Вязкое затухание звуковых волн в сильных центробежных полях

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

ФАКУЛЬТЕТ ЭКСПЕРЕМЕНТАЛЬНОЙ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

КАФЕДРА МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

К ДИПЛОМНОМУ ПРОЕКТУ

НА ТЕМУ: «Вязкое затухание звуковых волн в сильных центробежных полях»

МОСКВА 2015 г.



АННОТАЦИЯ

Данная работа посвящена исследованию вязкого затухания звуковых волн, поляризованных вдоль оси вращения в сильных центробежных полях порядка . Такие поля обычно образуются в камере газовой центрифуги.Под воздействием этих полей звуковые волны распадаются на три семейства волн: верхнее, нижнее и звуковое.

Каждое семейство отличается скоростью, поляризацией и распределением энергии. Энергия волн первых двух семейств локализуется вблизи оси вращения, в разреженной области газа. Для этих волн не применимы уравнения гидродинамики.

Энергия волн звуковой семьи отличается от двух других тем, что сосредоточена вблизи стенки ротора. Здесь плотность газа достаточно высокая, чтобы применять уравнения гидродинамики. Отличает звуковое семейство так же и то, что его волны поляризованы строго вдоль оси вращения и распространяются со скоростью звука. Именно волны звукового семейства исследуются в данной работе.

Для волн этого семейства разработан метод, с помощью которого на основе анализа резонансных кривых, можно рассчитать их коэффициент затухания. В методе учитываются молекулярная вязкость, теплопроводность и силы трения о стенку ротора. Проведена верификация этого метода для гексофторида урана без воздействия центробежного поля, которая дала полное соответствие полученного результата с теоретическими предсказаниями. С помощью разработанного метода для гексофторидаурана в центробежном поле порядка были получены зависимости длины затухания волны от ее волнового числа.



ВВЕДЕНИЕ

В мире действует 388 энергетических ядерных реакторов общей мощностью 333 ГВт [5], российская компания «ТВЭЛ»поставляет топливо для 73 из них. Это составляет 17 % мирового рынка.

В настоящее время разрабатываются международные проекты ядерных реакторов нового поколения, например, ГТ-МГР, которые обещают повысить безопасность и увеличить КПД АЭС.

Россия приступила к строительству первой в мире плавающей АЭС, окончание которого намечено на 2016 год. Такие АЭС позволят решить проблему нехватки энергии в отдалённых прибрежных районах страны[7].

США и Япония ведут разработки мини-АЭС, с мощностью порядка 10-20 МВт для целей тепло- и электроснабжения отдельных производств, жилых комплексов, а в перспективе -- и индивидуальных домов. С уменьшением мощности установки растёт предполагаемый масштаб производства. Малогабаритные реакторы, такие как Hyperion АЭС, создаются с использованием безопасных технологий, многократно уменьшающих возможность утечки ядерного вещества[8].

Рост количества АЭС потребует увеличения производства низкообогащенного урана. Так как газодиффузионная технология является дорогой, и по оценкам WNAее доля в общем обогащении упадет до нуля к 2017 году, основная нагрузка ляжет на центробежный метод разделения.

Вот почему вопросы касающиеся исследования процессов, происходящих в газовой центрифуге, являются очень актуальными. Их актуальность растет с каждым годом.

Так как газ внутри ротора вращается с очень большой скоростью, экспериментальное изучение этих процессов очень сложная задача. Поэтому наиболее эффективным методом исследования являются численные методы.

Центробежный метод разделения изотопов является самым эффективным методом на сегодняшний день. На первый взгляд кажется, что механизм разделения прост и понятен: радиальный эффект создаётся за счёт разности масс изотопов, а аксиальный -- за счёт разности температур на стенках. Но пара отборников, расположенных рядом с торцевыми крышками в газовой камере, во-первых, обеспечивают дополнительную осевую циркуляцию за счёт механического тормоза газа, а во-вторых, создают сильные ударные волны [17], которые быстро затухают, оставляя в большей части ротора волны малой амплитуды.

Эти волны и представляют наибольший интерес, в рамках данной работы. Дело в том, что они могут влиять на распределение потоков в газовой камере за счет передачи энергии и импульса от волн к газу благодаря молекулярной вязкости. Таким образом звуковые волны, генерируемые отборником, могут обеспечить дополнительный механизм генерации осевой циркуляции в газовой центрифуге, который может существенно отличаться от основного.

Целью дипломной работы является исследования механизма вязкого затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на примере газовой центрифуги. Для достижения цели были поставлены задачи:

Разработать численный метод расчета коэффициента затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на основе анализа резонансных кривых,

Провести тестирование метода на задаче затухания волн в цилиндре без вращения,

Получить аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения,

Провести численный расчет декремента затухания в центробежном поле, пропорциональном 106g и сравнить это затухание с аналитическими предсказаниями. звуковой волна центробежный

Научная новизна исследования характеризуется тем, что в дипломной работе рассчитывается коэффициент затухания звуковых волн, учитывающий вязкость теплопроводность и трение на стенках, что делается впервые. До данной работы, как правило, рассматривался бездиссипативный газ.

Практическая значимость дипломной работы заключается в разработке численного метода расчета коэффициента затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на основе анализа резонансных кривых, который позволит более детально моделировать процессы в центрифуге.



ГЛАВА 1 Литературный обзор

1.1 Поведение газа в центробежном поле сил

Рассмотрим поведение газа внутри вращающегося вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ?цилиндрарадиуса а[16]. Будем полагать, что температура газа в роторе Т=const и выходящие потоки газа из него равны нулю.

Известно [12], что замкнутая система, в рассматриваемом случае смесь газов, может совершать вращательное движение как целое, оставаясь в термодинамическом равновесии. Отметим, что возникновение внутреннего движения газа приводит к выходу его из равновесного состояния. Такого внутреннего движения газа нет, если газ вращается в цилиндре как целое с постоянной по объему угловой скоростью. При описании равновесного состояния газа его равномерное вращение можно учесть, вводя два силовых поля: поле центробежных сил и поле сил Кориолиса. Сила Кориолиса возникает при движении газа относительно системы координат, вращающейся с угловой скоростью ?. Она пропорциональна скорости движения газа в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Поэтому поле сил Кориолиса действует на газ лишь в неравновесном состоянии, а в состоянии термодинамического равновесия свойства вращающегося газа зависят лишь от поля центробежных сил. Для однокомпонентного газа условием термодинамического равновесия системы, находящейся в неоднородном поле силu(r) должно быть дополнено условием на химический потенциал µ:

µ + u(r) = const,(1.1)

где µ = µ(p, T) - химический потенциал газа при u = 0.

Отметим,что при u=0 и T=const это условие сводится к условию постоянства в равновесии давления в объеме газа.

В случае вращающегося в цилиндре газа поле центробежных сил

,

и соотношение (1.1) принимает следующий вид:

, (1.2)

где M - молярная масса газа.

Для дифференциала химического потенциала имеет место следующее термодинамическое соотношение:

dµ = ?sdT + V dp, (1.3)

где s и V - энтропия и объем, отнесенные к одному молю.

При температуре газа в цилиндре T=const из (1.2) и (1.3) следует:

Vdp= , (1.4)

Или

. (1.5)

Равенство (1.4,1.5) означает, что сила, равная градиенту давления в радиальном направлении, уравновешивается центробежной силой, действующей на единичный объем массой с =Mp/RT. Используя уравнение состояния идеального газа p =сRT/M, получим:

, (1.6)

Интегрирование (1.6) дает распределение давления газа по радиусу во вращающемся цилиндре при условии постоянства температуры газа T:

p(r) = p(0)exp() = p(0)exp. (1.7)

Рис.1.Зависимость давления гексофторида урана от радиальной координаты вовращающемся с постоянной угловой скоростью

цилиндре радиуса = 0,065 м

Здесь p(0) - давление газа на оси цилиндра, R - универсальная газовая постоянная, A =. Константа А характеризует отношение кинетической энергии вращения газа к его тепловой энергии.

Физический смысл уравнения (1.2) и распределения (1.7) можно пояснить следующим образом. Молекулы газа под воздействием центробежной силы движутся по радиусу от оси к стенке ротора. Но хаотичное тепловое движение молекул стремится восстановить в объеме ротора равномерную плотность газа. Вследствие этого при постоянной температуре ив отсутствие других движений газа внутри ротора устанавливается термодинамическое распределение Больцмана в поле центробежных сил. Давление (и плотность газа) возрастает по радиусу от минимального значения на оси до максимального возле стенки ротора согласно известной барометрической формуле. Таким образом, условие (1.2) на химический потенциал в пространственно-неоднородном поле центробежных сил приводит к сильной экспоненциальной зависимости давления от радиальной координаты.

1.2 Волны в сильном центробежном поле

Рассмотрим газовую центрифугу, являющуюся ярким примером сильного центробежного поля. Роторы газовых центрифуг вращаются с линейной скоростью несколько сотен метров в секунду [20]. Центробежное ускорение может достигать порядка6g на радиусе ротора в несколько сантиметров, что создает радиальный разделительный эффект в газовой центрифуге. Тем не менее, эффективное разделение изотопов в промышленных центрифугах достигается не только за счет центробежного поля. Результирующую роль играет осевая циркуляция, умножающая радиальный эффект разделения. Вследствие механического торможения газа, одной из причин возникновения циркуляции газа являются отборники, предназначенные для удаления обогащенной и обедненной газовой смеси.

Пара отборников, расположенная около торцевых крышек центрифуги, также способствует образованию сильных ударных волн (Рис.4), распространяющихся вдоль оси центрифуги. Они могут отражаться от торцевых крышек формируя волны, бегущие в обоих направлениях вдоль оси вращения. Амплитуда ударных волн затухает довольно быстро. В большей части ротора мы имеем дело с волнами небольшой амплитуды, что позволяет рассмотреть их в первую очередь в линейном приближении.

Рис.4. Схема газовой центрифуги с отборниками. Сплошная линия - ударная волна, образованная отборником; пунктирная линия - волна, отраженная от верхней торцевой крышки.

Даже рассматривая волны в линейном приближении возникает ряд сложностей. Применение обычных уравнений для расчета скоростей в данном случае попросту невозможно. Во-первых, сильное центробежное ускорение порядка 106 g резко изменяет характеристики линейных волн, во-вторых, сильный радиальный градиент плотности,меняющийся на 6 порядков за изменение радиуса порядка нескольких сантиметров, дает скорость поглощения, изменяющуюся на 6 порядков. В таких условиях применение уравнений Навье-Стокса возможно только в узкой области с размером 1-2 см, хотя, как известно, типичный радиус центрифуги 6-8 см. При меньшем радиусе газ становится настолько разреженным, что длина пробега его молекул превышает радиус ротора. В этой области гидродинамические уравнения не работают. Из-за этих причин невозможно оценить даже длину распространения волн.

Предложено следующее решение данной проблемы

Необходимо использовать упрощенную модель газа, предполагая, что гидродинамические уравнения справедливы везде. Кроме того, рассматриваем случай без диссипативного газа, что означает пренебрежение молекулярной вязкостью и теплопроводностью.

Рассмотрим идеальный газ, имеющий молярную массу M и вращающийся с угловой скоростью щ. Система уравнений определяющая поведение газа во вращающейся системе запишется следующим образом []:

(1)

(2)

(3)

(4)

, (5)

где -теплоемкость при постоянном давлении, P - давление, D - плотность, - температура и -радиальная, угловая и осевая компоненты скорости.

Параметры газа могут быть представлены суммой параметров твердотельного вращения и неких отклонений:

, (6)



где ,, - давление, плотность и температура твердотельного вращения, соответственно,, , , , , - отклонения радиальной, угловой, осевой компонент скорости, давления, плотности и температуры от значений твердотельного вращения, соответственно.

Зависимости от радиуса давления и плотности при твердотельном вращении имеют вид:

, (7)

, (8)

где, a - радиус ротора аи-давление и плотность газа на стенке, соответственно.

Плотность идеального газа равна:

(9)

Для отклонения плотности газа от твердотельного вращения имеем:

(10)

Предполагая, что волны осесимметричны и делая ряд преобразований с уравнениями (1)-(10), получаем:

(39)

Где (33)

(36)



Для удобства введем. После подстановки получим:

(40)

Где(41)

(42)

Уравнение 40 удобно рассматривать как уравнение Шредингера для частицы в потенциале вида:

(43)

А граничные условия будут находиться из условия равенства нулю радиальной компоненты скорости на стенке и на оси:

(44)

Анализ уравнений 39, 40 показывает, что в газовой центрифуге образуются волны трех семейств (рис.4), два семейства, названные верхним и нижним, при условии А?0, и одно, названное звуковым, для условия А=0. Рассмотрим их более подробно.Рассмотрим сначала первые два семейства. При условии А?0 решение уравнения 40 будет выглядеть как:

(45)

Где функция Уиттекера, удовлетворяющая условию:

.



Граничное условие дает нам дисперсионные соотношения для , и все возмущения выражаются через следующим образом:

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

Функция изображена на рис.5. Линии для условий и также показаны на рис.5. Условие дает две линии: и , последнее - закон дисперсии обычных звуковых волн. Условие дает линию , которая находится ниже линии для любого реального газа с показателем адиабаты л<2.В данном случае в качестве рабочего газа используется с показателем адиабаты л=1,67. Параметры рабочего газа указаны в таблице 1.

Таблица 1.

Параметр	Значение
M	352 г/моль
a	0,065 м
	2рЧ1700
T0	300 K
сw	80 мм рт.ст.
cp	385 Дж·K/кг
c	86 м/с



Рис.5.Закон дисперсии для первых четырёх радиальных мод волн верхнего и нижнего семейства (линии 1-4). Линия 5 - закон дисперсии обычных звуковых волн ?=kс, линия 6 показывает условие .

Волны образуемые при выполнении условия А?0 делятся на две семьи, верхнюю с ?>ck и нижнюю, для которой ?<ck. Рис. 5 показывает только первые 4 радиальные моды волн в зависимости от волнового вектора , направленного вдоль оси вращения. Согласно рисунку линии верхнего семейства стремятся к линии 5 при росте .При их фазовые скорости стремятся к скорости звука, а при выполняется условие.

Если, то мы имеем выражение для :

Для верхнего семейства волн потенциал имеет вид представленный на рис.6 кривыми I,IV. Данный вид потенциала характерен для этой семьи при любом k, так как ?>ck, и . Видно, что классическая область в которой выполняется условие расположена вблизи оси вращения. Волны в этой области могут двигаться с энергией равной нулю, а недалеко от стены ротора волны экспоненциально затухают. Это означает, что возмущения всех переменных будут сосредоточены рядом с осью вращения.

Дисперсия нижнего семейства кривых сложнее. Изменения потенциальной энергии происходят из-за смены знака и .Всего получается три зоны.

В первой зоне I- ,a>0. Как показывают расчеты[], потенциал возмущения сконцентрирован на оси.

В зоне II, хотя и меняет знак, и потенциал принимает вид, изображенный на Рис.5, но потенциал также будет сконцентрирован вдоль оси[].

В зоне III и>0 и потенциал имеет вид представленный на рис.5. Классическая область для волн будет располагаться вблизи стенки ротора, хотя эта область приближается к оси с ростом k, что подтверждает рис.6.

Существует одно важное свойство, объединяющее волны верхнего и нижнего семейств. Плотность энергии этих волн достигает максимума в областях, в которых плотность газа мала по сравнению с плотностью газа на стенке ротора. Даже в случае нижнего семейства максимум плотности энергии располагается на расстоянии около 1 см от стенки ротора[]. А это значит, что эти решения не совсем точны. На них будет влиять два фактора. Во-первых, молекулярная вязкость в этих областях будет доминировать над динамикой газа, изменяя решение. Во-вторых, гидродинамические уравнения не будут справедливы в областях, расположенных близко к оси. Следует применять кинетические методы.



Рис. 6. Зависимость Uотr для волн верхней и нижней семей. Числа около кривых соответствуют зонам, где реализуется потенциал.

Рассмотрим более интересный, в рамках данного исследования, случай, когда выполнено условие А=0. Этот случай требует отдельного рассмотрения, так как это решение было потеряно при выводе уравнения (34). Назовем это семейство - звуковым. Волны данного семейства распространяются со скоростью звука и являются строго продольными. Используя это условие совместно с уравнением (31) мы получим для давления:

(53)

где - давление на стенке ротора. связано с возмущением давления по формуле 48. Это следует из этого уравнения:

(54)



Рис.8 Радиальное распределение в звуковом семействе волн: (а) скорость, (b) плотность кинетической энергии.

Как видно из Рис.8, основная часть кинетической энергии сосредоточена около стенки ротора. Это свойство кардинально отличает данное семейство волн от тех, которые обсуждались ранее, позволяя использовать гидродинамические уравнения для его описания.

Для физики газовых потоков наибольший интерес представляют именно звуковое семейство волн. Так как энергия верхнего и нижнего семейств располагается близко к оси, где процессы вязкости и теплопроводности превалируют над остальными. А значит волны этих семейств будут быстро затухать. К тому же в данной работе волны рассматриваются в гидродинамическом приближении, а волны верхнего и нижнего семейств целесообразно описывать в кинетическом приближении.

1.3 Затухание звуковых волн

Одной из главных причин затухания звуковых волн в газе, является наличие вязкости и теплопроводности, приводящее к диссипации энергии звуковых волн, в связи с чем звук поглощается, т.е. его интенсивность постепенно уменьшается. Выведем формулу, использующуюся в данной работе для расчета коэффициента затухания звука, учитывающую диссипацию энергии за счет молекулярной вязкости и теплопроводности.

Для вычисления диссипируемой в единицу времени энергии Емех воспользуемся следующими общими соображениями. Механическая энергия представляет собой не что иное, как максимальную работу, которую можно получить при переходе из данного неравновесного состояния в состояние термодинамического равновесия. Как известно из термодинамики, максимальная работа совершается, если переход происходит обратным образом (т.е. без изменения энтропии), и равна соответственно этому:

Емех= Е0-Е(S),

Где Е0 есть заданное начальное значение энергии тела в состоянии равновесия с той же энтропией S, которую тело имело вначале. Дифференцируя по времени, получаем:

Емех= - Е(S) = -S.

Производная от энергии по энтропии есть температура. Поэтому

- температура, которую имело бы тело, если бы оно находилось в состоянии термодинамического равновесия (с заданным значением энтропии). Обозначая эту температуру как Т0 имеем, следовательно:

Емех= Т0S.

Воспользуемся для S выражением:

, (14)

включающим в себя возрастание энтропии, обусловленное как теплопроводностью, так и вязкостью. Поскольку температура Т мало меняется вдоль жидкости и мало отличается от Т0, то можно вынести ее из-под знака интеграла и писать Т вместо Т0:

.

Эта формула представляет собой обобщение формулы

на случай сжимаемой жидкости и наличия теплопроводности.

Пусть ось х совпадает с направлением распространения звуковой волны. Тогда

Два последних члена в (14) дают

.

Нас, конечно, интересует среднее по времени значение величин; усреднение дает

.

(V0 - объем жидкости).

Далее, вычислим первый член в (14). Отклонение Т? температуры в звуковой волне от своего равновесного значения связано со скоростью формулой

так что градиент температуры равен

.

Для среднего по времени значения от первого члена в (14) получаем:

.

С помощью известных термодинамических формул

(15)

можно переписать выражение в виде

.

Собирая полученные выражения, находим среднее значение диссипации энергии в виде

(16)

Полная же энергия звуковой волны равна



. (17)

Для звука имеем дело с задачей, в которой звуковая волна распространяется вдоль жидкости и ее интенсивность падает с увеличением пройденного расстояния x. Очевидно, что это уменьшение будет происходить по закону , а для амплитуды как - ,где коэффициент поглощения г определяется посредством

. (18)

Подставляем сюда (16) и (17), находим, таким образом, следующее выражение для коэффициента поглощения звука[10]:

, (19)

которое используется для расчёта объёмного эффекта затухания звуковых волн при верификации.



ГЛАВА 2. Расчетная часть

2.1 Постановка задачи

Перейдём теперь непосредственно к постановке и решению задачи. Для этого рассмотрим цилиндрическую трубу (ротор), заполненную гексофторидомурана , которая вращается с угловой скоростью щ. Длина ротора L намного больше, чем его радиус r(L>>r), что позволяет считать ротор бесконечным (Рис.6.). Предполагаем, что температура T на внешней стенке постоянна и равна 300 K.Внутри ротора находится источник, который генерирует звуковые волны c волновым вектором k направленным вдоль оси Z.

Рис.6. Цилиндрическая вращающаяся труба

Необходимо разработать численный метод расчёта коэффициента затухания звуковых волн для вышеописанной модели и исследовать зависимости глубины проникновения звуковой волны от её волнового вектора, а также от радиуса и скорости вращения ротора.

Фундамент исследования составила работа [16] в которой предложен метод верификации, основанный на полуаналитическом решении задачи о циркуляции газа в роторе бесконечной длины. Поставленная задача решается с гармоническим возмущением малой амплитуды во вращающемся газе. В работе также показано, как решение системы уравнений в частных производных сводится к решению системы однородных дифференциальных уравнений, которые могут быть решены почти с любой точностью на персональном компьютере.

Запишем основную систему дифференциальных уравнений во вращающейся цилиндрической системе координат, описывающих движение в роторе[10]:

,

,

,

,

вместе с плотностью и давлением, которые в данной модели подчиняются следующим распределениям:

, (28)

, (29)

где - давление и плотность на стенке ротора, соответственно,

образуется система уравнений, которая численно решается с помощью Maple при граничных условиях скользящей стенки:

=

=0

И граничных условиях трения на стенке:

.

Сравнение результатов, полученных с помощью данной полуаналитической модели и результатов численного моделирования, полученных в среде ANSYS CFX, показывает, что результаты эквивалентны[16].

Теоретический анализ

Получим теперь аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения в центробежном поле сил. Для этого запишем систему уравнений для аксиальной компоненты скорости в цилиндрической системе координатах:

Подставляя выражение, и решая систему получим уравнение:

.

Решение которого будет состоять из общего однородного и частного неоднородного:

Решая общее однородное уравнение

получим:

Решая частное неоднородное уравнение

получим:

.

Их сумма запишется как:

Усредняя, получаем:

.

Так как энергия пропорциональна квадрату скорости, окончательно получим:

.

Зная, что вторая вязкость не внесёт значительного вклада, а теплопроводность на этом этапе мы не учитываем, то запишем формулу (19) без второй вязкости и теплопроводности:

.

Запишем коэффициент поглощения звуковых волн в единицу времени:

.

Принимая во внимание то, что k=щ/c и перейдя к единым обозначениям получим выражение для энергии:

,

где ,, а - нормировочная постоянная,

которое принимает вид резонансной кривой.

Теперь перейдем к выводу коэффициента затухания звука в центробежном поле сил. Для этого запишем общий вид коэффициента затухания звука в трубе без вращения [10]:

,

где .

Для вращающейся системы:

,

где.

Следовательно, коэффициент затухания звуковых волн в центробежном поле сил будет равен:

,

откуда, после преобразований,получаем:

. (30)

2.2 Описание программы

Структура программы довольно проста. Она имеет цикл по частоте возмущений, который начинается с того, что считываются входные параметры, приведённые в таблице 2, далее по формулам (28) и (29)вычисляется распределение плотности и давления по радиусу, после чего решается система однородных дифференциальных уравнений(27), которая после линеаризации [16]принимает вид:

,

,

,

,

,

,

.

Таблица 2.1.- Название таблицы

Параметр	Значение
M	352 грамммоль-1
rвнеш	0,065 м
rвнут	0,0001 м
?	2р 1700 с-1
T0	300 K
P	10665 Па
K	2р 10 - 2р 200 м-1
cp	385 Джкг-1 К-1
м	1,83 10-5Пас
J	2р 868 - 2р 17376 с-1
Л	0,0061 Втм-1К-1
R	8,314462 м2 кг с-2 К-1 Моль-1
G	1,067

где M - молярная масса гексофторида урана (UF6), rвнеш-внешняя граница расчетов, rвнут- внутренняя граница расчетов, щ - круговая частота вращения ротора, T0- температура на внешней границе, p - давление на внешней границе, k - волновое число задаваемых возмущений, cp - удельная теплоемкость гексофторида урана UF6 при постоянном давлении, м -динамическая вязкость гексофторида урана UF6, j - частота задаваемых возмущений, л - теплопроводность гексофторида урана UF6, R - универсальная газовая постоянная, g - показатель адиабаты.

Далее по формуле:

,

где

считается суммарная энергия волны.

По полученным значениям строится график зависимости энергии волны от частоты вращения ротора.



Рис.7. Пример расчетного графика зависимости энергии волны от её частоты

Далее, предполагая вид кривой:

,

где a и b - искомые параметры,

проводится интерполяция полученных значений к данному виду.

Рис.8.



Верификация

Верификации данной программы начнём с рассмотрения покоящегося цилиндра без трения на стенках заполненного вязким газом. Для этого положим скорость вращения равную нулю и теплопроводность близкую к нулю (теплопроводность в программе нельзя задать нулевой, иначе уравнения вырождаются и Maple не понимает, как считать систему) и используем граничные условия свободного скольжения на стенках.

Построив теоретический график зависимости суммарной энергии системы от частоты возмущений, и сравнив его с полученным численно, легко понять, что на данном этапе метод даёт правильный результат.

Рис.9. Графики зависимости энергии волны от её частоты в идеальном вязком газе

Ниже представлены теоретическая и интерполированная функции для данного случая:



Далее рассмотрим покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом, и сравним результаты с теоретическими.

Рис.10. Графики зависимости энергии волны от её частоты в идеальном вязком теплопроводящем газе

Здесь представлены теоретическая и подобранная программой функции для данного случая:

Отклонение коэффициента затухания, рассчитанного по этому методу от теоретического, составляет 0,76%.

Убедившись в правильности вычисления резонансных кривых удостоверимся в правильности метода в целом. Для этого рассмотрим два случая, которые имеют аналитическое решение.

Первый случай - это покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом. Выше для этого случая выводилось:

, (31)

здесь считаем, что член со второй вязкостью не внесёт существенной поправки.

Для наглядности преобразуем (31) в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:

(32)

Построим в логарифмическом масштабе расчётный график и теоретический.

Рис.11. Графики зависимости дальности затухания волны от её волнового числа построенные с учётом вязкости и теплопроводности в логарифмическом масштабе.- экспериментальный график, -теоретический график



Видно, что зависимость имеет степенной характер. Более того отклонение от теоретического оказывается даже меньше, чем для предыдущих случаев и составляет 0,52%.

Далее рассмотрим второй случай - покоящийся цилиндр с трением на стенках заполненный идеальным газом. Теоретическая зависимость коэффициента поглощения от частоты возмущения имеет вид [10]:

также преобразуем её в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:

(33)

Построим в логарифмическом масштабе расчётный график и теоретический.

Рис.12. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные с учётом трения на внешней стенке в логарифмическом масштабе. - экспериментальный график, -теоретический график

Окончательно, зная, что формула (32) учитывает только поглощение за счёт вязкости и теплопроводности,формула (33) учитывает поглощение за счёт трения о стенку, производим расчет, учитывающий оба этих явления.

И сравниваем результат с теоретическими предсказаниями, которые складываются из первого и второго эффекта по формуле:

(34)

на рис.13 видно, что теоретическая и расчетная зависимости имеют одинаковый вид.

Рис.13. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные в логарифмическом масштабе. - экспериментальный график учитывающий вязкость, теплопроводность и трение на внешней стенке, - теоретический график учитывающий вязкость и теплопроводность, - теоретический график учитывающий трение на внешней стенке,- теоретическая зависимость рассчитанная по формуле (34)

Как теоретическая, так и расчетная зависимости при малых волновых числах k асимптотически стремятся к зависимости,учитывающую трение о стенку, а при больших волновых числах k учитывающую вязкость. Отсюда можно сделать вывод, что при малых волновых числах k основную роль в затухании играет процесс трения на стенках, но при их росте всё большую роль играет вязкость газа.

Расчёт

Теперь рассчитаем случай максимально приближенный к реальной центрифуге: вращающийся цилиндр со всеми диссипативными взаимодействиями (трением на внешней стенке, вязкостью и теплопроводностью).

Для этого случая теоретических зависимостей нет, поэтому нам придётся полагаться на расчет и полученный ранее коэффициент затухания звука в центробежном поле сил.

Зная зависимость коэффициента затухания звука от его частоты(19) и рассчитанный выше поправочный коэффициент на скорость вращения ротора (30), несложно получить зависимость глубины проникновения волны от её волнового числа:

= (33)

с которой расчёт полностью согласуется.

Формула (33) не учитывает трения на стенках цилиндра, и на данный момент не существует теоретических моделей, учитывающих этот эффект.



Рис.14. Графики зависимости глубины проникновения волны от её волнового числа построенные в логарифмическом масштабе. - глубина проникновения учитывающая вязкость, теплопроводность и трение на внешней стенке рассчитанная экспериментально, - теоретическая глубина проникновения учитывающая вязкость и теплопроводность, - теоретическая глубина проникновения учитывающая трение на внешней стенке,теоретическая зависимость, рассчитанная по формуле

После этого был проведён расчет зависимости длины пробега звуковой волны от радиуса.



Рис.15. Графики зависимости глубины проникновения волны от радиуса ротора



ВЫВОДЫ

В ходе исследования были получены следующие результаты:

Разработан численный метод расчета коэффициента затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на основе анализа резонансных кривых.

Проведено тестирование метода на задаче затухания волн в роторе без вращения.

Получено аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения.

Проведен численный расчет декремента затухания в центробежном поле, пропорциональном 106g и сравнение этого затухания с аналитическими предсказаниями.



СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ

Proudman J.,On the motion of solids in liquids possessing vorticity, Proc. Roy. Soc.,1916

Taylor G. I., Experiments with rotating fluids,Proc. Cambridge Phif. Soc., 1921

а

Taylor G. I., Experiments on the motion of solid bodies in rotating fluids, Proc. Roy. Soc., 1923

Kelvin Lord, Vibrations of a columnar vortex. Phil. Mag., 1880

Вjernes V. and Sоlberg H.,ZellulareTragheitswellenund Turbulence, AvhandlNorsk Vid. Akad. Nat., 1929

Greenspan P. Harvey, The Theory of Rotating Fluids, Cambridge At the University Press,1968

Miles J. W., The Cauchy Poissinproblem for a rotating liquid, J. Fluid Mech.,1963

Fultz D., A note on overstability and the elastoid-inertia oscillations of Kelvin, Solberg andBjerkness, J. Meteorol., 1959

Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Гидродинамика,Теоретическая физика: т.VI (3-е изд., перераб.), М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986

Лайтхилл Дж., Волны в жидкостях, Пер. с англ., M.: Мир, 1981

Размещено на Allbest.ru

...