Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального обучения

Тамбовский государственный технический университет

Кафедра: Прикладная механика и сопротивление материалов

Курсовая работа

Исследование равновесия и движения механических систем

Алимов Д.С.

Аннотация

Курсовая работа на тему "Исследование условий равновесия и движения механических систем" выполнена студентом группы БАИ-11 Алимовым Д.С. под руководством преподавателя Т.В. Рындиной в 2013 году.

Курсовая работа рассматривает и решает задачи из двух разделов механики, а именно: статику и кинематику.

В итоге были определены реакции опор составных конструкций, а также было произведено исследование кинематических характеристик механизма, совершающего плоскопараллельное движение.

Содержание

Введение

1. Определение реакций опор составной конструкции

1.1 Теоретическая часть

1.2 Постановка задачи

1.3 Алгоритм решения задачи

2. Кинематический анализ плоского механизма

2.1 Теоретическая часть

2.2 Постановка задачи

2.3 Алгоритм решения задачи

2.4 Основные результаты

Заключение

Список литературы

Введение

Теоретическая механика - наука об общих законах механического движения тел, целью которых, является изучение и практическое применение этих законов. Под механическим движением подразумевается происходящее в пространстве и во времени изменения положения одних тел по отношению к другим. механика опора кинематический

В теоретической механике обычно выделяют такие разделы, как: кинематики, статики и динамики.

"Статика"- раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.

"Кинематика"- это раздел механики, в котором изучается движение тел, точек с геометрической точки зрения без учета сил, которые вызывают это движение. В кинематике изучаются движения "само по себе", вне связи с теми силами, под действием которых оно происходит. Так же скорость, ускорение и траектория являются основными кинематическими характеристиками.

"Динамика" - это раздел механики, в котором изучаются движение материальных тел под действием сил.

В данной курсовой работе мы рассмотрим задачи из двух разделов механики, а именно: статики и кинематики.

1. Определение реакций опор составной конструкции

1.1 Теоретическая часть

"Статика"- это раздел механики, в котором рассматриваются методы преобразования одних систем сил в другие (эквивалентные) и устанавливаются условия равновесия систем сил.

Проекция силы на ось.

Проекция () силы на некоторую ось () называется скалярная величина равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка заключенного между проекциями начала и конца вектора силы на эту ось. Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

рис.1.1

(1.1)

(1.2)

> (1.3)

Уравнения равновесия системы сил

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.

Если система уравновешена, то получаем условия равновесия:R=0, Mo=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:

?xi =0, ?Mix=0;

?yi =0, ?Miy=0; (1.4)

?zi =0, ?Miz=0.

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy) из этих уравнений получаются только три:

?xi=0;

?yi=0; (1.5)

?Mo=0,

причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.

Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

?xi =0;

?MA=0; (1.6)

?MB=0.

Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B .

?MA=0;

?MB=0; (1.7)

?MC=0.

Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A, B и C не должны лежать на одной прямой. Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.

Момент силы относительно точки и оси

Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке.

рис.1.2

Если известен радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом:

. (1.8)

Действительно, модуль этого векторного произведения:

. (1.9)

В соответствии с рисунком , поэтому:

|. (1.10)

Вектор , как и результат векторного произведения, перпендикулярен векторам и , которые принадлежат плоскости Р. Направление вектора таково, что глядя по направлению этого вектора, кратчайшее вращение от к происходит по часовой стрелке. Другими словами, вектор достраивает систему векторов () до правой тройки.

Зная координаты точки приложения силы в системе координат, начало которой совпадает с точкой О, и проекцию силы на эти оси координат, момент силы может быть определен следующим образом:

. (1.11)

Момент силы относительно оси

Проекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку, называется моментом силы относительно оси.

рис.1.3

Момент силы относительно оси вычисляется как момент проекции силы на плоскость Р, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Р:

(1.12)

Знак момента определяется направлением вращения, которое стремится придать телу сила F? Р. Если, глядя по направлению оси Oz сила вращает тело по часовой стрелке, то момент берется со знаком ``плюс'', иначе - ``минус''.

1.2 Постановка задачи

Определение реакций опор и шарнира С.

P1, кН	M, кН*м	q, кН/м
5,0	24,0	0,8

1.3 Алгоритм решения задачи

Разделим конструкцию на части и рассмотрим равновесие каждой из конструкции.

Рассмотрим равновесие всей конструкции в целом. (рис.1.1)

рис. 1.1

Составим 3 уравнения равновесия для всей конструкции в целом:

(1)

(2)

(3)

Рассмотрим равновесие правой части конструкции.(рис 1.2)

рис.1.2

Составим 3 уравнения равновесия для правой части конструкции:

(4)

(5)

(6)

Из уравнения 3 находим YA

кН

Найдем Q:

кН/м

Найдем угол в:

Из уравнения 2 находим YB

кН

Из уравнения 6 находим XB

кН

Из уравнения 5 находим YC

кН

Из уравнения 4 находим XC

кН

Из уравнения 1 находим XA

кН

Составим уравнение проверки:

XA, кН	XB, кН	XC, кН	YA, кН	YB, кН	YC, кН
-13,3	12	-12	-2,7	7,5	-7,5

2. Кинематический анализ плоского механизма

2.1 Теоретическая часть

Исследование кинематических характеристик механизма, совершающего плоскопараллельное движение.

Способы задания движения точки.

Прежде чем заняться исследованием движения точки, определением характеристик этого движения, надо научиться определять положение точки в пространстве в нужный момент времени.

Для этого существует несколько способов задания движения.

1) Естественный способ.

Чтобы определить движение точки естественным способом должно быть заранее задано: траектория движения точки (линия, по которой точка движется); начало отсчёта (точка , от которой по траектории отсчитывается расстояние s до движущейся точки М) ; направление, в котором откладываются положительные значения характеристик движения (указывается стрелкой, либо знаками плюс и минус); закон движения s = s(t). (2.1)

2) Координатный способ.

Этим способом положение точки, в какой либо системе координат определяется её координатами . При движении точки эти координаты изменяются. Поэтому, чтобы определить положение точки в нужный момент времени, должны быть заданы координаты как функции

времени : (2.2)

Эти функции называются уравнениями движения точки.

Уравнения движения позволяют определить не только положение точки в любой момент времени, но и все характеристики движения, в том числе и траекторию движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр .

3) Векторный способ.

Положение точки можно определить заданием вектора , проведённого из неподвижной точки , предполагая, что точка находится на конце этого вектора. Этот вектор называется радиус-вектором точки . Конечно, чтобы определить положение точки в любой момент времени, радиус-вектор должен быть задан как функция времени (2.3)

Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.

Разложим вектор на составляющие по осям координат:

где - проекции вектора на оси; - единичные векторы, направленные по осям, орты осей. Так как начало вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки .Поэтому

(2.4)

Вращательное движение - это движение твердого тела, имеющего как минимум две неподвижные точки (рисунок 1.3). Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Положение тела определено, если задан угол ц между плоскостями П 0 и П, одна из которых неподвижна, а другая жестко связана с телом.

ц=ц(t) - уравнение вращательного движения твердого тела. (2.5)

рис. 2.1

За положительное направление отсчета принимается вращение против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу положительному направлению оси z. Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики изменения угла поворота с течением времени вводится величина, называемая угловой скоростью щ:

(2.6)

В технике угловая скорость - это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За одну минуту тело повернется на угол 2р? n, где n - число оборотов в минуту (об/мин). Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим

. (2.7)

Вектор угловой скорости - это вектор, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки, с модулем, равным модулю алгебраической угловой скорости

. (2.8)

где k - единичный вектор оси вращения.

Угловое ускорение - мера изменения угловой скорости:

. (2.9)

Вектор углового ускорения - производная вектора угловой скорости по времени (рис. 1.4)

. (2.10)



рис. 2.2

Если е >0 и щ >0 (рисунок 2.2), то угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону. Направление векторов щ и е совпадают, оба они направлены в положительную сторону оси вращения Oz.

При е <0 и щ <0 - тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Направление векторов щ и е совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения Oz .

Если е <0 и щ >0, то имеем замедленное вращение в положительную сторону. Векторы щ и е направлены в противоположные стороны.

Если е >0 при щ <0, то имеем замедленное вращение в отрицательную сторону. Векторы щ и е направлены в противоположные стороны.

Определение: Вектором угловой скорости называется вектор модуль, которого равен величине угловой скорости тела направленный по оси вращения в сторону чтобы, смотря навстречу этому вектору можно было видеть вращение тела происходящем в направлении против хода часовой стрелки.

Определение: Вектором углового ускорения тела называется вектор равный первой производной по времени от вектора угловой скорости. Он также направлен по оси вращения тела. Если эти величины , имеют одинаковые знаки, то вращение тела ускоренно. Векторы направлены одинаково. А если знаки разные вращение замедленно и , векторы направлены противоположно.

Скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела.

Так как траектории точек вращающегося тела - окружности, при определении скорости и ускорения удобно воспользоваться естественным способом задания движения (рисунок 2.3). Дуговая координата, определяющая положение точки на траектории, связана с углом поворота равенством:

s = цR . Отсюда:

. (2.11)

рис. 2.3

рис. 2.4

Скорость н = нфф еще называют линейной или окружной скоростью. Она направлена по касательной к траектории движения точки.

Ускорение (рисунок 2.4) определяется как сумма касательного и нормального ускорений:

. (2.12). (2.13)

модуль ускорения

. (2.14)

Угол б, образованный вектором ускорения точки с радиусом окружности OM, для всех точек тела в любой момент времени одинаков,

. (2.15)

Касательное и нормальное ускорения при вращательном движении твердого тела также называют соответственно вращательным и центростремительным:

. (2.16)

Плоскопараллельное движение твердого тела.

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П . Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскости Оxy, параллельной плоскости П. При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ', перпендикулярной течению S, т. е. плоскости П, движутся тождественно.

Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т.е. в плоскости Оху.

Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 28). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты и точки А и угол, который отрезок АВ образует с осью х. Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.

При движении фигуры величины будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости.



Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Первые два из уравнений движения определяют то движение, которое фигура совершала бы при = const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А.

Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при и, т.е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фигуры вокруг полюса А. Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса, а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса. . Абсолютная скорость любой точки плоской фигуры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости про-извольно выбранного полюса в поступательном движении плоской фигуры и вращательной скорости во вращательном движении фигуры относительно полюса.

Определение скоростей точек в плоскопараллельном движении

Теорема о скоростях точек.

При движении фигуры в плоскости положение её точек можно определить соотношением



rM=rAAM.

В данном случае точка A является полюсом. Скорость точки M

VM=drM/dt=(drA/dt)+dAM/dt; VM=VAVMA .

Производная от вектора, постоянного по величине и переменного по направлению, есть вращательная скорость

Вектор щ в данном случае перпендикулярен плоскости фигуры: VAM? AM.

Скорость точки в плоскопараллельном движении определяется как геометрическая сумма скорости полюса и скорости точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.

Численная величина скорости может быть найдена по теореме косинусов:

VM2=VA2+VMA2+2VAVMAcosб

или проецированием векторного равенства на оси координат:

VMx=VAxVMAx, VMy=VAyVMAy,

Ускорение точки в плоскопараллельном движении

Из выражения

VM=VA VMA (или VM=VA+щ AM) путем дифференцирования получаем

где aMAвр -вращательное ускорение точки M при вращении вокруг точки A ;

aMAвр=е АM, aMAвр?AM;

aMAвр=еАM

aMAц - центростремительное ускорение точки M при вращении вокруг точки A ;

aMAц=щ (щ AM)=щ МVA;

aMAц=щ2AM

Центростремительное ускорение aMAц направлено от точки M к полюсу A .

Численную величину полного ускорения можно определить, спроецировав векторное равенство (2.15) на выбранные оси координат:

2.2 Постановка задачи

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек B и C, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат.



Размеры, см	щOA, рад/с	еOA, рад/с 2
ОА	r	AC
40	15	8	2	2

2.3 Алгоритм решения задачи

Определение скоростей точек.

Вычислим скорость точки А при заданном положении механизма:

нA = ОАOA = 240 = 80 см/с.

Скорость точки А направлена перпендикулярна к ОА. Мгновенный центр скоростей СV находится в точке соприкосновения колес.

Угловая скорость колеса

К = нA/r = 80/15 = 5,33 c-1

Скорости точек В и С:

нB = КВСV;

нС = КССV,

где

ВСV = r= 151,41 = 21,2 см,

ССV = см.

Следовательно,

нB = КВСV = 5,3321,2 = 113 см/с;

нС = КССV = 5,3321,4 = 114,1 см/с.

рис. 1

Вектор направлен перпендикулярно к отрезку BCV, а вектор - перпендикулярно к отрезку CCV в сторону вращения колеса.

2. Определение ускорений точек.

Ускорение точки А складывается из вращательного и центростремительного ускорений:

;

см/с 2;

см/с 2.

Вектор направлен от А к О. Вектор перпендикулярен к вектору и направлен в соответствии с направлением углового ускорения ОА.

Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры имеем:

.

Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении колеса вокруг полюса А:

см/с 2.

Вращательное ускорение точки В:

,

где

с-2,

см/с 2.

Вектор направлен от В к А. Вектор перпендикулярен к вектору и направлен в соответствии с направлением углового ускорения K.

Ускорение точки В находим способом проекций:

см/с 2;

см/с 2;

см/с 2.

Определяем ускорение точки С:

.

Центростремительное ускорение точки С во вращательном движении колеса вокруг полюса А:

см/с 2.

Вращательное ускорение точки С:

см/с 2.

Вектор направлен от С к А. Вектор перпендикулярен к вектору и направлен в соответствии с направлением углового ускорения K.

Ускорение точки С находим способом проекций:

см/с 2.

рис. 2

2.4 Основные результаты

5,33	113	114,1

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы были рассмотрены и решены задачи из двух основных разделов, а именно: статики - раздел механики, предметом, которого являются материальные тела, находящиеся в состоянии покоя при действии на них внешних сил. В широком смысле слова статика - это теория равновесия любых тел - твердых, жидких или газообразных; кинематики - раздел, в котором изучается механическое движение, без учета масс тел и причин, которые обеспечивают это движение.

Список литературы

1. Бутенин И.В., Лунц Я.Л., Миркин Д.Р. Курс теоретической механики. М.: Наука, 1985, т. 2.

2. Сборник заданий курсовых работ по теоретической механике под редакцией А. А.Яблонского. М.: Высшая шкала, 1985.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М: Наука, 1995.

Размещено на Allbest.ru

...