Теория Ньютона и теория Пуассона о распространении упругих волн в среде

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Технологический институт

Кафедра «Физики, методов контроля и диагностики»

Курсовая работа по дисциплине: «Теория физических полей»

На тему: «Теория Ньютона и теория Пуассона о распространении упругих волн в среде»

Выполнила:

студентка группы ПМКб-11-1

Павлова Н.Ю.

Проверил:

Доктор технических наук

Казаков Р.Х

Тюмень 2013



Содержание

Введение

1. Понятие волны. Поперечные и продольные волны

2. Фронт волны. Длина волны

3. Волновое уравнение

4. Упругие волны в стержне

5. Упругие волны в газах и жидкостях

6. Случай идеального газа

7. Количественно-качественное сравнение теорий Ньютона и Пуассона

Вывод

Список литературы



Введение

Учение об упругих волнах лежат в основе акустики (термины упругие и акустические волны являются синонимами).

Акустика как раздел физики достигла высокой степени совершенства уже в XIX столетии. XX век был отмечен бурным ростом прикладной акустики, выразившимся в разнообразных технических применений акустических волн и акустической аппаратуры. Развитие это продолжается и сегодня.

Упругими или механическими волнами называются механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. Тела, которые, воздействуя на среду, вызывают эти возмущения, называются источниками волн. Например, зрители в театре слышат речь и пение актеров, звучание музыкальных инструментов, благодаря доходящим до них колебаниям давления воздуха, вызываемых этими источниками звука.

Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.



1. Понятие волны. Поперечные и продольные волны

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн. ньютон пуассон волновой физика

Рисунок 1.

На рис. 1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т. д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное 1/4vТ, т. е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2.По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнет смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени T, пройдя путь Т, достигнет частицы 5.

На рис. 2 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью .

рисунок 2.

2. Фронт волны. Длина волны

На рис. 1 и 2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне -- множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

рисунок 3

На рис. 3 изображена кривая, которая дает смещение о из положения равновесия точек с различными х в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции о(х, t) для некоторого фиксированного момента времени t. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

Расстояние л, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

л=хТ, (1)

где х - скорость волны, Т - период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2р. Заменив в соотношении (1) Т через 1/н ( - частота колебаний), получим

лн =х (2)

Рассмотрев кратко основные понятия, связанные с волной, перейдем к описательной стороне, т.е. волновому уравнению.

Рассмотрев кратко основные понятия, связанные с волной, перейдем к описательной стороне, т.е. волновому уравнению.



3. Волновое уравнение

Рассмотрим произвольную функцию

f(at-bx) (3)

от аргумента (аt--bх). Продифференцируем ее дважды по t:

,

(4)

Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу (at--bx). Продифференцируем теперь нашу функцию дважды по х:

,

(5)

Сравнивая (4) и (5), мы убеждаемся, что функция (3) удовлетво­ряет уравнению

(6)

Где u=a/b.

Легко видеть, что этому же уравнению удовлетворяет произвольная функция

f(at+bx) (7)

(7) аргумента (at+bx), а также сумма функций вида (3) и (7).

Функции (3) и (7) изображают при положительных a, b плоские волны, распространяющиеся, не деформируясь, со скоростью и в сто­рону соответственно возрастающих или убывающих значений х **).

Уравнение (6)--дифференциальное уравнение в частных производных, играющее в физике очень важную роль. Оно называется волновым уравнением. В математических курсах доказывается, что оно не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть представлены функциями вида (3) и (7) или суперпозицией таких функций, например,

(at - bх) + (at+bx).

Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида

(6a)

мы сможем на основании сообщенных здесь математических сведений заключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской, волны, распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью u, или суперпозиции таких волн.

Вид функций , определяется характером движения источника волн, а также явлениями, происходящими на границе среды.

Пусть источником волн является плоскость х=0, причем на этой плоскости величина S колеблется но закону s =Acos(wt). В этом случае от плоскости х=0 распространяются вправо и влево волны

s =Acos(wt±kx),

Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удовлетворяют функции ,, , ... в отдельности, то ему удовлетворяет также функция

S == + + + ...

(принцип, суперпозиции).

Рассмотрим несколько примеров.

а) Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные бегущие волны

= Aсоs(wt -- kx), = Acos(wt+kx).

На основании принципа суперпозиции волновому уравнению удовлетворяет стоячая волна

s=2Acoskx coswt,

являющаяся суперпозицией только что рассмотренных синусоидальных бегущих волн.

б) Волновому уравнению на основании принципа суперпозиции удовлетворяет всякая функция вида

,

Это--функция вида f(at--bx); она изображает несинусоидальную волну, распространяющуюся без деформации в сторону возрастающих х.

Рис. 4

в) Пусть волны , , имеющие вид коротких импульсов, распространяются навстречу одна другой. В некоторый момент моментальный снимок суперпозиции + этих волн имеет вид, показанный на рис. 4,а. Через некоторое время моментальный снимок волны будет иметь вид, показанный на рис. 4, б, - волны пройдут «одна сквозь другую» и притом каждая так, как будто другой не существует.

4. Упругие волны в стержне

рисунок 5

Применим второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х+?x. Масса этого куска равна , где и - соответственно плотность и сечение в отсутствие деформации. Пусть о - смещение центра тяжести рассматриваемого куска. Тогда

?x,

слева стоит произведение массы куска на ускорение его центра тяжести, справа - результирующая внешних сил, действующая на кусок.

Разделим уравнение на ?x:

(8)

Перейдя к пределу при , получим уравнение

(9)

справедливое в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по x в этой точке.

Подставляя в (9) соотношение (8), получим:

(10)

Вспомнив теперь формулу, содержащую определение деформации, и подставив ее в (10), получаем:

(11)

Это -- волновое уравнение. Оно указывает, что смещение распространяется но стержню в виде волн

(12)

или образует суперпозицию таких волн. Скорость распро­странения этих волн (скорость звука в стержне)

(13)

(мы опускаем для краткости индекс 0 у с). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (13)--одна из основных формул акустики.

Наряду со смещением нас интересуют скорость , с которой движутся отдельные плоскости (не смешивать с u), деформация е и напряжение у. Дифференцируя (12) по t и по x, получаем:

(14a)

(14б)

. (14в)

Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения.

Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорциональны производной

. Физическая интерпретация здесь очевидна: около максимума или минимума смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжения, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (минимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот).

Сравнивая формулы (14а), (14в) и принимая во внимание (13) мы видим, что

(15)

(16)

есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины связано с формальной аналогией между уравнениями (15) и законом Ома (с аналогично разности потенциалов, н - силе тока).

5. Упругие волны в газах и жидкостях

Мы рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в предыдущих параграфах) как сплошную непрерывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Под смещением мы здесь понимаем общее смещение вещества, заполняющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.

Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой параллельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню. Мы придем, таким образом, к уравнению

(17)

где р = - у есть давление в газе или жидкости. Здесь -- значение плотности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление . Величины , не зависят ни от х, ни от t.

Уравнение (17) применимо и в случае плоских волн в неограниченной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).

Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою очередь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями) температура является однозначной функцией плотности, и, следовательно, давление также.

При заданной деформации е в твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет существенной роли.

В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расширении.

Есть однозначная функция плотности:

p=f(p). (18)

Введем обозначения

, (19),

Где и - соответственно изменения давления и плотности при нарушении равновесия.

Подставляя первую формулу (19) в (17) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.

,

получаем:

(20)

Найдем теперь связь между и деформацией е = . Мы сначала выразим через , а затем через е:

а) Подставляя (19) в (18), имеем:

,

разлагая f() в ряд по степеням,

,

Так как =, то получаем:

(21)

Здесь мы сделаем существенное предположение: будем считать уплотнения и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в разложении (21) членами, пропорциональными , , … и заменить (21) линейным соотношением

,

Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интенсивности.

--постоянный при данных условиях опыта коэффициент, определяемый состоянием среды при равновесии.

б) Объем в результате деформации превращается в объем

(22)

так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня) остается, постоянным, а длина превращается в . Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется:

,

Подставляя (19) и (22), получаем:

,

Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины , получаем:

, ,

Таким образом,

(23)

Подставляя, наконец, (2.22) в (2.19), мы получаем волновое уравнение

(24),

. (25)

Отсюда заключаем, что рассматриваемые малые деформации распространяются в виде плоских не деформирующихся волн; скорость распространения (скорость звука) тем больше, чем сильное в данной среде возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности; она равна квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении последней в отсутствие волны (с).

6. Случай идеального газа

Идеальным газом называется газ, для которого справедливо уравнение состояния

(26)

где p - давление, V--объем одного моля, R--универсальная газовая постоянная, T--температура, измеренная по термодинамической шкале («абсолютная температура»), или

,

где М-- масса 1 моля, с= M/V-- плотность.

Воздух, кислород, азот, водород и многие другие газы при комнатной температуре и давлении порядка атмосферного можно рассматривать с достаточным для акустики приближением как идеальные газы.

Как учит термодинамика, в случае идеального газа соотношение (2.17) имеет вид:

(27)

Где

постоянная величина (и -- теплоемкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме). Следовательно, здесь

, (28)

Еще задолго до Пуассона вопросом о скорости звука в воздухе занимался Ньютон. Он считал, что

(27а)

т. е. не учитывал изменения температуры воздуха при распространении в нем звуковой волны, вследствие чего получил для скорости звука соотношение

(28а)

Это соотношение можно получить из уравнения (25), подставляя в него (27а) вместо (27).

7. Количественно-качественное сравнение теорий Ньютона и Пуассона

Произведем сравнение результатов, полученных путем применения формул (28) и (28а) - уравнений Ньютона и Пуассона.

Подсчитаем для воздуха: =1,4; с = 1,29 при комнатной температуре (20° С, Т =293 К) формула Ньютона дает u =290 м/сек, формула Пуассона u=331 м/сек. Формула Пуассона хорошо подтверждается на опыте и для других газов (но крайней мере при не очень высоких частотах):

1)для гелия =1,7; с =0,179 при температуре 0°C, Т=273 К, давление 101 325 Па

формула Ньютона: u = 752 м/сек

формула Пуассона: u=980 м/сек

2)для аммиака

=1,3; с =0,77 при температуре 0°C, Т=273 К, давление 101 325 Па

формула Ньютона: u = 362 м/сек

формула Пуассона: u=413 м/сек

3)для углекислого газа

=1,2; с =1,98 при температуре 0°C, Т=273 К, давление 101 325 Па

формула Ньютона: u = 226 м/сек

формула Пуассона: u=250 м/сек

Этим оправдывается предположение о том, что сжатие и разрежение газа в звуковой волне являются практически адиабатическими процессами.

Как видно из результатов, полученные значения скорости звука из разных формул в одном случае небольшая (для углекислого газа всего 24 м/с), а в другом случае довольно значительная (для гелия она составляет 228 м/с).

Это происходит потому, что количество степеней свободы этих газов различно.

Так как , где i-количество степеней свободы молекул газа

Для одноатомного идеального газа (гелий) i=3, т.е.

,

Отсюда и большая разница в расчетах при использовании двух разных формул, чем, например, для кислорода двухатомного газа (i=5):

,

То есть квадратный корень из 1,7 будет больше, чем из 1,4. Соответственно, чем большим количеством степеней свободы обладает газ, тем меньше разница, полученная при расчетах по разным формулам.



Вывод

1) Исследовано распространение упругих волн в средах;

2)В ходе работы было выяснено, что теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями;

3)Произведена количественно-качественное сравнение теорий Ньютона и Пуассона о распространении упругих волн в среде. Сравнение теоретических расчетов и экспериментальных данных показало, что теория Пуассона о том, что распространение упругих волн происходит адиабатно, лучше описывает реальные условия, чем теория Ньютона.

Эта разница тем больше заметна, чем меньше степеней свободы у рассматриваемого газа. Чем сложнее газ, тем меньшую разницу дают расчеты по формулам Ньютона и Пуассона.



Список литературы

1. Горелик, Г. С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику/ Г.С. Горелик. - 2-е издание. - Москва. - 1959.

2. Савельев, И. В. Курс общей физики, том I. Механика, колебания и волны, молекулярная физика/И.В. Савельев. - Москва: Наука. - 1970.

3. Стрелков, С.П. Введение в теорию колебаний/С.П. Стрелков. 2-е издание. - Москва: Наука. - 1964.

4. Кикоин, И.К. Таблицы физических величин. Справочник/ И.К. Кикоин.- Москва: Атомиздат.

Размещено на Allbest.ru

...