Сложное сопротивление бруса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сложное сопротивление бруса

1. Определение внутренних силовых факторов (ВСФ)

До сих пор изучались простые виды деформации бруса: 1) центральное осевое растяжение (сжатие); 2) чистый сдвиг; 3) плоский изгиб, когда ; 4) кручение. Каждый вид этих деформаций вызывается своей нагрузкой.

На практике часто на конструкцию действует достаточно произвольная нагрузка, которая может вызвать несколько простых деформаций одновременно. В этом случае стержень (брус) будет испытывать сложную деформацию.

При сложной деформации в поперечном сечении бруса могут возникнуть шесть компонент внутренних сил и моментов (ось всегда вдоль оси бруса, оси и - в поперечном сечении бруса и составляют правую систему координат ): продольная сила, поперечная (перезывающая) сила вдоль оси , поперечная сила вдоль оси , изгибающий момент относительно (вокруг) оси , изгибающий момент относительно оси , крутящий (относительно оси ) момент. Для их определения в произвольном сечении бруса используют «метод сечений», который дает полученные ранее шесть уравнений, рассматривая одну из отсеченных частей бруса (левую или правую):

На рис. 1 показаны положительные направления всех ВСФ в сечении левой части бруса.



Рис. 1

Левой отсеченной частью условно будем считать ту часть бруса, у которой нормаль к сечению (внешняя) направлена вдоль оси (у правой части нормаль направлена против оси ).

В сечении левой части: направлены вдоль осей соответственно; , если с концов осей и эти моменты видны против хода часовой стрелки или от этих моментов правый винт (буравчик) перемещается вдоль направлений осей и соответственно.

В сечении правой части бруса, отброшенной на рис. 1, положительные направления ВСФ по III закону Ньютона (действия и противодействия) направлены противоположно показанным на рис. 1 направлениям. Составляющие (компоненты) по осям внешних сил для левой и правой частей в уравнениях (1) положительны, если они направлены вдоль осей; внешние моменты от них в сечении бруса относительно осей и положительны, если от них правый винт (буравчик) перемещается вдоль направлений осей и (совпадают с направлениями и на рис. 2).

С учетом этих правил по формулам (1) можно построить эпюры (графики) всех ВСФ по длине бруса, по которым определяется опасное сечение бруса.

При построении эпюр по формулам (2):

Рис. 2

Эп. строится в любой плоскости ( или ), обязательно указать знак;

Эп. в плоскости , положительные значения откладывать вдоль направления оси ;

Эп. в плоскости , вдоль оси ;

Эп. строится в плоскости изгиба бруса ,

вдоль оси ;

Эп. в плоскости , вдоль направления оси ;

Эп. в любой плоскости ( или ), желательно указывать знак.

Часто ось бруса состоит из отрезков прямых, соединенных под углами 90 (ломанный брус) и загружена произвольной нагрузкой. В этом случае брус разбивается на участки, границами которых служат точки излома оси бруса, точки приложения сосредоточенных нагрузок, начало и конец распределенных нагрузок. На каждом участке вводим правую систему координат (т. центр тяжести поперечного сечения бруса, оси и главные центральные оси сечения; оси правые, если кратчайший поворот оси к оси с конца оси виден против хода часовой стрелки).

Пример построения эпюр ВСФ

Рассмотрим «ломанный брус», показанный на рис. 2.

Исходные данные:

кН, кН, кН, кН/м, , , , , м

Из рис. 7.2 видно, что брус имеет четыре участка. За первый участок примем тот, который имеет свободный конец ( или ). Выберем участок длиной . Ось вдоль оси бруса от т. а. На этом участке возьмем произвольное сечение с ц.т. на расстоянии от т.а и проведем оси и так, чтобы с осью они составили правую систему координат . Для записи уравнений (1) выгоднее рассмотреть часть бруса с известными нагрузками . Внешняя нормаль к сечению этой части направлена вдоль оси , поэтому эта часть считается «левой» при использовании формул (1). Правую часть рассматривать невыгодно, т.к. она более сложная и содержит в заделке «k» шесть опорных реакций (которые предварительно придется найти). Далее оси поступательно, без вращения вокруг оси (поворачиваются вокруг оси х), перемещаются на второй участок и в сечении оси и ось . Проще рассмотреть участки и эта часть бруса считается тоже левой, т.к. нормаль в сечении направлена вдоль оси . Положение сечения определим расстоянием , причем . Далее оси перемещаем на III участок и в сечении проводим оси и . Положение сечения определим расстоянием () и рассмотрим правую часть , т.к. нормаль в сечении направлена против оси . На IV участок оси переводим из положения поворачивая их в т. С вокруг оси , ось вдоль стержня . Проводим произвольно сечение в т., в котором располагаем оси и . Рассмотрим всю переднюю часть, поэтому сечение определим расстоянием (), эта часть бруса будет «левой», т.к. направлена вдоль оси (для правой части надо определить 6 опорных реакций в заделке «k»).

Для каждого участка бруса запишем формулы (1), по которым построим все эпюры ВСФ:

I участок (левая часть)

кН

кН

кН

- линейная зависимость:

Считаем:

Считаем

По этим данным строим эпюры (графики) всех ВСФ на I участке на рис. 3 по вышеуказанным правилам.

II участок (левая часть)

кН

кН

- линейная зависимость

Считаем:

квадратная парабола

Считаем

Строим эпюры на II участке

III участок (правая часть)

Считаем

Считаем

.

Строим эпюры на III участке.

IV участок (левая часть)

линейная зависимость

Считаем

линейная зависимость

Считаем

Эпюры всех внутренних силовых факторов приведены на рис. 3 (1ч6).

По эпюрам можно определить тип сложного сопротивления бруса, найти опасное (расчетное) сечение на каждом участке «ломанного» бруса и величины всех ВСФ в них.

Рис. 3

Типы сложного сопротивления бруса:

Косой изгиб: обязательно .

Изгиб с кручением: обязательно или или оба .

Внецентренное растяжение (сжатие): обязательно , .

Другие комбинации ВСФ относятся к общему случаю сложного сопротивления бруса.

Определим тип сложного сопротивления, найдем опасное (расчетное) сечение на каждом участке бруса из анализа полученных эпюр рис. 3.

I участок: Здесь косой изгиб и сжатие. Опасное сечение при , где: , , , , , .

II участок: Здесь косой изгиб с кручением и растяжением. Опасное сечение при , где: , , , , , .

III участок: Здесь косой изгиб. Опасное сечение , где: , , , , .

IV участок: Здесь косой изгиб с кручением и растяжением. Опасное сечение при , где: , , , , , .

Т.к. в опасном сечении , то расчет этого сечения можно вести по формулам плоского изгиба.

2. Определение напряжений

Ранее получены формулы для определения от и : , . По аналогии можно записать формулу для от (а). В этих формулах х и у координаты точки сечения бруса, где определяется . Очевидно, что при (сжатие) получается. Поэтому в формуле (а) стоит знак минус. При одновременном действие в сечении бруса , и суммарные напряжения в любой точки сечения с координатами х и у можно определить так

Это одна из основных формул сопротивления материалов. В , , и координаты точки сечения х и у надо подставлять со своими знаками. Если получится, значит в этой точке сечения - растяжение, если то сжатие. Это важно при оценке прочности хрупких материалов.

От в сечении бруса возникают , определяемые по известной формуле Журавского . Аналогично, от возникают , определяемые по формуле . От кручения круглых валов возникают , определяемые известной формулой . Направления касательных напряжений от , и были выяснены раньше. В каждой точки сечения эти напряжения надо суммировать геометрически (векторно), т.е. суммарные напряжения

Рис. 4

На рис. 4 показаны правила геометрического сложения напряжений , и в т.В круглого сечения бруса. Определив в этой же точке «В» от по (2), можно оценить прочность в точке «В» сечения по одной из теорий прочности. Например, по III теории прочности получим

Рассмотрим подробнее частные случаи сложного сопротивления бруса.

3. Косой изгиб

Здесь в поперечных сечениях бруса могут быть , , , а . Косой изгиб может быть чистым, когда вдоль бруса отсутствуют = и поперечным, когда и, а переменны по длине бруса. Косой изгиб может быть плоским, когда вся внешняя нагрузка лежит в одной плоскости и не плоским, когда нагрузки в плоскостях и изменяются произвольно по длине бруса.

Величины и знаки , , и в любом сечении бруса определяются из эпюр. Введем понятие полный изгибающий момент, определяемый так

Если и представить в виде векторов (длина векторов определяет величину и , а направления по правилу правого «буравчика»), то есть геометрическая сумма и , что показано на рис. 5. Положение удобно определять углом , который он составляет с осью ( отсчитывается от оси против хода часовой стрелки). Из рис. 5 видно:

Рис. 5

(1)

Отсюда (2)

Нормальное напряжение в любой точки сечения с координатами и определяется по формуле (2), полагая в ней

С учетом (1)

Рис. 6

В формулы (4) и (5) все надо подставить со своими знаками: знаки и берутся из эпюр, всегда. Величина и знак определяется из формулы (2). Во многих случаях известны величина и направле-ние поперечной нагрузки ( или ), направлениях их будем определять углом , отсчитываемый от оси (рис. 6),

против хода часовой стрелки. В произвольном сечении балки на расстоянии от торца от возникнет , который с направлением составляет угол 90, а с осью угол , т.е. . Зная и , можно вычислять по (5). Но проще силу разложить по осям и , т.е. , (видно из рис. 6). От строят эпюру , а от эпюру и далее определяют по формуле (4). Аналогично и от погонной нагрузки : , от эпюру , от эпюру .

Нейтральная ось - линия в сечении балки, относительно которой сечение поворачивается, оставаясь плоским (гипотеза Бернулли). Обозначим координаты точек на нейтральной оси через . Согласно определения Н.О в этих точках . Подставляя , в (5), сокращая на получим

(3)

Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой линии проходящей через начало координат, т.к. при должно быть . Положение Н.О удобно определять через угол ее наклона к одной из осей координат. Обозначим угол наклона Н.О к оси (рис. 7), против хода часовой стрелки.

Рис. 7

Из рис. 7 видно

(4)

Из (3) следует

(5)

С учетом (4) получим

(6)

Плоскость изгибающей нагрузки перпендикулярна , а плоскость изгиба (прогибов) перпендикулярна Н.О. При эти плоскости не совпадают , поэтому эту деформацию и назвали «косой изгиб». При (сечение квадратное, круглое и т.д.) и косого изгиба не будет.

деформация брус сжатие прочность

4. Определение напряжений. Расчеты на прочность

Для исследования напряженного состояния в сечении бруса строят эпюры в аксонометрии (Эп. ) или в плоскости сечения (Эп. ), используя формулы (4) или (5), эпюры показаны на рис. 8.

Для построения эпюр вычисляют в угловых точках сечения () и откладывают их в масштабе с учетом знаков ( - растяжение, наружу от сечения, (-) - сжатие - противоположно).



Рис. 8

Далее точки соединяют прямыми линиями, т.к. из (4) и (5) видно, что линейны по координатам и . Итак, Н.О делит сечение на две зоны, растянутую и сжатую (-) (рис. 8).

Для построение эпюры перпендикулярно Н.О проводят линию . В т. «» в масштабе откладывают , а в т. «а» и далее соединяют их прямой линией.

Из эпюр видно, что экстремальные напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от Н.О. Это будут т.1 и т.3. В них и по (4)

где

Итак, в т.1 и т.3 сечения равны по величине и противоположны по знаку

(7)

Здесь знак выбирают по физическому смыслу, в растянутой зоне, (-) в сжатой. Аналогично определяются в других сечения с выступающими углами.

Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, условие прочности в опасном сечении бруса можно записать так с учетом (7)

(8)

При подборе размеров сечения балки используем вторую формулу (8), при этом надо задать отношение с учетом рационального расположения сечения: для прямоугольника при (размер вдоль оси ) если то ; если , то размер вдоль оси (т.е. повернуть на 90) и . Условие прочности одно, а неизвестных два и , поэтому сами задаем отношение . Зная по (8) вычисляем необходимый , а по нему размеры и с учетом отношения . При подборе стандартных двутавров и швеллеров аналогично: если сечение располагаем вертикально, как в таблицах ГОСТа и берем: для двутавров , для швеллеров ; если сечение располагаем горизонтально и для двутавров , для швеллеров . Далее по (8) находимый необходимый и по нему стандартный номер профиля (в первом случае , во втором ). Определив номер профиля, делаем его проверку по первой формуле (8), подставляя табличные значения и из ГОСТа с учетом вышеуказанного в скобках. Можно учесть , добавив .

Для произвольного сечения условия прочности имеют вид : надо найти наиболее удаленные от Н.О точки сечения, найти в них и сравнить их с допускаемыми.

Для балок из хрупких материалов отдельно делается проверка прочности в растянутой (р) и сжатой (сж) зонах, т.к. для них . Размеры произвольного сечения определяются методом попыток (подбором). При каждой попытке необходимо уточнить положение Н.О и координаты точек сечения с .

5. Определение прогибов

Определяют закон изменения прогибов в плоскости как указано в разделе 5, используя известное уравнение и метод Клебша. Далее определяют прогибы в горизонтальной плоскости используя метод Клебша и аналогичное уравнение . Полный прогиб «» в любом сечении балки найдем геометрическим сложением прогибов и в каждом сечении: . Вычислив «» в нескольких сечениях по длине балки, строят изогнутую ось балки и проверяют ее жесткость.

6. Внецентренное сжатие (растяжение)

Рис. 9

Эта деформация возникает обычно в вертикальных брусьях и колоннах при действии на них продольных сил , приложенных в т. «Р» (полюс) не совпадающей с т. О - центром тяжести сечении (рис. 9).

При переносе силы в т. О брус нагрузится продольной силой и изгибающим моментом , причем все сечения бруса по его длине будут загружены одинаково.

Пусть на брус в т. «Р» с координатами и действует растягивающая сила (рис. 9). Перенесем силу сначала на ось (плечо ), а затем в т. О (плечо ). В итоге в поперечном сечении бруса возникнут:

(6)

В произвольной точке «В» сечения с координатами и найдем по (2)

 (7)

Подставляя (6) в (7) получим

(9)

Учитывая, что и подставляя в (9)

(10)

В произвольных случаях нагружения в формулы (9) и (10) и надо подставлять со своими знаками в заданных главных центральных осях и . при растяжении бруса, при сжатии.

Эпюры в сечении строятся аналогично как при косом изгибе.

Обозначим координаты точек на Н.О через . В этих точках . Подставляя и в (10) и сокращая на получим

(11)

Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой ( и в первой степени), не проходящей через начало координат (т.к. при ). Положение Н.О удобно определять отрезками и , которые Н.О отсекает на осях координат (рис. 9) и проходит через т. «» и т. «». Допустим пока, что и . Точка «» в этом случае имеет координаты . Подставляем это в (11) получим

(12а)

Аналогично т. «». Подставляя найдем

(12в)

Из (12) видно, что при и получим и , т.е. наше допущение неверно и правильно Н.О показана на рис. 9.

Свойства нейтральной оси

Из формул (12) следует:

1. Положение Н.О не зависит от величины и знака .

2. Н.О и полюс т. «Р» лежат по разные стороны от центра тяжести сечения т. О.

3. При удалении полюса от т. О, Н.О приближается к нему и наоборот.

4. Если полюс расположен на одной из осей координат, то Н.О перпендикулярна к этой оси (при полюс на оси , , т.е. Н.О параллельна оси или перпендикулярна оси ).

5. При вращении Н.О вокруг произвольной точки «» на ней (рис. 7.9), полюс перемещается по прямой линии, не проходящей через т. О. Подставим в (11) . Получим уравнение, которое относительно координат и есть уравнение прямой не проходящей через т. О.

6. Н.О делит сечение на две зоны: растянутую и сжатую, заштрихованную на рис. 9 при .

Из соотношений (12) можно решить обратную задачу: зная положение Н.О (т.е. и ) найти положение полюса, т.е. и

(13)

Расчеты на прочность

Определив положение Н.О, проведем к контуру сечения касательные, параллельные Н.О. Получим т.1 с координатами и и т.2 с координатами и . Если в т. «Р» действует , то в т. 1 будут растягивающие (р), а в т. 2 сжимающие (сж). Обычно колонны изготавливают из хрупких материалов, поэтому прочность проверяется отдельно в растянутой и сжатой зонах по формулам (9) или (10):

(8)

При действии на колонну сжимающей силы в т. 1 будут , в т. 2 растягивающие.

Размеры сечения обычно определяются методом подбора: задают размеры, определяют положение Н.О, т.1 и т.2 и проверяют в них прочность по (8). Если эти условия не выполняются, меняют размеры сечения и снова проверяют.

Для брусьев с сечениями типа прямоугольника, двутавра или швеллера из пластичных материалов, у которых , первую попытку можно провести как при косом изгибе по второй формуле (8), определив и по (6), а пока не учитывать. Здесь подбор размеров сечения проводить так, как указано ниже формулы (8). Определив размеры сечения, делать проверку по (8) с учетом .

Ядро сечения

Для колонн из хрупких материалов (чугун, бетон, камень и т.д.), плохо работающих на растяжение желательно, чтобы от сжимающей силы во всех точках сечения были только сжимающие напряжения. Этого можно добиться, если Н.О не пересекает сечение колонны, а согласно свойства 3 Н.О. это получим, ограничивая удаление полюса «Р» от т. О.

Рис. 10

Ядро сечения - это некоторая область вокруг ц.т. (т. О) сечения, внутри которой можно располагать полюс т. «Р», не вызывая в сечении колонны напряжений разных знаков (только знака ).

Если полюс «Р» расположен на границе ядра сечения, то Н.О только касается контура сечения. На этом и основан порядок построения ядра сечения, показанный на рис. 10:

1. Даем Н.О все возможные положения, касательные к контуру сечения, учитывая симметрию сечения. Это Н.О (1) Н.О (4).

2. Для каждого положения Н.О (1) Н.О (3), т.е. вертикальных и горизонтальных, легко определить величины и знаки отрезков и (), зная размеры сечения и положение главных центральных осей .

Например, для Н.О (1) (Н.О (1) и ось параллельны), показан на рис. 10.

3. По формулам (13) вычисляем для каждого положения Н.О координаты полюса, т.е. и и определяем эти т.1 т.3 на рисунке сечения, выполненного в масштабе (рис. 10).

Для Н.О (4) - наклонной, определить и затруднительно. Поэтому здесь лучше использовать уравнение Н.О в виде (11). Н.О (4) проходит через т.т. «а» и «b» сечения, координаты которых и легко определить (величины и знаки). Подставляем их в (11) вместо и получим

(9)

Решаем эти два уравнения для вычисления и , это и будут координаты т. 4 на ядре. Из рис. 10 видно, что Н.О из одного положения в другое переводятся вращением вокруг точек сечения колонны, а согласно свойства 5 Н.О полюс при этом перемещается по прямой. Поэтому т.1 т.4 на рис. 10 надо соединить прямыми линиями. Получим половину ядра сечения, заштрихованную на рис. 10. Сечение колонны симметрично относительно оси , поэтому и ядро его сечения симметрично относительно оси (вторая половина ядра показана пунктиром).

Ядра сечений некоторых фигур

1. Прямоугольное сечение :

Рис. 11

Ввиду двух осей симметрии и достаточно двух положений Н.О

Н.О (1):

,

,

т.е. т.1 на оси . Н.О (2):

,

т.е. т.2 на оси .

.

Строим т.2., т.3 симметрична т.1, а т.4 симметрична т.2. Соединяем т.1т.4 прямыми линиями, получим ядро сечения в виде ромба с размерами и .

2. Круглое сечение радиуса .

Рис. 12

Ввиду осевой симметрии, достаточно одного положения Н.О

.

Получим т.1 на ядре. Ядро сечения здесь круг с радиусом .

7. Изгиб с кручением

Эта деформация возникает в пространственных «ломанных» брусьях, в валах различных механизмов, передающие крутящие моменты. Здесь изгиб возникает от веса вала, веса шкивов, натяжения ремней, от зацепления зубчатых колес и т.д. Зная все нагрузки, можно построить все эпюры ВСФ. Опасное сечение определяется по эпюрам и . Как указано в разделе 6, брусья с некруглыми сечениями и тонкостенные незамкнутые сечения (двутавры, швеллера и т.д.), очень плохо работают на кручение. Поэтому, при наличии изгиба с кручением, желательно использовать брусья с круглыми или трубчатыми сечениями. Для них опасное сечение однозначно определяется по полному изгибающему моменту

(10)

Расчеты на прочность стержней, испытывающих изгиб с кручением, зависят от формы их поперечных сечений.

Для круглых стержней и косой изгиб для них невозможен, поэтому расчет можно вести на , определяемый по (10). Плоскость изгиба перпендикулярна (рис. 13)

(11)

Рис. 13

где радиус сечения. Знаки зависят от направления вектора . На рис. 13 в т. «а» будет сжатие (-), в т. «» - растяжение .

От кручения , как известно, возникают на контуре сечения и определяются так

(12)

где полярный момент

инерции сечения. Поэтому, наиболее опасными точками в сечении являются т. «а» и т. «», где действуют и и, следовательно, возникает плоское напряженное состояние (ПНС), которое излагается в разделе 12.

Главные напряжения при ПНС в осях определяются по (10)

(13)

В нашем случае надо подставлять: из зависимостей (11), (12) и условие прочности запишется так

(I)

А это, как известно, есть I теория прочности.

Известны еще несколько теорий прочности, которые для ПНС в осях записываются так:

II теория прочности

.

В нашем случае подставляя: (коэффициент Пуассона), получим

(II)

III теория прочности

В нашем случае

(III)

IV теория прочности

В нашем случае

(IV)

Формулы (I)-(IV) используются для проверки прочности валов с заданными размерами сечений. I и II теории прочности рекомендуются для валов из хрупких материалов (чугун), для которых (растяжение). III и IV теории прочности (т.п.) рекомендуется для валов из пластических материалов (стали и т.д.). При наличии в опасном сечении вала , вычисляется с ее учетом

(14)

Для проектирования вала, т.е. определения размеров его сечения, преобразуем формулы (I)-(IV): подставим формулы (11) и (12) в (I), получим

где расчетный (приведенный) момент по I теории прочности.

Подставляя (11) и (12) в другие теории прочности, легко убедится, что условия прочности I-IV можно записать одним обобщенным выражением

(7.14)

где расчетные моменты по ^ой теории прочности:

I т.п. ;

II т.п. ; (7.15)

III т.п. ;

IV т.п.

Из условия прочности (7.14) можно найти необходимый момент сопротивления сечения вала , а по нему размеры сечения:

1. Сплошное круглое сечение радиуса : , отсюда

2. Трубчатое сечение: наружный радиус, внутренний. Здесь две неизвестных, а условие прочности (7.14) одно, поэтому надо самим задаться отношением

.

.

Отсюда .

Далее, по сортаменту труб подбираем стандартную трубу с близкими размерами , вычисляем , , находим по (14) и по (12) и подставляем их в ту же теорию прочности (I)-(IV), по которой определялся из (7.15). Если условие прочности не выполняется, берем другую стандартную трубу и снова все повторяем. Допускаемая перегрузка 5% от .

Трубчатые сечения при изгибе с кручением являются более экономичными по весу.

Примечание: При наличии продольной силы размеры сечения определяются вначале без ее учета, т.е. на и , а проверка проводится с учетом по (14) и (12).

Размещено на Allbest.ru

...