражения для определения реакций.

,

X₃=,

,

,

T₃₂₌

IV. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа

. (4.1)

Здесь сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;

сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.4).

Рис. 4. Расчетная схема

Идеальные связи не учитывают и не отображают на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций ва любом возможном перемещении системы равна нулю. Пружина является неидеальной связью. Введем реакцию этой связи в число активных сил.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

(4.2)

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их, получаем после несложных преобразований

(4.3)

Аналогичное выражение для приведенной силы F_пр получено ранее [см. (1.18)].

Найдем возможную работу сил инерции:

(4.4)

Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения:

Ф₄=m₄ (4.5)

Используя кинематические соотношения (1.7), можно записать

(4.6)

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду

, (4.7)

m_пр=, (4.8)

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее [см.(1.10)]. Подставляя выражения (4.3) и (4.8) в общее уравнение динамики (4.1), получаем

(4.9)

Поделив (3.10) на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

, (4.10)

(4.11)

Дифференциальное уравнение (4.10) полностью совпадает с полученным ранее уравнением (1.20).

V. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода.

Составим теперь уравнения Лагранжа 2-го рода. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

, (5.1)

где Т кинетическая энергия системы;

Q обобщенная сила;

S обобщенная координата;

обобщенная скорость. Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее (1.9):

T=,

m_пр=,

Учитывая, что V = , получаем

T=, (5.2)

Производные от кинетической энергии

; ; . (5.3)

Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение (рис. 3) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см. (3.3)]:

.

С другой стороны для системы с одной степенью свободы

(5.4)

Сравнивая два последних соотношения, получаем