Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Необходимость всесторонних исследований динамики ядерных энергетических реакторов и, в частности необходимость анализа устойчивости стационарных режимов их работы не вызывает сомнений, однако эти исследования сопряжены с немалыми трудностями. Эти трудности обусловлены сложностью конструкций современных реакторов, многообразием их типов и, что особенно существенно, многообразием и взаимосвязями различных процессов в реакторах - нейтронно-физических, газодинамических, тепловых, механических, гидравлических и др. Такие явления, как кипение теплоносителя, циркуляция ядерного горючего (жидкого или газообразного), а также наличие сложных систем управления и регулирования приводят к дополнительным затруднениям в теоретическом исследовании динамики ядерных установок.

Важно отметить, что такое сложное переплетение разнородных физических процессов формирует внутренние обратные связи в реакторе, которые, к счастью, прослеживаются без особого труда. В самом деле, изменение плотности нейтронов в реакторе приводит к изменению тепловыделения в нем, которое влечет за собой изменения температур и плотностей различных сред и элементов конструкций реактора (твэлов, теплоносителя, блоков замедлителя и др.). Изменение физического состояния всех этих сред приводит к изменениям их размножающих, замедляющих и поглощающих свойств, т.е. к изменению коэффициента размножения реактора, что, в свою очередь, влечет за собой новые изменения плотности нейтронов. Если эти обратные связи достаточно сильны, а изменения переменных реактора имеют надлежащие фазовые сдвиги, то стационарный режим работы реактора оказывается неустойчивым.

К такому выводу приводят многочисленные работы [1] по теоретическому и экспериментальному исследованию устойчивости реакторов. Дополнительные обратные связи, обусловленные наличием органов регулирования и управления, также могут оказаться причиной неустойчивой работы реактора. Неусточивость стационарного режима может принимать разнообразные формы, из которых наиболее распространены апериодическая и колебательная [1].

Апериодическая неустойчивость характеризуется тем, что после малых возмущений стационарного режима* плотность нейтронов и другие величины, характеризующие реактор, с течением времени монотонно, апериодически удаляются от своих стационарных значений.

Колебательная неустойчивость характеризуется самовозбуждением нарастающих колебаний величин, описывающих работу реактора, около их стационарных значений. Благодаря нелинейным зависимостям между этими величинами в реакторе устанавливаются колебания с конечной амплитудой, определяемой параметрами реактора (автоколебания).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Ядерный реактор как система с обратной связью: 1 - нелинейное звено, определяемое уравнениями кинематики; 2 - блок обратной связи

Из сказанного ясно, что ядерный реактор можно рассматривать как динамическую систему с обратной связью. Упрощенная схема реактора представлена на рис. 1. Каждый из блоков 1 и 2 может отображаться дифференциальными или интегро-дифферинциальными уравнениями различных типов и сложности. В соответствии с этим полная математическая модель динамики реактора, состоящая из уравнений кинетики нейтронного поля и уравнений обратных связей, также может иметь разнообразную форму. Конкретный тип управлений динамики определяется типом исследуемого реактора, спецификой физических процессов в нем, принятой постановкой задачи, соответствующими идеализациями и теми вопросами, на которые требуется получить ответ в результате теоретического исследования.



Глава 1 об устойчивости движений, определяемых разностными уравнениями

1.1 Общие теоремы прямого метода Ляпунова

При исследовании систем импульсного и релейного регулирования возникают вопросы об определении устойчивости стационарного состояния движения или равновесия, когда в возмущенном движении известны состояния системы в дискретные равностоящие друг от друга моменты времени. Эти вопросы тесно связаны с изучением свойств решений систем разностных уравнений, и поэтому имеет смысл рассмотреть их в общем виде[1].

Рассмотрим систему нелинейных разностных уравнений, заданных в нормальной форме

(1.1)

которые устанавливают связь между переменными для двух последовательных, равноотстоящих друг друга значений независимого переменного . Не нарушая общности, будем считать, что переменно принимает только целочисленное значения 0,1,2 … Независимую переменную , как и прежде, будем называть дискретным временем.

Правые части уравнений (1.1) суть однозначные, непрерывные функции переменных При этих условиях всякая система значений переменных принимаемая за начальные условия при определяет единственное решение Х уравнений (1.1), которое при удовлетворяет начальным условиям. Это решение будет непрерывно зависеть от начальных условий.

Будем считать, что существует область

(1.2)

изменения переменных внутри которой правые части (1.1) непрерывны и не обращаются одновременно в нуль, кроме значений переменных

гомогенный реактор устойчивость динамический

(1.3)

при которых

(1.4)

Геометрически переменные можно трактовать как координаты n-мерного фазового пространства, а решение системы разностных уравнений (1.1)- как движение изображающей точки. Тогда систему уравнений (1.1) можно назвать дискретной системой[2]. Дискретная динамическая система осуществляет точечное преобразование фазового пространства. Тогда являются неподвижной, или инвариантной, точкой данного преобразования.

Равенства (1.3) определяют тривиальное решение уравнений (1.1). В соответствии с терминологией Ляпунова[3] будем называть невозмущенным движением системы, а уравнения (1.1)- уравнениями возмущенного движения, а их решения - возмущенными движениями системы.

Правые части уравнений (1.1) не зависят явно от дискретного времени М, поэтому их решение определяет устойчивость установившихся невозмущенных движений. Однако, как будет показано ниже, к анализу решений такого типа разностных уравнений будет сведена задача об устойчивости периодических режимов колебаний релейных систем регулирования.

Для дискретных систем можно сформулировать определение устойчивости по Ляпунову.

Если для всякого произвольно задаваемого числа как бы мало оно ни было, можно выбрать положительное число так, что для всех возмущенных движений Х для которых в начальный момент времени выполняется неравенства

(1.5)

будут иметь место неравенства

(1.6)

для любого значения то невозмущенное движение (1.3) устойчиво[4]. В противном случае неустойчиво и устойчиво асимптотически, если дополнительно имеют место предельные равенства

(1.7)

Решение вопроса об устойчивости дискретных систем дается естественным распространением теорем прямого метода Ляпунова на рассматриваемый случай.

Пусть существует вещественная функция относительно которой будем предполагать, что существует достаточно малая область

(1.8)

внутри которой она однозначна, непрерывна и обращается в нуль, когда все координаты Х суть нули. Будем дополнительно считать, что функция является знакоопределенной положительной (отрицательной), если для всех значений координат удовлетворяющих неравенству (1.8), кроме знакопостоянной положительной (отрицательной), если при указанных выше условиях

Если функция не является знакоопределенной или знакопостоянной, то в любой сколь угодно малой окрестности точки то функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Такую функцию будем называть знакопеременной.

Введем обозначения

(1.9)

и будем говорить, что первая разность функций взята в силу уравнений (1.1), если в ней переменные выражены через посредством указанных уравнений.

Первая теорема об устойчивости. Если разностные уравнения (1.1) возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию первая разность которой в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Эта теорема доказывается почти дословным повторением соответствующей теоремы Ляпунова. Пусть и есть определенно положительная функция, а первая разность ее, взята в силу уравнений (1.1), удовлетворяет уравнению

(1.10)

где U- знакопостоянная положительная функция.

Отсюда суммирование получим

(1.11)

и, учитывая, что будем иметь

(1,12)

Пусть, далее, a есть некоторое произвольно малое положительное число (которое во всяком случае будем полагать меньше c); пусть l есть точная низшая граница функции V на сфере a

(1.13)

т.е. для всех точек сферы a имеет место неравенство

(1.14)

Число l отлично от нуля и положительно, так как представляет собой определенно положительную функцию. С другой стороны, для l найдется такое что для значений переменных удовлетворяющих условию

(1.15)

значение функции будут удовлетворять неравенству

(1.16)

Такое значение необходимо существует в силу свойств функции оговоренных выше. Если при начальные значения координат выбраны таким образом, что они удовлетворяют неравенству (1.15), то в соответствии с формулами (1.9), (1.12) и (1.16) для любого момента дискретного времени будут иметь место неравенства



(1.17)

Ввиду того, что в процессе движения не достигает значения l то в силу неравенств (1.13) и (1.14) изображающая точка никогда не достигает сферы a, т.е. для любого момента времени координаты удовлетворяют неравенству (1.6).

Вторая теорема об устойчивости. Если разностные уравнения (1.1) возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию , первая разность которой в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного с знака, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

В данном случае, очевидно, выполняется условия первой теоремы. Поэтому невозмущенное движение устойчиво. Покажем, что здесь имеют место предельные равенства (1.7). Пусть функция является определенно положительной. Тогда в уравнении (1.10) и причем знак равенства имеет место при . Из (1.10) следует, что с изменением времени m функция образует монотонно убывающую последовательность

(1.18)

ограниченную снизу нулем. Следовательно, эта последовательность стремиться к пределу при неограниченно возрастающем . Этот предел равен нулю, и в силу определенной положительности функции координаты в пределе также равны нулю.

Это положение доказывается от противного. Пусть указанный предел равен тогда существует такая окрестность, ограниченная сферой в которую не может проникнуть изображающая точка с координатами при любом m. Вследствие этого определенно положительная функция для любого m будет больше некоторого, не равного нулю положительного числа . Но тогда из формулы (1.11) легко получить неравенство

, (1.19)

по которому функция наверняка становится отрицательной, что невозможно.

Имеют место две теоремы о неустойчивости.

Первая теорема о неустойчивости. Если разностные уравнения (1.1) возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной первой разностью и была бы такова, что при надлежащем выборе величин , численно сколь угодно малых ее можно было бы сделать величиной одинакового знака с ее первой разностью, то невозмущенное движение неустойчиво.

Вторая теорема о неустойчивости. Если разностные (1.11) возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V первая разность которой в силу этих уравнений приводилось бы к виду

(1.20)

где - положительная постоянная, а W или тождественно равна нулю или представляет собой некоторую знакопостоянную функцию и при этом найденная функция V такова, что надлежащим выбором величин численно сколь угодно малых, ее можно сделать величиной одинакового знака с W то невозмущенное движение неустойчиво.

В частности, условия теорем о неустойчивости наверняка будут выполнятся, если функция V будет знакопостоянной или знакоопределенной функцией одного знака с первой разностью (первая теорем) или с функцией В (вторая теорема).

Доказательство этих теорем легко провести, следуя соответствующим рассуждениям Ляпунова с теми упрощениями и изменениями, которые теперь ясны из данных выше доказательств теорем об устойчивости, поэтому мы их здесь в аналитическим виде приводить не будем.

Приведенные выше теоремы Ляпунова об устойчивости движения допускают очень наглядную геометрическую интерпретацию[5]. Пусть V есть знакоопределенная положительная функция. Рассмотрим в фазовом пространстве однопараметрическое семейство поверхностей

(1.21)

где параметр - положительное число. Будем называть их поверхностями равного уровня. Очевидно, V(0) вырождается в точку. Существует такая достаточно малая окрестность (1.8) около нулевой точки , в которой поверхности уровня будут замкнутыми и охватывающими нулевую точку. При изменении параметра от нуля до некоторого достаточно малого значения получим однопараметрическое семейство замкнутых, не пересекающихся между собой поверхностей разного уровня, охватывающих нулевую точку и стягивающихся в эту точку при На рис. 1.1 это поверхности представлены в виде кривых равного уровня для случая двухмерного фазового пространства - фазовой плоскости.

Каждая поверхность (1.21) охватывает все поверхности семейства, соответствующие более низкому уровню параметра . Величины вычисленные для текущих значений координат изображающей точки, всегда совпадают с определенными значениями параметра Это означает, что в данный момент времени изображающая точка с координатами попадает на поверхность указанного уровня. Таким образом, в дискретном движении изображающая точка перескакивает с одной поверхности равного уровня на другую, причем, если первая разность представляет собой знакоопределенную функцию противоположного с V знака[6], то изображающая точка всегда перескакивает с поверхности данного уровня на поверхность более низкого уровня и поэтому асимптотически приближается к нулевой точке. Если первая разность взята в силу уравнений (1.1), тождественно равна нулю или является знакопостоянной функцией противоположного с V знака, то изображающая точка при своем движении может «застрять» на поверхности определенного уровня и тогда она наверняка не сможет неограниченно приближается к нулевой точке.

а)

б)

Рис. 1.1, Кривые равного уровня для знакоопределенной и знакопеременной функций

Если теперь функция V знакопеременная, то поверхности уровня (1.21) не будут замкнутыми. Параметр в этом случае может принимать положительные и отрицательные значения, так что в окрестности нулевой точки будем иметь области и причем эти области разделяются поверхностью которая проходит через нулевую точку . В области поверхности (1.21) равного уровня не пересекаются в силу однозначности функции V и удаляются от нулевой точки с увеличением положительного параметра в области с ростом отрицательного параметра поверхности равного уровня, наоборот, как бы приближаются к нулевой точке и к разделяющей поверхности На рис. 1.1,б представлена подобная ситуация для фазовой плоскости. В любой сколь угодно малой окрестности нулевой точки существует области и

Пусть первая разность вычислена в силу разностных уравнений (1.1),-определенно положительная функция. Тогда, если движение начинается из точки области находящая точка в процессе дискретного движения будет перескакивать с поверхностей низшего уровня на поверхности более высокого уровня. Изображающая точка, не покидая области обязательно выйдет за пределы любой наперед задаваемой области (1.6), поэтому невозмущенное движение будет неустойчивым. Заметим, что для доказательства неустойчивости невозмущенного движения достаточно найти хотя бы одну фазовую траекторию, которая выходит за пределы области (1.6).

В предыдущих рассуждениях не был в полной мере использован тот факт, что первая разность является определенно положительной функцией. Для доказательства достаточно только знать, что в любой близости нулевой точки существует область и что первая разность взята в силу уравнений (1.1), является положительной в этой области.

Такое обозначение теорем Ляпунова о неустойчивости было дано Н.Г. Четаевым.

Общие теоремы об устойчивости невозмущенного движения дискретных динамических систем являются естественным обобщением соответствующих теорем Ляпунова. Функцию V, обладающую свойствами, которые оговорены в одной из четырех теорем, называют обычно функцией Ляпунова.

Приложение Общих теорем к исследованию устойчивости линейных дискретных систем требует своеобразного подхода, причем применение методов матричного исчисления позволяют получить решение такой задачи довольно простыми средствами.



Глава 2 Постановка задачи

2.1 Модели кинетики реактора

Дадим классификацию и краткую характеристику существующих моделей кинетики. Классификация этих моделей проводится по типам дифференциальных уравнений, в основе которых лежат те или иные физические допущения о процессе размножения нейтронов. Рассматривают следующие модели кинетики: точечную, многоточечную, диффузионную, диффузионно-возрастную и уравнения Больцмана.

Точечная модель кинетики, лежащая в основе многочисленных исследований динамики ЯЭУ, состоит их уравнений

(2.1.1)

в которых - реактивность; - плотность нейтронов; - соответственно концентрация, постоянная распада и доля излучателей -ой группы запаздывающих нейтронов; ; - время жизни нейтронов; - время.

Управления (2.1.1) не содержат пространственных координат и дают сосредоточенное (точечное) описание реактора, не отражая возможности пространственной деформации нейтронного поля. Точечная модель кинетики не может быть признана универсальной, хотя она наиболее часто используется в расчетах динамики ЯЭУ [5-7]. Ее применимость ограничивается реакторами с неподвижным горючим и с достаточно малыми размерами активно зоны , когда стабилизирующее влияние утечек нейтронов велико.



2.2 Типы обратных связей

В зависимости от типа исследуемого реактора, существа рассматриваемого вопроса и принятых идеализаций обратные связи реактора могут отображаться уравнениями динамики самых различных типов и сложности, поэтому разумно классифицировать обратные связи именно по виду уравнений, которыми они описываются. Различают следующие типы связей: мгновенные (безынерционные), сосредоточенные, запаздывающие, распределенные, смешанные.

Мгновенные, или безынерционные, обратные связи допускают наиболее простое математическое описание - только алгебраическими уравнениями. Такое описание пригодно для анализа динамики достаточно медленных процессов, при которых изменение температур или плотностей различных сред реактора успевают следовать за изменениями нейтронной мощности. В простейшем (линейном) случае цепь обратной связи можно отобразить одним уравнением , где - реактивность, - отклонение плотности нейтронов от ее стационарного значения , а - мощностной коэффициент реактивности.

Сосредоточенные обратные связи описываются дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных. Это наиболее распространенное описание, способное охватить весьма широкий круг нестационарных процессов, если порядок уравнений достаточно высок. Следует, однако, подчеркнуть, что всякая реальная ЯЭУ содержит распределенные звенья (каналы реактора, трубки теплообменника, соединительные магистрали, блоки замедлителя и т.п.), поэтому сосредоточенная модель - всего лишь одна из возможных идеализаций реальных распределений звеньев ЯЭУ.



2.3 Гомогенный реактор с линейной температурной обратной связью

Рассмотрим точечную модель гомогенного реактора в предположении, что реактивность зависит от температуры горючего по линейному закону. Уравнения динамики запишутся в виде:

(2.3.1)

где - мощность реактора; - температура делящегося вещества; - постоянные ; - температурный коэффициент реактивности; и - масса и удельная теплоемкость горючего, - управление. Постоянные и имеют различное содержание в зависимости от конкретного механизма отвода тепла. Так, если теплоотвод осуществляется циркуляцией горючего, то k=Gc, где G- массовый расход горючего, а -постоянная температура горючего на входе в активную зону. Если же тепло отводится охлаждением через поверхность, то k- коэффициент теплопередачи от горючего с температурой Т к охлаждающей среде с температурой . В системе (2.3.1) и всюду ниже индекс «0» указывает на значение переменной в стационарной системе.

Система (2.3.1) допускает два разных состояния равновесия:

Первое состояние равновесия характеризует погашеный реактор. Второе состояние равновесия описывает стационарный режим при отличном от нуля уровне мощности.

Рассмотрим задачу устойчивости системы (2.3.1) в отклонениях при

(2.3.2)

Перейдем к новым переменным

Учитывая уравнения (2.3.2) получим

(2.3.3)

Применим функцию Ляпунова

Производная от функции Ляпунова равна

Подставляя соответствующие значения получим



Раскрыв скобки получаем

(2.3.4)

Выпишем матрицу коэффициентов квадратичной формы (2.3.4)

Применяя критерии асимптотической устойчивости линейного приближения, получим

(2.3.5)

При условиях (2.3.5) система уравнений (2.3.3) асимптотически устойчива, а значит и исходная система (2.3.1) тоже асимптотически устойчива.

Было проведено численное моделирование системы (2.3.1) при следующих численных значениях (Приложение 1).



Список литературы

1. Библиографический указатель работ по устойчивости стационарных режимов ядерных энергетических установок (1954 - 1973 гг.) АИНФ 233. М., ЦНИИатомицформ, 1974. (Сост. : С.Л. Горяченко, В.Д. Гориченко).

2. Бернштейн С.И., Соловьев М.М. Автоколебания в системе регулирования мощности реактора с двумя управляющими органами. - В ки.: Управление ядерными энергетическими установками. Вып. 2. М., Атомиздат, 1967, с. 72 - 85.

3. Kando H., Iwazumi T., Hattory Y. Consideration of eigenvalue sensitivity for reactor system. - «J. Nuel. Sci. and Techn.», 1971, v. 8, № 7, p. 363 - 370.

4. Raju G. V. S., Josselson R. Stability of reactor control system in coutied core reactors. - «IEEE Trans. Nucl. Sci.», 1971, v. 18, № 1 (Part 1), p. 388-394.

5. Шульц М. Регулирование энергетических ядерных реакторов. Пер. с англ. Под ред. Д.И. Воскобойника. М., Изд-во иностр. лит., 1957.

6.Мистенко Ф.М., Моторов Б.И. Нестационарные режимы судовых ядерных паропроизводящих установок. Л., «Судостроение», 1970.

7.Основы автоматического управления ядерными космическими энергетическими установками. М., «Машиностроение», 1974, Авт.: В.В. Бугровский, Н.А. Винцевич, И.М. Вышнепольский и др.

8. Анапольский, Л.Ю. Метод сравнения в динамике дискретных систем / Л.Ю. Анапольский; ред. В.М. Матросов, Л.Ю. Анапольский // Вектор-функции Ляпунова и их построение. - Новосибирск: Наука, 1980.- С. 92-128.

9. Андреев, А.С. О моделировании цифрового регулятора на основе прямого метода Ляпунова / А.С. Андреев, Е.А. Кудашова, О.А. Перегудова // Научно-технический вестник Поволжья. - 2013. - №6. - С. 113-115.

10. Андреев, А.С. О моделировании цифрового регулятора на основе прямого метода Ляпунова / А.С. Андреев, Е.А. Кудашова, О.А. Перегудова // Научно-технический вестник Поволжья №6 2013. Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2013 - с. 113-115.

11. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. - М.: Мир, 1967. - 548 с.

12. Богданов А.Ю. Устойчивость неавтономных дискретных систем типа Лотки - Вольтерра / А.Ю. Богданов, Е.А. Кудашова // Ученые записки УлГУ. Сер. Математика и информационные технологии. Вып. 1(18) - Ульяновск: УлГУ, 2007. - С. 182-188.

13. Богданов А.Ю. Развитие прямого метода Ляпунова и равномерная асимптотическая устойчивость решений дискретных с изменяющейся структурой / А.Ю. Богданов, Е.А. Кудашова // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва: ТВП. - 2009. - Том 16 - Вып. 2. - С. 294-295.

14. Бромберг, П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного управления / П.В. Бромберг. - М.: Наука, 1967. - 324 с.

15. Видаль, П. Нелинейные импульсные системы / П. Видаль. - М.: Энергия, 1974. - 336 с.

16. Гайшун, И.В. Дискретные уравнения с изменяющейся структурой и устойчивость их решений / И.В. Гайшун // Дифференциальные уравнения. - 1997. - Т. 33, №12. - С. 1607-1614.

17. Гайшун, И.В. Устойчивость дискретных процессов Вольтерра с Убывающим последействием / И.В. Гайшун // Автоматика и телемеханика. - 1997. - №6. - С. 118-124.

18. Гайшун, И.В. Управляемость систем, описываемых линейными дискретными уравнениями Вольтерра / И.В. Гайшун, М.П. Дымков // Автоматика и телемеханика. - 2000. - №7. - С. 88-100.

19. Гайшун, И.В. Системы с дискретным временем / И.В. Гайшун. - М.: Минск, 2011.

20. Гайшун, И.В. Системы с дискретным временем / И.В. Гайшун. - Минск: Институт математики НАН Беларуси, 201.

21. Гелиг, А.Х. Стабилизация нестационарных импульсных систем / А.

Х. Гелиг, И.Е. Зубер // Автоматика и телемеханика. - 2004. - №5. - С. 29-37.

22. Колмановский, В.Б. О применении второго метода Ляпунова к разростным уравнениям Вольтерра / В.Б. Колмановский // Автоматика и телемеханика. - 1995, №11. - С. 50-64.

23. Кудашова Е.А. Метод векторных функций Ляпунова в задаче об асимптотической устойчивости разностных систем / О.А. Перегудова, Е.А. Кудашова // Научно-технический вестник Поволжья, 2015. - с. 118-121.

24. Кудашова Е.А. Об асимптотическом поведении решений неавтономной нелинейной системы второго порядка / Е.А. Кудашова //Труды Симбирской молодежной научной школы по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами, 8-12 июня 2009 г., г. Ульяновск. - Ульяновск: УлГУ, 2009. С. 67-68.

25. Кудашова Е.А. Прямой метод Ляпунова в задаче об устойчивости неавтономных дискретных систем типа Лотки-Вольтерра / Е.А. Кудашова // Труды Х международной Чатаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление», - Казань: КНИТУ КАИ. - с. 316-322.

26. Леонов, Г.А. Проблема Броккета для линейных дискретных систем управления /Г.А. Леонов // Автоматика и телемеханика. - 2002. - №5. - С. 92-96.

27. Маликов, А.И. Вектор функции Ляпунова в анализе свойств систем со структурными изменениями / А.И. Маликов, В.М. Матросов // Дифференциальные уравнения. - 1998. - №2. - С. 47-54. 530 с.

28. Перегудова, О. А. Метод сравнения в задачах устойчивости и управления движениям механических систем / О.А. Перегудова. - Ульяновск; Издательство УлГУ, 2009. - 253 с.

29. Самарский, А.А. Устойчивость разностных систем / А. А. Самарский, А.В. Гулин. - М.: Наука, 1973. - 397 с.

30. Фурасов, В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов / В.Д. Фурасов. - М.: Наука, 1982. - 192 с.

31. Цыпкин, Я.З. Теория линейных импульсных систем / Я.З. Цыпкин. - М.: Наука, 1963. - 968 с.

32. Юревич, Е.И. Основы робототехники / Е.И. Юревич. - 2-е изд. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 416 с.

33. Юревич, Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. - 3-е изд. - СПб.: БХВ-Петербург, 2007. - 560 с.

Размещено на Allbest.ur

...